投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种

此外，通过（4.28），我们可以看到市场投资组合XM是资本边界上唯一由纯风险资产组成的投资组合。因此，Geff（σ，id；{S·x=1}）∩ G（σ，id；{S·x=1，x=0}）={（σM，uM）}，（4.32），因此资本市场线在（σM，uM）处与马科维茨子弹相切，如图5所示。解决方案的结构总结在以下一个基金定理中【22，26】。定理4.5。（一个基金定理）假设金融市场没有非平凡的无风险投资组合。此外，假设条件（4.30）成立。CAPM模型（4.15）中的所有最优投资组合都是无风险债券和市场投资组合xM=（0，（E）的广义凸组合[S]-RS） ∑-1/(β -γR））. 最优投资组合x（u）以u为单位（见（4.28）），可以表示为位于资本市场线u=R+σ上的（σ，u）-平面中的点√, σ ≥ 资本市场线在市场组合坐标（σM，uM）处与马科维茨项目符号的边界相切，并在（0，R）处截取u轴（见图5）。备注4.6。单基金定理与双基金定理的结合为被动投资策略提供了理论基础。双基金定理意味着，如果两个基础广泛的指数近似于马科维茨前沿，那么我们可以使用这两个指数的线性组合来推导市场投资组合。因此，根据theone fund定理，为了构建CAPMmodel意义上的有效投资组合，我们只需要考虑债券和两个指数的组合。或者，我们可以将资本市场线的斜率写为√ =uM- RσM.（4.33）该数量称为风险价格，我们可以将资本市场线（4.26）的方程式改写为u=R+uM- RσMσ。（4.34）备注4.7。

（夏普比率）我们注意到，对于任何给定的投资组合x，其在风险回报空间中对应的坐标对（σ，u）也会产生一个比率u- Rσ。（4.35）在风险回报空间中，这是代表组合x和无风险债券的直线斜率。显然，这一比率越大，投资组合就越适合这一目的。夏普（Sharpe）[23]建议使用这一比率（后来称为夏普比率）来衡量共同基金的业绩。我们还可以使用资本市场线为风险资产定价，正如我们最初着手做的那样。资本资产定价模型中的定价原则是，向市场中添加一个公平价格的Drisky资产不应改变资本市场线。为方便起见，我们假设该价格由资产的预期回报暗示。因此，给定riskyasset ai，我们试图确定其预期收益ui。定理4.8。（资本资产定价模型：贝塔）假设金融市场定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。此外，假设条件（4.30）成立。设aibe为风险资产的公平价格aibe，其报酬t=1。表示aibyui=E[ai]/ai的预期回报百分比。然后ui=R+βi（uM- R） 。（4.36）这里βi：=σiM/σMis称为ai的β，其中σiM：=Cov（ai/ai，S·xM）是ai/ai的子域和市场投资组合的收益。证据假设一个投资组合依赖于混合风险资产a和市场投资组合的参数α：p（α）=αai/ai+（1）- α） S·xM。（4.37）分别用uα和σα表示p（α）的预期收益和标准偏差。因此，我们有uα=αui+（1- α） uM，（4.38）和σα=ασi+2α（1-α） σiM+（1- α） σM，（4.39），其中σi是ai/ai的方差。参数曲线（σα，uα）必须位于资本市场线以下，因为后者由最优投资组合组成。另一方面，很明显，当α=0时，该曲线与资本市场线重合。

因此，资本市场线与α=0时的参数曲线（σα，uα）相切。因为资本市场线的斜率为（uM- R） /σM，即uM- RσM=duαdσαα=0=σM（ui- uM）σiM- σM.（4.40）求解uiwe导出ui=R+βi（uM- R） 。（4.41）Q.E.D.5有效投资组合的结构有效投资组合对CAPM中观察到的回报u的依赖性在标准偏差被更一般的偏差度量所取代时仍然成立（见[20]。在本节中，我们使用第3节中讨论的一般框架推导出该结构，并提供与[20]不同的证明. 我们还构造了一个反例，表明双基金定理（定理4.2）在这种情况下失败。让我们考虑一个满足假设3.1中的（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）的风险度量r，并且发现有效投资组合的相关问题成为一个小问题∈RM+1r（x）=r(x） （5.1）根据E【S·x】≥ u，S·x=1。因为对于u=R，有一个明显的解x（R）=（1，0）对应于r（x（r））=r(0）=0，我们有rmin=0和umin=R。在下面的内容中，我们将只考虑u>R。此外，我们注意到r满足假设3.1中的正齐次性质（r3），y∈ r(x） 意味着r(x） =yx个. （5.2）事实上∈ (-1，1），tr(x）=r（（1+t）x）-r(x）≥ t型yx个, （5.3）和（5.2）如下。现在我们可以陈述并证明有效投资组合对收益u的唯一依赖性定理。定理5.1。（正同质风险度量的有效边界）假设金融市场Stof定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。假设风险度量满足假设3.1中的假设（r1）、（r1n）、（r2）和（r3），A={x∈ RM+1:S·x=1}，假设3.15（b）成立。此外，假设存在一些∈ {1，2，…，M}带e[S'M]= 卢比/米。

