组合尾部风险的序列设计与空间建模

最后，虽然[27]只处理了TVaR，但我们同时处理了VaR和TVaR（并比较了实现的细微差别）。本文组织如下：在第2节中，我们讨论了模拟目标和投资组合的总风险，以及VaRα估计量。第3节正式介绍了GP模型及其数学细节。接下来，第4节为我们的问题制定了顺序设计标准。第5节提供了完整的实现。最后，我们将该算法应用于两个案例研究：第6节涉及一个双因素模型，在该模型中，我们将顺序VaR/TVaR策略与几个基准进行比较，并查看各种GP版本；第7节研究了高维情况下的性能，其中状态过程是六维的，模拟器的成本要高得多。2目标给定概率空间(Ohm, F、 P），我们考虑了一个具有马尔可夫状态过程z=（Zt）的随机系统。连续和离散时间模型都可以处理。通常，Z是一个基于随机微分方程（t∈ R+）或时间序列ARIMAframework（t∈ N） 。根据Z的实现情况，建模者需要评估中间期T的最终资本f（ZT）。投资组合价值f（ZT）计算为给定时间T的贴现现金流的条件预期值。t日的现金流Yt（z·）可能取决于从t到t的随机因素的整个路径z[t，t]（但不取决于z[0，t]）。为了计算其净现值Y，我们以恒定的无风险利率βY进行贴现=∞Xt=Te-β（t-T）Yt（Z[T，T]）。（2） 由于Z是马尔可夫函数，我们可以将给定FTA的Y的条件期望写成（1）中定义的函数f（Z），并且类似地，此后将使用符号Y（Z）。我们假设f（·）不具有任何简单/封闭形式的函数形式。

然而，由于f（z）是一个条件期望，因此可以使用模拟器对其进行采样，即建模者可以访问一个引擎，该引擎可以生成（Zt），t的独立、相同分布的轨迹≥ T固定一个分位数α（通常α=0.005，对应于导言中提到的99.5%VaR水平），基于VaRα和TVaRα的资本要求分别为阈值，使得损失超过VaRα的概率为α，即VaRα（f（ZT））=sup{x:P（f（ZT））≤ x）≤ α} ，（3）和α-尾部平均值，TVaRα（f（ZT））=Ef（ZT）| f（ZT）≤ VaRα（f（ZT））. （4） 如上所述，我们不考虑ZT的理论分布，而是考虑大小为N的给定塞纳里奥集合Z，该集合在演示的其余部分被假定为固定的。通常，外部情景由经济情景生成器（ESG）提供，该生成器将（Zt）的动态校准为历史数据，即它处于物理度量P之下。内部模拟基于按市值计价法，即其处于风险中性度量Q下。因此，（Zt）的演化在[0，T]和[T]上有所不同，∞). 这是将Z视为固定的一个原因，使我们能够避免讨论ESG/外部模拟器的精确机制。给定损失情景{z，z，…，zN}=Z、 计算VaRanow转化为找到f1:N的αN（假定为整数）阶统计量f（αN），其中我们使用简写fnf（zn）和上标（n）是指f1:n的第n个有序值（按递增顺序）。更一般而言，我们考虑通过权重定义的Z的风险度量R：给定损失集合f1:NletR=NXn=1wnfn，（5），其中Pnn=1wn=1。对于VaRα和TVaRα，权重分别为wn，VaR={n：fn=f（αn）}；（6） wn，TVaR=αN·{N:fn≤f（αN）}。（7） 在整个过程中，我们将f视为投资组合价值，即。

