组合尾部风险的序列设计与空间建模

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英文标题：
《Sequential Design and Spatial Modeling for Portfolio Tail Risk
  Measurement》
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作者：
Michael Ludkovski and James Risk
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider calculation of capital requirements when the underlying economic scenarios are determined by simulatable risk factors. In the respective nested simulation framework, the goal is to estimate portfolio tail risk, quantified via VaR or TVaR of a given collection of future economic scenarios representing factor levels at the risk horizon. Traditionally, evaluating portfolio losses of an outer scenario is done by computing a conditional expectation via inner-level Monte Carlo and is computationally expensive. We introduce several inter-related machine learning techniques to speed up this computation, in particular by properly accounting for the simulation noise. Our main workhorse is an advanced Gaussian Process (GP) regression approach which uses nonparametric spatial modeling to efficiently learn the relationship between the stochastic factors defining scenarios and corresponding portfolio value. Leveraging this emulator, we develop sequential algorithms that adaptively allocate inner simulation budgets to target the quantile region. The GP framework also yields better uncertainty quantification for the resulting VaR/TVaR estimators that reduces bias and variance compared to existing methods. We illustrate the proposed strategies with two case-studies in two and six dimensions.
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中文摘要：
当基本经济情景由可模拟的风险因素确定时，我们考虑资本要求的计算。在各自的嵌套模拟框架中，目标是估计投资组合尾部风险，通过VaR或TVaR对代表风险范围内因素水平的给定未来经济情景集合进行量化。传统上，评估外部情景的投资组合损失是通过内部蒙特卡罗计算条件期望来完成的，计算成本很高。我们引入了几种相互关联的机器学习技术来加速这种计算，特别是通过适当考虑模拟噪声。我们的主要工作是一种高级高斯过程（GP）回归方法，该方法使用非参数空间建模来有效地了解定义情景的随机因素与相应投资组合价值之间的关系。利用这个模拟器，我们开发了顺序算法，可以自适应地分配内部模拟预算以定位分位数区域。与现有方法相比，GP框架还为产生的VaR/TVaR估计量提供了更好的不确定性量化，从而减少了偏差和方差。我们在两个维度和六个维度上用两个案例研究来说明所提出的策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Sequential_Design_and_Spatial_Modeling_for_Portfolio_Tail_Risk_Measurement.pdf (1.42 MB)

2022-6-1 13:30:39 上传

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关键词：Quantitative Requirements relationship Applications Measurement

组合尾部风险度量的序列设计和空间建模Jimmy Risk+Michael Ludkovski*2018年5月18日摘要当基础经济情景由可模拟的风险因素确定时，我们考虑资本要求的计算。在各自的嵌套模拟框架中，目标是估计投资组合尾部风险，通过给定的未来经济情景集合的VaR或TVaR进行量化，代表风险范围内的因素水平。传统上，外部情景的投资组合损失评估是通过内部蒙特卡罗计算条件期望来完成的，计算成本很高。我们引入了几种相互关联的机器学习技术来加速这种计算，特别是通过适当考虑模拟噪声。我们的主要工作是一种高级高斯过程（GP）回归方法，该方法使用非参数空间建模来有效地了解随机因素定义场景与相应投资组合价值之间的关系。利用这个模拟器，我们开发了顺序算法，可以自适应地分配内部模拟预算以定位分位数区域。GP框架还为产生的VaR/TVaR估值器提供了更好的不确定性量化，与现有方法相比，减少了偏差和方差。我们在两个维度和六个维度上用两个案例研究来说明所提出的策略。关键词：风险价值估计、高斯过程回归、序列设计、嵌套模拟、投资组合尾部风险1简介最新的保险和金融法规要求对基于分位数的投资组合风险度量进行估计。《偿付能力II》[17]框架要求计算1年期内99.5%的风险价值（VaR），而《巴塞尔III》银行业法规[2]要求报告相关的风险价值（TVaR）。