（5.4）那么，在问题（5.1）的有效边界上存在一个与（r，u）=（r（x），r+1）相对应的有效投资组合x，这样，风险预期回报空间中问题（5.1）的有效边界是一条穿过与纯债券投资组合（1）相对应的点（0，r）的直线，0)和（r，u）分别对应于portfoliox。此外，连接（1，0)xin表示端口空间，即u≥ R、 （u- u)(1,0)+ (u - R） x（5.5）表示一组有效的投资组合，对应于（γ（u），u）=（（u- R） 风险预期回报空间中的R，u）（5.6）（见定义3.18和（3.9））。证据凸规划问题（5.1）的拉格朗日isL（x，λ）：=r（x）+λ（u- E[S]·x）+λ（1- S·x），（5.7），其中λ≥ 0和λ∈ R、 条件（5.4）表明，对于任何u，存在形式为y=（y，0，…，0，y'm，0，…，0）的投资组合令人满意的E[S·y]S·y=y+E[S'm]y'my+S'my'm=R E[平方米]1平方米年月日=u, （5.8）因为（5.8）中的矩阵是可逆的。因此，对于任何u≥ R、 假设3.15（b），其中a={x∈ RM+1:S·x=1}和条件（5.4）确保问题（5.1）存在最优解。用x（u）表示其中一种溶液（可能不是唯一的），我们得到γ（u）=r（x（u））=r(x（u））。（5.9）固定u=R+1>R，表示x=x（u）。然后λE[S]+λS∈ r（x）。（5.10）由于r与x无关，因此λE[S]+λS=0或λ=-λR.（5.11）将（5.11）代入（5.10），我们得到λE[S- RS]∈ r(x） （5.12）因此x个∈ RM，r(x）-r(x）≥ λE[(S- RS） ·(x个- x） ]=λ（E[(S- RS） ·x]- (u- R） ）（5.13）因为在最佳解决方案下X约束具有约束力。使用（r3）可以从（5.2）和（5.12）得出r(x） =λE[(S- RS） ·x] =λ（u- R） =λ。（5.14）因此，我们可以将（5.13）写成r(x）≥r(x） E类[(S- RS） ·x] 。（5.15）对于t≥ 0定义x之间的同伦：=（1，0)和xxt：=（tx+（1- t） ，tx） 。

（5.16）我们可以验证S·xt=1和E[S·xt]=R+tso thatE[（S- RS）·xt]=t.（5.17），另一方面，根据假设（r1）和（r3），r（xt）=r（tx） =tr(x） 。（5.18）因此，对于满足S·x=1和E[S·x]的任何x≥ R+tit根据（5.15）得出r(x）≥r(x） t.（5.19）对于任何u>R，让tu：=u- R、 我们有u=R+tu。因此，通过不等式（5.19），我们得到r(x（u））≥ tur(x） 。另一方面，x（u）是一个有效的投资组合，意味着r(x（u））≤r(xtu）=tur(x） 屈服等式γ（u）=r(x（u））=r(xtu）=tur(x） =（u-R）r(x） 。（5.20）换句话说，γ（u）是u中的一个函数。此外，我们得出结论，该有效前沿上的点（γ（u），u）对应于有效的投资组合XTu=(u - R） x+u- u, (u - R）x个= (u- u)(1,0)+ (u - R） x（5.21）作为参数u到投资组合空间的有效映射。也可以使用rwe将（5.20）写入γ（u）=r（u- R） 。（5.22）也就是说，风险预期收益空间中（5.1）的有效边界由参数化直线（5.6）给出。Q、 E.D.备注5.2。（a） 显然，XTR对应于投资组合（1，0)带γ（R）=r(0) = 0.如果x= 1、设置uM：=u-Rx1-X和rM：=γ（uM）=r(x） /（1-x） 我们发现，有效前沿的（rM，uM）对应于（5.1）xM的纯风险投资组合：=xtuM=0,1 - x个x个. （5.23）由于XM属于（5.21）中a ffine映射的图像，如（5.21）中a ffine映射所述的e ffientPortfolios家族包含纯键（1，0)以及仅由纯风险资产组成的投资组合XM。事实上，我们可以将（5.21）中的映射表示为穿过（1，0)和xMasxtu=1.-u - RuM- R(1,0)+u - RuM- RxM，（5.24），这是与（5.5）相似的有效投资组合表示。投资组合X在[20]中被称为母基金。当r=σ时，它是CAPM中的市场投资组合。

