组合尾部风险的序列设计与空间建模

当然，s（^R[m]K）本身是随机的，因此在表中我们报告了其平均值，图4显示了其自身的抽样分布。因此，目标是使s（^R[m]K）稳定的Acrosruns，平均值接近SD（^RK）。我们确实观察到，所有方法都相当接近SD（^R[1:100]K），最大的差异出现在SV-GP和A3-GP中。这两种方法都是为了最小化s（^Rk），这可能会导致这些值偏低。从箱线图中，我们注意到SV-GP在整个运行中具有最稳定的s（^RK），而SR-GP-1、A3-GP和U2 GP的标准误差估计值最不可靠。对于有风险的尾部价值，结果几乎相同。我们再次看到SE GP的表现不佳（RMSE比LB大2.01倍），这证实了各自的收购功能不足。还请注意，在TVaR环境中，更具攻击性的SR-GP-1优于SSR-GP-2。这说明SR-GP需要仔细调整L和U值。通过图6中的扇形图提供了顺序方法的最终视觉比较，图6说明了随着k轮进度，估计风险度量的演变。这是允许“在线”使用算法的顺序程序的主要优点之一。因此，用户可以监视^rk，例如判断收敛性、自适应停止模拟或报告临时估计。扇形图显示r[m]kas的宏观复制上的分位数（以m为单位）是k的函数。大多数方法最初偏向高，随着k的增加和采样方差的减小，偏向消失。SV-GP以最快的速度减少偏差。值得注意的是，SR-GP-1并不收敛于GP SE-GP SV-GP SR-GP-1 SR-GP-2VaRαTVaRα图6：对于二维Black-Scholes案例研究，扇形图描述了随着预算的消耗，^RHD、VaRk（顶部）和^RTVaRK（底部）的演变。

在100个算法运行时，红线对应于^R[m]kover的0.1、0.25、0.5、0.75和0.9分量分位数。在一些跑步中，强调了探索的重要性。对于TVaR，我们观察到，经过几轮之后，偏差（^Rk）通常已经很低，这表明估计水平集比估计分位数更容易。我们还看到，ST GPAR最初很快就成功地学习了TVaR，但随后其性能停滞不前；k=100SV时，GP可获得更好的偏差和更低的SD（Rk）。SE-GP在TVaR方面的表现较差，特别是在SD（RK）非常高的方面，证实了前面的讨论。检查批量大小的影响r、 我们重新运行了ST-GPr=0.001N（即每轮9个新的内部模拟），观察到的s和RMSE分别为48.37和59.22。这些值在统计上与相同的ST-GP方案无法区分r=0.01N。换句话说，批量大小为r=0.001N（即K=1000发）与r=0.01Ndoes在本实验中没有提供显著的改善。我们发现，较小的批次最终会使用一个过程，该过程连续多次选择相同的场景，因此它的行为与较大的批次相似。6.2比较顺序方案为了补充图1，图1给出了一个fixeddataset中不同方案针对的方案的快照，图7显示了代表运行结束时ST-GP、SE-GP和SV-GP产生的总体预算分配r1:NK。对于VaR0.005，ST-GP和SE-GP在50级左右的效应浓度=αN时表现相似。作为参考，初始化后的Nbudgetafter的93%、73%和99.1%分配给了{z:f（25）≤ f（锌）≤ f（75）}分别用于ST-GP、SE-GP和SV-GP，最大复制量maxNRNK为3790、1260和990。

