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英文标题：
《A General Framework for Portfolio Theory. Part I: theory and various
  models》
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作者：
Stanislaus Maier-Paape and Qiji Jim Zhu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Utility and risk are two often competing measurements on the investment success. We show that efficient trade-off between these two measurements for investment portfolios happens, in general, on a convex curve in the two dimensional space of utility and risk. This is a rather general pattern. The modern portfolio theory of Markowitz [H. Markowitz, Portfolio Selection, 1959] and its natural generalization, the capital market pricing model, [W. F. Sharpe, Mutual fund performance , 1966] are special cases of our general framework when the risk measure is taken to be the standard deviation and the utility function is the identity mapping. Using our general framework, we also recover the results in [R. T. Rockafellar, S. Uryasev and M. Zabarankin, Master funds in portfolio analysis with general deviation measures, 2006] that extends the capital market pricing model to allow for the use of more general deviation measures. This generalized capital asset pricing model also applies to e.g. when an approximation of the maximum drawdown is considered as a risk measure. Furthermore, the consideration of a general utility function allows to go beyond the \"additive\" performance measure to a \"multiplicative\" one of cumulative returns by using the log utility. As a result, the growth optimal portfolio theory [J. Lintner, The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets, 1965] and the leverage space portfolio theory [R. Vince, The Leverage Space Trading Model, 2009] can also be understood under our general framework. Thus, this general framework allows a unification of several important existing portfolio theories and goes much beyond.
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中文摘要：
效用和风险是衡量投资成功与否的两个相互竞争的指标。我们证明了这两种投资组合度量之间的有效权衡通常发生在效用和风险二维空间中的凸曲线上。这是一种相当普遍的模式。马科维茨的现代投资组合理论【H.Markowitz，portfolio Selection，1959年】及其自然推广，资本市场定价模型【W.F.Sharpe，共同基金绩效，1966年】是我们一般框架的特例，当风险度量被视为标准差，效用函数是身份映射。利用我们的一般框架，我们还恢复了[R.T.Rockafellar、S.Uryasev和M.Zabarankin，《利用一般偏差度量进行投资组合分析的母基金》，2006年]中的结果，该结果扩展了资本市场定价模型，允许使用更多的一般偏差度量。这种广义资本资产定价模型也适用于，例如，当最大提款的近似值被视为风险度量时。此外，考虑到一般效用函数，通过使用log效用，可以超越“加法”性能度量，而成为累积回报的“乘法”度量。因此，在我们的一般框架下，也可以理解增长最优投资组合理论【J.Lintner，《风险资产的估值与股票投资组合和资本预算中风险投资的选择》，1965年】和杠杆空间投资组合理论【R.Vince，《杠杆空间交易模型》，2009年】。因此，这一总体框架允许将几个重要的现有投资组合理论统一起来，并且远远超出了这一范围。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> A_General_Framework_for_Portfolio_Theory._Part_I:_theory_and_various_models.pdf (191.49 KB)

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关键词：投资组合理论 投资组合 Measurements Optimization Quantitative

投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种模型斯坦尼斯劳斯·梅尔·帕佩*Qiji Jim Zhu+2017年10月11日AbstractUtility和risk是衡量投资成功的两个经常相互竞争的指标。我们表明，这两种投资组合度量之间的有效权衡通常发生在效用和风险二维空间的凸曲线上。这是一种相当普遍的模式。马科维茨（Markowitz）[15]的现代投资组合理论及其自然推广的资本市场定价模型[22]是我们的一般框架的特例，当风险度量采用标准差，效用函数采用恒等式映射时。利用我们的一般框架，我们还恢复了[20]中的结果，该结果扩展了资本市场定价模型，允许使用更一般的偏差度量。这种广义资本资产定价模型也适用于，例如，当最大提款的近似值被视为风险度量时。此外，考虑到一般效用函数，通过使用对数效用，可以超越“加法”性能度量，而成为累积回报的“乘法”性能度量。因此，在我们的一般框架下，也可以理解增长最优组合理论[9]和杠杆空间组合理论[28]。因此，这个总体框架允许对几个重要的现有组合理论进行统一，而且远远不止于此。关键词。凸规划、金融数学、风险度量、效用函数、有效前沿、马科维茨投资组合理论、资本市场定价模型、成长最优投资组合、分数凯利分配。AMS分类。52A41、90C25、91G99。确认

