局部波动模型中的短期远期亚洲期权

对于K>S，限制→0T日志C（T）=-2σ(1 -τ )τβtanhβ+（1- τ)β- 2(1 - τ） βtanhβ, （3.41）对于K<S，limT→0T日志P（T）=-σ(1 -τ )τξtanξ- (1 -τ )ξ+ (1 - τ） ξtanξ, （3.42）其中β∈ (0, ∞) 和ξ∈ （0，π）是sinhββ=KSe的唯一解-τ1-τβtanhβ，K>S，（3.43）sin（2ξ）2ξ=KSe2τ1-τξtanξ，K<S.（3.44）证明。通过结合命题3.1和命题3.5，我们立即得出结论。我们在表1中显示了由方程（3.40）的解给出的c的数值结果，该方程适用于具有多个τ值和不同走向K>S的远期启动亚式期权。还显示了方程（3.37）的βcof的解。将这些数值代入上面所示的f（t）表达式，得到图3左图所示的最佳路径。这些最佳路径有两个部分：一个线性部分（蓝色虚线）对应于平均周期之前的时间间隔，另一个凹面部分（黑色实线）对应于平均周期。表1：c的方程（3.40）的数值解，用于显示τ值且K>S的前向启动亚洲期权。对于每个c，我们通过βcsinhβc=KSe的解计算βcgiven-cτ。

最后一列显示了Black-Scholes模型中向前启动亚洲期权的比率函数。K/SτcβcJ（BS）fwd（K/S，τ）1.0.0-0.0 0.01.1 0.0-0.76340 0.013371.2 0.0-1.06487 0.048131.3 0.0-1.2873 0.098181.4 0.0-1.46814 0.159321.5 0.0-1.62213 0.228541.0 0 0 0.25 0 0 0.01 0.25 0.189261 0.5392 0.009041.2 0.25 0 35968 0.751447 0.032941.3 0.25 0.514475 0.907739 0.067941.4 0.25 0.65612 1.03462 0.111321.5 0.25 0.786554 1.14257 0.161091.0 0.5 0 0 0.01.1 0.5 0.142709 0.380030.006811.2 0.5 0.272543 0.52806 0.024871.3 0.5 0.391598 0.636173 0.051461.4 0.5 0.501497 0.723307 0.084551.5 0.5 0.603527 0.796955 0.122671.0 0.75 0 0.01.1 0.75 0.114339 0.239673 0.095311.2 0.75 0.218666 0.332169 0.182321.3 0.75 0.314588 0.399288 21 0.262361.4 0.75 0.403356 0.452895 0.336471.5 0.75 0.485962 0.497977 0.40546我们还显示了一些K/S值的c和βc的数值≤ 表2中的1。图3中的右图显示了0 0.2 0.4 0.6 0.8100.10.20.30.4τ=0.5K/S=1.50K/S=1.20t0 0.2 0.4 0.6 0.81-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10τ=0.5K/S=0.60K/S=0.80T的前向启动亚洲期权的最佳路径f（t）图3：由（3.36）给出的K/S=1.2，1.5（左）和K/S=0.6，0.8（右），对于τ=0.5的BS模型中的远期启动亚洲期权。具有不同分析形式的两条路径分别显示为蓝色虚线和黑色实线。取[τ，1]的平均值，τ=0.5，走向K/S=0.8和0.6。最优路径是在[0，τ]区域中的一条直线，以及在[τ，1]区域中的一个凸函数片。3.3利率函数的进一步渐近估计在Black-Scholes模型下，我们得到了货币外远期亚洲期权Ifwd（S，K，τ）价格对数估计的闭合形式。当期权行使取极值时，它有不同的行为。

