效用无差异价格与超级复制价格的趋同

最后，在第6节中，将收敛结果推广到随机效用函数。2模型本节介绍了我们的多优先级框架。2.1框架概述我们确定了时间范围T∈ N并引入一个序列(Ohmt） 1个≤t型≤Tof政策空间。每个Ohmt+1包含时间t和t+1之间的所有可能场景。对于一些1≤ t型≤ T，letOhmt： =Ohm×···×Ohmt（按照惯例Ohm减少为一个单件）。我们用B表示(Ohmt） 它的Borel-sigma代数和P(Ohmt） 上的所有概率度量集(Ohmt、 B类(Ohmt） ）。A元素Ohm斜纹由ωt=（ω，…，ωt）表示（ω，…，ωt）∈ Ohm× ··· × Ohmt、 我们还提出了通用西格玛代数Bc(Ohmt） 这是B的所有可能完成的交集(Ohmt） 。A函数f：Ohmt型→ 如果对于所有B，Y（其中Y是另一个波兰空间）是普遍可测量的（分别是Borel可测量的）∈ B（Y）（Y上的Borel-sigma代数），f-1（B）∈ 卑诗省(Ohmt） （分别为f-1（B）∈ B类(Ohmt） ）。类似地，我们将谈到普遍适应或普遍可预测（分别是Borel适应或Borel可预测）过程。2.1.1不确定性模型【Bouchard and Nutz，2015年】（另见【Blanchard and Cara ssus，2018年】）对不确定性进行了建模。我们参考这些文件以获得对该框架的全面技术演示。对于每个0≤ t型≤ T- 1我们考虑一些随机集Qt+1：OhmtP(Ohmt+1），其中Qt+1（ωt）可以理解为所有可能模型的集合，从代理的角度来看，如果场景ωt持续到时间t，则为t+1周期。这些集合是所有先验的集合Qt所在的块Ohmtis已建成。Qt：={Q q ···  qt，Q∈ Q、 qs+1（·，ωs）∈ Qt+1（ωs），ωs∈ Ohms、 s∈ {1, . . .

，t- 1} }，（1）其中所有1≤ s≤ T- qs+1（·，ωs）是Ohms+1驱动ωs∈ Ohms（见【Bertsekas和Shreve，2004，定义7.12 p134】），其中符号Qs：=Q q ···  qs代表使用Fubini的theorem合成的概率度量：对于所有∈ 卑诗省(Ohms） Qs（A）=ZOhm···ZOhmsA（ω，··，ωs）qs（dωs，（ωs-1，···ω））···q（dω，ω）q（dω）。集合QT控制m市场，直到时间T，并确定哪些事件与代理相关或不相关。请注意，为了使此构造在数学上严格，应用了可测量选择定理，以获取一些普遍可测量的Leq+1（·，ωs）∈ Qt+1（ωs）。要做到这一点，我们依赖以下技术假设，这在最近关于多先验模型的文献中是经典的。假设2.1适用于所有0≤ t型≤ T-1，Qt+1是一个非空凸值随机集如图（Qt+1）：=（ωt，P）∈ Ohmt×P(Ohmt+1），P∈ Qt+1（ωt）是分析集。回想一下，解析s集是一些波兰空间的连续图像，参见【Aliprantis and Border，2006，定理12.24 p447】，以及【Bertsekas and Shreve，2004，第7章】，了解解析集的更多详细信息。除假设2.1外，未对先验值集做出具体假设：QT既不被给定的参考概率度量所支配，也不被认为是弱紧的。此设置允许对QT集进行各种常规定义。

我们提出了一些示例，并参考【Bartl，2019】和【Blanchard和Carassus，2019】了解其他示例。例2.2我们的模型包括（非支配的）情况，其中物理测量不是先验的，而是收集数据和估计的结果，因此某种“邻域”被添加到估计量P*= P* p* ···  p*Tof物理测量qt+1（ωt）=P∈ P(Ohmt+1），距离（P，P*t（ωt））≤ εt（ωt）,其中dist是分布之间的距离（常用的选择是Wasserstein距离）。如果εt，p*tand dist是Borel可测量的，Graph（Qt+1）是一个n分析集（见【Bartl，2019，示例2.3】）。另一个有趣的非支配情形是当价格过程的增量有界时。一维股票的正则空间研究Ohm = RT，St（ωt）=ωt，可能的先验集合为givenbyqt+1（ωt）={P∈ P（B（R）），supp（P） [ωtdt+1，ωtut+1]}，其中supp（P）是度量P的支持。然后，假设2.1得到满足（见【Carassus和Vargiolu，2018年】）。2.1.2时间一致性和相关评论我们的概率度量集是由一组提前一步的概率度量唯一确定的，这一事实与我们现在关注的时间一致性概念有关。粗略地说，时间一致性意味着明天做出的决定将满足今天的目标。回想一下，这个问题已经出现在一个统一的理论中，例如在动态风险度量的研究中，并且与条件期望和动态规划原理的不确定性规律有关。