我们感谢Andreas Platen在阅读了早期版本的手稿后提出的建设性建议。*亚琛理工大学数学研究所，52062亚琛，坦普尔格拉本55，Germanymaier@instmath.rwth-亚琛。de+西密歇根大学数学系，1903 West Michigan Avenue，Kalamazoo，MI 49008，zhu@wmich.edu1马科维茨现代投资组合理论开创了金融经济学的定量分析。该理论中提出的最重要的想法是，人们应该关注预期回报和标准差衡量的风险之间的权衡。从数学上讲，现代投资组合理论导致了一个具有线性约束的二次优化问题。利用这一简单的数学结构，马科维茨给出了回报和风险权衡的有效边界的完整描述。托宾（Tobin）[26]表明，有效投资组合是预期回报的一个函数。马科维茨投资组合理论后来在资本资产定价模型（CAPM）中被林特纳（Lintner）[9]、莫森（Mossin）[17]、夏普（Sharpe）[22]和特雷诺（Treynor）[25]推广，涉及无风险债券。在CAPM模型中，有效前沿和相关的有效投资组合区域在预期回报方面都是相同的【22，26】。现代投资组合理论和CAPMmodel中解决方案的良好结构提供了许多应用。例如，CAPM模型旨在为市场上的风险资产提供合理的价格。夏普利用超额回报率与风险之比（称为夏普比率）来衡量投资绩效【23】。此外，有效投资组合在预期回报方面的一种结构导致了市场投资组合的概念以及双基金定理[26]和单基金定理[22，26]。

这些结果为被动投资策略提供了理论基础。虽然使用预期收益率和标准差作为投资组合回报和风险的衡量标准在数学分析中带来了许多便利，但许多其他衡量标准更为现实。自从伯努利研究圣彼得堡悖论[2]以来，凹效用函数已被广泛接受为更合适的报酬衡量标准。一般预期效用在许多情况下被用来衡量投资组合的表现。另一方面，在实践中，当前水位下降【13】、最大水位下降及其近似值【10、12、30】、偏差度量【20】、条件值atrisk【19】和更抽象的一致性风险度量【1】被广泛用作风险度量。这些风险度量的一个共同点是，它们是凸面的，反映了多元化降低风险的信念。本文的目标是将现代投资组合理论扩展到一个通用框架中，在此框架下，人们可以分析在凸风险度量和预期收益之间进行权衡的有效投资组合。我们将原始问题表述为一个凸投资组合优化问题，即在投资组合的预期效用高于一定水平的约束下，最小化凸风险度量。因此，凸对偶起着至关重要的作用，原始问题和对偶问题的解决方案的结构往往具有重大的财务影响。我们表明，在风险度量和预期效用的空间中，效率的权衡发生在一条不断增加的凹曲线上。我们还表明，有效投资组合持续依赖于预期效用的水平。当然，马科维茨现代投资组合理论和资本资产定价模型是这一一般理论的特例。

Markowitz确定了purelyrisky资产的投资组合，这些资产在预期收益和风险之间提供了一种有效的权衡，这种权衡是通过标准差（或相当于方差）来衡量的。从数学上讲，这是一类凸规划问题，其目的是最小化由预期收益水平参数化的投资组合的标准偏差。资本资产定价模型（capital asset pricingmodel）实质上扩展了马科维茨（Markowitz）的现代投资组合理论，在投资组合中加入了无风险债券。我们观察到，风险预期收益的空间实际上是对应于Markowitz投资组合问题对偶的空间。著名的马科维茨子弹的形状表明了一个众所周知的事实，即凸规划问题的最优值函数相对于约束水平是凸的。如上所述，马科维茨投资组合问题是一个具有线性约束的二次优化问题。问题的这种特殊结构决定了作为预期回报函数的最优投资组合的一种结构（见定理4.1）。这一结构引出了重要的双基金定理，为被动投资方法提供了理论基础。对于资本资产定价模型，这种结构出现在解决方案的原始和双重表示中，这导致投资组合空间中的两个基金分离定理和风险回报交易的双重空间中的资本市场线（参见定理4.5）。选择不同风险度量的灵活性使我们能够将马科维茨首创的基本二次风险度量的分析扩展到更广泛的范围。例如，当风险度量值是偏差度量值[20]时。