在本节中，我们将进一步估计这些渐近行为。为方便起见，在本节的其余部分中，我们使用log strike x=log（K/S）。回想一下，对于标准的亚洲期权，如果| x |，我们称其为ATM（AATM） 1和深OTM（DOTM）如果| x | 对于远期启动亚式期权，只有当τ~ O（1）。为了也包括τ的极限值，我们在（τ，x）平面上定义了以下区域：oτ-几乎ATM（τ-AATM）区域。这是区域（1- τ） | x | 1、包括ATM地区τ-深OTM（τ-DOTM）区域。这是区域（1- τ） | x | 1，包括非常大的x区域→ ∞ 而且非常小-x个→ ∞ 袭击。x<0的深OTM区域进一步分为两个区域，这将在Prop中变得明显。3.14.这些区域的图形表示见图4。本节中扩展的相关比例为（1- τ）x和膨胀形式取决于该参数相对于1的相对大小。为了看到这一点，我们重新调用了确定K>S（1）的β的关系式（3.43-τ）对数sinhββ+ τβtanhβ= (1 -τ）x。产品的相对尺寸（1-τ） x位于右侧，1决定左侧的展开是围绕β=0还是β进行→ ∞. 我们记得，类似的结果保持稳定2：c的方程（3.40）的数值解，对于显示τ值且K<S的前向启动亚洲期权。对于每个c，我们计算2ξcsin（2ξc）=KSe的解得出的ξcgiven-cτ。

最后一列显示了Black-Scholes模型中向前启动亚洲期权的比率函数。K/SτcξcJ（BS）fwd（K/S，τ）1.0 0.0-0.0 00.9 0.0-0.39334 0.017010.8 0.0-0.56555 0.078230.7 0.0-0.70509 0.205800.6 0.0-0.83002 0.437350.5 0.0-0.94775 0.841611.0 0 0 0 0.25 0 0 0.9 0.25-0.21239 0.278525 0.01160.8 0.25-0.25.453789 0.401176 0.050350.7 0.25-0.732556 0.5013 0.129500.6 0.25-1.06111 0.591885 0.267650.5 0.25-1.45904 0.678576 0.497241.0 0.5 0 0 0 0 0.9 0.5-0.158352 0.1976640.008340.8 0.5-0.336107 0.285876 0.037450.7 0.5-0.538556 0.358898 0.095840.6 0.5-0.773475 0.426057 0.196940.5 0.5-1.05297 0.491616 0.363421.0.75 0 0 0.00.9 0.75-0.126473 0.125404 0.006670.8 0.75-0.267951 0.181998 0.029890.7 0.75-0.428465 0.229381 0.076390.6 0.75-0.613921 0.273526 0.156720.5 0.75-0.833483 0.317279 0.28867用于方程式（3.44）确定K<S（1）的ξ-τ）对数sin 2ξ2ξ+ 2τξtan（ξ）=（1- τ） x。我们考虑了Black-Scholes模型中的前向启动亚式期权的利率函数在每个区域的渐近展开。我们首先考虑τ中速率函数的渐近性-AATM区域（1- τ） | x | 1、提案3.8。在τ中-AATM区域（1-τ）| x | 1我们有以下渐近展开式，幂为1-Black-Scholes模型中的ττx。I（BS）fwd（x，τ，σ）=（1-τ )σ3τ2(1 + 2τ )x（1-τ )τ-3τ(1 -τ )10(1 + 2τ )x（1-τ )τ+τ(109 -349τ )1400(1 + 2τ )x（1-τ )τ+ O（x（1-τ )).证据（1） 首先考虑K>S的情况。我们有（1-τ）对数sinhββ+ τβtanhβ 1、这意味着β 从（3.43）我们有-ττx=βtanhβ+1-ττ测井sinhββ=β-β+O（β）+1-ττβ-β+O（β）因此，β=3τ1+2τ1.-ττx+3τ(2 + 13τ )10(1 + 2τ )1.-ττx+ O1.-ττx!andI（BS）fwd（x，τ，σ）=2σ（1-τ )(1 + 2τ )β-1+4τβ+17（1+6τ）β+O（β）=3τ2σ(1 -τ )(1 + 2τ )1.-ττx-3τ10σ(1 -τ )(1 + 2τ)1.-ττx+τ(109 -349τ )1400σ(1 -τ )(1 + 2τ )1.-ττx+ O1.-ττx!.（2） 接下来考虑K<S。