我们参考了调查【Acciaio和Penner，2011年】和【Bielecki等人，2016年】，了解详细概述。当引入多个先验时，必须更加小心时间一致性。在【Riedel，2009年，附录D】中，一个简单的例子说明了如果对初始先验集的结构不谨慎，可能会发生什么：我们不能指望使用动态规划原理找到最优解。为了解决这一问题，必须假设粘贴后的先验集是稳定的，这大致意味着不同的先验可以混合在一起（见【Riedel，2009，假设4】）。很明显，在粘贴下，先验QT集是稳定的。实际上，给定（1），如果Q，Q∈ Q=Q时的QT q ···  qT，Q=Qq···qT，然后R：=Qq···qt-1.qt···qT∈ QT全部2≤ t型≤ T-1、从某种意义上说，集合QT足够大（不像【Riedel，2009，附录D】中考虑的例子）。在【爱泼斯坦和施耐德，2003，定义3.1】中，引入了矩形的等效概念（有关更多细节和图形解释，请参见【爱泼斯坦和施耐德，2003，第3、4节】。2.1.3交易资产和交易策略≤ t型≤ T}是一个普遍适用的d维过程，其中0≤t型≤ T，St=坐1.≤我≤DRE显示了中央市场中风险证券的价格。为了解决可测量性问题，提出了【Bouchard a and Nutz，2015年】中已经存在的以下假设。假设2.3价格过程S是Borel适应的。交易策略由普遍的ada pted d维过程φ：={φt，1给出≤t型≤ T}其中所有1≤ t型≤ T，φT=φit1.≤我≤DRE显示投资者在每项d资产中的持股情况。交易策略集用Φ表示。假设交易是自融资的，无风险资产的价格常数等于1。

从初始资本x开始的投资组合φ在时间t的值∈ R由vx给出，φt=x+tXs=1φs不锈钢。2.2多重先验无套利条件正如导言中已经回避的那样，不确定性背景下的无套利问题再次引起人们的兴趣。在本文中，我们遵循【Bouchard a and Nutz，2015年】提出的定义。假设2.4如果V0，φT，则NA（QT）条件成立≥ 0 QT-q.s.对于某些φ∈ Φ表示V0，φT=0 QT-q.s.A设置N X是QT极坐标集，如果对于所有P∈ QT，存在一些AP∈ B类(OhmT） 这样p（AP）=0和N 美联社。如果一个属性在aQT极坐标集外为真，则该属性准肯定（q.s.）为真。最后，如果一个集的补码是QT极性集，则该集是QT满测度集。我们简要概述了这一定义的一些有趣特征。首先，它是经典单先验无套利条件的自然直观扩展。这一论点得到了FTAP的普遍化的支持【Bouchard和Nutz，2015年】。在假设2.1和2.3下，NA（QT）等效于以下g：对于ll Q∈ QT，存在一些P∈ Q时的RTTH<< P值：={P∈ P(OhmT） ，则，Q′∈ QT，P<< Q′，P是一个martinga-le测度}。（2） 等价鞅测度的经典概念被以下事实所取代：对于所有先验Q∈ QT，存在一个鞅测度P，使得Q相对于P是绝对连续的，并且可以找到另一个先验Q′∈ qt使得P相对于Q′是绝对连续的。

