局部波动模型中的短期远期亚洲期权

当p>2时，x的凸性→ xpon（0，∞) 我们有(1 -τ）TZTτTStdt-Kp≤ 2p级-1.E(1 -τ）TZTτTStdtp+ Kp公司.此外，E(1 -τ）TZTτTStdtp≤(1 -τ）TZTτTE（Spt）dt和E（Spt）求解微分方程（Spt）=p（r- q） E（Spt）+p（p-1） E【标贯σ（St）】dt。利用（2.7），我们得到E（Spt）≤ Spe（p（r-q） +p（p-1） σ）t，因此（1-τ）TZTτTE（Spt）dt≤ Spe（p（r-q） +p（p-1） σ）T。这意味着（2.11）。然后我们完成证明。从引理2.1中，我们可以将货币远期启动亚洲期权价格的对数估计值减少到罕见事件的概率估计值，即基础资产价格在时间T内从STOK上涨→ 一个经典的工具是大偏差理论。关于大偏差理论的定义和基本性质，我们参考文献[13]。定理2.2。假设资产价格St遵循（2.6）和（2.7）中的局部波动模型。然后，无本金远期开始亚洲看涨期权（K>S）的价格满足极限→0T日志C（T）=-Ifwd（S，K，τ）；（2.12）和相应的货币外远期亚洲看跌期权（K<S）的价格满足极限→0T日志P（T）=-Ifwd（S，K，τ），（2.13），其中Ifwd（S，K，τ/τ）=inf1-τRτeg（t）dt=Kg（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。证据根据引理2.1，我们只需要对（1）有一个大的偏差估计-τ） TRTτTStdt。其思想是使用大偏差理论中的收缩原理（参见例[13]）。LetXt=日志St.第一个注释（1-τ）TZTτTStdt=T（1-τ）TZτStTdt=1-τZτeXtTdt。另一方面，我们知道P（XtT∈ ·, t型∈ [0，1]）满足L上的样本路径大偏差原则∞（[0，1]，R）和速率函数（参见例如[44]）I（g）=Rg（t）σ（eg（t））dt，对于g（0）=对数S，g∈ AC[0，1]+∞ 否则，其中AC[0，1]是绝对连续函数的空间。自从地图g 7→1.-τRτeg（x）dx自L∞（[0，1]，R）到R+是一个连续映射，根据收缩原理（参见。

[13] ），我们有限制→0T对数C（T）=极限→0T日志P(1 -τ）TZTτTStdt≥ K(2.14)= - inf1-τRτeg（t）dt=Kg（0）=对数S，g∈交流[0,1]Zg（t）σ（eg（t））dt。因此我们得到（2.12）。按照同样的论点，我们可以很容易地得到（2.13）。作为副产品，我们还可以使用看跌期权平价获得货币内远期startAsian期权的估值。我们将其呈现在以下推论中。推论2.3。假设资产价格标准（2.6）和（2.7）。那么货币远期开始亚洲看涨期权的价格（K<S）满足esC（T）=S- K级+（r）- q） （1+τ）- （S）- K） rT+O（T），作为T→ 0，（2.15）和相应的货币远期起始亚洲看跌期权的价格（K>S）满足esP（T）=K- S-（r）- q） （1+τ）+（S- K） rT+O（T），作为T→ 0.（2.16）证明。根据看跌期权奇偶性，我们得到了c（T）- P（T）=e-rTE公司(1 -τ）TZTτTStdt-K=e-rT公司S（e（r-q） T型-e（r-q） τT）（1-τ） （r）-q） T型- K如果r- q 6=0e-rT（S）- K） 如果r- q=0=（S）- K级+（r）- q） （1+τ）- （S）- K） rT+O（T）如果r- q 6=0（S- K） （1）- rT）+O（T）如果r- q=0，作为T→ 另一方面，当K<S时，从（2.13）我们知道P（T） O（T）当T→ 0，henceC（T）=S- K级+（r）- q） （1+τ）- （S）- K） rT+O（T）。我们可以使用相同的参数得到（2.16）。2.2在货币渐近性方面，在本节中，我们考虑的是货币情况，即当S=K时。首先，我们注意到，与资金不足的情况相比，资产价格在极短的时间内达到K=S的可能性更大。虽然这一事件发生的概率仍然很小，但它处于高斯函数的尺度，即√T，显著大于e-我把钱从钱箱里拿出来。在下面的定理中，当T为→ 0、定理2.4。考虑本地波动率模型（2.6）和（2.7）下的货币远期起始亚洲期权（S=K，T，τ）。