什么时候-(1 -τ）x 1，从（3.44）我们知道ξ 1，并通过扩展-x（1-τ）τ=2（1+2τ）3τξ+2（2+13τ）45τξ+O（ξ），因此我们得到ξ=3τ2（1+2τ）-1.-ττx-3τ(2 + 13τ )20(1 + 2τ )-1.-ττx+ O((-(1 - τ） 因此，我们得到了速率函数i（BS）fwd（x，τ，σ）=σ（1）的渐近展开式-τ )1+2τξ+2（4τ+1）ξ+17（1+6τ）ξ+O（ξ）=σ(1 -τ )3τ2(1 + 2τ )-x（1-τ )τ+3τ(1 -τ )10(1 + 2τ )-x（1-τ )τ+τ(109 -349τ )1400(1 + 2τ )-x（1-τ )τ+ O(-x（1-τ )).因此，结论如下。备注3.9。回想一下，当log（K/S）=o（1）时，平均开始时间为零JBS（K/S）的标准Asianoption的速率函数大约为ylog堪萨斯州（见[35]，第7页）。将其插入（3.32）并找到cτc+2（1）二次方程的最小值-τ )日志堪萨斯州- cτ.我们可以很容易地计算出极小值c*=1+2τ对数堪萨斯州和最小2（1+2τ）对数堪萨斯州.这为我们提供了一种简单的方法来估计亚洲远期期权的利率函数，它确实与（3.45）的第一项一致。然而，这种方法的精度不足以在渐近展开中提供进一步的项。由于AATM区域包含在τ–AATM区域中，因此我们从命题3.8得到了：推论3.10。在AATM区域x→ 0我们对Black-Scholes模型下的远期启动亚式期权的利率函数进行了以下展开，参数为（x=log（K/S），τ，σ）I（BS）fwd（x，τ，σ）=2σx1+2τ-(1 -τ）5（1+2τ）x（3.45）+（1-τ )(109 -349τ）2100（1+2τ）x+O（x）.备注3.11。在极限τ=0时，这减少了toI（BS）fwd（x，0，σ）=σx个-x+x+O（x）, （3.46）复制了[35]中的等式（35）。

相反极限τ→ x处为1~ O（1）我们从命题3.8中得到简单极限（BS）fwd（x，1，σ）=2σx，（3.47），这是iid高斯随机变量和的大偏差的速率函数，它也给出了BlackScholes模型中的货币外欧式期权的速率函数。接下来，让我们考虑τ中速率函数的渐近行为-远离货币制度。提案3.12。考虑Black-Scholes模型下带参数（x，τ，σ）的无本金远期亚洲看涨期权。当期权处于资金短缺区域时，即（1- τ）x 1，其速率函数具有以下渐近展开式（BS）fwd（x，τ，σ）=2σx+2倍对数（2（1- τ） x）- 2x+（对数（2（1- τ） x））（3.48）+O日志（2（1-τ）x）x.证据当x=对数（K/S）时清晰可见 1，从（3.43）中，我们得到了sinhββ=ex-τ1-τβtanhβ。我们有x=对数（K/S） 1和（1-τ） x个 1、由上式可知（1）-τ）对数sinhββ+ τβtanhβ 1、这意味着β 1、现在从（3.43）得到x=β- 对数（2β）+τ1-τβ+Oe-2β+τ1 -τe-β.通过反转序列，我们得到β=（1-τ） x+（1-τ）log（2（1-τ） x）+（1-τ） 日志（2（1- τ） x）x+O(1 -τ）log（2（1-τ）x）x.通过插入（3.41），我们得到（BS）fwd（x，τ，σ）=2σ（1-τ )β- 2(1 - τ） β+O（e-β)=2σx+2倍对数（2（1- τ） x）- 2x+对数（2（1-τ）x）+O日志（2（1-τ）x）x.备注3.13。考虑固定的x和τ→ 0限制。取极限τ→ 0 in（3.48）我们得到i（BS）fwd（x，τ，σ）=σx+x对数（2x）- x+对数（2x）+O对数（2x）x.这可以与[35]公式（36）中从时间0开始平均的标准亚式期权的利率函数的大罢工渐近结果进行比较。接下来，我们考虑一个资金不足的认沽亚洲期权的情况，该期权具有smallstrike，即x=log（K/S） -这种情况更为复杂，我们在（τ，x）中区分了两个具有明显渐近性的区域。提案3.14。

