存在唯一的充要条件

在iid增长设置中，log∧恰好等于该（恒定）增长率，该增长率必须为负值，才能存在有限的富裕消费比，从而存在连续值。换句话说，与无风险利率相比，风险调整后的消费增长率必须足够低。在更一般的设置中，∧与消费带定价中使用的估值算子的主要特征值相关。有关这些运营商的更多详情，请参见Boroviˇcka等人（2016）和Qinand Linetsky（2017）。定理3.1的效率部分使用单调算子的不动点理论，将其应用于算子A，并关注最初由Du（1990）得出的特定存在性和唯一性结果。在引言中，我们简要地讨论了这些结果，其中讨论仅限于单调凹的情况。事实上，Du（1990）的结果可以处理单调凹算子和单调凸算子。算符A通常属于这些类别之一，当θ<0或θ>1时为凹型，根据（24）中定义的函数的凹凸性，结合K.截面的线性，则为凸型？？在线附录概述了这些计算。该证明还使用了基于Krein–Rutman定理的谱结果，该定理将Perron–Frobenius理论扩展到函数空间。特别是，科学和必要性论证都利用了导言中的光谱半径恒等式（5），该恒等式依赖于最初由V.Ya引起的局部光谱半径结果的扩展。斯特森科。原始结果见附录中的定理A.1，扩展见定理A.2，证明（5）见命题B.4。应用接下来，我们将演示如何使用定理3.1在应用环境中获得解的存在性和唯一性。

我们从相对简单的应用程序开始，然后发展到更现实的消费流规范。4.1. 具有确定性时间趋势的消费。考虑一个模型，其中消费服从几何趋势规范T=τtXt，（26），其中τ为正标量，{Xt}为正，紧支撑，iid，如Alvarez和Jermann（2005）。然后，风险调整后的长期平均消费增长率isMC=limn→∞RτnXnXn=τlimn→∞（E）XnX型1.-γ） 1/（n（1-γ） ）=τ，（27），其中最后一个等式来自期望值为常数的事实（因为状态过程为iid）。借助定理3.1，我们发现唯一解存在的确切必要条件是∧=βτ1-ψ< 1. （28）由于消费过程（26）是趋势平稳的，其随机成分对于消费增长的长期分布而言并不重要。这就是为什么风险规避参数γ没有进入（28）中获得的∧表达式中的原因。在∧中没有风险规避参数与Alvarez和Jermann（2005）提供的早期条件形成对比，后者确实依赖于γ。然而，我们的条件∧<1既是必要的也是有效的，从中我们可以得出结论，风险规避参数确实与解的存在性和唯一性无关。更多讨论请参见第5.2节。参数u（1）u（2）σ（1）σ（2）q（1，1）q（2，2）γ值0.007 0.0013 0.0015 0.0063 0.93 0.83 10.0表4。马尔可夫切换模型的参数值4.2。马尔可夫切换动力学。为了说明有限状态的情况，考虑Johannes等人（2016）的消费增长双状态马尔可夫切换规范，其中Ln（Ct+1/Ct）=u（Xt+1）+σ（Xt+1）εt+1（29），其中x={1，2}和基线参数值如表4所示。过程{εt}是iid和标准正态。我们暂时搁置了Johannes等人的学习部分。