当考虑当前提取的近似值时（见[14]），并使用预期回报来衡量绩效，我们表明经典资本市场定价模型中效率解决方案的有效结构得到了保留（参见定理5.1），尤其是恢复了[20]中的结果。这一点很重要，因为它表明，大规模投资战略在各种环境下都是合理的。然而，考虑到一般效用函数，我们可以超越现代投资组合理论中的“加法”绩效衡量标准，转而考虑“乘法”绩效衡量标准，包括累积回报，例如，使用对数效用。因此，在我们的一般框架下，也可以理解增长最优投资组合理论[9]和杠杆空间投资组合理论[28]。最优增长投资组合追求期望对数效用最大化，即期望累积复合收益最大化。众所周知，增长最优投资组合通常风险太大。因此，从业者通常会从增长最优投资组合中缩减风险敞口。在我们的一般框架中，我们考虑在给定固定水平的预期对数效用的情况下，使风险度量最小化的投资组合。在合理的条件下，我们证明了此类投资组合形成了一条路径，该路径由投资组合空间中的预期对数效用水平参数化，该路径连接了最优增长投资组合和无风险债券投资组合（见定理6.4）。一般来说，对于不同的风险度量，我们将得出不同的路径。这些路径为杠杆空间投资组合理论中提出的风险降低曲线提供了依据【28】。

双重问题将效率交易路径投影到风险预期对数效用空间中的凹曲线中，平行于马科维茨子弹在现代投资组合理论中的作用和资本资产定价模型中的资本市场线。与现代投资组合理论和资本资产定价模型不同，在无套利假设下，这里的有效边界通常是一条有限的递增凹曲线。曲线的左下端点对应于纯无风险债券投资组合，右上端点对应于增长最优投资组合。曲线的递增性质告诉我们，我们承担的风险越大，我们可以预期的累积回报就越多。然而，曲线的凹度表明，随着风险的增加，预期累积收益的边际增长将减少。因此，风险厌恶型投资者通常不会选择最优的增长投资组合。还值得注意的是，考虑与增长最优投资组合问题相对应的对偶问题将导致资产定价基本定理的一个版本（见定理6.10），该定理将等价鞅测度的存在性与无轨性联系起来。除了统一上面列出的几个重要结果之外，通用框架还有许多新的应用。在本文的第一部分中，我们对框架进行了布局，得出了至关重要的理论结果，并用几个例子加以说明。更多新的应用将出现在随后的论文中【3，14】。我们将论文安排如下：首先，我们将在下一节讨论必要的准备工作。第3节介绍了我们的主要成果：一个在投资组合及其属性的风险和效用之间进行权衡的框架。在第4节中，我们对马科维茨投资组合理论、资本资产定价模型和夏普比率进行了统一处理。

第5节专门讨论了最佳交易组合拥有单一结构的条件。第6节讨论了增长最优投资组合理论和杠杆投资组合理论。我们还强调了一些相关的重要应用，如资产定价的基本定理。我们在第7节中得出结论，指出了值得进一步研究的应用。2准备工作2.1投资组合模型我们考虑一个简单的单期金融市场模型，该模型基于一个经济体，其不动产由一个样本空间表示Ohm = {ω，ω，…，ωN}。我们使用概率空间(Ohm, 2.Ohm, P）代表经济状态及其相应的发生概率，其中2Ohm是的所有子集的代数Ohm. 上的随机变量空间(Ohm, 2.Ohm, P）表示为RV(Ohm, 2.Ohm, P）用于表示风险金融资产的支付。由于采样空间Ohm 是有限的，RV(Ohm, 2.Ohm, P）是有限维向量空间。我们使用RV+(Ohm, 2.Ohm, P）表示RV中非负随机变量的圆锥体(Ohm, 2.Ohm, P）。介绍内部产品十、 Y型 = E[XY]，X，Y∈ RV(Ohm, 2.Ohm, P），RV(Ohm, 2.Ohm, P）成为（有限维）希尔伯特空间。定义2.1。（金融市场）我们说，St=（St，St，…，SMt），t=0，1是一个单周期经济中的金融市场，前提是∈ RM+1+和S∈ (0, ∞) ×RV+(Ohm, 2.Ohm, P）M。这里，S=1，S=R>0表示无风险债券，当R>1时，收益为正。其余部件Smt，m=1，M表示时间t时第M个风险金融资产的价格。我们将使用符号当我们需要关注风险集合时，St=（St，···，SMt）。我们假设Sis是一个常数向量，表示t=0时该金融市场的资产价格。风险通过假设S=（S。