对于一般风险度量r，满足假设3.1中条件（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）的母基金XM不一定是唯一的。然而，所有母基金对应于风险预期回报空间中的同一点（rM，uM）。（b） 我们还可以考虑purelyrisky资产的可容许投资组合集上的问题（5.1），即Geff（r，id，{S·x=1，x=0}）。然后，类似于马科维茨有效前沿和资本市场线之间的关系，它遵循定理5.1 thatGeff（r，id，{S·x=1，x=0}）∩ Geff（r，id，{S·x=1}）={（rM，uM）}，（5.25），如图6所示。（c） 如果x=1，则（5.5）中的有效投资组合与u的关系非常简单（1，0)+ (u - R）x、 （5.26）在这种情况下，不存在【20】中所述的母基金。在[20]的语言中，portfolioxis称为基本基金。因此，定理5.1通过不同的证明和较弱的条件（条件（5.4）比Rockafellar等人[20]第752页的（A2）更弱）恢复了[20]中定理2和定理3的结果。由于标准差满足假设（r1）、（r1n）、（r2）和（r3），上述结果是CAPM模型和Markowitz投资组合理论之间关系的推广。我们注意到，标准差并不是满足这些假设的唯一风险度量。例如，某些形式的预计提款近似值也满足这些假设（参见[14]）。定理5.1是前一节中一个基金定理（定理4.5）的全面推广。另一方面，在【20】的脚注10中已经注意到，预计不会对双基金定理（定理4.2）进行类似的推广。我们在下面构建一个具体的反例。示例5.3。

（广义双基金定理的反例）让我们考虑一下例如minbx∈Rr(x） （5.27）根据E[S·x]≥ u,S·x=1，M=3。选择所有Sm=1，以便S·x=1是x+x+x=1。选择支付金额[S·x] =x在最佳溶液中x=u。最后，让我们构造r(x） 因此，最佳解决方案x（u）不是u中的一个单位。我们通过构造一个具有0的凸集G来实现∈ intG（G的内部），然后设置r(x） =1表示x个∈ G（G的边界）和延伸r为正齐次。然后满足（r1）、（r1n）、（r2）和（r3）。现在指定G。取集合的凸包[-5, 5] × [-1, 1] × [-1、1]和其他五点。一个点是E=（10，0，0）其他四个点A、B、C和D是位于平面x=9的正方形的角点，边长为单位。为获得该正方形，取单位边长为x=9的标准正方形，即带角点的正方形（9，±1/2，±1/2）并将该正方形旋转30度，与Ru（rM，uM）（0，R）相对应。图6:x时（5.1）的资本市场线= 1在xx平面内顺时针。做一些计算得到：A=（9(-1 +√3)/4, (1 +√3)/4)B=（9(-1.-√3)/4, (-1 +√3)/4)C=（9，（1-√3)/4, -(1 +√3)/4))D=（9，（1+√3)/4), (1 -√3)/4)).显然，对于u=1，最佳解决方案是x（1）=（1，0，0）具有r(x（1））=1/10，对于u=1+ε，ε>0，我们有x（1+ε）=（1+ε，ε）√3(+1-√3)/6, ε√3(-1.-√3)/6))（它们通过C和（10，0，0）的凸组合上的一点位于射线上）) 对于u=1+d，d>0，我们有x（1+d）=（1+d，-d/2，-d/2）（它们位于通过集合{（x，-1.-1): x个∈ (2, 5)}. 因此x（u）不能为u。6增长最优和杠杆空间投资组合增长投资组合理论由Lintner[9]提出，也与Kelly的工作有关[8]。

这相当于最大化预期的日志实用程序：maxx∈RM+1E【ln（S·x）】（6.1），以S·x=1为准。备注6.1。问题（6.1）相当于tomaxbx∈RME[ln（R+(S- RS） ·x） （6.2）定理6.2。（增长最优投资组合）假设金融市场Stof定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。然后问题（6.1）有一个唯一的最优投资组合，它通常被称为增长最优投资组合，表示为κ∈ RM+1。为了证明定理6.2，我们需要下面的引理。引理6.3。假设金融市场Stof定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。设u是在假设3.3中满足（u3）的连续效用函数。然后对于任何u∈ R、 {x∈ RM+1:E[单位（S·x）]≥ u，S·x=1}（6.3）紧凑（在某些情况下可能为空）。证据因为u是连续的，所以（6.3）中的集合是闭合的。因此，我们只需要显示它也是有界的。假设相反，存在一系列投资组合xnwhiths·xn=1（6.4）和∥xn公司∥ → ∞ 令人满意的，令人满意的≥ u. （6.5）方程式（6.4）意味着∥xn公司∥ → ∞. 那么在不丧失一般性的情况下，我们可以假设/∥xn公司∥ 收敛到x*= （十）*, x个*)哪里∥x个*∥ = 1、放射性u的条件（u3）和（6.5）∈ R意味着，对于每个自然数n，S·xn≥ 0.（6.6）除以（6.4）和（6.6）∥xn公司∥ 取极限为n→ ∞ 我们导出·x*= 0（6.7）andS·x*≥ 0.（6.8）组合（6.7）和（6.8）我们有(S- RS） ·x个*≥ 0，（6.9），因此x*是一个非平凡的无风险投资组合，这是一个矛盾。Q、 E.D.证明。在定理6.2中，我们可以验证效用函数u=满足条件（u1）、（u2s）、（u3）和（u4）。也{x:E[ln（S·x）]≥ ln（R），S·x=1}= 因为它包含（1，0). 因此，引理6.3意味着问题（6.1）至少有一个解，且umax=maxx∈RM+1{E[ln（S·x）]：S·x=1}是有限的。引理3.14 x 7→ E[ln（S·x）]是严格凹的。因此，问题（6.1）有一个唯一的最优投资组合。