（2016），并假设XT是完全可观测的。（第4.3节讨论了学习问题。）假设2.1的条件满足`=1。我们的第一步是使用第2.2节中讨论的谱半径方法计算该模型的mc。我们从（11）中取K，在当前设置中，该值减少到2×2matrixK（i，j）=Kij=exp(1 - γ） u（j）+（1- γ） σ（j）q（i，j）。（30）插入表4中的参数后，我们计算其特征值，将r（K）作为模量中的最大特征值，然后应用MC=r（K）1/（1-γ） 自（16）。结果是MC=1.005。图1显示了当γ和σ（1）围绕其基线值移动时，mc是如何变化的。两者都会随着风险调整后的长期平均消费增长率的上升而降低，而γ的负面影响随着良好状态下波动性的增加而加剧。有了mc，我们可以计算∧=βM1-1/ψC。根据Johannes等人（2016）的偏好参数ψ=1.5和β=0.998，我们得到∧=0.99567。因此，定理3.1中的条件（a）满足，并且陈述（b）–（e）成立。特别是，递归效用问题存在一个独特且具有全局吸引力的解决方案。相反，如果我们（任意）将Schorfeide et al.（2018）的值ψ=1.97和β=0.999与该消耗过程配对，则∧=1.00147，并且根据定理3.1的（b）部分，不存在解。这些结果甚至对包含学习的模型都很重要，下一节将详细介绍这些结果。4.3. 马尔可夫学习切换。再次考虑上一节中的马尔可夫切换动力学，但假设如Johannes et al.（2016）所述，投资者6 8 10 12 140.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.010（1）1.00481.00501.00441.00451.00461.00471.00481.00491.00501.00511.00521.0053图1。在马尔可夫切换模型中，作为γ和σ（1）的函数，MCas不观察状态过程{Xt}。

相反，她基于自己的时间-0先验和对时间t之前消费增长的观察，形成了一个关于Xt的贝叶斯后验信念。投资者的过滤问题可以用Xt递归表示∈ [0，1]表示投资者信息集下Xt=1的概率。这个新的状态变量可以显示为遵循运动定律Xt+1=h（Xt，Zt+1），其中Zt+1=ln（Ct+1/Ct）是观察到的消费增长，h（x，z）=[xq（1，1）+（1- x） q（2，1）]Д（z）[xq（1，1）+（1- x） q（2，1）]（Д（z）- Д（z））+Д（z）。（31）这里是Zt+1的密度，条件为Xt=j。在线附录中提供了该标准过滤问题的推导细节。在无需学习的马尔可夫切换问题中，作为赋值算子的矩阵K in（30）被算子g（x）=Zg（y）[ξ（1）y+ξ（2）（1）替换- y） ]q（x，y）dy（32），其中ξ（i）=exp(1 - γ） u（i）+（1- γ） σ（i）对于i=1，2和q表示由贝叶斯学习者的主观信念产生的转移密度。换言之，q（x，·）是h（x，Zt+1）的分布，当h在（31）中定义，Zt+1=ln（Ct+1/Ct）。现在，我们在学习模型下评估风险调整后的平均消费增长率（3），我们将其表示为MC，以确定测试值∧。表示投资者的time-t信息集及其无条件下的期望算子。HenceMC=limn→∞裕利安怡（中国大陆）（1-γ） i1-γ1/n。迭代期望定律意味着对于任何n∈NminXEh（中国大陆）（1-γ） iEh（中国大陆）（1-γ） i6 maxXEh（中国大陆/加拿大）（1-γ） i.将这对不等式提升为幂1/（n（1- γ） ）并将极限取为n→ ∞, weobtainlimn公司→∞minXEh（中国大陆）（1-γ） i1-γ1/n6 MCmaxXEh（中国大陆）（1-γ） i1-γ然而，这种关系左侧和右侧条件期望的极限与两态马尔可夫链的遍历性的初始状态Xdue无关。

因此，MC=MC，且唯一连续值存在的参数在完全和部分信息模型中重合。尽管这两个模型的状态空间和跃迁密度存在根本差异，但这一结果仍然成立。结果的原因是国家不确定性对未来消费增长的条件分布的暂时影响。我们的测试值∧仅取决于投资者认为的消费增长的长期分布。投资者对未来消费增长的信念相对于数据生成过程的暂时性偏差，是由对不可观测状态的了解驱动的，从长远来看是无关紧要的，因此与是否存在细目连续值无关，尽管它们影响了连续值递推的每一步的条件期望集（22）。因此，在这类学习模型中，通过计算第4.2节中的全信息模型中的∧，可以更容易地评估连续值的存在性和唯一性，该模型具有更简单的状态空间和转移密度。虽然Johannes et al.（2016）中规定的正常密度Дj（z）并不直接意味着满足假设2.1的传递度q（x，y），但我们在在线附录中构建了这些密度的任意小扰动，以确保假设2.1成立。ucρИz(R)σДcρhzσhzρhcσhc0.0016 0.987 0.215 0.0035 1.0 0 0.992 0.0039 0.991 0.0096表5。具有长期风险的消费过程参数化。参数值是Schorfeide等人（2018）的后验中值估计，表七，消费和金融市场数据估计。4.4. 长期风险。接下来考虑Schorfheideet al采用的消费规范。

