投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种

然而，它对于我们下面的应用程序至关重要，因此，我们将其列为引理，并在下面简要证明其完整性。提案2.7。（最优值函数的凸性）设f、g和h满足假设2.6。然后，凸规划问题（2.5）中的最优值函数v是凸的且下半连续的。证据考虑（易、子）∈ dom（v），i=1，2在v和任意ε>0的域中。我们可以发现xiε对问题v（yi，zi）的约束是可行的，使得f（xiε）<v（yi，zi）+ε，i=1，2。（2.6）现在对于任何λ∈ [0，1]，我们有f（λxε+（1- λ） xε）≤ λf（xε）+（1-λ） f（xε）（2.7）<λv（y，z）+（1-λ） v（y，z）+ε。很容易检查λxε+（1- λ） 对于问题v（λ（y，z）+（1），xε是可行的-λ） （y，z））。因此，v（λ（y，z）+（1- λ） （y，z））≤ f（λxε+（1- λ） xε）。结合不等式（2.7）和letε→ 0我们到达atv（λ（y，z）+（1-λ） （y，z））≤ λv（y，z）+（1-λ） v（y，z），也就是说v是凸的。v的下半连续性更容易验证。Q、 大体上，有两种（等效的）通用方法可以帮助解决对流编程问题：使用相关的对偶问题和拉格朗日乘子。这两种方法是等效的，因为对偶问题的解就是拉格朗日乘子（见[5]）。对于凸分析特殊领域之外的实践者来说，使用拉格朗日乘子更容易。我们将采取这种做法。拉格朗日乘数法告诉我们，在温和的假设下，我们可以预期存在一个拉格朗日乘数λ=（λy，λz）和λy≥ 0使得'x是凸规划问题（2.5）的解，当且仅当它是最小化l（x，λ）的无约束问题的解：=f（x）+λ、 （g（x）-y、 h（x）- z） = f（x）+λy，g（x）-y + λz，h（x）- z.（2.8）函数L（x，λ）称为拉格朗日函数。

为了理解为什么以及何时会存在es-aLagrange乘数，我们需要回顾次微分的定义。定义2.8。（次微分）设X为有限维Banach空间，X*它的双重空间。下半连续凸函数的次微分→R∪ {+∞} 在x处∈ dom（Д）定义如下：Д（x）={x*∈ 十、*: ^1（y）- ^1（x）≥ x个*, y- x个 y∈ 十} 。几何上，次微分的一个元素为我们提供了相关点处凸函数的支撑超平面的法向量。结果表明，问题（2.5）的拉格朗日乘数只是V的次微分元素的负值。我们总结并证明了引理的有效性，下面我们将实际使用引理。定理2.9。（拉格朗日乘数）设v:RM×RN→ R∪ {+∞} 是f、g和h满足假设2.6的约束优化问题（2.5）的最优值函数。假设，对于固定（y，z）∈ RM×RN，-λ = -（λy，λz）∈ v（y，z）和'x是（2.5）的解。然后（i）λy≥ 0，（ii）（2.8）中定义的拉格朗日L（x，λ）在'x处达到全局最小值，并且（iii）λ满足互补松弛条件λ、 （克（(R)x）- y、 h（(R)x）- z） = λy，g（(R)x）- y = 0.（2.9）证明。观察v（y，z）是关于最小化的非递增函数≤ 在y中。

使用-λ ∈ v（y，z），对于任何向量y≥ 0，我们有0≥ v（y+y、 z）-v（y，z）≥ -λ, (y、 0）.因此λy≥ 0正在验证（i）。根据次微分的定义以及v（g（\'x），h（\'x））=v（y，z），wethen have0=v（g（\'x），h（\'x））- v（y，z）≥ - λ、 （克（(R)x）- y、 h（(R)x）- z） ≥ 因此，互补松弛条件λ、 （克（(R)x）- y、 h（(R)x）- z） = 0（2.10）英寸（iii）保持。最后，通过定义次微分，我们得到了v（g（x），h（x））- v（y，z）≥ -λ、 （g（x）-y、 h（x）- z）.因此，对于任何x，L（x，λ）=f（x）+λ、 （g（x）- y、 h（x）- z） (2.11)≥ v（g（x），h（x））+λ、 （g（x）- y、 h（x）-z）≥ v（y，z）使用“x”是（2.5）中问题的解这一事实，以及我们得到的互补松弛条件（2.10），v（y，z）=f（\'x）=f（\'x）+λ、 （克（(R)x）- y、 h（(R)x）-z） = L（(R)x，λ）。（2.12）合并（2.11）和（2.12）验证（ii）。Q、 E.D.备注2.10。根据定理2.9，当（2.5）有解x且v（y，z）= . 精明的v（y，z）需要知道v在（y，z）邻域中的值，这是不现实的。幸运的是，著名的Fenchel-Rockafellar定理（参见[4]）告诉我们当（y，z）属于dom（v）的相对内部时，那么v（y，z）= .这是一个非常有用的有效条件。一个特别有用的特例是Slatercondition（另见[4]）：当只有不等式约束g（x）时≤ y、 如果存在x∈ dom（f）使得g（x）<y已经暗示v（y）= .3风险与效用之间的有效权衡我们考虑定义2.1中描述的金融市场，并考虑一组可接受的投资组合a RM+1（见定义2.2）。每个投资组合x的收益∈ 时间t=1是S·x。投资组合x的价值通常由其预期效用e【u（S·x）】来判断，其中u是一个递增凹效用函数。UModel的性能越高，收益就越好。