越多越好，尾部风险与f最为负的左尾部有关。考虑尾部风险的另一种方法是通过相应的尾部区域RVAR来考虑{zn:fn=f（αN）}，和RTVaR={锌：fn≤ f（αN）}。（8） 最后，我们还引入符号qα来表示精确的α-分位数场景（即一个inRVaR）：f（qα）=f（αN）。2.1嵌套模拟尾部风险估计标准蒙特卡罗方法基于嵌套模拟。从Z开始，对于每个n，f（zn）由内部经验平均值f（zn）’yn近似=rnrnXi=1yn，i，n=1，N、 （9）式中，yn，iis（2）基于独立复制的损失现值yn，i·（zn·），i∈{1，…，rn}通过（Zt）t的轨迹zn，i·来计算≥T | ZT=锌。然后分别通过样本分位数和尾部平均值来估计方程（3）和（4）。具体而言，我们按照y（1）的递增顺序对估计的Scenario损失（\'yn）Nn=1进行排序≤ 是（2）≤ . . . ≤ \'y（N）取^RSA，VaR.=\'y（αN）和^RSA，TVaR=αNPαNi=1’y（i）。在最简单的设置中，内部预算在各种场景中都是恒定的，rn=\'r导致总模拟预算为O（N·\'r）。这很快就会变得昂贵：例如，r=10和N=10的预算场景需要100个总模拟。此外，经验估计器^RSA，VaRis-biased，参见Kim和Hardy【25】（他们指出，如果不知道f和ZT分布的一些细节，就无法量化偏差的方向）以及Gordy和Juneja【21】。这些论文分别讨论了通过bootstrap和jackknife减少偏差的方法。Gordy和Juneja【21】还提供了为固定预算选择N和'r的最佳策略。作为另一种缓解^RSA，VaR偏差的方法，可以构建几个修改版本的VaRα估计量，这些估计量来自附近订单统计的加权平均数。

呼叫L-估计器【36】，与单样本顺序统计相比，它们具有更强的稳健性。有效地，此类估计器修改了权重定义（5），以解释边际估计器^f（zn）中的不确定性。Harrell和Davis[23]提出了一个著名的构造，其中VaRα估计值的权重选择为RHD，VaR=Pnw（n）f（n），w（n）=Zn/n（n-1） /NBeta（t；（N+1）αN，（N+1）（1）- αN））dt，（10），其中Beta（x；a，b）是具有形状参数（a，b）的Beta分布密度函数，而指数（N）是指^f的顺序统计量（例如，如果使用经验插塞法，则为“yn，N=1，…，N）。权重w（n）在n=αn附近最大，并且在两侧迅速变细，平滑了（6）的二进制0/1性质。有关Harrell DavidWeights及其相对于其他L-估计员。虽然一般的结论是没有一个估计器表现最好，但在我们的实验中，我们发现（10）在较小的偏差和较低的标准误差方面明显优于原始（6）。这些担忧并没有扩展到TVaR情况，因为根据我们的经验，经验估计器^RTVaRα=αNPαNn=1^f（n）已经足够应对一些临界情景的错误描述。从理论上讲，通过平滑切变函数wn、TVaRnear^f（αN）来创建类似于（10）的结构，可以实现额外的鲁棒性。3高斯过程仿真为了构建近似（3）和（4）的节俭方案，我们用f的替代模型^f替换重复评估f（z）的内部步骤。该仿真框架通过在训练数据集上求解回归方程来生成拟合的^f。与经典回归不同，建模者负责实验设计（构建训练样本），实验设计被视为按顺序进行。

特别是对于尾部风险，我们寻求一种程序来确定对（3）-（4）重要的尾部场景。我们注意到，仿真为近似f提供了一个统计角度。从业人员通常采用的另一种方法是构造分析近似，例如通过整合Z[T]中的一些随机性，∞)得到f（z）的闭式表达式。然而，这类公式的质量很难判断，它们通常需要定制的推导。相反，代理项^f直接平滑了附近场景中的蒙特卡罗噪声，并且随着预算的增加，代理项^f被构造为与真实f渐近一致。形式上，仿真的统计问题涉及一个取样器（z）=f（z）+（z） ，（11）其中，我们用未知响应面确定f（·），并且（·）是采样噪声，方差为τ（z），假设在对采样器的不同调用中独立且均匀分布。具体而言，噪声被视为高斯噪声（z）~ N（0，τ（z）），但取决于情景。仿真现在涉及（i）在形成训练数据集的过程的每个阶段k提出设计Dk的实验设计步骤，以及（ii）使用收集的输出Dk=（zn，ynk）Nn=1的学习过程，其中ynk={yn，1k，…，yn，rnkk}是（11）在zn的rnk化的集合，在适当的功能空间L（f | Dk）上构建一个基于f条件定律的固定响应面^f（·）。在这里，我们考虑这样一种情况，即^f是基于一个多步骤过程顺序设置的，下标k表示步进计数器，因此Dk Dk+1.3.1 GP后验GP代理假设（11）中的f的形式为f（z）=u（z）+X（z），（12），其中u：Rd→ R是趋势函数，X是协方差核C（X，X）的均方可积高斯过程。