这突出了高适应性，在单个场景上花费了高达30%的预算（与在分位数场景上花费100%的LB基准相比）。对于TVaR，95%、100%和98.1%的Nbudget用于{z:f（1）≤ f（锌）≤ f（50）}分别用于ST-GP、SE-GP和SV-GP，最大分配为1890、4600和531。特别是，ST-GP和SV-GP成功地从左尾的几乎所有场景中识别和采样（或多或少具有可比性RNK），而SE-GP导致了命中和未命中设计，因为f（1:50）的真实位置是相关的。尽管所有SE-GP样本都处于真正的尾部，但其设计往往非常集中（只添加了大约十几个非试点场景），创建了小的空间集群，每个集群中探索一个场景。VaR Tvar图7：二维Black-Scholes案例研究的序贯方法的最后阶段后，复制计数f1:n的rnKversus真实等级。y-轴位于对数刻度上。所有三个方案共享完全相同的初始化阶段，可以通过场景（尤其是在每个图的右侧）看到r=10。否则，对于ST-GP和SE-GP，所有rnK都是r=90。对于SV gp，RNK上没有可低至1的约束。从不同的角度来看，表3列出了平均总设计尺寸| DK |。我们观察到，ST-GP和SE-GP只使用了大约120个场景（回想一下，初始化期间已经选择了Ninit=100个场景），而SV-GP使用了大约300个场景。这是因为ConstructionalSV-GP跨多个场景定位RNKA，这也可以在图7中观察到。特别是，SV-GP rnK=1刚刚“探索”了许多场景（参见ZSVin第4.3节的讨论），但并未真正使用。

由此产生的更大的设计规模转化为更大的计算开销。值得注意的是，SE-GP比ST-GP更集中，似乎无法有效地探索Z。图8说明了在k=1、20、100时，使用SV-GP方案对VAR和TVaR的sk（z）演变。随着k的增加，后验不确定度sk（zn）减小；此外，我们还看到了内部模拟的目标位置，对于VaR，在分位数qα（真秩50）附近sk（zn）最低，而在左尾（真秩≤ 50）用于TVaR。两个变量0.005TVaR0.005之间有明显区别。图8：使用SV-GP，在k=1、20、100阶段的后验GP标准偏差sk（zn）进行一次运行，根据f的真实秩排序（z1:N）。y-轴位于对数刻度上。较低的sk（zn）表明在zn的空间邻域中，内部模拟的密度较高。面板，带VaR-0.005关注等级50多于等级1-10，反之亦然，T V aR0.005。图9中也观察到了这种影响：VaRα在qα处的方差和偏差最小，TVaRα在整个左尾处的方差和偏差最小。6.3空间建模VAR TVAR的收益图9：使用ST-GP，K=100后单次运行的输出。两个面板都显示了真实的f（z），以及点估计值mK（z）和'ynK，以及95%可信/置信区间，所有这些都是根据f的真实等级（z1:N）排序的。在每个“ynKis”周围有一个95%的误差条，使用hetGP估计值τ（zn）/rnkforth模拟方差，而每个mK（zn）都有基于sK（zn）的误差条。图9显示了典型ST-GP运行K=100轮结束时GP替代物的空间特征。回想一下，我们的hetGP模型平滑了样本平均值和样本方差τK（zn）。这有双重效果，即提高学习f（zn）的准确性和降低该估计的不确定性。

实际上，在图中我们可以看到，相对于经验“ynK”，mK（zn）非常接近f（zn），而且，GP后验方差sK（zn）远低于经验^τK（zn）。我们强调，该图将底层的2-D空间简化为一维实现，因此相邻秩的z在空间上可能相距很远，因此具有非常不同的（mK（z），sK（z））值。特别是，误差条较大的场景通常在空间上远离真实的分位数轮廓（TVaR情况下为左尾），因此算法发现它不值得采样，并保持rnKlow。对于RNK高的情况，两个误差条更接近。两个面板的右侧都明显存在较大的不确定性和偏差，因为算法明确针对左尾，因此在其他地方具有较高的准确性。VaR的最左端也观察到了这一特征。为了更好地量化学习R的改善，由于图9中暗示的跨场景信息的空间借用，我们首先比较了两种非自适应算法：标准嵌套抽样（称为U1-SA）与U1-GP，前者通过GP替代物使其平滑。这种比较体现了纯粹的“空间”效应，而不会因自适应设计而产生任何混淆。表4报告了各种模拟预算的结果。我们可以看到，使用空间模型可以在改善偏差和RMSE方面将速度提高约5倍。例如，N=500000的U1-SA的RMSE为152.49，与模拟次数仅为五分之一的U1-GP的theRMSE相当（N=100000的为149.09）。对于真正大的预算，由于样本平均值开始产生f（z）的合理估计，差距缩小了。