凹度反映了一个事实，即随着支付的增加，其对投资者的边际效用降低。另一方面，投资者往往对投资组合的风险很敏感，而投资组合的风险可以通过风险度量来衡量。因为版本化可以降低风险，所以风险度量应该是凸函数。3.1技术假设在下面更技术性的讨论中，通常需要对效用和风险函数进行一些标准假设。我们在这里收集它们。假设3.1。（风险度量条件）考虑持续风险函数：a→ [0, +∞) 其中A是定义2.2中规定的一组可接受的投资组合。我们通常会参考以下一些假设。（r1）（无风险资产无风险）风险度量r（x）=r(x） 是仅投资组合风险部分的函数，其中x=（x，x）.（r1n）（归一化）A中至少有一个纯债券投资组合。此外，r（x）=0当且仅当x仅包含无风险债券，即x=（x，0)对于somex∈ R、 （r2）（多元化降低风险）风险函数R是凸函数。（r2s）（多样化严格降低风险）风险功能r是严格凸的。（r3）（正均质）对于t>0，r（tx） =tr(x） 。备注3.2。（偏差度量）满足假设（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）的风险度量与【20】中的偏差度量密切相关。它还与[1]中介绍的不同风险度量有关。假设3.3。

（效用函数条件）效用函数u:R→ R∪{-∞}通常假定满足以下一些特性。（u1）（利益寻求）效用函数u是一个递增函数。（u2）（边际效用递减）效用函数u是凹的。（u2s）（严格边际效用递减）效用函数u是严格凹的。（u3）（禁止Bankrupcy）对于t<0，u（t）=-∞.（u4）（无限增长）→ +∞, 我们有u（t）→ +∞.另一个经常出现在金融文献中的重要条件是无风险。定义3.4。（无套利）我们说的是投资组合x∈ RM+1是金融市场上的套利- RS）·x≥ 0和- RS）·x= 0.如果金融市场St不存在任何套利组合，我们认为市场St没有套利。套利是一种在不承担任何亏损风险的情况下获得高于无风险利率的回报的方法。如果存在这样的机会，那么投资者将试图利用它。在这一过程中，他们将抬高风险资产的价格，导致套利机会消失。因此，人们通常认为金融市场不存在任何套利行为。以下是比套利更弱的要求：定义3.5。（没有非平凡的无风险投资组合）我们说投资组合x∈ RM+1无风险if- RS）·x≥ 0、我们认为，如果不存在无风险运动投资组合x，那么市场就没有非平凡的无风险投资组合x个=存在一个将一切投资于无风险资产Stalways的微不足道的无风险投资组合。然而，一个非平凡的无风险投资组合是不可预期的，我们将经常使用这个假设。事实证明，无重大无风险投资组合与无套利之间的区别如下：定义3.6。

