投资组合理论的一般框架。第一部分：理论与各种

，M.（6.13），则问题（6.12）有一个解决方案。证据在定理6.4的证明中，我们可以看到假设3.15（a）适用于引理6.3。请注意x个*= （1/M，1/M，…，1/M）我们从（6.13）得到(S·x个*)] 是有限的。然后我们可以直接应用定理3.24，A={x∈ RM+1:S·x=1，x=0}。Q、 然而，由于对数效用函数的参与，（6.1）和（6.12）的有效边界（6.11）的相对位置可能有几种不同的配置。下面是一个例子。示例6.6。设M=1。考虑一个示例空间Ohm = {0，1}概率P（0）=0.45，P（1）=0.55，金融市场涉及R=1的无风险债券和S=1、S（0）=0.5和S（1）=1+α，α>9/22，所以E[S]>S的风险资产。使用风险度量R（x，x）=x |（这是提款的近似值，参见[30]）。然后很容易计算出（6.1）的有效前沿（6.11）是ν（r）=0.55 ln（1+αr）+0.45 ln（1-0.5r），r∈ [0，rαmax]，（6.14），其中rαmax=（22α-9)/20α. 另一方面，（6.12）的有效前沿是一个单点{（1，ν（1））}，其中ν（1）=0.55 ln（1+α）- 0.45 ln（2）}。ruG（r，ln，{S·x=1}）G（r，ln，{S·x=1，x=0}）图7：当α∈ （9月22日，9月2日），（6.1）和（6.12）这两个有效边界（6.11）没有共同点（见图7）。然而，当α≥ 9/2，Geff（r，ln，S·x=1，x=0）Geff（r，ln，S·x=1）（见图8）。特别是，当α=9/2时，Geff（r，ln，S·x=1，x=0）与图9所示的增长最优投资组合对应的Geff（r，ln，S·x=1）上的点重合。事实上，对可接受的投资组合集合的一个更常见的限制是风险限制。

例如，对于本例，如果我们通过r（x）限制风险≤ 0.5然后我们将创建（6.1）与（6.11）的共享效率边界，其中r是先验限制的（见图10）。备注6.7。（效率指数）虽然增长最优投资组合通常不作为一种投资策略来实施，但与增长最优投资组合κ相对应的最大效用umax（使用历史绩效数据进行经验估计）可以用作比较不同投资策略的衡量标准。这是在[31]中提出的，称为效率指数。当唯一的风险资产是在给定的博弈策略下具有两种结果的博弈的报酬时，效率系数与汉农的信息率一致（见[8，21，31]）。从这个意义上讲，效率指数衡量的是它所衡量的投资战略中所包含的有用信息。与增长最优投资组合理论相关的还有资产定价基本定理（FTAP）。FTAP描述了存在鞅测度的无套利条件，如下所述。定义6.8。

（等价鞅测度）我们说Q是概率空间上金融市场的等价鞅测度（EMM）(Ohm, 2.Ohm, P）假设Q是一个概率度量，对于任何ω∈ Ohm, Q（ω）= 0如果且仅当P（ω）时= 0，andEQ[S]=r.ruG（r，ln，{S·x=1}）G（r，ln，{S·x=1，x=0}）图8：触及有效前沿ruG（r，ln，{S·x=1}）G（r，ln，{S·x=1，x=0}）图9：触及最佳增长前沿ruG（r，ln，{S·x=1}）G（r，ln，{S·x=1，r（x）≤ 0.5}）图10：共享效率前沿我们将资产定价的基本定理与以下一般效用优化问题Maxx联系起来∈RM+1E【u（S·x）】（6.15），S·x=1。首先，我们观察到，当效用函数u满足条件（u4）时，我们还可以根据预期效用的上确界来描述无套利条件。定理6.9。（无套利的特征）假设金融市场定义2.1没有与债券等价的非平凡投资组合。设u是满足假设3.3中条件（u3）和（u4）的效用函数。那么ST没有套利，只有ifsupx∈RM+1{E[u（S·x）]：S·x=1}<+∞.证据注意{E[u（S·x）]：S·x=1}={E[u（R+(S- RS） ·x） ]：x个∈ RM}。我们可以很容易地验证，当效用函数u满足条件（u4）且存在套利组合时，SUPBX∈RM{E[u（R+(S- RS） ·x） ]}=∞.另一方面，根据命题3.7，当ST没有与债券等价的非平凡投资组合且无套利时，意味着ST没有非平凡的无风险投资组合。ByLemma 6.3，{x∈ RM+1:E[单位（S·x）]≥ u，S·x=1}是紧凑的。因此，supx∈RM+1{E[u（S·x）]：S·x=1}<+∞.Q、 E.D.定理6.10。（资产定价基本定理）假设金融市场Stof定义2.1没有与债券等价的非平凡投资组合。

