组合尾部风险的序列设计与空间建模

这种计算成本较高的模拟器更能代表现实生活中的模拟引擎，并减少了模拟器安装、选择和预测方面的间接成本影响。7.1结果对于本节的其余部分，我们考虑水平T=1，并分析方程式（37）中的f（Z），即未来一年的终身年金净现值。我们取x=55，年号开始日期为S=10，即个人在x=65岁退休。如前所述，我们模拟附录B中的算法1，以确定N=10的场景集Z。方程（39）中的利率参数为“β=0.04，”“α=0.04，”“ζ=0.02，φ=0.05，E＆W死亡率模型在年龄范围x上进行了拟合∈ [55，89]使用StMoMo包[37]。与之前的案例研究一样，GP超参数在阶段10、20、…、，100，并且在3 GP和U2-GP的每一轮之后。对于平均函数，我们拟合常数u（z）≡ β.在设置（37）下，f（z）没有闭合形式的评估，因此我们通过模拟获得基准RB。该值通过运行SR-GP方法确定，N=2·10，K=200轮（因此rk=1·10；我们也采用非常保守的L=1，U=200）。结果为RVaRB=-16.0498和RTVaRB=-16.3739，估计标准偏差为s（RVaRB）=0.00202，s（RTVaRB）=0.00188。我们重复第6节的方法，对HVAR0.005和TVaR0.005执行100次固定Z的宏复制。

偏差和后验不确定度的箱线图如图10所示，估计值标准偏差、RMSE和最终设计尺寸的数值如表6所示。VaR0.005TVaR0.005SD（^RHDK）s RMSE | DK | SD（^RK）s RMSE | DK | TimeST GP 0.0394 0.0455 0.0403 151.83 0.0461 0.0404 0.0472 147.10 330SE-GP 0.0427 0.0493 0.0459 143.27 0.2853 0.2717 0.2850 101.62 295SV-GP 0.0382 0.0406 0.0380 497.81 0.0408 0.038 93 0.0407 254.35 403SR-GP-10.0467 0.0470 0.0485 135.03 0.0430 0.0402 0.0430 184.73 219SR-GP-2 0.0391 0.0437 0.0434 217.36 0.0447 0.0431 0.0450 224.96 198A3-GP0.0434 0.0497 0.0436 298.15 0.0464 0.0490 0.0461 298.55 115U2-GP 0.0598 0.0598 0.0596 194.03 0.0684 0.0601 0.0689 195.81 112U1-GP 0.5020 0.4156 0.5853 100.4940 0.4705 0.6709 10表6：基于100次宏观复制的6天人寿年金案例研究结果。我们报告了^R[1:100]K的样本标准偏差、平均GP后验标准偏差s和^RK的RMSE，以及每种方法的平均最终设计尺寸。最后一列以秒为单位报告运行时间。方法说明见表1。在相对绩效方面，结果与第一个案例研究略有不同。对于VAR0.005，SV-GP再次具有最低的RMSE值，尽管ST-GP仅差6%。有趣的是，A3-GP的表现和SR-GP-2一样好。由于A3-GP分配ramong 200个位置，这表明SR-GP-2的带宽L=26，U=75对于这种更复杂的设置来说可能太紧了，特别是因为这一次它只略优于激进的SR-GP-1。与之前一样，U1-GPFailes（RMSE比SV-GP高出15倍以上），虽然U2-GP有很大的改进，但与其他方法相比，它的RMSE仍然高得多。图10中的方框图显示，ST-GP、SV-GP和SR-GP-2提供了最稳定的不确定度量化（s（^RHDK）的紧密分布和接近实际D（^RK））。

与第一个案例研究一样，SE-GP在^RK及其报告的标准误差中会导致更多的跨期离散。TVaR结果相似；我们评论了一些明显的差异。SV-GP仍然具有最低的RMSE和最低的SD（^RK）。另一方面，SE-GP在其采集功能和不稳定s（^RK）方面也存在同样的问题。SR-GP方法的表现次之（尽管在s（^RK）不稳定的情况下，其连续确定性定量的可靠性明显较低），A3-GP和STGP紧随其后。我们将SV-GP的相对“胜利”归因于其更具差异性的分配，即更大的DK，这表明在更复杂的例子中估计TVaR需要更广泛的撒网，而不是仅针对尾部。总的来说，本案例研究证实了基于GP的顺序方法的性能，即使在高维环境中也是如此。估计的^RKGP后验不确定度s（^RK）VaR0.005TVaR0.005Figure 10：对于终身年金案例研究，最终^rkeptimates（左）和s（^RK）（右）的箱线图显示了每种方法的100次宏观复制。第一行：风险价值；最下面一行：TVaR。左侧的范围虚线是风险度量的参考值。8结论我们首次全面检查了在一组固定的外部场景下使用高斯过程模拟器和嵌套模拟来估计VaRα和Tvarα的顺序方法。无论是假设水平（VaRα）已知【30、4、15】和/或无噪声输出【26】，使用非顺序算法【27】，还是不使用空间模型进行平滑【8】，仿真文献中现有的方法都无法满足该应用。我们记录了相对于普通嵌套蒙特卡罗的两个数量级的节约，由于自适应分配，节约了大约10倍，由于空间建模，节约了5倍。