表4还比较了样本分位数^τ（^RHD）（由U1 SAto计算标准误差）处的平均局部经验方差与^RHDK基于GP的平均标准误差。我们观察到，对于相同的预算，不确定性减少了50%以上，这再次归功于空间借用。U1-SA U1-GP BR-SAN^τ（^RHD）RMSE s RMSE^τ（^RHD）RMSE1·10-6578.12 585.01 2965.05-2·101263.18 3660.92 359.05 1385.44-5·10650.62 1569.38 202.97 344.55 135.60 186.821·10410.72 759.87 146.49 148.62 53.50 61.582·10272.09 384.27 107.35 112.63 34.72 43·165 62.42 163.86 81.26 77.22 19.45 21.581·10112.89 92.44 54.28 66.69 12.98 13.87表4：二维黑色Scholes投资组合案例研究，使用嵌套MC（U1-SA）、Broadie等人[8]的BR-SA算法和统一GP替代物U1-GP，对^rke的后验标准差和RMSE进行100次宏观复制的平均值。U1-SA是基于样本平均数的标准嵌套蒙特卡洛法；U1-GP使用基于单阶段均匀分配的模拟输出GP，BR-SA使用MC样本平均值以及顺序R&S程序，见第5.4节。对于N=10，内部模拟预算为rn=1，不允许对-SA方法的τ（qα）进行估计。从不同的角度，我们可以将BR-SA方法与ST-GP方法进行比较，BR-SA方法对内部模拟进行非均匀分配。虽然BR-SA显著优于U1-SA（例如，N=5·10的BR-SA与预算大10倍的U1-SA相比），但它仍然远远落后于基于代理的顺序方法。BR SA需要10-20倍的预算才能开始匹配上一节中仅使用n=10的方法的RMSE。因此，虽然BR-SA基本上没有回归/顺序设计开销，但增加模拟效果的成本是巨大的。

综上所述，在本例中，空间建模产生了数量级的模拟节省。（我们还注意到，通过其构造，BR-SA首先在每个场景分配两个内部模拟，然后才进入其自适应阶段≤ 2N降低为U1-SA；即使在小型模拟预算下，我们的方案也会产生自适应分配。）6.4 GP仿真器的选择要使用GP仿真器，必须选择协方差核以及将模型拟合到仿真输出的特定方法。为了研究各自的影响，我们比较了两种不同的核族Mat'ern-5/2与高斯核族的使用，参见（14）和（32）以及两种不同的建模模拟方差τ（z）的方法。具体而言，我们比较了使用点估计^τ（zn）来估计τ（zn）（在DiceKriging R包中实现）的随机克里格方法和hetGP的联合响应噪声面方法。后者更复杂，因此带来更多的计算开销。表5提供了使用ST-GP采集功能和上述三种GP模拟器选择时的最终RMSE以及几个阶段的偏差。BiasApproach Kernel RMSE k=1 k=10 k=20 k=50 k=100hetGP Mat'ern-5/2 57.52 166.065 113.925 97.751 37.158 28.066hetGP Gaussian 68.06 91.475 104.427 74.874 52.716 48.249SK Mat'ern-5/2 69.31 914.728 206.267 113.716 69.821 48.670表5：对于二维Black-Scholes投资组合案例研究，不同TGP模型/Kernel系列的平均RMSE。我们还报告了一系列中间阶段k=1、10、20、50、100的平均偏差偏差（^Rk）。所有方法都使用ST-GP规则，并基于100个宏复制。我们观察到，使用经验方差估计^τ（zn）（SK）在初始阶段会产生明显的高偏差。反过来，hetGP模型能够有效地消除偏差。

虽然随着算法的发展，偏差会迅速下降，但SK emulator在k=100阶段仍有50%以上的偏差（和20%以上的RMSE）。因为在实践中，人们不知道偏差何时得到有效缓解，这是使用SK仿真器的一个显著缺点，并强调了正确建模噪声表面τ（·）的重要性。在比较核函数时，高斯核函数与Mat'ern-5/2相比，显示出略高的RMSE和偏差，尽管没有明显的边缘。这与民间传说的观点相吻合，即Mat'ern是kernelfamily的默认选择。7案例研究：随机利率和死亡率下的终身年金为了检查在更复杂的环境中，每种方法的相对性能是否保持不变，我们转向更高维度、更复杂支付函数的案例研究。尽管复杂性增加，但我们仍保持相同的预算N=10，这预计会扩大拟议方法之间的相对差异。本节中的设置考虑到年金受益人签订合同，在S年内开始收取款项，从S年开始每年持续支付，直到个人死亡。（实际上，为最终付款设置了一些折扣。）法规要求对保险公司本合同的T=1年价值的分位数进行分析。投资组合损失的主要驱动因素是利率风险（低利率增加了年金支付的现值）和死亡率风险（延长寿命提高了年金的价值）。这些因素由6-D随机状态捕获：三因素利率模型和三因素随机死亡率模型。我们希望在地平线T上找到该年金的现值≤ S、 付款开始前atS。为此，设T（x）为今天x岁个体的剩余随机寿命。