，SM）是概率空间上的非负随机向量(Ohm, 2.Ohm, P），即Sm∈RV+(Ohm, 2.Ohm, P），m=1，2，M、 对开本是列向量x∈ RM+1，其组成部分XM代表投资组合中第m项资产的份额，SMTXM是在时间t时投资于资产m的资本份额。因此，X对应于无风险债券的投资，以及x=（x，…，xM）是危险的部分。我们经常需要限制投资组合的选择。例如，在许多应用中，我们只考虑单位初始成本的投资组合，即S·x=1。因此，以下定义。定义2.2。（可接受的投资组合）我们说 RM+1是一组可容许投资组合，前提是a是一个非空的闭凸集。我们说，A是一组具有单位初始价格的可容许投资组合，前提是A是{x的闭凸子集∈ RM+1:S·x=1}。2.2凸规划问题let X是有限维Banach空间。回想一下，集合C X是凸的，如果对于任何X，y∈ C和s∈ [0，1]，sx+（1- s） y型∈ C、 对于扩展值函数f:X→ R∪{+∞} 我们通过dom（f）：={x定义其域∈ X:f（X）<∞}和它的铭文byepi（f）：={（x，r）∈ X×R:R≥ f（x）}。如果epi（f）是闭集，我们说f是下半连续的。以下命题描述了函数的题记图。提案2.3。（铭文的特征）设F是X×Rsuch的闭子集，inf{r：（X，r）∈ F}>-∞ 对于所有x∈ R、 那么F是一个下半连续函数F:X的题记→ (-∞, ∞], i、 e.F=epi（F），当且仅当（x，r）∈ F=> （x，r+k）∈ Fk>0。（2.1）证明。关键是要观察到，对于结构为（2.1）的集合F，函数F（x）=inf{r：（x，r）∈ F}（2.2）定义良好，然后F=epi（F）成立。Q、 如果epi（f）是凸集，我们说函数f是凸的。

或者，f是凸的ifand仅当，对于任何x，y∈ dom（f）和s∈ [0，1]，f（sx+（1-s） y）≤ sf（x）+（1-s）f（y）。考虑f:X→ [-∞, +∞). 我们说f是凹的，当-f是凸的，我们说f是上半连续的，如果-f是下半连续的。用hypo（f）={（x，r）定义函数f的下标图∈ X×R:R≤ f（x）}。然后，命题2.3的对称版本是命题2.4。（下位图的刻划）设F是X×Rsuch的闭子集，其sup{r：（X，r）∈ F}<+∞ 对于所有x∈ R、 那么F是上半连续函数F:X的下标图→ [-∞, ∞), i、 e.F=hypo（F），当且仅当（x，r）∈ F=> （x，r- k）∈ Fk>0。（2.3）此外，函数f可由f（x）=sup{r：（x，r）定义∈ F}。（2.4）备注2.5。命题2.3（命题2.4）中函数f在给定点x的值为-∞ (+∞ ) 当且仅当{x}×R F由于效用函数是凹的，风险度量通常是凸的，因此分析效用和风险之间的一般权衡自然会导致凸规划问题。这类凸规划问题的一般形式是v（y，z）：=infx∈X[f（X）：g（X）≤ y、 h（x）=z]，对于y∈ RM，z∈ RN，（2.5），其中f、g和h满足以下假设。假设2.6。假设f:X→ R∪{+∞} 是一个下半连续的扩张值凸函数，g:X→ RMis是一个具有凸分量的向量值函数，≤ 意味着组件化和h:X→ RN是自然数M，N的一个有效映射。此外，g的至少一个分量具有紧子级集。凸规划问题由于具有凸结构，因此具有很好的性质。Webrie fly回顾了与凸规划相关的结果。首先，最优值函数v是凸的。这是一个众所周知的结果，可以在凸分析的标准手册中找到，例如[4]。