（非平凡的债券复制投资组合）我们说x=（x，x）是否是一个私募债券复制投资组合，如果x个=0和- RS）·x=0。定义3.4、3.5和3.6中的三个条件如下：命题3.7。考虑金融市场Stof定义2.1。在Stif中不存在非平凡的无风险投资组合，并且只有当STF没有套利投资组合和非平凡的债券复制投资组合时。证据结论直接来自定义3.4、3.5和3.6。Q、 E.D.推论3.8。没有非平凡的无风险投资组合意味着没有套利投资组合。假设金融市场没有套利，则没有非平凡的无风险投资组合，相当于没有非平凡的债券复制投资组合，并具有以下特征。定理3.9。（无重要债券复制投资组合的特征）假设金融市场定义2.1没有套利。那么以下断言是等价的：（i）不存在非平凡的债券复制投资组合。（ii）对于每个非平凡的投资组合xx个=0，存在一些ω∈ Ohm 使得（S（ω）-RS）·x<0。（3.1）（ii*）针对每个风险投资组合x个=0，存在一些ω∈ Ohm 因此(S（ω）-RS） ·x<0。（3.2）（iii）矩阵G：=S（ω）- RSS（ω）- RS。SM（ω）- RSMS（ω）- RSS（ω）- RS。SM（ω）- RSM。。。。。。。。。。。。S（ωN）- RSS（ωN）- RS。SM（ωN）- RSM公司∈ RN×M（3.3）的秩为M，尤其是N≥ M、 证明。我们使用循环证明。（一）→ （ii）：如果（ii）失败，则- RS）·x≥ 对于一些非平凡的x，By（i）x必须是套利，这是一个矛盾。（二）→ （ii*）：显而易见。（二*）→ （iii）：如果（iii）不正确，则G·x=0有一个与（3.2）相矛盾的非平凡解。（三）→ （i） ：假设存在投资组合x*具有x个*=它复制了键。然后-RS）·x*= 0。这意味着(S-RS）·x个*= 0以便Gx个*= 0与（iii）相矛盾。

Q、 E.D.3.9定理的一个非常有用的推论是，该定理的任何条件（i）–（iii）确保风险资产的协方差矩阵为正定义。推论3.10。（正定义协方差矩阵）假设金融市场定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。那么therisky资产的协变矩阵∑：=E[(S- E类(S） （）(S- E类(S） ）]（3.4）=（E[（Si- E（Si））（Sj- E（Sj））]）i，j=1，。。。，M、 为正定义。证据我们注意到，在推论的假设下，对于任何非平凡风险组合x，S·x不能是常数。否则(S- RS） ·x将是一个常数，它与ST没有非平凡的无风险投资组合相矛盾。因此，对于任何非平凡的风险投资组合x、 V配置总成(S·x） =x个Σx>0。因此，∑是正定义。Q、 E.D.备注3.11。推论3.10表明，作为风险度量的标准差满足假设3.1.3.2风险效用权衡的有效边界中的性质（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）。我们注意到，要增加效用，通常必须承担更多风险，因此风险增加。反之亦然。例如，如果一个人将所有资本分配给无风险债券，那么就没有风险，但要付出的代价是，他必须放弃所有获得高风险资产回报的机会，以降低预期效用。因此，选择合适的投资组合的投资决策成为投资组合预期收益和风险之间的一种权衡。为了了解这种效应，我们定义了一组可接受的投资组合 RM+1在定义2.2中，setG（r，u；A）：={（r，u）：x个∈ A s.t.r≥ r（x），u≤ E[u（S·x）]} R、 （3.5）关于给定风险测度R和效用u的二维风险期望效用空间。如果金融市场是投资组合x，我们通常通过观察·x来衡量风险。推论3.12。

（诱导风险度量）（a）在定义2.1中确定金融市场STA。假设ρ：RV(Ohm, 2.Ohm, P）→ [0, +∞) 是一个下半连续凸正齐次函数。此外，假设ρ（S·x）=ρ(S·x） 。然后：A→ [0, +∞), r（x）：=ρ（S·x）是满足假设3.1中性质（r1）、（r2）和（r3）的下半连续风险度量。（b） 如果金融市场没有非平凡的无风险投资组合，且ρ严格凸，则对于一组具有单位初始成本的可接受投资组合，r：A→ [0, +∞)假设3.1中的满意度（r2s）。证据自x起→ S·x是一个线性映射，风险度量r继承了ρ的性质，因此它满足假设3.1中的性质（r1）、（r2）和（r3）。^r保持ρ的严格凸性的一个有效条件是（3.3）中的矩阵G为全秩，因为所有投资组合都有单位初始成本。从定理3.9可以看出，该条件源于金融市场中没有非平凡的无风险投资组合。St.Q.E.D.备注3.13。以下是确保ρ（S·x）=ρ的两个有效条件(S·x） 这很容易验证：（1）当ρ在加常数下不变时，即ρ（x）=ρ（x+c），对于任何x∈RV(Ohm, 2.Ohm, P）和c∈ R、 一个有用的例子是ρ是标准偏差。（2） 当ρ被限制为一组具有单位初始成本的可容许投资组合a时。在这种情况下，我们可以看到r(x） ：=ρ（R+(S- RS） ·x） =ρ（S·x）。（3.6）同样，我们感兴趣的是预期效用x 7→ S·x的E[u（S·x）]在x中是严格凹的。下面是一组有用的条件。引理3.14。

