存在唯一的充要条件

相比之下，我们允许状态空间在单位中是可数的或不可数的，我们不仅确定了效率，还确定了必要性。本文结构如下：第2节更深入地考虑了风险调整后的长期平均消费增长率。第3节陈述了我们的主要结果。第4节讨论应用。第5节将我们的结果与之前文献中的替代有效条件进行了对比。第6节处理无界情况，第7节得出结论。所有的证据都放在附录中。2、消费路径和风险调整增长在说明主要结果之前，我们介绍了我们的消费路径基线模型，并解决了一个重要问题：因为∧=βM1-1/ψC，我们条件∧<1的实用性取决于准确评估风险调整后的长期平均消费增长率MC的能力，如（3）所述。对于consumptionpath的某些规范，存在Mc的分析表达式。然而，对于其他人来说，没有这样的表达。在第二种情况下，我们必须使用数值方法来计算MC。本节讨论用数值方法计算mc的两种方法。本节的主要目的是（a）通过处理一些相对简单的案例来建立对MCA的直觉，（b）提供证据证明，即使不存在封闭形式的解决方案，也可以有效地评估MCA，因此∧可以准确地进行评估。2.1. 消费路径。正如Hansen和Scheinkman（2012）所述，我们假设消费增长具有通用规范n（Ct+1/Ct）=κ（Xt，Xt+1，εt+1），（6）其中κ是一个连续函数，{Xt}是一个外生状态过程，{εt}是一个由RK与{Xt}无关。状态过程被假定为平稳的马尔可夫过程，取值于子txofrn中。每个XT的无条件密度用π表示。

函数q（x，·）表示Xt+1given Xt=x的条件密度。我们的所有结果都包括xis定义和存储库的情况https://github.com/jstac/recursive实用程序代码包含复制所有数值结果的代码。在这种情况下，应将跃迁密度q（x，y）解释为跃迁矩阵。更一般而言，“密度”一词应理解为“概率质量函数”的同义词假设2.1。函数q是连续的，“-阶跃跃迁密度q”在某个点上都是正的∈N、 当不确定时，可以忽略连续性。q ` for some `的正性意味着{Xt}既是非周期的，也是不可约的，保证了平稳分布π的唯一性，并提供了渐近值的正则性，如风险调整后的长期平均消费增长率。假设2.1要么直接在我们的应用程序中得到满足，要么在任意小扰动后得到验证（学习应用程序的情况见第4.3节）。例如，考虑Bansal和Yaron（2004）第一节A中的消费增长规格n（Ct+1/Ct）=uc+Xt+σcεt+1（7）Xt+1=ρXt+σηt+1（8）。在这里-1<ρ<1和{εt}和{ηt}是IID标准正态创新。当状态过程设置为{Xt}时，我们得到q（x，·）=N（ρx，σ），当σ>0时，假设2.1满足`=1。对于这种消费动态模型，存在一个mc的解析表达式，即使连续值Vt的解析表达式不成立。要了解这一点，请观察cn/C=exp（nuC+Pnt=1Ht），其中Ht：=Xt+σCεt，因此风险调整后的长期平均消费增长率isMC=limn→∞（R扩展uc+nXt=1Ht！）1/n。这里，R是由R【Y】：=E【Y1】定义的无条件Kreps–Porteus确定性等价运算符-γ]1/(1-γ).

