组合尾部风险的序列设计与空间建模

在第6.4节中，我们提供了数字证据，表明协方差核的选择通常对产生的模拟器^fk只有很小的影响。推断超参数θ和过程方差σ的经典方法是使用基于第3.1节所述分布的似然函数，通过极大似然估计或惩罚极大似然估计优化边际似然。任何一种情况都会导致非线性优化问题。在连续设置中，超参数在每个阶段都得到理想的拟合，以便随着更多数据的到来，改善似然函数。然而，这在计算上是不切实际的，因为评估可能性需要O（| Dk |）。替代方法是在算法中的某些点上重新设置超参数，例如在10%、20%、，90%（或采用非线性计划，如2%、4%、8%，…）预算的一半已经用完了。后一种方案的优点是，当超参数不太确定时，以及当参数更便宜时，可以更早地进行拟合。上述逻辑还暗示了对保持| Dk |小的算法的偏好。从这个意义上说，像ST-GP这样的更有针对性的算法比SV-GP更可取，SV-GP本质上是在许多场景中传播内部模拟。相关开销涉及预测^fkon Z，即评估mk（z1:N）和sk（z1:N），这是所有采集功能所需要的。这带来了O（| Dk |·| Z |）效应，再次显示了大型设计Dk的成本。它还带来了一个技巧，即通过远离尾部的筛选方案，将Z减少到一个andidate集Zcandkby。筛选的一种方法是重新使用等式（19）和（23）中的权重Wk（zn）来评估情景的相关性。

具体而言，在下面的案例研究中，我们确定候选集Zcandkat stage k viaZcandk={zm∈ Z:WVaRk（zm）/（NXn=1WVaRk（zn））>10-3} ，对于VaR和Zcandk={zn∈ Z:WTVaRk（zn）>10-3} 用于TVaR。因此，在评估采集功能时，仅考虑外部场景（方法ST-GP、SE-GP、SV-GP）。如图所示，在第一轮案例研究的典型运行中，该筛选将预测集从n=10000个场景缩小到第一轮后的| Zcand |=528（657用于TVaR），从而将在Zcand上预测GP代理的开销减少了一倍≈ 此外，候选集| Zcandk |随着k的增长而收缩，因为GP更好地了解尾部场景。在下面的示例中，我们使用了一个固定的阶段预算rk公司≡ r修饰版本可以很容易地包括在各轮中更改批次大小，例如，在GP具有高度全局不确定性的前一轮中的较小批次。选择批量大小还决定了总轮数K，影响GP回归和预测开销，以及UR采集函数的计算成本。一般来说，我们发现（参见第6.1节），算法只关注少量场景，这意味着我们的顺序标准会重复选择相同的zn。因此，大批量生产r=0.1N，与较小的r=0.01N，减少了选择zk+1的开销。回到GP模拟器本身，我们发现（12）中的一个简单趋势函数u（·）对于去趋势是有效的。虽然u（·）的选择对预测^fk几乎没有影响，但它有助于非线性优化程序设置超参数，并且在顺序阶段的每一个开始都是有益的。注意，趋势在一定程度上改变了响应的空间依赖性，从而改变了θjhyperparameters。

参数平均函数也可以通过具有各自系数的基函数指定，因此u（z）=β+Pjβjhj（z）。在这种情况下，β与其他超参数同时估计，这种方法称为通用克里格法（Universal Kriging）[33]。根据我们的经验，在大多数金融环境中，u（·）可以很容易地被确定为投资组合的内在价值（如我们的第一个案例研究），也可以被视为常数β（作为GP的一部分，见第二个案例研究）。5.4与其他方法的比较为了对第4节中定义的拟议算法进行基准测试，我们比较了几种备选方案。我们主要关注其他基于回归的方法，并专注于量化（i）自适应预算分配的作用；（ii）与更简单的1、2或3阶段方法相比的顺序方法。表1.1总结了这些基准以及本节前面讨论的程序。LB：用作下限的完美信息方法。我们假设尾部/分位数是先验已知的，并希望最小化^R的均方误差。对于VaR，这对应于最小化qα处的后验方差，这是通过将整个分位数N分配到真正的分位数场景来实现的。在这种情况下，没有GP替代项，估计方差是蒙特卡罗平均误差，即τ（qα）/N。对于TVaRα，我们将预算N均匀地分配到真尾{zn:f（zn）≤ f（αN）}，并对结果进行GP。2、A3-GP：Liu和Staum的自适应三阶段算法【27】。第一阶段模拟类似于我们方法的太空填充试点场景。第二阶段通过筛选的候选集Zcand来分配uniformlyacross。然后，第三阶段求解R0to最小化方差，如SV-GP和引理1中的^Rlike。我们遵循他们的建议，第2阶段的设计位置为0.02N，第3阶段的预算为N=0.7N。3.