此外，如果我们假设波动率满足Lipschitz连续性条件：存在α，β>0，因此对于所有x，y≥ 0，|σ（x）x- σ（y）y |≤ α| x- y |，|σ（x）- σ（y）|≤ β| x- y |。然后远期合约的价格开始满足亚洲看涨期权和看跌期权的要求→0√TC（T）=极限→0√TP（T）=σ（S）Sr1+2τ6π。证据我们的想法是寻找标的资产St的线性估计值，该估计值足以捕捉C（T）和P（T）的小到期渐近阶数√T证明类似于[35]（见定理6）。这里，我们仅概述主要步骤。步骤1：我们首先考虑一个近似过程Xt：=e-（r）-q） tSt是一个鞅，满足SDEdXt=σ（Xte（r-q） t）XtdWt，X=S。对于任何底层进程xt∈ C（[0，1]，R+），我们表示C（T，xt）：=e-rTE“(1 -τ）TZTτTxtdt-S+#.对于a，b>0，我们说a b ifab→ +∞, 和a b ifab→ 0+.然后我们可以很容易地看到ert | C（T，St）-C（T，Xt）|≤ E(1 -τ）TZTτTe（r-q） t型- 1.Xtdt公司= Se（r-q） T型- e（r-q） τT（r- q） （1）- τ）T- 1.= O（T）。因此我们有| C（T，St）-C（T，Xt）|=O（T）。步骤2：接下来，我们考虑通过高斯过程进一步近似Xt，其中WT是标准布朗运动。NoteerT公司C（T，Xt）-CT、 ^Xt≤ E最大τT≤t型≤T | Xt-^Xt|.我们声称EhmaxτT≤t型≤T | Xt-^Xt | i=O（T）。这是由于Doob鞅不等式和E最大τT≤t型≤T | Xt-^Xt|≤ 2.E[（XT-^XT）]≤ 2.√MT（2.17），对于某些常数M>0。关于（2.17）中最后一个不等式的详细证明，请参见[35]（见第21-22页）。最后，结合步骤1和步骤2，我们得到C（T）=CT、 ^Xt+ O（T）。最后我们只需要计算CT、 ^Xt对于高斯过程^Xt。

注（1-τ）TZTτT^Xtdt-S=σ（S）S（1-τ）TZTτTWtdt，是一个平均值为0且方差σ（S）S（（1）的高斯随机变量-τ）T）E“ZTτTWtdt#=σ（S）S（1+2τ）T。因此我们有“(1 -τ）TZTτT^Xtdt-S+#=√σ（S）S√1 + 2τ√T E[ZZ>0]=σ（S）Sr（1+2τ）T6π，其中Z是平均值为零、方差为1的标准高斯随机变量。看跌期权的结果可以得到类似的证明。2.3关于变分问题的讨论在本节中，我们进一步讨论了定理2.2给出的缺钱情况下的变分问题。我们想分析速率函数ifwd（S，K，τ）=inff∈A（K/S，τ）Zf（t）σ（Sef（t））dt，（2.18）式（K/S，τ）=f∈ AC[0，1]f（0）=0,1-τZτef（t）dt=KS. （2.19）我们得到以下结果。提案2.5。变分问题（2.18）的解由极值问题ifwd（S，K，τ）=infc给出∈Rcτ+1-τISeF公司-1（cτ），K, （2.20）式中，I（x，K）由变分问题I（x，K）=infν给出∈A（K/x，0）（ZД（u）σ（SeД（u））du），（2.21）和F（·）由F（·）=Z·dzσ（Sez）定义。（2.22）证明。通过为函数∧[f]：=Z引入拉格朗日乘子λ，可以将具有约束（2.19）的变分问题（2.18）转化为无约束变分问题f（t）σ（Sef（t））dt公司-λZτef（t）dt-KS（1-τ ). （2.23）我们将带约束（2.19）的变分问题（2.18）分为两部分，分别进行分析。第1部分：0时≤ t型≤ τ、 欧拉-拉格朗日方程readsdtf（t）σ（Sef（t））= 0, 0≤ t型≤ τ .这意味着f（t）σ（Sef（t））=c，从中我们得到f是单调的。通过积分，我们得到zf（t）dzσ（Sez）=F（F（t））=ct。显然，F是一个严格递增函数。通过逆变换F，我们得到周期[0，τ]：F（t）=F内的速率函数Ifwd（S，K，τ）的argmin-1（ct），0≤ t型≤ τ. （2.24）相应的能量为zτf（t）σ（Sef（t））dt=cτ。第2部分：现在考虑区域τ≤ t型≤ 1.

