投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种

（有效前沿）二维风险预期效用空间中表示的有效投资组合均位于集合G（r，u；A）的（非垂直或水平）边界。证据如果风险预期效用空间中表示为（r，u）的投资组合x不在G（r，u；a）的（非垂直或水平）边界上，那么对于εsmall enough，我们有（r- ε, u ) ∈ G（r，u；A）或（r，u+ε）∈ G（r，u；A）。这意味着x可以改进。Q、 E.D.以下关系很简单，但非常有用。定理3.20。（子系统的有效边界）考虑可接受的投资组合A、B。如果B A然后Geff（r，u；A）∩ G（r，u；B） Geff（r，u；B）。证据结论直接来自G（r，u；B） G（r，u；A）。Q、 E.D.备注3.21。（空有效边界）如果（α，0) ∈ A代表所有α∈ 在假设3.1中，对于满足（r1）和（r1n）的任何风险度量R，{0}×R，增量函数u没有上界 G（r，u；A）。根据提案3.16[0+∞) ×RG（r，u；A），表示Geff（r，u；A）=. 因此，实际有意义的G（r，u；A）总是对应于一组可接受的投资组合A，这样初始成本S·x对于allx∈ A有限。此外，如果初始成本有一个范围，且无风险债券包含在投资组合中，那么我们将在u轴上看到一条垂直线段，有效投资组合对应于该垂直线段的上限。因此，有必要考虑具有单位初始成本的投资组合A。3.3有效前沿的表示鉴于备注3.21，在本节中，我们将考虑一组可接受的portfoliosA，其单位初始成本如定义2.2所示。根据命题3.16，我们可以将setG（r，u；A）视为预期效用风险空间上的一个上位图或风险预期效用空间上的一个下位图。

根据命题2.3和2.4，集合G（r，u；A）自然定义了两个函数γ（u）：=inf{r：（r，u）∈ G（r，u；A）}（3.9）=inf{r（x）：E[u（S·x）]≥ u，x∈ A} ，和ν（r）：=sup{u：（r，u）∈ G（r，u；A）}（3.10）=sup{E[u（S·x）]：r（x）≤ r、 x个∈ A} 。提案3.22。（与效率边界相关的函数）假设，风险度量r满足假设3.1中的要求（r2），效用函数u满足假设3.3中的要求（u2）。此外，假设假设3.15适用于一组具有单位初始成本的可受理投资组合a。然后功能u7→ γ（u）和r 7→ ν（r）分别是增加的下半连续凸和增加的上半连续凹。证据结论直接来自命题2.3和2.4，因为根据命题3.16，G（r，u，A）是闭的和凸的。或者，我们也可以直接将命题2.7应用于第二个表示in（3.9）和（3.10），以分别导出γ和ν的凹凸性。γ和ν的递增性质分别直接来自（3.9）和（3.10）中的第二个表示。Q、 E.D.它也遵循推论3.23。（有效边界的表示）假设假设假设3.1中的风险度量条件（r2）和假设3.3中的效用函数满足条件（u2）。然后，对于具有定义2.2中定义的单位初始成本的任何一组可接受投资组合A，预期效用风险空间中表示的帕累托有效投资组合Geff（r，u；A）都位于γ或ν的图上，即Geff（r，u；A）=图γ（u）=图ν（r）。3.4有效投资组合我们已经看到，投资组合的风险和预期效用之间的有效权衡可以表示为下半连续凸函数u7的图形→ γ（u），将预期回报水平u与最小风险联系起来。

或者，预期效用风险空间中的这些点也可以表示为上半连续凹函数r 7的图→ ν（r），将风险水平r与最大可能效用联系起来。现在，我们来分析相应的有效投资组合的表现。理想情况下，我们希望高效贸易边界上的每个点都对应一个投资组合。为此，我们需要对风险度量和效用函数进行额外的假设。定理3.24。（有效投资组合路径）假设金融市场定义2.1中没有非平凡的无风险投资组合，并且A是一组可接受的投资组合，其单位初始成本如定义2.2所示。我们还假设假设3.15成立。此外，假设以下条件之一成立：（c1）风险度量满足假设3.1中的条件（r1）和（r2s），效用函数满足假设3.3中的条件（u1）和（u2）。（c2）风险度量满足假设3.1中的条件（r1）和（r2），效用函数满足假设3.3中的条件（u1）和（u2s）。如果存在x∈ A使用E[u（S·x）]定义，我们可以定义umax：=sup{E[u（S·x）]，x∈ A} >-∞, （3.11）rmin：=inf{r（x），x∈ A}∈ [0, +∞), （3.12）umin：=limr↓rminsup{E[u（S·x）]：r（x）≤ r、 x个∈ A} ，（3.13）和Rmax：=limu↑umaxinf{r（x）：E[u（S·x）]≥ u，x∈ A} （3.14）并要求如下：（A）对于u∈ （umin，umax）在有效前沿ff（r，u，A）上正好存在一个投资组合x（u），对应于（γ（u），u）。此外，映射u→ x（u）连续打开（umin，umax）。此外，当通过一些x∈ A上述语句适用于间隔（umin，umax），[umin，umax]或[umin，umax]。（b） 对于r∈ （rmin，rmax）在有效前沿ff（r，u，A）上正好存在一个投资组合y（r），对应于（r，ν（r））。