U2-GP：两阶段进近。在第5.2节所述的空间填充第一阶段之后，剩余预算将统一分配到最低的2αN方案中。这是rn=N/（2αN）{m（zn）的自适应分配的最简单版本≤m（2αN）}。注意，U2-GP可以看作是SR-GP的一个版本，K=2轮，L=1，U=2αN。与此方法相比，多阶段程序的增益是量化的。4、U1-GP：一种将N/| Z |均匀分配给每个Z的一级方法∈ Z、 将GP替代项^f设置为最终设计，并使用m1:n估计^R。这是最粗糙的比较器，它没有自适应分配，但仍采用空间平滑。我们发现，对于大型场景集，将aGP配置到整个输出集合在计算上是不可行的，N 1000，所以我们改为{zn:yn≤ y（2000）}，这产生了与T GP相似的开销时间，并且与无GP平滑相比仍有显著改善。我们还考虑了两种非GP方法来研究空间平滑的重要性。第一种被称为U1-SA，与U1-GP相同，但使用样本均值“ynand empiricalvariations^τ（zn）”代替基于GP的后验均值。这是“普通的”嵌套模拟方法。第二种是排序和选择（R&S）方法，Broadie等人[8]介绍了该方法，目的是将f1:nw与给定的L级进行比较。根据我们的符号，在k阶段，该BR SAalgorithm分配Rk对方案zk+1的模拟，该方案使HBRk（zn）最小化。=rnk·|(R)ynk-L |/τ（zn）。上述采集函数将场景样本平均值与L进行比较，通过各自样本不确定性τ（zn）/Rnkw进行归一化，其类似于HECIin（25），但没有模拟器。出于我们的目的，我们将L替换为^RHDk。

此外，我们按照[8]的建议，根据收集到的总方差，通过加权|τ（zn）估计局部噪声方差，名称描述参数完全信息下的SLB蒙特卡罗TVaR均匀分配到真实尾部场景SST GP目标MSE准则（22）εk=s（^RHDk）SE-GP预期水平改进准则（25）SV-GP批次方差最小化（第4.3节）SR-GP-1{zn:m（L）k上的均匀≤ m（zn）≤ m（U）k}L=50，U=50（VaR），L=1，U=50（TVaR）SR-GP-2 L=26，U=75（VaR），L=1，U=75（TVaR）A3-GP 3阶段，从[27]阶段3预算的70%；注册护士≡ 10U2-GP两级SR-GP，L=1、U=100和K=2U1-GP均匀分配GP根据“y1:NU1-SA均匀分配使用样本平均数”y1:Nas输出br SA R＆s算法，来自【8】表1：第5.4节所述的比较方法。所有方法（U1-GP除外）使用算法1中描述的相同初始化过程，Ninit=0.01N第一阶段场景。选择顺序方法的预算参数得出K=100。对应于一个非常简单的同调平滑器：？τk（zn）=rnkrnk+？r^τk（zn）+？rrnk+？r？τk，其中？τk=NPNn=1^τk（zn）是所有经验方差的平均值。这里，r是smoothingparameter，我们取下面的[8]中的r=5。第6.3节讨论了与这些非GP基准的比较。评论请注意，按照上述“配方”，可以将任何引入的采集函数与基于样本平均数的方法相结合，产生ST-SA或SV-SA方法。如上所述，没有模拟器的一个限制是无法在没有足够内部模拟的场景下正确预测τ（z）。从另一个方向来看，我们回顾了最小二乘蒙特卡罗方法（如Bauer等人[3]），该方法使用空间平滑，但使用非顺序分配。