注意到{Ht}是高斯分布的，并且将snequal设置为varianceofPnt=1Ht，我们得到了expnuc+nXt=1Ht！=经验值nuc+（1- γ） 序号. （9） 如Hansen et al.（2008）或Bansal et al.（2014），这些计算可以进一步扩展到消费增长是VAR组成部分的情况。使用pnt=1hts是独立项spnt=1xt和σcPnt=1εt之和的事实，以及（8）中的AR（1）动力学，直接计算得出n=nσc+σ1- ρn+2（n- 1)ρ1 - ρ- 2ρ1 - ρn-1(1 - ρ).将（9）的右侧提高到1/n的幂次方，并取极限yieldsMC=expuc+（1- γ)σc+σ（1- ρ). （10） 而一期消费增长率的无条件方差为σc+σ/（1- ρ） ，消费增长的持续性意味着消费增长率的长期方差由σc+σ/（1）给出-ρ). 风险规避集γ>1和更高的持续性和波动性的典型校准会对MC产生负面影响。例如，在Bansal andYaron（2004）表I中消费过程的参数化下，（10）中的表达式在γ=7.5时计算为1.00045，在γ=12.5.2.2时计算为0.99964。有限状态情况。有限状态设置为我们提供了一个关于风险调整后的长期平均消费增长率M的替代观点，以及计算它的替代方法。特别是，具有典型元素x、y和K的ifXis fite是具有（x、y）-第th元素K（x、y）：=Xy的矩阵∈XZexp[（1- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y），（11）然后（5）保持不变；也就是说，MC=r（K）1/（1-γ） 当r（K）=最大λ时∈E |λ|。（12） 这里E是K的特征值集，因此r（K）是矩阵K的谱半径。为了理解为什么MCin（12）的替代表示有效，请注意，对于所有x inx和所有n inN，我们有kn（x）=Exexp（（1- γ） nXt=1κ（Xt-1，Xt，εt））。（13） 这里是（11）中K的n次方，是1的向量。X=X的期望条件。

（13）中的恒等式在n=1时为真，紧接着是从（11）中K的定义开始的，一般n的情况可以通过归纳得到证实。Let所讨论的参数值为uc=0.0015、ρ=0.979、σ=0.00034和σc=0.0078。k·k是khk=Px定义的Lvector范数∈X | h（X）|π（X）。根据（13）和无期望定律，我们得到了kknk=Xx∈XKn（x）π（x）=Eexp（（1- γ） nXt=1κ（Xt-1，Xt，εt））。（14） 换句话说，kKnk=ECnC公司1.-γ=RCnC公司1.-γ. （15） Gelfand的光谱半径公式告诉我们kKnk1/n→ r（K）为n→ ∞当k·k是矩阵范数时，在当前上下文中，可以修改该结果以显示kKnk1/n→ r（K）也适用。将最后一个结果与（15）givesM1连接-γC=limn→∞RCnC公司1.-γn=limn→∞kKnk1/n=r（K），（16），这证明了（12）中的权利要求。在下面的几个应用中，我们通过数值计算r（K），然后通过MC=r（K）1/（1）恢复MC来使用此恒等式-γ).2.3. 离散化。如前一节所述，如果状态空间是有限的，那么我们可以使用恒等式MC=r（K）1/（1-γ） 在（16）中获得，用于计算MC，这反过来又允许我们计算稳定性指数∧。另一方面，如果Xis不确定，则一种选择是对模型进行离散化，从而得到一个确定的状态空间和一组转移概率q（x，y），然后按照上述步骤进行。在这里，我们调查这一程序的准确性。我们的实验基于（7）–（8）中的Bansal–Yaron消费增长动力学，其中在（10）中获得了Mc的分析表达式。我们首先使用Rouwenhorst方法（Rouwenhorst，1995）离散高斯AR（1）状态过程（8）。然后，我们计算（11）中对应于该离散状态过程的矩阵K，使用线性代数例程计算谱半径r（K），并由此计算MCas r（K）1/（1）的相关值-γ).

最后，我们将结果与从解析表达式（10）获得的mc的真实值进行比较。表1显示了在一系列参数值和离散化水平上的比较。如第一列所示，各行的偏好参数γ各不相同，而其余参数来源于Bansal和Yaron（2004）的表I，参见脚注3。第二列显示非DiscretizedModel的mc的真实值。其余列显示了使用数值程序计算的值。这是引言中讨论的局部光谱半径结果的有限维版本。附录定理A.1给出了扩展到有限状态设置的完整证明。真值D=5 D=50 D=100 D=200γ=7.5 1.0004504 1.0004998 1.0004549 1.0004527 1.0004516γ=10.0 1.0000466 1.0001658 1.0000525 1.0000496γ=12.5 0.9996430 0.9998662 0.999663 0.999652 0.9996491表1。上一段中讨论的MC、Bansal–Yaron模型在不同离散化水平下的真值和离散近似值。例如，D=5意味着AR（1）过程（8）使用Rouwenhorst方法离散为5状态马尔可夫链。结果表明，基于离散化的方法对该模型是准确的，即使是相对coase近似。2.4. 蒙特卡罗方法。第2.3节中讨论的基于离散化的方法的一个潜在问题是，当状态空间较大时，该算法的计算效率很高。因此，我们还提出了一种蒙特卡罗方法来计算MCA的近似值，这种近似值不太容易受到维数诅咒的影响。