此外，映射r→ y（r）在（rmin，rmax）上连续。此外，当Rmin为最小值和/或rmaxare/由一些x获得时∈ A、 上述陈述适用于区间【rmin，rmax】，【rmin，rmax】或【rmin，rmax】。（c）此外，如果r满足假设3.1中的要求（r1n），则rmin=0，umin=u（r），x（umin）=y（rmin）=（1，0)（见图2）。证据（a） 我们关注的是满足条件（c1）的情况，并将对满足条件（c2）的类似情况所需的修改进行评论∈ （umin，umax）。然后我们可以找到一个投资组合“x”∈ A带E[u（S·'x）]≥ u.（3.12）rmin≤ r（(R)x）。因此，设置Au：={x：u≤ E[u（S·x）]，r（x）≤ r（(R)x），x∈ A} 是非空的。此外，假设3.15确保u是紧凑的。因此，至少存在一个投资组合x（u），使得r（x（u））=inf{r（x）：x∈ Au}=inf{r（x）：u≤ E【u（S·x）】，x∈ A} 。显然，x（u）对应于有效前沿Geff（r、u、A）上的点（γ（u），u）。接下来，我们将展示公文包x（u）是唯一的。假设投资组合x= xboth对应于（γ（u），u）并且属于A。那么我们必须有r（x）=r（x）=γ（u）和[u（S·xi）]≥ u，xi∈ A、 i=1，2。因为A是凸的，所以x*= （x+x）/2∈ A、 条件（r2s）和（u2）意味着E[u（S·x*)] ≥ u和由于r和（r1），r（x*) =r(x个*) < γ（u），矛盾。因此，映射u→ x（u）定义良好。最后，我们通过矛盾证明了x（u）的连续性。假设此映射在u处不连续。然后，对于固定正数ε>0，存在一个序列un→ u以便∥x（un）- x（u）∥ ≥ ε其中e【u（S·x（un））】≥ unand r（x（un））=r(x（un））≤ γ（un）。（3.15）根据假设3.15，我们可以在不丧失一般性的情况下假设x（un）收敛于某个投资组合x*具有∥x个*- x（u）∥ ≥ ε. 此外，根据命题3.22，γ（u）是凸的，因此在其域中是连续的（参见例如[18，定理10.4]）。

（3.15）屈服极限*)] ≥ u和r(x个*) = γ(u). （3.16）但有效投资组合（3.16）的唯一性意味着*= x（u），这是矛盾的。如果uminand/或umaxis有限，并在x∈ A然后，使用与上述相同的参数，唯一连续投资组合扩展到（umin，umax）的各自界限。条件（c2）成立时的证明类似。唯一的区别是，效率组合的唯一性现在来自于mappingx的严格凹度→ E[u（S·x）]（引理3.14）和r（x）的凸性。（b） 我们通过定义图γ（u）=图ν（r）知道。此外，γ（u）是凸的，因此在（umin，umax）上是连续的。最后，根据假设（u1），γ（u）是（umin，umax）上的严格递增函数。因此，γ（u）在（umin，umax）上是可逆的。显然，γ（u）的倒数是ν（r），其对应的域是（rmin，rmax）。关系sr=γ（u）和u=ν（r）表征了一对反函数γ和ν。定义y（r）=x（ν（r））（b）的结论如下。（c） 由于A仅包含单位初始成本的投资组合，（1，0)∈ A当（r1n）满足时，我们可以直接验证（c）中的结论。Q、 E.D.备注3.25。（a） 当假设3.15（b）成立时，Rmin=min{r（x）：x∈ A} 和umin=sup{E[u（S·x）]：r（x）=rmin，x∈ A} 由（3.13）确定。图1所示为与此案例相对应的典型有效边界。（b） umaxand/或rmaxto可能是+∞. 假设umaxis有限且在有效投资组合x（umax）下达到。在定理的条件下，投资组合κ：=x（umax）是唯一的，并且与风险度量无关。图3给出了一个图解。（c） 因此，效用和风险之间的权衡是通过投资组合x（u）来实现的，它在文斯的杠杆空间中画出了一条曲线【28】。