我们不与后者进行比较，因为我们的重点是实验设计，而不是纯粹的回归/平滑步骤。6案例研究：Black-Scholes期权组合从一个二维示例开始，其中f（z）可以精确计算。使用已知f在2-dw中工作可以方便地可视化算法，并提供精确的误差计算。考虑一个投资组合，其价值由两项风险资产Zt驱动≡ （St，St）具有几何布朗运动动力学：dSt=βStdt+σStdW（1）t，dSt=βStdt+σStdW（2）t。在风险中性度量Q下，Wiare相关布朗运动与dhW（1），W（2）it=ρdt，β是恒定利率。表2总结了我们的模型参数。投资组合包括看涨期权：长100 K=40-沙地上的罢工要求50 K=85-删除S。我们的风险期限为T=1年，目标VaRα和TVaRα风险度量为α=0.005。通过风险中性定价，投资组合的价值为T，从z开始≡ （z，z）∈ R+isf（z）。=EQh100e-β（T-T）装货单- 40+- 50e-β（T-T）装货单- 85+（ST，ST）=zi。（33）资产头寸初始价格SiStrike KiMaturity TiVolatilityσ为100 50 40 2 25%S-50 80 85 3 35%相关性ρ=0.3利率β=0.04表2：股票和S上Black Scholes投资组合的二维案例研究参数。从Black Scholes公式获得的f等高线图如图3所示。观察到f（z）在左上角最为负，而τ（z）在z和z两个方向都在增加，因此，在不确定性较大且场景更稀少的右上角可能会花费更多的注意力。图中还显示了场景集Z，我们从（ST，ST）的双变量对数正态分布中生成了一个固定样本。注意，这里Z是使用Q分布生成的，因此[0，T]和[T，Ti]上因子的动力学是相同的，即。

物理和风险中性措施是一致的。这只是为了更简单地介绍案例研究；根据我们的经验，Z的作用仅次于其他考虑因素。图3中的红线显示了真实（相对于所示Z）分位数损失f（αN）=f（qα）=-4052.02，指示方法应针对的区域。图3：二维Black-Scholes期权案例研究的真实投资组合值f（z），以及相应的模拟标准偏差τ（z）。红色表示真实分位数损失f（50）=-4052.02.点云表示场景集Z={zn，n=1，…，10000}。在本案例研究中，通过模拟S的对数正态值，S条件为（S，S）=（z，z），并将其插入Payoffy=100e得到输出yn，i-β（T-T）装货单- 40+- 50e-β（T-T）装货单- 85+, （34）式中，T=1、T=2和T=3。我们继续使用全局实验参数N=10，N=10，比较表1中列出的所有方法，从而得出αN=50。注意，sinceN=N，U1-GP为每个场景分配一个内部模拟。在初始化过程中，使用的完全顺序方案为N=0.01N=100，rn=10（即N=N- rNinit=9000），K=100级，因此在所有其他轮次中，rk=N/K=90。GP超参数在阶段k=10、20、…、，对于每个顺序方法为100，对于A3 GP和U2-GP，每个阶段后为100。因为我们有风险RVaR的确切值f（50）和尾部VaR RTVaR=Pn=1f（n），VaR或TVaR的给定最终估计值的偏差和平方误差（SE）都是简单的=^RK- R、 和SE（^RK）=^RK- R.对于（12）中GP的平均函数u（·），我们取T处投资组合的内在价值，即u（z，z）=100e-0.04（z- 40)+- 50e-2·0.04（z- 85)+.

（35）将上述选择与更简单的常数平均函数u（z）=β和其他GP超参数的βfittedalong进行比较；尽管后者确实增加了GP的不确定性sk（zn），但在方案的最终性能方面没有产生统计上的显著差异。6.1比较算法通过执行100次宏复制m=1，…，对算法进行评估，100（即使用一组新的采样yn，i’s重复整个过程），对于固定集合Z的VaR和TVaR，获得估计值^R[1]K，^R[100]K.这会产生各种算法估计量的真实抽样分布，控制内部模拟的内在可变性。这些输出用于计算偏差、方差和SE，结果通过几个表格和图表进行说明。第6.2节提供了顺序方法的详细可视化。表3报告了（i）SD（^R[1:100]K），这是100次宏观复制的经验标准偏差，（ii）与^RK相关的平均估计GP后验不确定度：s.=Pm=1s（^R[m]K），（iii）相对于地面真值的均方根误差，RM SE=qPm=1（^R[m]K- R） 与（iv）average | DK |一起，是算法选择的不同外部场景的数量。注意，对于LB和U1-GP以外的方法，| DK|-100（其中100=Ninitis试验阶段0方案的数量）是初始化后选择的位置数量。图4和图5显示了^R[m]Kand s（^R[m]K）的结果分布箱线图，其中水平线是从Black-Scholes分析计算中获得的真实风险度量R。对于VaR，我们重申，我们的估计值预计会收敛到Harrell-Davis估计值RVaR，HDR在下面的讨论中被用作基本事实。