设I（BS）fwd（x，τ，σ）为Black-Scholes模型下无本金远期亚式期权的利率函数。假设看跌期权位于货币深度区域，即（1- τ）x -1.（1）如果-(1 -τ）x 1和2τ1-τ ex公司(-x） ，namelyex(-x） τ→ +∞, 我们有τ→ 0 andI（BS）fwd（x，τ，σ）=σ（1-τ )e-2xτ+（1-3τ）e-x个-π-1+o（e-2xτ+e-x）. （3.49）注意，在[35]的等式（36）中，应代替对数（2x）的系数，并且考虑的顺序中没有对数（2x）项。通过这些校正，τ=0的结果确实得到了再现。（2） 如果-(1 -τ）x 1和2τ1-τ ex公司(-x） ，namelyex(-x） τ→ 0，我们有i（BS）fwd（x，τ，σ）=σx4τ--x2τ对数-x（1-τ )2τ+-x2τ+4τ对数-x（1-τ )2τ-π3 -τ(1 -τ）+o（1）.备注3.15。情况（1）对应于左翼渐近线(-x）→ ∞ 在图4所示曲线下方的小τ区域。情况（2）对应于τ~ O（1）和largelog走向-x个 1.-4-2 0 240.20.40.60.81AA*****O*****OTMτ-τ-τ-xτ0图4：（x，τ）平面上具有明显渐近展开的区域。中心漏斗状区域的内部对应于τ-AATM区域（表示为（1-τ） | x |≤0.1). 区域τ-DOTM对应于（1- τ） | x | 1（表示为（1- τ）| x |≥ 2).x<0处的彩色曲线是常数κ定义为2τ1的曲线-τ=κex(-x） ：κ=1（蓝色）、0.5（黑色）、0.1（红色）。命题3.14的区域（1）对应于这些曲线下方的（x，τ）值，这些曲线也在τ中-DOTM区域和区域（2）对应于这些曲线上方的（x，τ）值，这些曲线也在τ中-DOTM区域。证据显然，当x<0时，从（3.44）我们得到ξ>0和-x=2τ1-τξtanξ+对数2ξsin 2ξ.（1） 自-(1 - τ） x个 1我们知道ξ→π. 设ζ=π- ξ其中ζ→ 在ζ=0时展开上述方程，我们得到- x=2τ1-τπ2ζ+对数π2ζ-2τ1 -τ+O（ζ）。（3.50）自2τ1起-τ ex公司(-x） ，我们声称2τ1-τπ2ζ 日志π2ζ.

（3.51）否则为if2τ1-τπ2ζ&对数π2ζ, （3.50）意味着-x个2τ1-τπ2ζ. 把它插回我们得到的上一个不等式中-日志（&L）1.-τ2τ(-x）, 这与假设2τ1相矛盾-τ ex公司(-x） 。因此，权利要求（3.51）成立。插入（3.50），我们有-x=对数π2ζ+ o（对数（1/ζ））。因此，速率函数isI（BS）fwd（x，τ，σ）=σ（1）的渐近展开式-τ )τπ2ζ+ (1 - 3τ)π2ζ-π- 1+O（τ+ζ）=σ(1 -τ )e-2xτ+（1- 3τ）e-x个-π- 1+o（e-2xτ+e-x）.（2） 我们还有ξ→π和ζ=π- ξ, ζ → 0.When2τ1-τ ex公司(-x） ，（3.50）表示2τ1-τπ2ζ 日志π2ζ. （3.52）上述权利要求的证明与（1）中的证明类似，方法是颠倒标志。因此-x=2τ1-τπ2ζ+对数π2ζ+ O（τ+ζ）。通过反转级数，我们得到π2ζ=-x（1-τ )2τ-1.-τ2τlog-x（1-τ )2τ+1+1 -τ2τ·log-x（1-τ)2τ-x+o日志-x（1-τ)2τ-x个.因此，速率函数isI（BS）fwd（x，τ，σ）=σ（1）的渐近展开式-τ )τπ2ζ+ (1 - 3τ)π2ζ+(24 + π)τ -π- 1.+ O（ζ）=σx4τ--x2τ对数-x（1-τ )2τ+-x2τ+4τ对数-x（1-τ )2τ-π3 -τ(1 -τ）+o（1）.备注3.16。对于固定x ifτ→ 0，属于第一种情况：-(1 - τ） x个 1和2τ1-τ ex公司(-x） 。取（3.49）至极限τ→ 0我们得到Ibs（x，τ，σ）=σe-x个-π- 1+o（1）,这与从时间0开始平均的标准亚式期权的渐近结果一致（见[35]，第8页）。对于a，b>0，如果存在一个常数C>0，使得a≥ Cb。我们用a表示 b如果存在常数C，C>0，那么Ca≤ b≤ Ca.-0.75-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.7510.60.70.80.91τ=0.5τ=0.25τ=0.75X图5：Black-Scholes模型中远期启动亚洲期权的等效对数正态波动率∑LN（x，τ）/σ，与τ=0、0.25、0.5、0.75（从下到上）的x=对数（K/S）。这些点显示从等式中获得的数值。