我们想找到f（t）∈ AC[τ，1]，使得F（τ）=F-1（cτ），（1-τ） RτSef（t）dt=K，且具有最小能量yrτf（t）σ（Sef（t））dt。让我们重新参数化f（t），t∈ [τ，1]如下。考虑变量u∈ [0，1]这样，对于所有t∈ 我们有t=τ+u（1- τ).我们还将函数f置于中心位置，方法是：让ν：[0，1]→ R应为F-1（cτ）+Д（u）=f（t）=f（τ+u（1- τ)). （2.25）那么很明显我们有dt=（1- τ） du，f（t）=1-τИ（u）。函数Д（u）满足边界条件Д（0）=0，（2.19）可写为φ ∈ AC[0，1]Д（0）=0，ZeД（u）du=KSe-F-1（cτ）. （2.26）从（2.18）我们知道任何c∈ R、 Ifwd（S，K，τ）≤cτ+（1-τ）infД∈A（K/S，τ）Z^1（u）σ（SeF-1（cτ）eД（u））杜邦.让F的贡献-1（cτ）被吸收到S的重新定义中，则上述不等式的右侧为指数cτ+（1-τ）I（SeF-1（cτ，K）：=gc因此我们得到Ifwd（S，K，τ）≤ infc公司∈RGc。另一方面，设G=infc∈RGc。那么对于任何 > 0，存在一个c∈ R这样G>Gc-  ≥ Ifwd（S，K，τ）- .允许 → 0我们获得G≥ Ifwd（S，K，τ）。这将产生（2.20）并结束声明。备注2.6。我们知道，当S=K（按货币计算）时，期权价格具有规模√助教T→ 0，因此当K=S时，速率函数Ifwd（S，K，τ）消失。这可以通过注意c=0和Д=0解决最小化问题来轻松检查。我们称之为路径f（t）∈ AC[0，1]Ifwd（S，K，τ）的最优路径，如果它是带约束（2.19）的变分问题（2.18）的极小值。接下来，我们研究了最优路径f（t）导数的连续性。从上述命题中，我们知道f（t）是（0，τ）和（τ，1）上的C函数。在变分演算语言中，τ是所谓的角点。事实上，我们知道f（t）在t=τ时也是连续的，因此f∈ C（[0，1]，R）。Erdmann-Weierstrasscondition保证了这一点（例如，参见[11]第4章§12.6）（第260页）或[6]（第260页）。

203）），我们将其呈现如下。定理2.7（Erdmann-Weierstrass角点条件）。如果函数y（t）是变分问题Δδy（t）ZbaL（y，y）dt=0的极值，（2.27），则yL和yyL公司- L必须在y（t）的每个角点τ处连续，即y（t）在τ的每一侧可能有不同值的点。在我们的例子中，变分问题（2.23）的函数L（y，y）是，直到一个非本质常数，L（f，f）=f（t）σ（Sef（t））- λ{τ≤t型≤1} ef（t），（2.28），以便fL（f，f）=f（t）σ（Sef（t））。（2.29）由于σ（x）在任何地方都是连续的，因此它遵循Erdmann-Weierstrass条件fL（f，f）表示f（t）在角点τ处连续。这证明了该变分问题的最优解f（t）是Con（0，1）。3 Black-Scholes模型和近似在本节中，我们考虑Black-Scholes模型下的远期启动亚式期权，这是局部波动率模型的特例，σ（·）在（2.6）中是一个常数函数。在这种情况下，变分问题非常简单，我们能够获得速率函数Ifwd（S，K，τ）的闭合形式。3.1 Black-Scholes模型下的速率函数σ（·）=σ>0。命题2.5的结果简化如下。提案3.1。假设基础资产价格遵循Black-Scholes模型。然后，无本金远期亚洲看涨期权（K>S）的价格达到了满意的极限→0T日志C（T）=-σJ（BS）fwd（K/S，τ），（3.30）和货币外远期亚洲看跌期权的价格（K<S）满足极限→0T日志P（T）=-σJ（BS）fwd（K/S，τ），（3.31），其中J（BS）fwd（K/S，τ）=infc∈Rcτ+1-τJBSKSe公司-cτ. （3.32）这里JBS（·）是从时间零点开始求平均值的亚式期权的利率函数，由变分问题JBS（x）=infReД（u）du=xД给出∈AC[0,1]，Д（0）=0Z（Д（u））du. （3.33）证明。这很容易从命题2.5得出。

