存在唯一的充要条件

正如假设2.1所保证的那样，最后一个等式与q`>0相矛盾。部分（d）从Kg（x）=Rg（y）k（x，y）dy和（43）立即开始。下一个引理讨论了K作为L（π）上的线性算子的不可约性。有关定义和进一步讨论，请参见梅耶·尼贝格（2012）第262页。引理B.3。算子K是不可约且Kis紧的。证据首先考虑K的不可约性。通过K的正性和Meyer Nieberg（2012）第262页上核算子的不可约性条件，可以证明，对于0<π（A）<1的任何x的Borel集A，存在一个0<π（B）<1且zbzaq（x，y）dxdy>0的x的Borel集B。（45）为了验证（45），假设相反，我们可以选择0<π（A）<1且zaczaq（x，y）dxdy=ZA的xZAcq（x，y）dydx=0。ThenRARAcq（x，y）dyπ（x）dx=0。因此，A对q是吸收的，在这种情况下，π（A）=1乘以q的π-不可约性以及Meyn和Tweedie（2009）的命题4.2.3。矛盾关于紧性，Schaefer（1974）的定理9.9暗示，当K是弱紧的时，K将是紧的，这要求K下的单位球Bin L（π）的映像在弱拓扑中是相对紧的。为了证明这一点，必须证明，给定ε>0，存在δ>0，使得每当f∈ 带π（A）<δ。这是正确的，因为k是连续的，因此有界于x，yieldingZAZk（x，y）| f（y）| dyπ（x）dx=Z ZAk（x，y）π（x）dx | f（y）| dy 6 Mπ（A）Z | f（y）| dy，对于某些常数M。通过πonX的连续性和正性，对于某些常数A>0，我们得到π>A，对于henceR f（y）| dy 6 akfk 6 A。HenceRAK | f只要π（A）<ε/（aM），dπ<ε。提案B.4。∧定义良好，满足∧=βr（K）1/θ。证据由于Kiis对某些i是紧的，并且将正函数映射为正函数（参见引理B.3和B.2），我们可以将定理A.2应用于≡ 1获得r（K）=limn→∞kKnk1/n。基于（6）的归纳论证表明，对于每个n inN，我们有Kn（x）=Ex（Cn/C）1-γ.

因此，根据迭代期望定律，kKnk1/n=（ECnC公司1.-γ） 1/n=RCnC公司(1-γ） /n.（46），因为r（K）=limn→∞kKnk1/n，该yieldsr（K）=limn→∞RCnC公司(1-γ） /n=M1-γC.因为θ：=（1- γ)/(1 - 1/ψ），我们现在有βr（K）1/θ=βM1-1/ψC=∧。定理B.5。K的谱半径r（K）严格为正。此外，存在满足K的特征函数e=r（K）e和e 0。（47）函数e在x上处处连续。证据Meyer-Nieberg（2012）的定理4.1.4和引理4.2.9，以及引理B.3中获得的K的不可约性和紧性，产生了R（K）的正性和（47）中正本征函数的存在性。引理B.2暗示e是连续的，因为e∈ C和e=（Ke）/r（K）。在下文中，（47）中的e称为Perron–Frobenius本征函数。由于e为正且连续，常数e：=minx∈Xe（x）和'e：=maxx∈Xe（x）为有限且严格正。这些事实现在被用来研究from（25）。引理B.6。设e为K.Iflimt的Perron–Frobenius本征函数↓0Д（t）tr（K）>1和limt↑∞ν（t）tr（K）<1，（48）则存在具有以下性质的正常数c<cw：（a）如果0<c 6 c且f=ce，则存在δ>1，使得如果c6 c<∞ f=ce，则存在δ<1，从而证明Af 6δf。设λ：=r（K），e为Perron-Frobenius特征函数。设e和e为e onX的最大值和最小值，如上所述。关于权利要求（a），观察到，鉴于（48），存在δ>1和ε>0，使得每当0<t<ε时，Д（t）tλ>δ。选择0<cλ′e<ε和c 6 c，我们得到所有x的cλe（x）<ε∈十、 andhenceAce（X）=Д（cKe（X））=Д（cλe（X））=Д（cλe（X））cλe（X）>δce（X）。转向权利要求（b）并再次使用（48）中的假设，我们可以选择δ<1和有限常数M，使得每当t>M时，ν（t）tλ6δ。让cbe a常数严格大于max{M/（λe），c}和fix c>c。