C的作用是生成再生核Hilbert空间，这是假定X所属的函数空间。因为噪音（z） 也是高斯分布，我们有^fk（z）≡ f（z）| Dk~ N（u（z）+m（z），s（z））具有高斯后验，这减少了计算克里格平均值m（z）和克里格方差（z）。然后，可以将u（z）+m（z）作为场景z下f的点估计。反过来，克里格方差s（z）提供了模型精度的原则性经验估计，量化了近似质量。特别是，可以使用s（z）作为z处^f的均方误差（MSE）的代理。高斯过程特性意味着不仅边缘后验atz是高斯的，而且（f（z），f（zM））| dk是任意M元组z1:M的多元正态分布（MVN）。通过考虑过程f（z）- u（z），我们可以假设f在统计上以零为中心，而不失一般性。表示每个场景的样本平均值znby ynk=rnkPrnki=1yn，ikas在等式（9）中，总体集合为yk=（yk，…，yNk）（注意，这里我们假设已经对所有场景进行了采样，请参见第14页的进一步讨论），由此产生的后验概率和方差^fk（z）遵循MVN条件方程[33]（mk（z）。=c（z）（c+（k）-1年至今；sk（z）。=C（z，z）-c（z）（c+（k）-1c（z）T，（13），其中c（z）=C（z，zj）1.≤j≤N、 C=C（zi，zj）1.≤i、 j≤Nkis是N×N对角矩阵，其条目为τ（z）/rk，τ（zN）/rNkandTdenotes转座。注意，条件方差τ（·）通常是未知的，因此应用（13）需要用进一步的近似值τ（·）代替它，如第3.3节所述。评论对于不熟悉模拟器和代理的读者，这个想法相当于回归：将未知的f投影到特定的近似空间H上。

后者是“非参数”的，在连续函数类中是有限维且密集的，因此对于大小为N的输入数据集，有O（N）个自由度。与经典回归不同，在仿真中没有“数据”：控制器还负责提出场景x，其中F应该被探测；因为输出是随机的，所以批处理非常有意义，即多次探测同一场景。GP仿真将f视为一个随机场的实现，将重测回归视为在给定的输入/输出对上对该随机场进行概率调节。这相当于将H取为核C生成的RKH，然后应用标准投影方程。3.2协方差核和超参数估计设置GP仿真器相当于指定协方差函数C（·，·）并应用（13）。标准的选择是一个空间静止的核，C（z，z）≡ c（z- z） =σdYj=1g（zj- zj；θj），还原为一维基核g。下面我们使用Mat'ern-5/2核g（h；θ）=1+√5hθ+5h3θ！经验值-√5hθ！。（14） 超参数θjare称为特征长度标度，非正式地对应于输入之间的距离，在此距离上，响应f可以发生显著变化【31，Ch 2】。我们利用了R包DiceKriging[33]和hetGP[5]，它们符合超参数σ，θjby Maximum似然。后者是一个非线性优化问题，软件包不同于如何进行全局最大值搜索（初始化、梯度估计等）。3.3内在方差模拟方差τ（z）取决于情景，是确定替代项的关键部分。在基本GP模拟器中，它由局部经验方差近似，利用多个内部模拟提供的复制。

这种被称为随机克里格法（SK）的方法在Ankenman等人[1]中介绍，它设置了^τk（zn）=rnk公司- 1rnkXi=1（yn，ik- \'\'ynk）。（15） 但是，SK需要rnk≥ 2和更现实的rkn 10，由于内部模拟数量不足，对条件方差的估计将越来越不可靠。这对顺序算法造成了很大的限制，因此需要对所有相关场景进行最少次数的采样。此外，（15）中的^τ仅在后验情况下可用，因此在尚未采样的情况下，没有预测模拟方差的自然方法（Ankenman等人[1]建议为此进行基于GP的^τ插值）。为了克服这一限制，我们使用了一个扩展的GP模型[6]，该模型联合建模了responsemean z 7→ f（z）和（对数）-方差z 7→ 对数τ（z）。具体而言，为每个方案引入了一个额外的潜变量∧nis∈ D、 然后，将估计的τ视为∧n的空间平滑变化，将上述SK插值思想与额外的平滑结合起来，以解释真实τ（zn）的不确定性。该模型联合学习定义f（·）协方差核C（·，·）和所有∧n的超参数。虽然这增加了在似然最大化步骤中解决的基础优化问题的复杂性，但由于各似然函数梯度的解析表达式，可跟踪性得以保持。Werefer to Binois et al.[6]了解全部详细信息，并利用得到的hetGP[5]包有效实施该程序。相对于SK，hetGP方法对rnk没有下限约束，在算法的早期阶段尤其有利，因为许多^τ不稳定。