在实践中，这些数量的计算方法是首先生成未来经济情景的代表集Z，然后根据Z评估经验损失分位数。然而，由于潜在现金流和估值的复杂性，直接计算未来投资组合价值通常不可行，而是使用近似值。这是为加利福尼亚大学圣巴巴拉分校统计和应用概率系（美国93106-3110）所做的。感谢NSF DMS-1521743的部分支持。ludkovski@pstat.ucsb.eduDepartment数学与统计学院，加州Poly Pomonajrisk@cpp.eduscenario通过对条件期望的蒙特卡罗评估，概率确定投资组合价值，从而导致嵌套模拟问题。在传统的嵌套模拟中，每个外部场景都是独立处理的，因此通过内部模拟的样本平均值来近似各自的投资组合损失，从而确定产生的现金流。情景Z通常是潜在随机因素或风险驱动因素（Zt）的实现，如利率因素、股票价格因素、死亡率因素、宏观经济因素等。因此，我们可以识别每种锌∈ Z为风险范围T内ZTin情景ω的值；投资组合价值f（z）与预期现金流Y（·）确定（取决于未来路径（Zt）t≥Tbeyond T）以ZT=z为条件：f（z）。=E[Y（（Zt）t≥T） | ZT=z]。（1） 注意，我们假设Z是马尔可夫的，这在实际情况下基本上总是如此；如果必要的话，Z被增广，使之成为Markov。更重要的假设是f（z）在闭合形式下不可用，因此对于给定的z，必须通过嵌套过程的内部步骤来近似。我们的目标是，当风险驱动因素遵循可模拟的马尔可夫过程时，有效地估计f（ZT）的VaRα和/或TVaRα。

为此，我们基于为嵌套模拟开发的两种基本策略。第一个想法是通过自适应地将模拟预算分配给投资组合损失较大的场景来改进内部模拟。实际上，在提到的分位数水平上，≈ 从VaR/TVaR计算的角度来看，99%的外部情景是不相关的：只有尾部情景才重要。第二个想法是利用来自（Zt）的Z的空间结构：附近的输入Z，Z应该产生相似的值f（Z），f（Z）。因此，我们可以通过从附近外部场景的内部模拟中借用信息来改进f（z）的估计。这带来了一个回归视角，将计算样本平均值的局部策略转换为近似函数z 7的全局目标→ f（z）。在本文中，我们通过将这些方法嵌入到统计模拟的框架中，将它们结合在一起并进行了极大的扩展。仿真将f视为一个未知函数，并试图产生一个优化给定目标准则的函数估计值^f。对于我们的仿真范式，我们提出了高斯过程（GP）回归（31，34），或克里格，它已成为机器学习社区的主要选择。GP带来了概率（即统计学家的贝叶斯）观点，因此f的推断被视为对观察到的模拟输出的条件，并将风险度量估计为计算相应随机变量的后验期望。这可以说是蒙特卡罗背景下的自然框架，在蒙特卡罗背景下，所有输出都是内在随机的。

GP还引入了非参数回归方法，缓解了为空间回归组件找到良好函数近似空间的问题。下面我们展示了（GP）仿真方法，结合定制的主动学习技术，即使在模拟预算很小的情况下也可以提供准确的估计，同时保持相对较低的数值开销（拟合、预测等）。因此，我们的主要信息是，可以从所提议的统计工具中压缩出显著的效率，从而大大提高嵌套模拟的效率。在模拟语言中，方程式（1）定义了一个我们希望学习的黑箱函数。模拟/GP回归的起源是确定性计算机实验的分析，其中可以（昂贵地）在没有任何噪声的情况下评估f（z），参见Santner等人的[18、22、28]和themonographs[34]以及Rasmussen和Williams[31]。最近，仿真被改编为蒙特卡罗设置，其中f（z）只被观察到有噪音：参见例如[1，6，14]。与此相关的还有我们早期的工作【32】，该工作研究了延迟寿命相关合同的近似定价，要求在ZT的整个分布上获得等式（1）的平均值。对于尾部风险估计，学习目标本质上不同于标准Lcriterion，因为fitted^f只需要精确到f（ZT）的尾部。事实上，正如前面提到的，99%以上的外部场景将变得无关紧要。据我们所知，在（1）的蒙特卡罗设置中，很少有文献直接讨论分位数/尾部估计。我们提到了Oakley【29】的工作，他介绍了GP用于确定性计算机实验的分位数估计，以及Liu和Staum【27】的工作，他们开创了随机克里格法用于估计金融投资组合嵌套蒙特卡罗中的Tvarα。另外两篇重要论文由Baueret al。