另一个令人信服的因素是，在相同的多重先验条件下，对超边缘定理和最坏情况下预期效用最大化的子结果进行扩展（例如，参见[Nutz，2 016]）。现在，我们提出了NA（QT）条件的另一种特征，该特征已在【Blanchard和Carassus，2018年，命题2.3】中得到证实。建议n 2.5假设A（QT）条件和假设2.1、2.3成立。那么对于所有0≤ t型≤ T- 1，存在一些完整度量集OhmtNA公司∈ 卑诗省(Ohmt） 对于llωt∈ OhmtNA，存在αt（ωt）>0，因此对于所有h∈ Dt+1（ωt）存在sph∈ Qt+1（ωt）满足pHh | h|St+1（ωt，）<-αt（ωt）> αt（ωt），（3）其中dt+1（ωt）是价格增量sdt+1（ωt）的多个先验条件支持的最终外壳：=AffTA. Rd，关闭，Pt+1(St+1（ωt，.）∈ A） =1，Pt+1∈ Qt+1（ωt）.注意dt+1（ωt）是所有ωt的向量空间∈ OhmtNA。在只有一项风险资产和一个期间的情况下，对（3）的解释是向前延伸的。这仅仅意味着存在一个先验值（即某些概率度量值+），风险资产的价格会大幅上涨，而另一个先验值（P-) 价格下降，即P±(S（·）<-α） >αw此处α>0。数字α用于衡量收益/损失及其大小。在一般情况下，代理人在买卖一定数量的风险资产时，总是会面临潜在的损失。请注意，在【Blanchard和Carassus，2019年】中，假设2.4和条件（3）之间的等效性已建立。现在，我们给出了当效用函数序列不是从上方有界（n中一致）时，收敛结果所需的可测性假设（见下面的定理3.14和6.5）。

首先，我们介绍将在整个paperWt中使用的以下空间：=X：Ohmt型→ R∪ {±∞} 卑诗省(Ohmt） -可测量,警告：=十、∈ Wt，供应∈QtEP | X | r<∞和W∞电话：=十、∈ Wt， M≥ 0，| X |≤ M Qt-q.s。,回顾（1）Qt的定义。我们还考虑了W0，这是从QT-q.s.下方边界上的连续求偿集，例如∈ W0，boTif且仅当G∈ WT存在常数b≥ 0此类THAT G≥ -b QT-q.s.注意，将为非负元素添加上标+（也将用于表示正部分）。假设2.6我们有St，αt∈ 所有1的WRT≤ t型≤ T和0<r<∞.根据命题2.5，条件αt∈ Wrtis是一种强大的无套利形式。注意，如果α不是常数，那么即使在单先验情况下，效用最大满足问题也可能是不适定的（参见[Carassus and R'asonyi，2007b]中的示例3.3）。因此，对αt的可理解性假设是合理的。【Blanchard和Carassus，20-19】中给出了一些计算α并验证假设2.6的具体示例。假设2.6可能会被削弱为N largeenough的WNt-th矩的存在，但这将导致复杂的簿记，在一般性方面没有本质收益，我们宁愿避免这种情况。最后请注意，正如在【Denis等人，2011年，命题14和15】中一样，可以证明∈ [1, ∞], Wrtis a Banach空间（直到通常的Qt-q.s.识别两个随机变量。

等于）对于范数| |·| | | r，twhere | | X | | r，t：=支持∈QtEP | X | rrif r<∞ 和| | X||∞,t： =inf{M≥ 0，X（·）≤ M Qt-q.s.}。当t=t时，我们将省略索引t。3主要结果本节包含我们的主要结果以及超级复制和（卖方）效用无差异价格的定义。3.1多重优先超级复制价格多重优先超级复制价格（卖方价格）是代理人要求交付或有索赔G的最低初始金额∈ 因此，她在市场交易时完全掌握了T。从给定的财富x开始，支配G QT-q.s.的一组策略∈ R由a（G，x）定义：=nφ∈ Φ，Vx，φT≥ G数量。s、 o.（4）定义3.1让G∈ WT.G的多重先验超级复制价格由π（G）：=inf{z定义∈ R、 A（G，z）6=} （5） 和π（G）=+∞ 如果A（G，z）= 对于所有z∈ R、 注意π（G）=+∞ 当且仅当A（G，z）= 对于所有z∈ R、 备注3.2相应的买方价格是由πsub（G）：=sup{z定义的Gde的多优先级子复制价格∈ R、 A(-G-z） 6=} 和πsub（G）=-∞ 如果A(-G-z） = 对于所有z∈ R、 很明显，对于G∈ WT，πsub（G）=-π(-G） 。为了方便读者，我们现在回顾一下【Bouchard和Nutz，2015，Theorem2.3】。定理3.3假设假设2.3和2.4成立∈ WTbe固定。然后π（G）>- ∞andA（G，π（G））6=.备注3.4适用【Bouchard和Nutz，2015，定理2.3】假设2.1是不需要的，也可以使用假设2.3的较弱形式。通常，如果市场是完整的（即，如果任何有界或有权益是可复制的），超级复制价格等于复制价格。实际上，如果G是可复制的，即如果存在一些x和一些φG∈ Φ使得G=VxG，φGTQT-q.s.，然后π（G）=xG=π（VxG，φGT）。