我们只需要显示σ（·）=σ时，wehaveIfwd（S，K，τ）=σJBSfwd（K/S，τ）。通过指出IBS（·，K）=σJBS（K/·）和F（x）=x/σ，这很简单。备注3.2。在Black-Scholes模型下，用参数（S，K，T，τ）考察远期启动亚洲看涨期权的另一种方法如下。基本资产价格由St=SeσWt+（r）给出-q-σ） t.【τt，t】上的平均值由τTA【τt，t】给出，其中【τt，t】=（1-τ）TZ（1-τ） TeσWt+（r-q-σ） tdt。因此，亚洲前向启动的基础是两个不相关随机变量的乘积：对数正态分布变量SτT：=X和a[τT，T]。看涨期权价格可以写成asC（T）=e-rTE[（XA[τT，T]- K） +]=e-rTE“X E”A[τT，T]-KX公司+X##（3.34）=e-rTZ公司∞-∞e-x2τTeσx+（r-q-σ） τTCA（K/SτT，（1- τ） T）dx√2πτT=e-rT+（r-q） τT√2πτTZ∞-∞e-2τT（x-στT）CA（K/SτT，（1- τ） T）dx，其中CA（K/SτT，（1- τ） T）是未贴现的亚洲看涨期权价格，平均起始时间为零，基础起始价格为1，履约价格为K/SτT。总之，远期起始亚洲期权的价格是从零开始的亚洲期权价格的高斯加权平均值。众所周知（例如，见[35]）当T→ 0，我们有ca（K/SτT，（1- τ） T）=经验值-T（1- τ） JBS（K/SτT）+o（1/T）.我们将这个渐近结果插回（3.34）。使用拉普拉斯方法，我们知道c（T）由指数项exp控制-x2τT-T（1- τ） JBS公司Ke公司-σx-（r）-q-σ） τT/S,其中，JBS（·）是Black-Scholes模型中亚式期权的利率函数。亨斯：我们有限制→0T日志C（T）=- infx公司∈Rx2τ+1-τJBSKe公司-σx/S.通过x=cτ/σ，这与（3.32）一致。推论3.3。在非常小的平均周期的极限情况下，τ→ 1，（3.32）还原为欧式期权的速率函数IMτ→1J（BS）fwd（K/S，τ）=对数堪萨斯州.

（3.35）当τ→ 0，（3.32）降低为标准亚洲期权的利率函数，平均值从时间0开始，即Limτ→0J（BS）fwd（K/S，τ）=JBS（K/S）。证据第二个结论是显而易见的。我们只显示（3.35）。当τ→ 1，从（3.32）我们得到thatlimτ→1J（BS）fwd（K/S，τ）=infc∈Rc+1-τJBSKSec公司.自1起-τ→ +∞ asτ→ 1，最佳c∈ R是jbs的最小实数KSec公司消失。此外，从（3.33）我们知道JBSKSec公司= 当asSec=K时为0。因此，我们获得了最佳c=log堪萨斯州, 得出（3.35）。这与直觉一致，即当τ接近1时，几乎不进行平均。因此，它又回到了标准的欧洲选项。3.2关于变分问题和最优路径的讨论在本节中，我们寻求Black-Scholes模型下无本金远期亚洲期权的利率函数σJ（BS）fwd（K/S，τ）的闭式表达式。从（3.32）中，这相当于解决一个双层变分问题。我们知道当τ∈ （0，1），速率函数是对应于τ=0和τ=1的极端情况之间的插值。也可以通过查看其最佳路径来观察它。回想一下，路径f（t）∈ 如果满足f（0）=0,1，则AC[0，1]是J（BS）fwd（S，K，τ）的最佳路径-τZτef（t）dt=KS，J（BS）fwd（K/S，τ）=Z[f（t）]dt。从命题2.5的证明中，我们知道f（t）是两条连续路径的组合，即欧式期权的最优路径（S，Secτ，τ）和亚式期权的最优路径（Secτ，K，1- τ). 显式地，我们有f（t）=（ct 0≤ t型≤ τcτ+Дct型-τ1-ττ<t≤ 1，（3.36）式中，Дc（·）∈ AC[0，1]是JBS的argminKSec公司. 此处c由（3.32）的最小值唯一确定，稍后将详细讨论。JBS（x）及其argminИ（·，x）的显式形式在[35]中进行了计算（见命题12）。我们在下面回顾这些结果。引理3.4。