第一步是用一些有限但较大的n来代替mc定义中的限制，这导致mc（n）：=（ECnC公司1.-γ)1-γn（17）接下来，将（17）中的期望值替换为m条独立消费路径上的样本平均值，该平均值根据所讨论模型的规范生成。特别是，以{C（j）t}作为m条消耗路径的第j条，我们采用近似值mc（m，n）：=mmXj=1C（j）nC（j）！1.-γ1.-γn（18），n和Y（j）固定：=（C（j）n/C（j））1-γ、 强大数定律yieldspmmj=1Y（j）→EY作为m→ ∞ 概率为1。然而，这个结果只是渐近的，我们主要关心的是当m和n是中等的时候，估计量MC（m，n）是否具有良好的性质。为了验证这一点，我们再次使用对数正态消耗模型，并将我们的近似值与通过（10）中给出的分析表达式获得的真实值进行比较。由于ein（17）是无条件期望，我们在计算{C（j）t}时从其平稳分布中得出初始状态X（j）。m=1000 m=2000 m=3000 m=4000 m=5000n=250 1.0006940 1.0006905 1.0006940 1.0006932 1.0006934（0.000076）（0.000048）（0.000032）（0.000037）（0.000029）n=500 1.0006208 1.0006091 1.0005813 1.0005733 1.0005775（0.000084）（0.000066）（0.000068）（0.000062）n=750 1.0005979 1.0005762 1.0005664 1.0005611 5523（0.000112）（0.000096）（0.000076）（0.000074）（0.000092）表2。MC=1.0004504时MC（m，n）的实现。数值显示1000个独立绘图的平均值和标准偏差。表2说明了我们的结果。如脚注3所示，再次选择消耗路径参数，以匹配Bansal和Yaron（2004）。参数γ设置为7.5，与表1的第一行相匹配。根据AnalyticalPression（10）计算得出的Mc的真实值为1.0004504，如表格标题所示。

表中n和m的解释与（18）的右侧一致。对于每个n，mpair，我们使用独立绘图计算总共1000次MC（n，m），然后在相应的单元格中显示样本的平均值和标准偏差。在所有模拟中，蒙特卡罗近似精度高达小数点后三位。标准偏差很小，随着m的减小而减小。估算mc的高精度转化为估算∧=βM1的类似高精度-1/ψConce我们引入了额外的偏好参数β和ψ。表3说明了这一点。表中的每个（m，n）单元格给出了∧（m，n）：=βMC（m，n）1的1000次绘图的平均值和标准偏差-1/ψ. （19） MC（m，n）的绘制如表2所示进行计算，其余参数设置为β=0.998，ψ=1.5，如Bansal和Yaron（2004）所示。表3标题中的真值∧=0.9981498计算为∧=βM1-1/ψc，其中mc从解析表达式（10）中获得。实际值的意义如下所述。3、递归效用的存在性和唯一性我们现在陈述我们的主要理论结果。在本节中，我们将注意力限制在状态空间紧凑的情况下。这也涵盖了有限状态的情况，因此，以（18）为中心的蒙特卡罗方法的另一个优点是，独立消费过程的模拟可以并行化。