此外，在G的某些可测性假设下，Su-perreplication定理认为：π（G）=supP∈RTEPG，参见【Bouchard和Nutz，2015，Superheding Th eorem】和（2）关于RT的定义。我们现在转向一些考虑代理偏好的定价规则。3.2效用函数和效用无差异价格在第3节中，我们关注半实数线上定义的确定性效用函数。第6节提出了对随机效用函数的扩展。在本节的其余部分中，我们考虑效用函数U:R→ R∪ {-∞} 使得U（x）=-∞ 如果x<0并且存在一些x∈ (0, ∞) 验证U（x）>-∞. 考虑到这种功能，我们可以应对投资者完全反对破产的具体情况。在翻译之前，可以考虑信用额度有限的投资者。假设3.5 U对（0，∞) 严格递增，两次连续可微，我们设置U（0）：=limx→0+U（x）。定义3.6对于满足假设3.5的任何函数U，定义所有x的绝对风险规避∈ (0, +∞) byr（x）：=-U′（x）U′（x）。（6） 我们现在谈谈定价问题。首先，我们定义了一些特定的索赔策略集∈ WT和一些初始财富x∈ R（回忆（4））Φ（U，G，x）：=nφ∈ Φ，EPU+（Vx，φT（·）- G（·））<+∞, P∈ QToA（U，G，x）：=Φ（U，G，x）∩ A（G，x）。如果φ∈ Φ（U，G，x），积分EPU（Vx，φT（·）- G（·））对于所有P∈ QTAND属于[-∞, ∞). 然而，即使对于x≥ π（G），A（U，G，x）可能是空的。事实上，从定理3.3中，存在一些φ∈ A（G，x），但φ可能不属于Φ（U，G，x）。为了确定这些可积性问题，以下命题在适当的假设下确定了A（U，G，x）=A（U，x）。假设假设假设2.1、2.3和2.4成立。

假设eitherUis从上方有界或thatu是满足假设3.5的凹函数，假设2.6成立。修正一些偶然的索赔∈ W0，boTand somex∈ R、 那么，A（U，G，x）=A（G，x）。IfA（G，x）6=, 存在一些常量∈ [0, ∞)因此-∞ ≤ EPUVx，φT（·）- G（·）≤ Mx，适用于allP∈ QT和φ∈ A（G，x）。注意，（4）和定理3.3意味着a（G，x）6= i f且仅当x≥ π（G）。证据如果A（G，x）= 那么A（U，G，x）=. 假设A（G，x）6= （相当于x≥ π（G））。首先假设U是满足假设3.5的凹函数，假设2.6成立。证明依赖于引理5.2。U的单调性、凹性和可微性意味着对于所有y∈ R和x>0 U（y）≤ U（最大值（y，x））≤U（x）+最大值（y- x、 0）U′（x）。Thu sU+（y）≤ U+（x）+y | U′（x）。（7） 对于任意φ∈ A（G，x）和P∈ QT，利用U的单调性，某些常数b的存在性≥ 0此类THAT G≥ -QT-q.s.和引理5.2，我们得到了EPU+（Vx，φT（·）- G（·））≤ EPU+（Vx+b，φT（·））≤ U+（1）+支持∈QTEPVx+b，φT（·）U′（1）≤ U+（1）+（| x |+b）U′（1）支持∈QTEPMT（·）：=Mx<∞ （8） 自MT以来∈ WT和U（1）和U′（1）均为有限值。现在假设U是从上面连接的。那么（8）中的最后一个边界结果对于mx仍然有效，选择U+的上界。现在我们引入数量u（G，x），它表示从初始资本x开始的最大最坏情况预期效用∈ R和交付G∈ WTat Tu（G，x）：=supφ∈A（U，G，x）infP∈QTEPUVx，φT（·）- G（·）（9） 其中u（G，x）=-∞ 如果A（U，G，x）=. 请注意，u（G，x）中的期望值已明确定义（通过定义A（u，G，x）），无需进一步假设u（G，x）∈ [-∞, ∞].备注3.8本文的目的不是为（9）找到最佳解决方案。