设u为满足假设3.3中性质（u1）、（u2s）、（u3）和（u4）的效用函数。那么以下断言是等效的：（i）金融市场定义2.1没有套利。（ii）投资组合效用优化问题（6.15）的最优值是确定的。（iii）金融市场的比例有一个等价的鞅测度，其次梯度为-（6.15）的最优解。证据注意，（i）等价于（ii）在定理6.9中已经推导出来。为了证明（ii）意味着（iii）我们将效用优化问题（6.15）asmaxyE[u（y）]（6.16）重写为R+（S（ω）-RS）·x-y（ω）=0，对于所有ω∈ Ohm.假设（\'x，\'y）是（6.16）的解。然后存在拉格朗日乘子λ（ω）P（ω），ω∈ Ohm 使得拉格朗日（（x，y），λ）=E[u（y）+λ（R+（S- RS）·x-y） 】。（6.17）在（\'x，\'y）达到无约束最大值。因此，凸函数-L在（\'x，\'y）达到无约束最小值。因此-λ(ω) ∈ (-u） （(R)y（ω））（6.18）（因此λ（ω）>0乘以（u1）和（u2s））andE[λ（S- RS）]=0。（6.19）因此，Q=（λ/E[λ]）P是一个等价的鞅测度。这个过程是可逆的。Q、 E.D.7结论和开放性问题根据马科维茨的开创性思想，我们考虑了一个一般框架，以便在投资组合的凹型预期效用和凸型风险度量之间进行有效的权衡。在合理的假设下，我们表明：（i）这种权衡的有效边界是预期效用风险空间中的凸曲线，（ii）对应于每个预期效用水平的最优投资组合是唯一的，（iii）最优投资组合持续依赖于预期效用水平。

此外，我们对[20]中的结果提供了另一种处理方法，表明一只基金定理（定理4.5）适用于偏差度量和预期回报（定理5.1）之间的权衡，并构建了一个反例，说明两只基金定理（定理4.2）在这种总体设置中失败。此外，杠杆空间中的效率曲线是一种经济方法，可以从增长最优组合中缩减风险（定理6.4）。这一总体框架整合了一组著名的投资组合理论。它们是马科维茨投资组合理论、资本资产定价模型、增长最优投资组合理论和杠杆投资组合理论。它还将这些组合理论扩展到更一般的环境中。新框架还带来了许多具有实际意义的问题，值得进一步探索。例如，与投资组合理论相关的数量，如Sharperatio和效率指数，可用于衡量投资绩效。使用第3节中的一般框架可以得出哪些其他性能度量？投资组合理论还可以为我们提供有关定价机制的信息，如资本资产定价模型和资产定价基本定理中讨论的那些机制。我们的一般框架可以衍生出哪些其他定价工具？显然，为了应用的目的，我们需要关注某些特殊情况。在实践中，与水位下降相关的风险措施加上对数效用引起了极大的关注。在本系列的第二部分【14】中，构建并分析了几个与提款相关的风险措施。我们将在本系列的第三部分进行相关案例研究[3]。参考文献【1】P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath，一致性风险度量。《数学金融》，9:203-227，1999年。[2] 伯努利，风险衡量新理论的阐述。