请注意，曲线x（u）取决于风险度量r以及效用函数u。这为在杠杆空间中系统地选择投资组合以减少风险敞口提供了一种方法。ruG（r，u，A）Geff（r，u，A）图1：终点和终点的有效前沿。ruG（r，u，A）Geff（r，u，A）图2：与（1，0)∈ A、 ruG（r，u，A）Geff（r，u，A）图3：当rmin>0和umaxis有限且达到最大值时的有效前沿。4马科维茨投资组合理论和CAPM模型现在让我们转向一般理论的应用。我们表明，前一节的结果为几种常见的投资组合理论提供了一个通用的统一框架。它们是马科维茨投资组合理论、CAPM模型、增长最优投资组合理论和杠杆空间投资组合理论。当然，在处理与这些具体理论相关的具体风险度量和预期效用时，解决方案中通常会出现额外的有用结构。虽然文献中对这些理论已经有许多不同的阐述，但为了方便读者，我们使用拉格朗日乘子方法进行了简要的论述。在本节中，我们将假设marketStfrom定义2.1没有非平凡的无风险投资组合。4.1马科维茨投资组合理论马科维茨[15]只考虑风险资产的投资组合理论可以理解为第3节讨论的框架的特例。风险度量是标准差σ，效用函数是身份函数。所以我们面临的问题是minσ(S·x） （4.1）根据E[S·x]≥ u,S·x=1。我们假设E[S] 与不成比例S、 也就是说，对于任何α∈ R、 E类[S]= αS

（4.2）由于方差是标准偏差的单调递增函数，为了方便起见，我们可以最小化方差的一半。minbx公司∈RMr(x） ：=变量(S·x） =σ(S·x）=x个Σx（4.3）以E为准[S·x]≥ u,S·x=1。优化问题（4.3）的形式已经是（3.9），A={x∈ RM+1:S·x=1，x=0}。我们可以检查定理3.24中的条件（c1）是否满足。此外，推论3.10暗示，∑是正定义，因为ST没有非平凡的无风险投资组合。因此，风险函数r具有紧凑的水平集。因此，假设3.15满足，理论3.24适用。允许x（u）是u对应的最佳投资组合。以洛杉矶为例(x、 λ）：=x个Σx+λ（u- E类[S] ·x） +λ（1-S·x） ，（4.4）式中λ≥ 感谢定理2.9，我们有0=bxL=x个(u)Σ - （λE[S] +λS） 。（4.5）换句话说x个（u）=（λE[S] +λS） ∑-1.（4.6）我们必须使λ>0，否则x个（u）与支付无关S、 完全松弛条件意味着E[S·x（u）]=u。右乘（4.5）乘以x（u）我们有σ（u）=λu+λ。（4.7）为了确定拉格朗日乘数，我们需要数字α=E[S] ∑-1E级[S], β=E[S] ∑-1.S和γ=S∑-1.S. 右乘以E（4.6）[S]和S我们有u=λα+λβ（4.8）和1=λβ+λγ。（4.9）求解（4.8）和（4.9），我们得出λ=γu- βαγ - β和λ=α- βuαγ - β, (4.10)σuβ/γ√γ图4:Markowitz Bullettwhereαγ- β=detE类[S]SΣ-1[E[S],S]> 自∑起0（4.11）-1为正定义，条件（4.2）成立。将（4.10）代入（4.7），我们可以看到有效边界由曲线σ（u）确定=γu- 2βu + ααγ - β=γαγ - βu -βγ+γ≥√γ（4.12）因其形状通常被称为马科维茨子弹。图4显示了一个典型的马科维茨子弹，其渐近线u=βγ+σ（u）αγ - βγ. （4.13）注意G（Var，id，{S·x=1，x=0}）=G（σ，id，{S·x=1，x=0}）。

因此，关系式（4.12）和（4.13）描述了定义3.18中的有效前沿Geff（σ，id，{S·x=1，x=0}）。还要注意，（4.12）表示umin=β/γ，rmin=1/√γ.因此，作为定理3.24的推论，我们有定理4.1。（马科维茨投资组合定理）假设金融市场没有非平凡的无风险投资组合[S] 与不成比例S（见（4.2））。（4.1）的Markowitz有效投资组合表示为（σ，u）-平面由geff（σ，id；{S·x=1，x=0}）给出。它们对应于由σ（u）给出的马科维茨子弹的上边界=γu- 2βu + ααγ - β, u ∈βγ, +∞.最优投资组合x（u）可由（4.6）和（4.10）确定为x（u）=u∑-1（γE[S] - βS)αγ - β+Σ-1(αS- βE[S])αγ - β、 （4.14），单位为u。（4.14）中最优投资组合的结构暗示了托宾（Tobin）在[26]中导出的著名的两个基本定理。定理4.2。（双基金定理）在Markowitz有效前沿选择两个不同的投资组合。那么，马科维茨有效前沿上的任何投资组合都可以表示为这两个投资组合的线性组合。备注4.3。双基金定理可以看作是买入并持有广义指数的被动投资策略的理论基础。由于大多数共同基金和对冲基金的表现逊于基础广泛的指数，根据经验，我们可以将SP500和纳斯达克等基础广泛的指数视为马科维茨有效的投资组合。根据双基金定理，被动持有两个此类基础广泛的指数，我们可以在马科维茨子弹上产生任何有效的投资组合。4.2资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）是由Lintner【9】、Mossin【17】、Sharpe【22】和Treynor【25】独立提出的理论模型，用于根据风险资产的预期收益和市场风险对其进行定价，通常称为贝塔。