通过e的定义，我们得到了所有x的cλe（x）>cλe>M∈十、 soAce（X）=Д（cλe（X））=Д（cλe（X））cλe（X）λce（X）6δce（X）。通过构造，0<c<c，因此所有索赔现在都成立了。引理B.7。如果（48）中的条件成立，且A有一个固定点g*在C中，那么，给定任何g∈ 存在函数f，f∈ C使F6 Ag，g*6 f，Af>f+ε（f- f） 和Af6 f- ε（f- f） 。（49）证明。修复g∈ C由于Ag是连续且轴紧的，因此Ag达到了有限的最大值和严格正的最小值onX。固定点g也是如此*= Ag公司*和Perron–Frobenius特征函数e。因此，我们可以选择常数A和0 ae 6克*, Ag 6 ae。对于achosen充分小的引理，B.6意味着对于某些δ>1的情况，A（ae）>δae。设置fi：=aie，我们得到Af>δae。由于δ>1，我们可以将其写成Af>ae+ε（a- a） e表示一些正ε。换句话说，Af>f+ε（f- f） 。最后一个不等式的证明是相似的。定理B.8。如果∧<1，则A在C上是全局稳定的。证据首先我们证明，如果∧<1，则（48）中的条件成立。自始至终，我们使用∧=βr（K）1/θ这一事实，如命题B.4所示。开始时，观察Д（t）t=1.- βt1/θ+βθ. （50）如果一方面θ<0，那么∧<1意味着βθr（K）>1，此外，（50）增加到βθ，作为t→ 因此，（48）中的第一个不等式成立。第二个不等式也成立，因为ν（t）/t→ 0作为t→ ∞. 另一方面，如果θ>0，则βθr（K）<1和（50）发散到+∞ 作为t→ 0，因此（48）中的第一个不等式成立。第二个不等式也适用于ν（t）/t→ βθ为t→ ∞.为了完成定理B.8的证明，请注意，Д是凹的或凸的，取决于θ的值。首先假设Д是凹的，这意味着A在C上既是等距的又是凹的。引理B.6产生正常数c，如Ace>ce和Ace 6 ce。

Zhang（2013）的定理2.1.2以Du（1990）为基础，现在意味着A有一个固定点g*∈ L（π）满足ce 6 g*6 ce。自e起 0和c>0，我们有g* 设g是C的非零元素。在引理B.7中选择f，fas。Zhang（2013）的定理2.1.2现在意味着[f，f]的每个元素都收敛于g*在A.特别是An（Ag）的迭代下→ g级*作为n→ ∞. 但是Ang→ g级*也适用。我们得出结论，Ais在C上全局渐近稳定。凸情形的证明基本相同。下一个结果扩展了Toda（2018）提出的论点，向上移动到了有限维，并允许θ<0。提案B.9。如果A在C中有一个非零固定点，则∧<1。证据让K*是与K相关的伴随算子。由于K是不可约的andKis紧，我们可以使用Meyer Nieberg（2012）的Emma 4.2.11中提出的Krein–Rutman定理。结合这个结果和Riesz表示定理，存在一个e*∈ L∞（π） 这样的话* 0和K*e*= r（K）e*. （51）设g是C中a的非零定点。在下面的内容中，使用内积符号hf，hi是很方便的：=Rfhdπ表示f∈ L（π）和g∈ L∞(π).首先考虑θ<0的情况，因此，通过定义Д，我们得到了当t>0时，具有严格不等式的Д（t）6βθt。因此，g（x）=Ag（x）=Д（Kg（x））6βθKg（x），当Kg（x）>0时，具有严格的不等式。根据引理B.2的（c）部分，我们得到Kg>0，Kg 6=0。因此，在一组正π测度上，必须是g 6βθKg和g<βθKg。但接着，取e*正如（51）所述，我们有他*, βθKg-gi>0，或等效地，βθhe*, Kgi>he*, gi。使用伴随和（51）的定义给出r（K）he*, gi=香港*e*, gi=he*, Kgi，所以一定是βθr（K）he*, gi>he*, gi。因此∧=βθr（K）>1。因为θ<0，这意味着∧=βr（K）1/θ<1。接下来考虑θ>0的情况，因此每当t>0时，ν（t）>βθt。