这些收益对于小型模拟预算来说是最强的N≈ N如果现有方法基本上失败或不适用。作为另一个优势，使用GP模拟器还可以得到本质上无偏的风险估计器（与有偏的非光滑版本相比），并提供标准误差的可靠估计。我们还利用了HETGP中新引入的heteroskedastic GP框架【6】。当重复计数rk较低时，噪声面τ（·）的改进估计会减少^f中的偏差，并产生一个更稳健的^RkThrough估计量。所有全序贯方法都比简单的两阶段法和三阶段法有显著的改进【27】。我们将GP仿真与顺序设计相结合的主要缺点是回归/预测开销，但通过批处理和仔细选择候选集Zcandk，这一开销显著减少。此外，在调用Y（·）代价高昂的更现实的示例中，计算采集函数、拟合和预测所花费的总时间变得微不足道。我们确定了两种性能最好的方法。SV-GP是[27]的完全顺序适应，在两个案例研究中，在RMSE方面表现最好。SV-GP还导致输出的后验不确定度sK（^RK）的变化最小，使该值成为真实采样标准偏差的可靠代理。ST-GP的表现也差不多，事实上在前几轮中表现最好，参见图6的扇形图。SV-GP的实现涉及到一个单独的辅助优化问题，并带来了更多的开销和编码复杂性。相比之下，ST-GP的标准很简单，并且还将仿真器模型大小保持在最小（Dk是GP开销的关键决定因素）。

一个更简单/更快的方案是基于银行的SR-GP，该方案也表现良好，但其结果在很大程度上取决于土地U的选择，而土地U的选择又因案例研究和VaRα与TVaRα的不同而不同。这是SV-GP和ST-GP的另一个优点，它们不需要用户指定的参数。SE-GP的混合性能提供了一个警示，即设计良好的采集功能对整体性能很重要。我们得出的结论是，当预算N非常有限时，ST-GP是一个很好的选择，而对于更大的预算，像SV-GP这样的方案是最好的。有多种方法可以进一步发展。通过微调各前瞻变量优化期间使用的权重w，可以进一步优化表现最佳的SV-GP。例如，【27】中的相关三阶段方法使用通过模拟获得的经验权重估计，以确定TVaR估计器的权重。修改优化标准以避免rnk≥ 1将消除场景探测并大幅缩小SV-GP的设计尺寸| Dk |。或者，自适应选择RK将减少仿真开销。相反，可以扩展ST-GP或SE-GP方法，在ZK+1和rk，即将配料内部化到设计施工中（而目前，相应的采集功能在技术上是一步先行）。也欢迎对^RK偏差的各种收敛速度进行理论分析，尽管这对已知阈值L的等高线查找这一更简单的问题来说已经是一个极大的挑战。初始化阶段也需要进一步分析。

回想一下，我们使用的固定预算为r=0.1N，通过空间填充方案确定的九个代表性场景。原则上R应尽可能小，让算法本身分配模拟的剩余部分，但在实践中，GP超参数的合理起点至关重要。更好的规则/启发式选择R需要考虑。此外，在Z的几何极值点的意义上，可能需要进一步关注各自的极值区域，而不是给定Z的空间，例如，参见【11】中统计深度函数的使用。最后但并非最不重要的一点是，可以对我们框架下的GP模拟器进行各种调整。回想一下，代理作出了许多假设，例如高斯观测噪声和协方差结构中的空间平稳性。在实践中可能会违反这些规定；如果模型规格不准确是一个问题，那么可以考虑在GP生态系统GP GLM（例如，t分布噪声）、树状图和本地GPs中构成一个活跃研究领域的众多替代方案。参考文献【1】Bruce Ankenman、Barry L Nelson和Jeremy Staum，《模拟元建模的随机克里格法》，运筹学，58（2010），第371-382页。[2] 巴塞尔委员会，《交易账簿的基本审查：经修订的市场风险框架》，咨询文件，2013年10月版。[3] Daniel Bauer、Andreas Reuss和Daniela Singer，关于基于嵌套模拟的solvencycapital需求计算，ASTIN公告：IAA杂志，42（2012），第453-499页。[4] Julien Bect、David Ginsbourger、Ling Li、Victor Picheny和EmmanuelVazquez，《故障概率估计的计算机实验顺序设计》，统计与计算，22（2012），pp。

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