[3] who阐明了（参数线性）回归用于尾部风险估计，以及Broadie等人[8]，他们证明了学习VaRα的最小二乘蒙特卡罗方法的一些性质。更广泛地说，我们的本地化目标类似于工程可靠性文献中的三个相互关联的公式，它们针对给定水平或阈值L的f（z）：o轮廓查找：确定集合{z:f（z）∈ （L）- ε、 L+ε）}，ε小，参见[26，30]；o偏移集{z:f（z）的推论≤ 五十} [15]；o估计失效概率，又名“偏移量”，P（{z:f（z））≤ 五十} ）[4，16]。注意，等高线{z:f（z）=L}是水平集{z:f（z）的边界≤ 五十} ，Excursion volume是水平集上的加权积分。然而，在上述所有情况下（除【26】外），阈值L是外生的，而在风险价值的背景下，所需的量化α是通过f本身隐含定义的，见下文（3）。此外，所有的[4、15、26、30]都涉及确定性无噪声实验。仿真的核心是实验设计，即确定要运行哪些仿真以了解输入-输出配对z 7→ f（z）尽可能快。这自然与内部模拟的自适应分配有关。自适应性是通过将整个模拟分为几个阶段来实现的，这些阶段逐步学习f的形状。初始阶段使用模拟预算的一小部分来学习整个域上的f（z）。然后，通过进一步的阶段确定目标的搜索区域。例如，文献[29]中的方法分为两个阶段：在第二阶段，根据对f的初始推断，将内部模拟非均匀地分配给分位数区域中的场景。

刘和斯塔姆[27]提出了共三个阶段；在第二阶段，预算的另一部分统一分配给估计尾部中的场景，最后剩余预算分散（非统一）在尾部场景中，以最小化TVaRα估计量的后验方差。此外，受优化目标（找到f的全局最大值）的启发，有使用大量阶段的顺序设计方法（原则上每个阶段只添加1个模拟）。特别是，逐步减少不确定性（SUR）方法定义了采集函数H（·），并贪婪地选择在当前数据D的条件下使H（z）最大化的场景z。例如，Picheny等人[30]根据目标预期改善标准在场景中连续采样f。另一种类型的自适应策略不依赖于仿真/空间建模，而是利用所谓的排名和选择（R&S）工具【12，19】。然而，R＆S程序通常基于对f（zn）>L进行假设检验，并对每个场景的zn进行平行检验。理论上，这允许解耦估计问题，但如果L本身未知，则此类方案是不切实际的。在VaR上下文中，设置的几个方面使得仿真问题在统计上具有挑战性。首先，外部场景的典型数量N相当大，大约为N∈【10，10】针对从业者。这使得标准仿真和R&S策略在计算上非常重要。此外，典型的模拟预算N通常非常小，N~ N、 这意味着暴力统一分配方法只能对每个场景进行几次采样，从而导致灾难性的估计。这进一步意味着实际分配方案必须是公平渐进的，R&S文献中可用的渐近保证不适用。