资本资产定价模型的核心是对马科维茨投资组合理论的扩展，包括无风险债券。因此，我们可以使用与第4.1节相同的设置来应用第3节中的一般框架。与上一节类似，我们可以考虑minx的等价问题∈RM+1σ（S·x）=x个Σx=：r(x） （4.15）根据E【S·x】≥ u，S·x=1。与上一节类似，问题（4.15）的形式为（3.9），A={x∈ RM+1:S·x=1}。我们可以检查定理3.24中的条件（c1）是否满足。同样，风险函数r具有紧凑的水平集，因为∑是正定义。因此，假设3.15满足，定理3.24适用。此凸规划问题的拉格朗日isL（x，λ）：=x个Σx+λ（u- E[S]·x）+λ（1- S·x），（4.16），其中λ≥ 0。同样，我们有0=xL=（0，x个(u)Σ) - （λE[S]+λS）。（4.17）使用S=R和S=1，（4.17）的第一个分量表示λ=-λR.（4.18），使（4.17）变为0=xL=（0，x个(u)Σ) - λ（E[S]- 卢比）。（4.19）对于x（u）= 使用互补松弛条件E[S·x（u）]=u，我们得出σ（u）=x个(u)Σx（u）=λ（u- R） ，（4.20）乘以（4.19）中的x（u）。正在解决x个（u）从（4.19）我们有x个（u）=λ（E[S]- RS） ∑-1.（4.21）右乘以E[S] 和S利用前一节中介绍的α、β和γ，我们得出u- x（u）R=λ（α- Rβ）（4.22）和1- x（u）=λ（β- Rγ），（4.23）。将（4.23）乘以R，再从（4.22）中减去，得到u- R=λ（α- 2βR+γR）。（4.24）结合（4.20）和（4.24），我们得出σ（u）=（u- R） α- 2βR+γR.（4.25）只有当我们可以预期超额回报时，才有必要涉及风险资产。因此，u≥ R、 关系式（4.25）定义了（σ，u）-平面上的直线σ（u）=u- R√或u=R+σ（u）√, （4.26）其中 := α - 2βR+γR>0 ifE[S]- RS= 0（4.27），因为∑是正定义。

（4.26）中给出的线称为资本市场线。同时结合（4.21），（4.23）和（4.24），我们有(u) = -1[α - βR-u(β - γR），（u- R） （E）[S]- RS） ∑-1]. （4.28）我们再次看到了解决方案的a ffine结构。特别是，当u=R和u=（α- βR）/（β- γR）我们分别得出投资组合（1，0)只包含无风险债券和投资组合（0，（E[S]-RS） ∑-1/(β -γR））仅包含riskyassets的。我们将此投资组合称为市场投资组合，并将其表示为xM。市场组合对应坐标（σM，uM）=√β -γR，R+β -γR. （4.29）由于风险σ为非负，我们发现市场投资组合仅在β-γR>0。该条件为（E[S]- RS） ·∑-1.S> 0。（4.30）注意，（4.30）也意味着（4.27）。再次注意，虽然计算是根据风险函数进行的r(x）=x个Σx、 （4.26）中的关系用风险函数σ（S·x）表示。因此，他们在定义3.18中描述了有效的前沿Geff（σ，id，S·x=1）。总之，我们有定理4.4。（CAPM）假设金融市场Stof定义2.1具有非对抗性无风险投资组合。此外，假设条件（4.30）成立。CAPM模型Geff（σ，id；{S·x=1}）的有效投资组合表示为（σ，u）-通过（0，R）的平面面积直线，对应于纯无风险债券的投资组合和（σM，uM）对应于纯风险资产的市场投资组合。最优投资组合x（u）可由（4.28）确定，其单位为u。σu（σM，uM）（0，R）图5：资本市场线和Markowitz BulletBy定理3.20（σM，uM）∈ Geff（σ，id；{S·x=1}）∩ G（σ，id；{S·x=1，x=0}）（4.31） Geff（σ，id；{S·x=1，x=0}）。因此，市场投资组合必须位于Markowitz有效前沿。