《计量经济学》，1954/1738年，第22:23–36页。[3] R.Brenner、S.MaierPaape、A.Platen和Q.J.Zhu，《投资组合理论的一般框架》。第三部分：应用。正在准备中。[4] J.M.Borwein和Q.J.Zhu，《变分分析技术》。Springer Verlag，2005年。[5] J.M.Borwein和Q.J.Zhu，拉格朗日乘子的变分方法。J、 《优化理论与应用》，171:727-7562016。[6] P.Carr和Q.J.Zhu，《凸对偶与金融数学》。斯普林格·维拉格，即将出现。[7] W.Fenchel，凸锥，集和函数。演讲稿，普林斯顿大学，普林斯顿，1951年。[8] J.L.Kelly，信息率的新解释。贝尔系统技术杂志，35:917–9261956。[9] J.Lintner，《风险资产的估值与股票投资组合和资本预算中风险投资的选择》。《经济学与统计学评论》，47:13–371965。[10] M.Lopez de Prado、R.Vince和Q.J.Zhu，《企业投资视野下的最优风险预算》。SSRN 23640922013。[11] L.C.MacLean、E.O.Thorp和W.T.Ziemba（编辑）。凯利资本增长标准：理论与实践。《世界科学》，2009年。[12] S.Maier Paape，《最佳f和多样化》。《IFTA期刊》，2015年4-7月。[13] S.Maier Paape，使用当前提款的风险规避部分交易。亚琛RWTH马蒂克研究所，报告编号88，2016年。[14] 《p-Portfolio理论的一般框架》。第二部分：提款风险措施。亚琛RWTH马蒂克研究所，报告编号922017。[15] H.Markowitz，《投资组合选择》。考尔斯专著，16。威利，纽约，1959年。[16] J.J.Moreau，Convectionelles Convexes。法兰西学院，课堂讲稿，1967年。[17] J.Mossin，《资本资产市场的均衡》。《计量经济学》，34:768–783，1966年。[18] R.T.Rockafellar，《凸分析》。第28卷普林斯顿数学。系列，普林斯顿大学出版社，普林斯顿，1970年。[19] R.T。

Rockafellar和S.Uryasev，《条件风险值的优化》。《风险杂志》2:21-422000。[20] R.T.Rockafellar、S.Uryasev和M.Zabarankin，采用一般偏差度量的投资组合分析主基金。J、 《银行与金融》30:743–7782006【21】C.Shannon和W.Weaver，《传播的数学理论》。伊利诺伊州乌尔巴纳：伊利诺伊大学出版社，1949年。[22]W.F.Sharpe，《资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论》。《金融杂志》，19:425–4421964。【23】W.F.Sharpe，共同基金绩效。《商业杂志》，1:119–138，1966年。[24]E.O.Thorp和S.T.Kassouf击败了市场。兰登书屋，纽约，1967年。[25]J.L.Treynor，风险资产市场价值理论。1962年未出版的手册。1999年，《资产定价和投资组合绩效：模型、战略和绩效指标》发布了最终版本。Robert A.Korajczyk（编辑），《伦敦：风险图书》，第1522页。【26】J.Tobin，《流动性偏好作为风险行为》。《经济学研究评论》，26:65-861958年。【27】R.Vince，《新货币管理：资产配置框架》。约翰·威利父子出版社，纽约，1995年。[28]R.Vince，杠杆空间交易模型。约翰·威利父子公司，新泽西州霍博肯，2009年。[29]R.Vince和Q.J.Zhu，投资规模的反映点意义。SSRN，22308742013年。[30]R.Vince和Q.J.Zhu，21点游戏的最佳下注规模。《风险期刊：投资组合管理》，4:53-752015。[31]Q.J.Zhu，《投资系统的数学分析》。《数学分析与应用杂志》，326:708-7202007。【32】Q.J.Zhu，数学金融中的凸分析。非线性分析：理论方法与应用，75:1719-17362012。