（预期效用的严格凹性）假设（a）金融市场没有非平凡的无风险投资组合，（b）效用函数满足假设3.3中的条件（u2s），以及（c）a是一组可接受的投资组合，单位初始成本如定义2.2所示。那么作为投资组合x函数的期望效用E[u（S·x）]是严格凹于a证明的。因为u是凹的，所以x 7也是凹的→ E[u（S·x）]。为了证明这个函数在A上是严格相关的，考虑两个不同的投资组合x，x∈ A、 根据假设（c），X和X都有单位初始成本，因此x个= x、 假设（a）和命题3.7意味着对于（3.3）中定义的矩阵G，Gx个= Gx、 因此，再次使用x和x都有单位初始成本这一事实，我们得到S·x=R+(S- RS） ·x个= R+(S- RS） ·x=S·x。x的严格凹度→ E[u（S·x）]现在遵循（b）中假设的效用函数u的严格凹性。Q、 如推论3.12所示，当r（x）=ρ（S·x）由ρ诱导时，我们也使用符号（ρ，u，A）。显然，如果A′ A然后G（r，u；A′） G（r，u；A）。在具体应用中需要以下假设。假设3.15。（压缩水平集）对于每个u（a）∈ R、 {x∈ RM+1：u≤E【u（S·x）】，x∈ A} 是紧凑型或（b）对于每个r∈ R、 {x∈ RM+1：r≥ r（x），x∈ A} iscompact。提案3.16。假设A是一组可接受的投资组合，如定义2.2所示。我们声称：（a）假设风险度量满足假设3.1中的要求（r2），效用函数满足假设3.3中的要求（u2）。那么集合G（r，u；A）是凸的且（r，u）∈ G（r，u；A）表示，对于任何k>0的情况，（r+k，u）∈ G（r，u；A）和（r，u- k）∈G（r，u；A）。（b） 此外，假设假设3.15成立。然后G（r，u；A）闭合。证据

（a） 特性（r，u）∈ G（r，u；A）表示，对于任何k>0的情况，（r+k，u）∈G（r，u；A）和（r，u-k）∈ G（r，u；A）直接源自G（r，u；A）的定义。假设（r，u），（r，u）∈ G（r，u；A）和s∈ [0, 1]. 然后存在x，x∈ Asuch thatri公司≥ r（xi）和ui≤ E[u（S·xi）]，i=1，2。x Yieldsr+（1）中r的凸性- s） r≥ sr（x）+（1-s） r（x）≥ r（sx+（1- s） x）和（u2）给出u+（1- s） u≤ sE[u（S·x）]+（1-s） E[单位（s·x）]≤ E[u（S·（sx+（1- s） x））]。因此，s（r，u）+（1-s） （r，u）∈ G（r，u；A）使得G（r，u；A）是凸的。（b） 假设（rn，un）→ （r，u），对于G（r，u；a）中的序列。然后存在一个序列xn∈ 这样的人≥ r（xn）和un≤ E[单位（S·xn）]。（3.7）根据假设3.15，xn的子序列（再次用xn表示）收敛到，比如说，x∈ A、 考虑（3.7）中的限制，我们到达atr≥ r（(R)x）和u≤ E【u（S·'x）】。（3.8）因此，（r，u）∈ G（r，u；A），因此G（r，u；A）是一个闭集。Q、 E.D.现在我们可以表示一个p-Portfolio x∈ A. RM+1为a点（r（x），E[u（S·x）]）∈二维风险期望效用空间中的G（r，u；A）。如果预期效用相同，投资者更喜欢风险较低的投资组合，或者在风险水平相同的情况下，预期效用较高的投资组合。定义3.17。（有效投资组合）我们说投资组合x∈ A是帕累托系数，前提是不存在任何投资组合x′∈ A使得eitherr（x′）≤ r（x）和E[u（S·x′）>E[u（S·x）]或r（x′）<r（x）和E[u（S·x′）]≥ E[单位（S·x）]。定义3.18。（有效边界）我们将二维风险预期效用空间中所有有效投资组合的图像集称为有效边界，并用geff（r，u；A）表示。下一个定理描述了风险预期效用空间中的有效投资组合。定理3.19。