（2018），其中ln（Ct+1/Ct）=uc+zt+σc，tηc，t+1，（33）zt+1=ρzt+p1- ρσz，tηz，t+1，（34）σi，t=Дi'σexp（hi，t），带hi，t+1=ρhihi+σhiηhi，t+1，i∈ {c，z}。（35）创新{ηi，t}和{ηhi，t}是iid，是i的标准正态分布∈ {c，z}。与这些消耗动态相关的状态向量可以表示为Xt=（hc、t、hz、t、zt）。Schorfeide et al.（2018）使用的消耗过程参数如表5所示，而偏好参数为γ=8.89、β=0.999和ψ=1.97。定理3.1的所有条件都与状态空间的紧性无关，因为Xt=（hc，t，hz，t，zt）可以取所有ofR中的值。然而，相关系数ρ、ρcand和ρzare在绝对值中小于1这一事实意味着可以通过截断标准法向冲击ηz、ηhc和ηhz来压缩状态空间。目前，这是我们所追求的道路。在这个紧集中，定理3.1适用，当且仅当∧<1时，存在唯一且全局稳定的解。为了在特定的截断水平上评估∧，我们从第2.4节介绍的蒙特卡罗方法开始。这就需要使用随机数生成器，因此通过将绝对值中的创新值截断为最大的双精度浮点数来自动执行计算，而无需对状态空间施加进一步的限制。表6显示了∧（m，n）的1000次提取的汇总统计数据，因为n（消耗的时间序列长度）在各行中有所不同，而这一计算结果为2，即≈ 10、小得多的截断点就足够了，但实施这样的修改并没有明显的好处，因为对创新的任何截断都会产生一个紧凑的状态空间，无论它有多大。然后，定理3.1适用。

下文进一步讨论了截断的影响。n平均标准最小值25%50%75%max500 0.999408 0.0001111 0.998564 0.999385 0.999441 0.999473 0.999529100.999384 0.000093 0.998551 0.999451 0.999446 0.9995171500 0.999401 0.000061 0.999024 0.999386 0.999421 0.999441 0.999466表6。当m=5000m时，∧（m，n）的1000张图纸的描述性统计数据保持在1000。在所有情况下，平均估计值接近0.9994，样本中的标准偏差很小。m和n的其他值产生类似的数字。回顾我们之前的发现∧（m，n）对于m和n的中等回声非常接近∧（参见，例如，表3），这导致我们高度肯定地推断，该紧凑模型的估值问题具有唯一的全局稳定解。虽然∧（m，n）的值在Schorfeideet al.（2018）的给定参数化下均接近1，但∧<1的结果在参数中存在较大偏差，这进一步支持了估值问题是全局稳定的结论。图2通过显示相邻参数化处的测试值∧，说明了这种稳健性。数值通过蒙特卡罗计算，m=n=1000。邻域参数化是通过在保持其他参数不变的情况下改变两个参数来获得的。图2a显示了∧的值，由等高线图表示，ψ和ucare不同。图2b显示了β和ψ的变化。1.0等高线西南部的参数化是全局稳定的，而东北部的参数化产生∧>1，因此，根据定理3.1的（b）部分，不存在解。对于这两个子图，Schorfheideet等人。