Q、 E.D.增长最优投资组合具有一个很好的特性，即它提供了最快的资本复合增长。根据备注3.25（b），它独立于任何风险措施。在所有风险资产都代表某种博弈结果的特殊情况下，κ是[8]中的凯利分配。然而，由于风险太大，在投资实践中很少使用增长投资组合。由麦克莱恩、索普和齐姆巴编辑的这本书提供了一个关于这一主题的按时间顺序研究的优秀论文集。这些观察结果促使文斯（Vince）[28]引入杠杆空间投资组合，以从增长最优投资组合中回溯。最近，[10，30]进一步引入了系统方法，通过明确考虑限制特定风险度量，从增长最优投资组合中缩减。[10,30]中的分析可以表述为γ（u）：=inf{r（x）=r(x） ：E【ln（S·x）】≥ u，S·x=1}，（6.10），其中r是满足条件（r1）和（r2）的风险度量。或者，为了推导有效边界，我们还可以考虑ν（r）：=sup{e[ln（S·x）]：r（x）=r(x）≤ r、 S·x=1}，（6.11）将命题3.22、定理3.24和备注3.25应用于可容许投资组合A={x∈ RM+1：S·x=1}我们导出了6.4。（杠杆空间投资组合和风险度量）我们假设金融市场定义2.1没有非平凡的无风险投资组合，风险度量满足条件（r1）、（r1n）和（r2）。然后（a）问题（6.10）定义γ（u）：[ln（R），uκ]→ R是一个连续递增的凸函数，其中μκ：=E[ln（S·κ）]，κ是最优的增长组合。此外，问题（6.10）具有唯一解x（u）的连续路径，该路径将区间[ln（R），uκ]映射到杠杆投资组合空间RM+1中的曲线中。

最后，x（ln（R））=（1，0),x（μκ））=κ，γ（ln（R））=r(0）=0，γ（uκ）=r（κ）。（b） 问题（6.11）定义ν（r）：[0，r（κ）]→ R是一个连续增长的凹函数，其中κ是最优的增长组合。此外，问题（6.11）具有唯一解y（r）的连续路径，该路径将区间[0，r（κ）]映射到平均投资组合空间RM+1中的曲线。最后，y（0）=（1，0), y（r（κ））=κ，ν（0）=ln（r）和ν（r（κ））=uκ。证据注意，由于定理3.24中的引理6.3和（c2），假设3.15（a）成立。然后（a）直接从定理3.24中的结论（a）和（c）开始，其中umax=uκ和rmin=0是有限的，并得到，（b）从定理3.24中的结论（b）和（c）开始，umin=ln（R）和rmax=γ（κ）。Q、 E.D.定理6.4将杠杆投资组合空间理论与第3节的框架设置联系起来。很明显，每个满足条件（r1）、（r1n）和（r2）的风险度量都会在杠杆投资组合空间中生成一条路径，将纯无风险债券的投资组合连接到增长最优投资组合。定理6.4还告诉我们，不同的风险度量通常对应于投资组合空间中的不同路径。许多常用的风险度量满足条件（r1）和（r2）。曲线x（u）提供了一条路径，可沿风险预期对数效用空间的有效边界减少风险敞口。如【10，30】所述，当投资只有有限的时间范围时，沿着路径x（u）还有其他有趣的点，如反射点和最大化收益/风险比的点。这两个项目都为投资者提供了进一步的里程碑。与前几节类似，我们还可以考虑仅使用涉及风险资产的投资组合的相关问题，即maxbx∈RME[磅(S·x） ]（6.12）根据S·x=1。定理6.5。（解的存在性）假设si（ω）>0，ω ∈ Ohm, i=1。