t处的年费支付基于t（x）>t，其可能性P（t，x）表示asP（t，x）=P r（t（x）>t）=1-t型-1Xu=0P r（u<T（x））≤ u+1）。=1.-t型-1Xu=0q（u，x+u），（36），其中q（u，x+u）是死亡率，即年龄为x+u的个体在u年死亡的概率（或者解释为今天年龄为x+u和x+u+1的个体死亡）。综合特殊的死亡率经验（在（36）中以P r（·）表示），我们关注影响未来死亡率演变的系统因素。因此，我们将q（u，x+u）视为随机死亡因子（Zt）驱动的arandom变量，即q（Zt；t，x）。这意味着，（36）中的生存概率P（Z[T，T]；T，x）取决于水平线和总年份T之间的整个路径Z[T，T]。设βT为时间T的瞬时利率，它也取决于（Zt）的（其他）分量。在T（以T（x）>T为条件，并假设寿命和利率风险是独立的）下，年金的净现值为f（z）=-E“xu-xXt=Se-RtTβuduP（Z[T，T]；T，x）ZT=z，T（x）>T#。（37）对于生存概率，我们选择以下模型，在Cairns等人【9】中称为（M7）：logit q（Zt；t，x）=κt+κt（x- \'\'x）+κt（十）- (R)x）- ^σx+ γt-x、 （38）在（38）中，随机驱动因素是κjt，j=1，2，3以及γt-x；其余为固定参数。具体而言，(R)x是模型适用的平均年龄，^σxis是适用年龄的平均值xof（x- 被解释为年龄效应。该模型允许为x年龄添加一个插件，而突变因素是周期效应κIt，它捕获了历年的死亡率演变，以及γt-X这是队列效应。这些构成了离散时间ARIMA模型，遵循通常的选择，即每个κII是一个带漂移的随机游动。

通常，γ·作为ARMA模型。为了再现性，我们使用R软件包StMoMo【37】，其中包含用于拟合和模拟的工具（38）。也就是说，我们利用了数据中包含的英格兰和威尔士（E＆W）死亡率，以及之前凯恩斯等人研究的死亡率。由于P（Z[T，T]；T，x）的表达式（36）具有在（u，x+u）年龄/年评估的方程式（38），因此它导致了固定队列效应γx，与ARMA过程的历史值相匹配。（βt）的利率动态来自【13】，通过随机波动率ζ和随机漂移αtdβt=（(R)β）的三因素Cox-Ingersolross模型定义- αt）dt+pβtζtdWβt，（39）dαt=（(R)α- αt）dt+√αtζtdWαt，dζt=（(R)ζ- ζt）dt+pζtИdWζt，其中Wβ、Wα和Wζ是独立的标准布朗运动。总的来说，这意味着一个6-D马尔可夫状态过程Zt=（βt，αt，ζt，κt，κt，κt）。因此，获得收益实现Yi（zn，i·）的程序是首先模拟路径（zn，it）t≥t来自分发（Zt）t≥T | ZT=zn，插入（κjt）T的实现≥T、 j=1，2，3到（38）来评估（36），并最终使用这些生存概率以及模拟的（βT）T≥Tto计算（zn，i·）=xu-xXt=Se-RtTβn，iuduP（zn，i[T，T]；T，x）。（40）注意，κ是离散时间的，而利率模型使用连续t。对于后者，我们使用一种简单的带离散化的前向Euler方法t=0.1。总的来说，一个现金流（·）的评估大约需要0.01115秒（即10个整体内部模拟大约需要2分钟），而第一个案例研究的评估需要0.000513秒。