让JBS（x）如（3.33）所示。然后我们得到jbs（x）=（β- βtanh（β/2）x≥ 12ξ（tanξ- ξ） x<1，对于u∈ [0，1]Д（u，x）=βu- 2个日志eβu+eβ1+eβx个≥ 1日志cosξcos（ξ（u-1))x<1，其中β∈ [0, ∞) 和ξ∈ [0，π/2）是下列方程的唯一解βsinhβ=x，2ξsin（2ξ）=x.0 0.2 0.4 0.6 0.8100.10.20.30.40.50.6τ=0K/S=1.5 0K/S=1.20t0 0.2 0.4 0.6 0.81-0.8-0.6-0.4-0.20τ=0K/S=0.60K/S=0.80t图1：x=K/S>的最佳路径BS模型中的Asianoption为1（左），K/S<1（右）。平均周期为[0，1]，对应于τ=0。K/S的值如图所示。图1中的左图显示了x=K/S>1（货币外亚洲看涨期权）的两次打击的最佳路径Д（u，x）。这是一个满足Д（0，x）=0和横向条件Д（1，x）=0的凹函数。回想一下，ν（u，x）满足同样的条件，即ν（u，x）du=K/S=x。通过Erdmann-Weierstrass角点条件，我们知道f在C（[0，1]，R）中，这实际上唯一地确定了常数C。在下面的命题中，我们给出了f的简单而直接的验证∈ C（[0，1]，R），并获得C的显式表达式。对于x=1，我们定义β=0，ξ=0。提案3.5。设J（BS）fwd（K/S，τ）如（3.32）和f所示∈ AC[0，1]是（3.36）中所述的最佳路径。然后是f∈ C（[0，1]，R）。此外，我们有c=（1-τβctanhβcK≥ 秒τ-1.-τξctanξcK≤ Secτ，其中βc∈ [0, ∞) 和ξc∈ [0，π/2）是βcsinhβc=KSecτ，2ξcsin（2ξc）=KSecτ的唯一解。（3.37）证明∈ C（[0，1]，R），我们只需要证明f（τ-) = f（τ+）。（3.36）等于证明C=1-τИc（0）。（3.38）根据引理3.4和Дcw的定义，我们知道Дc（0）=（βctanhβcK≥ 秒τ，-2ξctan（ξc）K<秒τ。（3.39）另一方面，由于c是（3.32）中Jfwd（S，K，τ）的argmin，因此它是一个临界点。亨塞克=-τ(1 -τ )cJ公司KSecτ.

（3.40）通过引理3.4，我们可以很容易地得到cJBS公司KSecτ=(-τβctanhβcK≥ Secτ，2τξctanξcK≤ 第τ节。将上述两个方程结合起来，我们得到C=（1-τβctanhβcK≥ 秒τ，-1.-τξctanξcK≤ 第τ节。与（3.39）相比，我们立即得到（3.38）。这就完成了证明。从命题3.5中，我们可以很容易地得出以下事实。提案3.6。对于具有参数（K、S、τ）和τ的远期启动亚式期权∈（0，1），设c=Sef（τ），如上所述。那么（1）如果K=S，我们有c=0；（2） 如果K>S，则c>0，S<Secτ<K；（3） 如果K<S，则c<0，S>Secτ>K。对于K=Secτ，我们定义βc=ξc=0-1-0.5 0 0.51-1012K/S<1-20K/S>10图2：c方程（3.40）的图形表示。该方程可以表示为曲线τ的交点cJ公司KSecτ和c（1- τ）与c绘制。显示的两种情况对应于K>S（红色）和K<S（蓝色）。这两种情况下的c值分别为正值和负值。证据首先注意，最优路径（3.36）是分段单调的。这是因为常规欧式期权和标准亚式期权的最佳路径都是单音的（见[35]，第25页）。此外，从（3.38）中，我们知道c与Д（0）具有相同的符号。这意味着最优路径f在整个区间内是单调的[0，1]。然后我们可以很容易地得出结论，如果K>S，c>0；如果K<，c<0；如果K=S，c=0。注：τ=秒τ。通过Sef（t）的单调性，t∈ [0，1]我们可以很容易地得出结论，Secτ总是落在Sand K之间。现在我们可以导出Black-Scholes模型下货币远期启动亚式期权的利率函数的闭合形式。定理3.7。设C（T）（resp.P（T））为波动率σ为Black-Scholes模型下货币外远期startAsian看涨期权（resp.put）的价格（S，K，T，τ）。然后我们得到了价格的短到期渐近，如下所示。