因此，我们有g（x）=Ag（x）=Д（Kg（x））>βθKg（x），当Kg（x）>0时，具有严格的不等式。根据引理B.2的（c）部分，我们得到Kg>0，Kg 6=0。因此，在一组正π测度上，g>βθKg和g>βθKg。但是接下来，拿e*正如（51）所述，我们有*, βθKg- gi<0，或相当于βθhe*, Kgi<he*, gi。如前所示，我们有*, gi=he*, 所以它一定是βθr（K）he*, gi<he*, gi。因此，βθr（K）<1。因为θ>0，这意味着∧=βr（K）1/θ<1。定理3.1的证明。清楚（e）==> （d） ，这反过来意味着（c），因为我们可以将gequal带到固定点。此外，（c）意味着（b），因为K是L（π）上的有界线性算子，而Д是R+上的连续算子，由此可知a在c上是连续的，因此a的迭代序列{Ang}n>1的任何极限都是a的固定点。简化（b）==> （a） 是由于提案B.9。最后，（a）==> （e） 根据定理B.8和命题B.4。参考文献Alvarez，F.和Jermann，U.J.（2005）。用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977-2016年。Bansal，R.、Kiku，D.、Shaliastovich，I.和Yaron，A.（2014）。波动性、宏观经济和资产价格。《金融杂志》，69（6）：2471-2511。Bansal，R.、Kiku，D.和Yaron，A.（2012年）。资产价格长期风险模型的实证评估。《关键财务评论》，1（1）：183–221。Bansal，R.和Yaron，A.（2004年）。长期风险：资产定价难题的潜在解决方案。《金融杂志》，59（4）：1481-1509。Boroviˇcka，J.、Hansen，L.P.和Scheinkman，J.A.（2016）。错误指定的恢复。《金融杂志》，71（6）：2493–2544。Christensen，T.M.（2017）。非参数随机贴现因子分解。《计量经济学》，85（5）：1501–1536。Croce，M.M.（2014）。

长期生产力风险：基于生产的资产定价的新希望？《货币经济学杂志》，66:13–31。Daneˇs，J.（1987）。局部光谱半径。《Casopis pro p'estov'an'matematiky》，112（2）：177–187。Du，Y.（1990）。序banach空间中增算子的不动点及其应用。适用分析，38（01-02）：1-20。Epstein，L.G.和Zin，S.E.（1989）。风险规避与消费和资产回报的时间行为：一个理论框架。《计量经济学》，57（4）：937–969。郭，J.和何，X.D.（2018）。具有投资损益的递归效用：存在性、唯一性和收敛性。技术报告，SSRN工作文件2790768。Hansen，L.P.，Heaton，J.C.，和Li，N.（2008）。消费反击？衡量长期风险。《政治经济学杂志》，116（2）：260–302。Hansen，L.P.和Scheinkman，J.A.（2009）。长期风险：运营商方法。《计量经济学》，77（1）：177–234。Hansen，L.P.和Scheinkman，J.A.（2012）。随机增长马尔可夫环境中的递归效用。《美国国家科学院院刊》，109（30）：11967–11972。Johannes，M.、Lochstoer，L.A.和Mou，Y.（2016）。了解消费动态。《金融杂志》，71（2）：551-600。Kaltenbrunner，G.和Lochstoer，L.A.（2010）。消费平滑带来的长期风险。《金融研究回顾》，23（8）：3190–3224。库普曼斯，T.C.（1960）。平稳有序效用和急躁。《计量经济学》，第287-309页。Krasnosel\'skii，M.，Vainikko，G.，Zabreyko，R.，Ruticki，Y.，和Stet\'senko，V.（2012）。算子方程的近似解。荷兰斯普林格。Marinacci，M.和Montrucchio，L.（2010年）。随机递归实用程序的唯一解决方案。《经济理论杂志》，145（5）：1776-1804。Meyer Nieberg，P.（2012）。Banach晶格。施普林格科学与商业媒体。Meyn，S.和Tweedie，R.L.（2009）。

马尔可夫链与随机稳定性。剑桥大学出版社。Qin，L.和Linetsky，V.（2017年）。长期风险：鞅方法。《计量经济学》，85（1）：299–312。Rouwenhorst，K.G.（1995）。均衡商业周期模型的资产定价影响。《商业周期前沿研究》，第294-330页。普林斯顿大学出版社。Schaefer，H.（1974）。Banach格与正算子。柏林海德堡，纽约。Schep，A.（1980年）。正对角线和三角形运算符。《算子理论杂志》，第165-178页。Schorfeide，F.、Song，D.和Yaron，A.（2018年）。识别长期风险：贝叶斯混合频率方法。《计量经济学》，86（2）：617–654。Tallarini，T.D.（2000年）。风险敏感的真实商业周期。《货币经济学杂志》，45（3）：507–532。Toda，A.A.（2018）。具有随机贴现因子的财富分配。货币经济学杂志。Weil，P.（1990）。宏观经济学中的非预期效用。《经济学季刊》，105（1）：29–42。Zabreiko，P.、Krasnosel\'skii，M.和Stetsenko，V.Y.（1967）。正算子的谱半径的界。数学笔记，1（4）：306–310。Zhang，Z.（2013）。变分、拓扑和偏序方法及其应用。斯普林格。