存在唯一的充要条件

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英文标题：
《Necessary and Sufficient Conditions for Existence and Uniqueness of
  Recursive Utilities》
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作者：
Jaroslav Borovicka and John Stachurski
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We study existence, uniqueness and computability of solutions for a class of discrete time recursive utilities models. By combining two streams of the recent literature on recursive preferences---one that analyzes principal eigenvalues of valuation operators and another that exploits the theory of monotone concave operators---we obtain conditions that are both necessary and sufficient for existence and uniqueness of solutions. We also show that the natural iterative algorithm is convergent if and only if a solution exists. Consumption processes are allowed to be nonstationary.
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中文摘要：
研究了一类离散时间递归效用模型解的存在性、唯一性和可计算性。通过结合最近关于递归偏好的两组文献——一组分析估值算子的主特征值，另一组利用单调凹算子理论——我们得到了解的存在唯一性的充分必要条件。我们还证明了自然迭代算法是收敛的当且仅当解存在时。允许消费过程是非平稳的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Necessary_and_Sufficient_Conditions_for_Existence_and_Uniqueness_of_Recursive_Ut.pdf (486.13 KB)

2022-6-1 13:57:09 上传

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关键词：Optimization Quantitative Eigenvalues Game Theory Preferences

递归效用存在唯一性的必要和充分条件Jaroslav Boroviˇckaa和John StachurskibaNew York大学、明尼阿波利斯联邦储备银行和澳大利亚国立大学NBERB经济研究院，2019年4月24日摘要。我们得到了Epsteinand Zin（1989）提出的一类同伦递归效用模型解存在唯一性的精确必要和充分条件。条件集中在具有自然经济解释的单个测试值上。该测试揭示了现金流估值、急躁、风险调整和消费跨期替代之间的关系。我们提出了两种在没有解析解时计算测试值的方法。提供了几个应用程序。JEL分类：D81、G11关键词：递归偏好、存在、唯一作者感谢Anmol Bhandari、Tim Christensen、Ippei Fujiwara、Jinill Kim、Daisuke Oyama和Guanlong Ren提出的有用意见和建议。特别感谢米罗斯·拉瓦·齐马夫对当地光谱半径条件的宝贵投入。第二作者非常感谢ARC赠款FT160100423的财政支持。此处表达的观点是作者的观点，不一定是明尼阿波利斯联邦储备银行或联邦储备系统的观点。Jaroslav BoroviˇckaThe的披露声明本文中表达的观点是我自己的，不一定是明尼阿波利斯联邦储备银行或联邦储备系统的观点。我没有别的要说的了。John StachurskiI的披露声明无需披露。1.

引言：库普曼斯（1960）、爱泼斯坦和津（1989）以及威尔（1990）所讨论的递归偏好模型在宏观经济和金融建模中发挥着重要作用。例如，Bansal和Yaron（2004）、Hansen et al.（2008）、Bansal et al.（2012）和Schorfeide et al.（2018）分析的长期风险模型在离散时间有限范围内使用了这种偏好，并有各种消费路径规范，以帮助解决文献中确定的长期经验难题。在递归效用模型中，消费流在给定时间点的寿命值表示为非线性前瞻方程的解。虽然这种表示法方便直观，但也可能是空洞的，因为前瞻性递归不存在明确的解决方案。此外，即使找到了解决方案，该解决方案也缺乏预测性内容，除非还可以建立某种形式的唯一性。总的来说，对于一类经验相关的消费流，识别暗示解决方案存在和唯一性的限制是一项挑战。本论文的目的是在一系列经验上合理的环境中获得尽可能正确的存在性和唯一性结果，同时将注意力限制在可在应用工作中测试的实际条件上。为此，我们提供了Einstein和Zin（1989）研究的一类同位语偏好解的存在性和唯一性的条件，同时承认了平稳和非平稳消费路径。这些条件既必要又有效，因此在我们考虑的环境中尽可能紧密。特别是，如果条件成立，则存在唯一的全局跟踪解决方案，如果条件不成立，则不存在唯一的解决方案。