在本示例中，相对于真实分位数的差值约为20，f（αN）=-4052.02，右驾=-4032.21.我们从风险价值开始讨论。统一分配（U1-GP）结果未绘制，因为它们远远超出轴限制；表格显示其RMSE比LB大60倍以上。所有其他方法都比传统的嵌套蒙特卡罗方法有明显的改进。按照U1-GP的顺序进行比较，U2-GP和A3-GP大致显示出改善，这要归功于Var0.005TVaR0.005SD（^RHDK）s RMSE | DK | SD（^RK）s RMSE | DK | LB 44.35 40.42 46.77 1 47.29 53.48 47.42 1ST-GP 50.57 48.55 50.59 121.52 59.12 55.17 61.46 118.27SE-GP 50.48 50.71 74.03 116.12 93.36 87.83 95.70 111.79SV-GP 56.50 48 48.48 28 60.53 305.03 55.78 54.76 56.65 163.08SR-GP-1 63.27 61.90 69.74 112.43 61.48 55.34 61.86 165.27SR-GP-2 50.45 49.8250.52 180.97 61.66 61.56 62.13 193.46A3-GP 61.07 54.18 60.83 292.83 63.57 59.92 63.18 297.44U2-GP 68.76 55 55.91 68.47 194.55 64.92 67.77 64.87 194.64U1-GP 695.33 560.52 2965.05 10909.17 700.43 3003.07 10表3：对于二维Black-Scholes案例研究，样本标准差（SD）超过100个宏重复，平均GP后验标准差s，以及每种方法的RMSE RK，以及平均最终设计尺寸。方法说明见表1。图4：二维Black-Scholes案例研究的VaR估计。左箱线图显示了最终估值的分布情况；右侧是相应GP标准偏差s（^RVaRK）的分布。结果基于每种方法的100次宏复制。增加级数，与U2-GP相比，后者的RMSE减少约20%。按照100个阶段的顺序方案，我们又获得了15-20%的改进–将ST-GP与A3-GP进行比较。可以进行其他一些比较。

在两种SUR类型的策略中，SE-GP相对于ST-GP表现不佳，这表明后一种获取函数更适合分位数学习，可能是因为它能够解释估计的^RHDK中的不确定性。对于基于秩的方法，SR-GP-2表现良好（与ST-GP竞争）表明，在本案例研究中，L=26，U=75的选择对VaR0.005效果良好，而SR-GP-1表现不佳表明其对经验分位数的关注范围狭窄。由于过于激进，SR-GP-1可能会完全错过一些构成RHD的场景，从而导致更多的偏差和分散交叉运行。总体而言，就RMSE而言，表现最好的是ST-GP、SV-GP和SR-GP-2。图5：二维Black-Scholes案例研究的TVaR估计。左箱线图显示了最终估值的分布；右侧是相应的GP标准偏差s（^RTVaRK）。结果基于每种方法的100次宏复制。箱线图我们看到，所有方法（除了预期无偏的LB）都有偏高，即低于报告资本要求。值得注意的是，SE-GP和SR-GP-1的偏差相对较高，SD（^RK）也较大。请注意，如果没有空间平滑，分位数估计值会偏低，因为经验分位数相对于地面真值更极端。通过空间平均，模拟器以另一种方式拉动偏差。表3还比较了s（^R[m]K）和SD（^RK）。前者是^R标准误差的内部仿真器BaseDestinate，而后者是在宏复制中观察到的采样标准偏差。没有办法先验地计算SD（^RK），我们希望S（^RK）可以作为代理。这种准确报告标准错误的能力是仿真的一个重要部分。