根据文献[6]，使用hetGP甚至可以通过更好地处理复制，避免（15）中的陷阱，从而提高性能，即使对于homoskedasticmodels也是如此。在我们的实验中，hetGP表现得更好，特别是降低了小k的mk（·）偏差，从而改善了我们的顺序设计策略的“放大”特性。3.4估计投资组合风险在构建f（·）的替代项后，仍然存在估计（5）中定义的风险度量值的问题。这一识别问题本身就很重要，尤其是因为我们寻求的不仅仅是点估计值^R。从概率的角度来看，R是一个随机变量（通过随机变量f1:N定义），在给定Dk的情况下，具有其自身的后验分布。因此，基于GP的R估计为^RGPk=E【R | Dk】=XnE【wnf（zn）| Dk】。（16） 由于权重wn是根据f（z1:N）的阶统计量隐式定义的，因此^rgpre需要对^f1:N的联合分布进行积分。虽然后者是多元高斯分布，但对于MVN分布的一个坐标^fn是特定阶统计量^f（αN）的概率，没有闭合形式的公式（尽管参见文献[26]）。尽管如此，（16）中的条件期望原则上可以通过从^f1:N的后MVN定律中提取，评估得到的分位数/尾数并平均来进行数值近似。一个更便宜的解决方案是使用克里格方法mk（z），类似于嵌套模拟中基于y的标准插件估计器。具体而言，我们使用Harrell DavisL-基于排序后验均值的估计器（10）：^RHD，VaRk=Xnw（n）m（n）k.（17）用于估算TVaRα，经验权重^wn，TVaRk=αn{mk（zn）≤基于后验数的m（αN）k}与（17）类似。给定一个估计值pn^w（n）k^f（n）kand表示^wk=（^wk，…）。

，^wNk），其平均值通过插入（17）中^fnike的后验均值mnkfor获得，我们可以类似地获得估计方差：s（^Rk）。=VarXn^w（n）f（n）kDk=^工作C- c（z）（c+（k）-1c（z）T^wTk。（18） 注意，方程（18）中的内项是^f1:Nk的后验协方差矩阵，利用GP的协方差结构进行额外的平滑。为便于以后使用，我们还定义了估计的分位数场景cqα，其解mk（cqα）=m（αN），并可与基于f.Remark的真实分位数qα进行比较。为了鼓励使用^RHD，VaR，考虑从（16）开始，但将这两个术语视为独立的“中间”方法：E[R | Dk]\'XnE[f（zn）| Dk]·E[wn | Dk]=Xnωnkmk（zn），其中权重为（达到归一化因子）ωnk=P（zn∈ R | Dk）。这意味着我们应该用平滑后验概率替换（6）-（7）中的0/1权重。在我们的案例研究中模拟ω，并将其与有序均值m1进行绘制：得到了一个钟形，该钟形与（10）中Harrell-Davis权重的β形相匹配。（但请注意，作为k→ ∞,ωnk→ wn，V Ar虽然Harrell-Davis权重w独立于k。）4尾部近似的顺序设计为了估计R，我们假设给定了N个内部模拟的总预算，以便在N个固定场景中分配。然后，我们采用以下一般程序将计算分为k轮k=1，K、 其中，NK是第K轮之前的剩余模拟预算（带N≡ N） ：I.通过在飞行员情景子集上生成模拟来初始化^fb。二、按顺序在k=0，1，直到Nk=0，预测^fkon Z以确定哪个场景接近R。为该场景/这些场景分配更多的内部模拟，即增加相应的rn。这是通过采集函数H（zn）实现的，该函数考虑了znto R的“接近度”和不确定性sk（zn）。