实体解决方案的存在等同于财富消费率的存在，财富消费率是资产定价的核心目标。为了更详细地说明该设置，让首选项通过vt=h（1）递归定义- β） C1类-1/ψt+β{Rt（Vt+1）}1-1/ψi1/（1）-1/ψ），（1）其中{Ct}是消耗路径，Vt是从时间t开始延伸的路径的效用值，rti是Kreps–Porteus确定性等价运算符rt（Vt+1）=（EtV1-γt+1）1/（1-γ). （2） 参数β∈ （0，1）是一个时间贴现因子，γ6=1控制风险规避，ψ6=1是跨期替代的弹性。我们根据给定的消费流，寻求规范化效用Vt/Ct的解决方案。我们方法的第一步是将风险调整后的长期平均消费增长率mc=limn与每个消费过程相关联→∞RCnC公司1/n，（3）其中R是Kreps–Porteus确定性等价运算符的无条件版本。从驱动消费增长的条件分布的状态向量取紧集中的值的情况开始，在紧集中可以得到最尖锐的结果，我们证明了当且仅当∧<1，其中∧：=βM1时，存在唯一解-1/ψC.（4）在相同的紧性约束下，我们还证明了∧<1的条件对于与自然固定点映射相关的连续逼近的全局收敛是必要的和有效的。事实上，我们的结果证明，连续近似本身的收敛性意味着存在唯一解，并且通过该过程产生的极限等于该解。

此外，我们证明了当∧<1的条件失效时，不仅解的存在性和唯一性失效，而且存在性失效。值∧表示由不耐烦和消费跨期可替代性修正的风险调整后长期消费增长率。尽管偏好递归（1）交织了不耐烦、时间内风险厌恶和跨时间替代弹性对价值的贡献，但条件∧<1e有效地分离了这些力量。消费增长过程的细节，如asits的持续性或其创新的更高时刻，只有通过MC中编码的消费增长的长期分布才有意义。第3节和应用中提供了关于直觉背后条件（4）的其他讨论。除上述结果外，我们还利用局部谱定理证明了mc=r（K）1/（1-γ） ，（5）式中，r（K）是估值算子K的谱半径，由以下原语确定。这一结果在两个层面上都很有用。首先，与估值算子相关的谱半径和显性特征函数越来越多地被用来通过引入随机贴现因子的分解来理解宏观经济和金融应用中的长期风险和长期价值（参见Alvarez和Jermann（2005））；Hansen和Scheinkman（2009）；秦和莱因茨基（2017）；Christensen（2017））。通过（5）中的识别，我们可以联系这些文献并从中获得见解。其次，在计算层面上，当状态过程的状态空间是有限的时，估值算子K只是一个矩阵，谱半径很容易计算。由此可以通过（5）计算检验统计量∧。

当状态空间不确定时，在离散化后仍然可以实现这一想法。当状态空间为高维时，精确的离散化非常重要，谱半径的计算变得非常昂贵。对于这些场景，我们提出了一种蒙特卡罗方法来计算测试值∧，该方法基于模拟给定规格的消耗路径，并通过对这些路径进行平均来计算（3）右侧的风险调整预期。这种方法易于实现，并且对状态空间的维数相对不敏感。另一个优点是，通过沿多个执行线程模拟独立的使用路径，可以轻松地将例程并行化。以上讨论的关于连续近似的存在性、唯一性和收敛性的所有理论结果都是在紧致值状态过程的背景下得出的，紧致值状态过程驱动消费增长的持续成分。在此设置中，我们应用了Du（1990）提出的不动点定理，该定理扩展到抽象向量空间，即如果斜率条件f（0）>1且f(∞) < 1令人满意。就本文所考虑的估值问题而言，偏好规格中固有的单调性和凹度，而条件∧<1是斜率条件的关键。最后一步所需的参数非常重要，状态空间的紧凑性起着重要作用。同时，我们对状态空间无界时∧<1条件的含义提供了一些指导。

在此设置中，我们表明，在与算子K的迭代紧性相关的辅助技术约束下，条件∧<1对于解的存在也是必要的和有效的。如前所述，对给定函数的逐次逼近的收敛性意味着极限函数是一个解，并且这只能在∧<1时发生。当这些条件成立时，（5）中的识别仍然有效，上述蒙特卡罗方法仍然可以应用。这些证明使用了一个近似参数，即bootstraps之前声明的是紧凑型案例的结果。我们在第4节中提供了数值和理论结果的一系列应用。Westart使用Alvarez和Jermann（2005）的趋势平稳消费过程模型，在该模型中，我们可以分析描述我们的条件。结果表明，消费过程中的暂时不确定性，如确定性时间趋势周围的平稳波动，对于连续值的存在并不重要。接下来，我们关注一个经常使用的情况，其中消费增长的条件矩的动态是使用马尔可夫链编码的。具体而言，我们使用Johannes et al.（2016）的校准，并考虑两种信息结构，一种是代理观察马尔可夫链的实现，另一种是代理必须从消费增长实现中了解潜在状态，而消费增长实现只能不完全揭示状态。在前一种情况下，鉴于状态空间的简单结构，评估测试条件涉及计算（5）中的谱半径，作为小矩阵的最大特征值。在后一种情况下，状态空间是连续的，对马尔可夫链未观测状态的客观概率进行编码，并使用贝叶斯规则进行更新。