同时，根据仿真标准，N很大，因为仿真标准将f的评估视为极其昂贵（典型的预算是 500次模拟），因此相关算法通常会带来无法接受的计算开销。其次，外部情景通常被从业者视为一个执行对象（即来自外生经济情景生成器，又称ESG）。换言之，场景空间Z被视为离散的；我们不能像Broadie等人的策略那样增加（或减少）更多的场景。也不能使用仿真优化文献中流行的连续搜索方法。第三，潜在现金流的性质使得现金流中的模拟噪声高度非高斯。它通常是倾斜的（因为许多灰流具有嵌入的可选性，因此相应的分布具有点质量），并且具有低信噪比。后者意味着跨场景信息借用对于最大限度地提高准确性至关重要。第四，投资组合损失是高度不均匀的，即。 isheteroskedastic强烈影响内部模拟分配。第五，由于objectivefunction是根据f隐式定义的，因此构造适当的估计量，尤其是量化其准确性（又称标准误差）本身是非常重要的。我们提出的框架克服了上述所有挑战，由三个关键部分组成。首先，我们连接到新兴的用于确定性计算机实验的水平集估计文献，将SUR技术的最新成功经验调整为VaR/Tvarp问题。据我们所知，这是这些不同文献之间的第一个联系，我们认为这是对机器学习和基于模拟的风险度量更紧密结合的邀请。其次，我们使用最先进的GP模拟器。

就其性质而言，GPs具有丰富的不确定性量化特性，尤其是许多用于指导模拟分配的主动学习标准的分析公式。我们更进一步，采用了针对蒙特卡罗模拟环境定制的advancedGP方法[5，6]。第三，我们利用离散场景集的优势，这种场景集本质上要求复制设计。总之，复制产生（i）改进的噪声特性，使非高斯性最小化；（ii）同时学习平均响应f（·）和条件模拟方差τ（·）以处理异方差的能力；（iii）减少模型开销；（iv）方便的GP实施。文献[1]中已经观察到复制和克里格的共生关系；我们使用的hetGP[5]库优雅地处理了（i）-（iv）的所有方面。我们提出了一个包含多个模块的通用框架，而不是提出一个单一的专用算法。通过调整这些“活动部分”，该算法可以（a）评估不同的风险度量（我们用VaR和TVaR进行了说明）；（b） 使用不同的模拟器代码；（c） 切换不同的顺序预算分配运行方式，如初始化阶段；连续阶段的数量；终止标准；批量大小等；（d） 依赖不同的VaRestimators。为了说明上述选择，我们提供了大量的数字说明，以比较不同模块的影响。在两个案例研究中，我们将其与基准进行比较，例如Liu和Staum的算法[27]。我们的统计学习观点表明，我们倾向于采用模拟-估计-评估-模拟-反馈循环的顺序算法。。。与经典的一/两阶段设计相比，完全顺序的策略提供了几个吸引人的特性。

首先，它们将模拟器提供的不确定性量化内部化，从而实现更自动化的“艺术智能”实现。其次，它们可以在线运行，即在服务器上或云中运行，中间结果始终可供检查，同时算法继续提高其准确性。因此，用户不再需要事先指定模拟预算（即，一个人愿意运行的内部模拟的数量），而是与蒙特卡罗进行交互。第三，顺序方法是更普遍地重复使用模拟的起点，例如，随着业务时间的推移，定期重新计算整个问题（通常在每周或每月进行VaR计算）。我们的总体贡献是通过GP仿真器的思想和相关的顺序设计问题来弥补当前VaR/TVaR估计算法的局限性。在TVaR的背景下，可以说最接近的方法，也是我们在很大程度上要感谢的方法，是算法学家Liu和Staum【27】。相对于[27]，我们可以列出以下4项重要改进。首先，我们将他们的三阶段策略概括为一个完全连续的k阶段过程，下面称为SV-GP。特别是，我们消除了他们中间第二阶段的需要，即执行保守的“探索”（和所需的网络调整），并扩展了他们的算法以处理非恒定的复制量。其次，我们采用了最新的hetGP模拟器，特别是通过降低学习f（x）中的偏差，显著改善了低预算环境下的仿真。第三，我们提供了一类基于主动学习启发式的替代分配策略。