（3.54）和实心曲线显示了在级数展开近似（3.57）中保留三项时获得的数值近似。3.4等价Black-Scholes波动率引入远期启动亚洲期权的所谓等价对数正态（Black-Scholes）波动率∑ln是很方便的。这被定义为具有到期日T和基础价值a（τT，T）=（1）的欧洲（香草）期权的布莱克-斯科尔斯价格的恒定波动率-τ）TZTτTE（St）dt=S（r- q） （1）- τ）T（e（r-q） T型- e（r-q） τT）（3.53）用参数（S，K，T，τ）再现了远期启动亚式期权的价格，我们用C（T）（P（T）resp）表示。类似地，我们将正常（Bachelier）等效波动率定义为波动率∑，对于该波动率，具有到期日T和行权K的欧洲期权的Bachelier价格复制了亚洲期权价格。以亚洲看涨期权为例。我们有cbs（S，K，∑LN，T）=C（T），其中cbs（S，K，∑LN，T）=e-rT（A（T）Φ（d）-KΦ（d）），d1,2=∑LN√T对数（A（τT，T）/K）±∑LNT, 式中，A（τT，T）在（3.53）中给出，c（T）=e-rTE“(1 -τ）TZTτTStdt-K+#,St遵循波动率σ的Black-Scholes模型。我们有[35]中命题18的类比。提案3.17。假设r=q=0，并对局部挥发度函数进行规定的假设。（1） 短期到期日T→ 0货币外亚洲期权的对数正态等效波动率限值islimT→0∑LN（K，S，T）=log（K/S）2Ifwd（K，S，τ）。（3.54）正常（Bachelier）等效波动率的相应结果为→0∑N（K，S，T）=（K- S） 2Ifwd（K，S，τ）。（3.55）（2）短期到期→ 0 forwardstart ATM亚式期权的对数正态等效波动率限值islimT→0∑LN（S，S，T）=σ（S）r1+2τ。（3.56）备注3.18。

将Black-Scholes模型中的前向启动速率函数的展开式代入此处，并以x=log（K/S）的幂展开，我们得到了极限→0∑LN（K，S，T）=σr1+2τ1 +(1 -τ）10（1+2τ）x-(1 -τ )(23 -143τ）2100（1+2τ）x+O（x）.（3.57）在极限τ内→ 0这与[35]中等式（55）的结果一致，即在Black-Scholes模型中，从时间0开始平均的亚式期权的对数正态隐含效用。前导项给出ATM波动率，O（x）项给出ATM偏斜，而O（x）项给出亚洲隐含波动率微笑的ATM曲率。命题3.17的证明。该证明类似于[35]中命题18的证明，此处省略。备注3.19。（3.56）中的结果对应于货币远期开始亚洲期权支付的对数正态隐含波动率（A[T，T]-K） +在时间T。从该结果中，我们观察到该期权的价格与方差σ（T+（T））的欧洲期权的价格相同- T） ）。方差也可以写为στT+（1-τ）T=（1+2τ）σT=∑LN（S，S）T，（3.58）我们得到，这也等于波动率为∑LN（S，S）的欧式期权的价格：=limT→0∑LN（S，S，T）和到期日T。我们在此更正了[35]公式（52）中的一个拼写错误，它应该有（K- S） 在分子中。这一结果被量化人士非正式地称为远期启动亚洲期权定价的一般经验法则【47】。4浮动行使亚洲期权在实践中遇到的一类重要亚洲期权是浮动亚洲期权。这些期权的行使是根据T<T的远期资产价格的平均值来确定的。此类期权在时间T支付formCall的支付：κST-T- TZTTStdt+（4.59）输入：T- TZTTStdt-κST+. （4.60）这里κ>0是所谓的洪水走向。表示估值时间，我们将t分为两种情况：（i）t<t。