尽管现在状态空间和过渡动力学变得更加复杂，但我们的结果表明，对于完全信息情况下的相同参数集，连续值完全存在。根本原因是国家不确定性对未来消费增长的条件分布的暂时作用，对MCin的价值没有影响（3）。我们的主要定量应用是Schorfeideet al.（2018）中规定的长期风险模型。在此类模型中，有限连续值的存在是一个不重要的问题，因为（i）为了提高持续风险组件的重要性，贴现非常小，将其推向稳定性和不稳定性之间的边界，以及（ii）状态动力学是非线性的，且维度相对较高。使用数值方法，我们表明∧<1的条件在任意小的运行量下是满足的，并且在原始模型中几乎肯定是满足的，没有截断。我们还提供了一些与替代近似过程和截断影响相关的鲁棒性检查。最后，我们表明，我们的结果也可以应用于消费是内生决定的生产经济体。在许多应用中，消费与驱动模型不确定性的外部特定过程是协整的。由于消费过程中的暂时性波动是不相关的，因此可以使用外生驱动过程直接计算风险调整后的长期增长率，而无需了解消费过程的具体细节。关于现有文献，Epstein和Zin（1989）以及Marinacci和Montrucchio（2010）提供了递归实用程序存在和唯一性的充分条件。这些条件要求有限的边界Bcon消费增长率Ct+1/Ct以概率1渐近保持。

因此，它们不能应用于消费过程的许多近期规范，如第4.4节中提到的长期风险规范，因为这些环境中的消费增长是无限的。即使通过截断冲击获得有限界，我们也表明，得到的条件总是比本文中给出的条件更严格，并且对于实际参数化来说通常过于严格。这是因为概率1沿每个未来消费轨迹均匀地限制了效用，而本文的结果考虑了所有路径上平均发生的情况。换句话说，我们的结果更清晰，因为递归效用规范虽然是非线性的，但仍然使用对未来连续值的集成来定义。相反，只关注消费增长过程的上尾端会导致过度紧张的稳定条件。Alvarez和Jermann（2005）提出了递归效用存在的另一个条件，该条件侧重于消费具有确定性时间趋势的情况。我们的条件∧<1也比他们的条件弱，如第5节所示。这背后的直觉是，Alvarez和Jermann（2005）使用了一个固定点论点，要求在一个步骤中进行收缩。相反，限制∧<1是一个忽略消费短期波动的渐近条件。同样相关的还有Hansen和Scheinkman（2012），他们研究了具有无限消费增长的Epstein-Zin效用模型。他们的方法是将解与Epstein–Zin效用递归和与线性算子相关的Perron–Frobenius特征值问题联系起来，在他们的论文中用T表示，这与上面讨论的算子成比例。消费增长是无界外生状态过程的函数。

在这种情况下，它们表明，当T的谱半径和偏好参数以及T的特征函数的可积性条件受到联合限制时，存在一个解。他们还获得了一些参数值的唯一性结果（尽管不是最具经验相关性的参数值）。对于xis-compact的情况，我们的方法具有以下优点：首先，我们获得了所有参数化解的唯一性。其次，我们证明了我们的条件对于存在性和唯一性都是必要的和有效的。第三，我们得到了一个全局收敛的计算方法，并证明了它收敛的充要条件是解存在。第四，我们提供了测试值的多种表示，加强了经济解释，以及一种可应用于高维环境的计算方法。第五，我们避免了Hansenand Scheinkman（2012）中涉及算子T特征函数可积性限制的辅助条件，这意味着我们的所有条件都可以在应用设置中直接测试。对于xis不紧的情况，我们的结果也有助于增强Hansen和Scheinkman（2012）的结果，表明条件∧<1对于解的存在是必要的，也是有效的。在另一项相关研究中，Guo和He（2018）考虑了对Epstein–Zinrecursive效用模型的扩展，该模型包括投资收益和损失的效用度量。作为该研究的一部分，他们获得了消费规格类似于Hansen和Scheinkman（2012）的Epstein–Zin递归效用模型解的存在性、唯一性和收敛性的结果，但状态空间被限制为有限的。