（2018）参数化完全属于稳定集的内部。上述结果均未直接说明原始理论模型中的存在性和唯一性，其中创新没有被截断，状态空间是无界的。这里需要考虑两个独立的问题。首先，当冲击未被截断时，Schorfeide et al.（2018）参数化中∧的值是多少？其次，如果定理3.1不适用，∧的值对于无界状态空间实际上意味着什么？虽然我们可以做出合理的推测，但这两个问题都没有得到充分的回答。关于第一个问题，图3研究了这一长期风险模型中创新截断的影响。横轴上的截断值为∧（m，n）定义的数字方程（18）和（19）。消费路径根据（33）–（35）生成，由标准随机数生成器提供独立的正态变量。1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00.00050.00100.00150.00200.00250.0030Schorfeide、Song和Yaron1.0000.998750.99900.999250.9992051.000001.000251.000501.00075（a）试验值变化，ψvsuc0.9970 0.9975 0.9980 0.9985 0.9990 0 0 0 0 0.99951.251.501.752.002.252.502.753.003.253.50Schorfeide e、Song和Yaron1.0000.99700.99750.99800.99850.99900.99951.00001.0005（b）试验值的变化，βvsψ图2。标准偏差SSY参数化附近∧值的等值线图，其中（34）和（35）中的正激波被截断。纵轴上的值是∧（m，n）的对应值，使用蒙特卡罗方法估算，n=m=1000。虚线显示了∧（m，n）的值，当没有施加显式截断时（尽管我们正在使用64位浮点数，因此在大约10个标准偏差处的截断是隐式的）。

图中明确指出的第一点是，如果截断值为0.99930.99940.99950.99960.99970.9998，则截断的影响可以忽略不计。图3。在标准正态创新的长期风险模型截断水平中，截断对∧的影响达到3。这与我们对标准正态分布的了解是一致的（即尾部迅速减少，平均值的三个标准偏差内概率质量的99.7%）。第二点是松弛截断将∧向下移动，而不是向上移动。因此，有强有力的证据表明∧<1适用于原始无界模型。第二个问题是，当状态空间不紧且定理3.1无法应用时，条件∧<1意味着什么。下面第6节的定理6.1为无界设置提供了一些指导，它表明∧<1存在的必要性和效率延伸到无界情况。然而，定理6.1依赖于K的一个侧面条件，该条件很难在复杂的非线性模型中进行评估，如Schorfeide et al.（2018）的规范。同时，这种情况在使用特征分解分析长期估值的文献中是标准的。第6节给出了更多细节。4.5. 离散化的长期风险模型。一种常用的解决方法是将长期风险模型分解为一个有限的状态空间，因为这种模型相对容易操作，并允许直接计算所有内生量。我们还使用该模型计算了一定范围内的均衡财富消费比率。这与预期一致，因为减弱截断会扩大冲击的尾部，增加波动性。鉴于Schorfeide等人采用的γ值相对较大。

（2018），高可用性倾向于降低风险调整后的平均消费增长率（直觉见（10）），因此∧。我们在这些计算中测试了m和n的不同组合，但没有改变我们的结论。以阐明在参数空间中向解决方案不存在的区域移动的资产定价后果。通过将Rouwenhorst方法应用于三维中每个状态变量（方程（34）和（35））的运动定律来实现离散化。然后，状态空间是有限的，状态过程的马尔可夫链是非周期和不可约的，因此假设2.1和3.1成立。因此，根据定理3.1，当∧<1时，离散模型存在唯一且全局稳定的解。我们发现这在我们考虑的所有离散化级别的基线参数化中都是正确的。图2中的等高线图表明，如果我们将模型参数有效地偏离Schorfeide等人（2018）的基线设置，我们可以找到∧>1的参数化。在离散化设置中也是如此。我们应该如何解释这种结果？理解该模型中估值问题解不存在的一种方法是，研究当我们接近稳定和不稳定之间的边界时，平衡量会发生什么。例如，考虑表7，其中显示了平均财富消费率如何随参数ψ和uc变化，而其他参数则固定在表5中的默认值。在该模型中，均衡财富消费比等于（1- β)-1克*（Xt）1/θ，其中g*是定理3.1中讨论的运算符A的固定点（见脚注7）。