在我们的一些实现中，这导致速度提高接近两个数量级。m=1000 m=2000 m=3000 m=4000 m=5000 n=250 0.9982308 0.9982297 0.9982308 0.9982305 0.9982306（0.000025）（0.000016）（0.000011）（0.000012）（0.000010）n=500 0.9982065 0.9982026 0.9981934 0.9981907 0.9981921（0.000028）（0.000022）（0.000022）（0.000021）n=750 0.9981989 0.9981916 0.9981916 917 0.9981866 0.9981837（0.000037）（0.000032）（0.000025）（0.000025）（0.000031）表3。当∧=0.9981498时∧（m，n）的实现消费动态的任何数值表示。为了简洁起见，我们的大多数论述都集中在连续状态的情况下。到最终状态设置的转换非常简单。我们的兴趣集中在Vt/Ctin（1）–（2）的存在性、唯一性和可计算性上，尽管解决第一个问题很方便：=VtCt1.-γ. （20） 我们使用（2）、（6）和（20）重写偏好递归（1）asGt=n1- β+β{EtGt+1exp[（1- γ） κ（Xt，Xt+1，εt+1）]}1/θoθ（21），其中θ：=1- γ1 - 1/ψ.对于平稳马尔可夫解Gt=g（Xt），（21）中的限制转化为tog（x）=（1- β + βZg（y）Zexp[（1- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y）dy所有x的1/θ）θ（22）∈十、 式中，ν是εt+1的分布。我们通过将未知函数g转化为定点问题来求解（22）。第一步，我们通过Kg（x）=Zg（y）Zexp[（1）定义Kg- γ） κ（x，y，ε）]ν（dε）q（x，y）dy（23）这些变换利用了Epstein–Zin效用的同质性。特别地，Vt/CTI的存在唯一性等价于财富消费比的存在唯一性，其等于（1- β)-1G1/θtin此模型。根据我们在第2.2节中对有限状态情况的讨论，线性算子K对g的作用概括了将（11）中的矩阵K应用于列向量的想法。

Nowletν是标量函数Д（t）=1.- β+βt1/θθ（24）onR+。然后，我们将A定义为将g映射到Ag的操作符，其中g（x）=Д（Kg（x））。（25）现在（22）可以写成g（x）=Ag（x）。因此，A的固定点与递归效用问题的解决方案一致。假设3.1。状态空间轴紧凑。假设3.1包括XIS定义的情况。它适用于任何数值应用，但在我们考虑的理论模型中并不总是令人满意。第6节提供了无界情况的处理方法。设C为正函数g onx的集合，使得g（Xt）具有有限的第一时刻。利用（4）中定义的∧，我们可以陈述我们的主要发现：定理3.1（存在性和唯一性）。如果假设2.1和3.1成立，则∧定义良好，以下陈述等效：（a）∧<1。（b） A在C中有一个固定点。（c） 存在一个g∈ 使{Ang}n>1收敛到C的一个元素。（d） A在C中有一个唯一的固定点。（e） A具有唯一的固定点g*在C和Ang中→ g级*作为n→ ∞ 对于C中的任何g。从实用的角度来看，定理3.1中最有用的结果是，当∧<1时，精确存在唯一解。另一个有趣的结果是（b）和（d）的逻辑等价性，这告诉我们每个参数化最多存在一个解决方案。由于（c）等价于（e），从c中的任何起点开始的连续逼近的收敛性意味着存在唯一解，并且该解等于从每个初始条件开始的连续逼近的极限。因此，如果在给定的一组参数下计算模型的解是主要目标，那么我们采用约定∞当α<0时，α=0，特别是当θ<0时，Д（0）=0。这里和下面，收敛是以绝对平均误差（即偏差）表示的。

因此，gn的声明→ C中的g表示r | gn（x）- g（x）|π（x）dx→ 0作为n→ ∞.迭代方法本身的收敛性证明了极限是一个解，C中不存在其他解的说法。定理3.1中的条件（a），转化为βM1-1/ψC<1，分离了不耐烦、时间内风险调整和消费的跨期替代性对消费流估值的贡献。更多的不耐烦（较低的β）会降低∧，促进最终估值。较高的时间内风险调整γ降低了∧，但其对∧的影响取决于跨期替代的弹性。当参考值是弹性的，ψ>1时，由MCM增加引起的未来消费价值更高的收入效应强于当前和未来消费之间边际替代率的变化。由于Vt/CTI以单位电流消耗的单位单位单位为单位，因此随着MCU的增加，它会分化为单位单位。当ψ<1时，收入和替代效应的相对长度发生变化，当mc足够小时，违反∧<1。注意，由于测试值∧仅取决于通过风险调整的长期平均消耗增长率MC的消耗，因此消耗过程的暂时细节与连续值的存在无关。在下面的应用程序中使用了这一见解，特别是当我们比较有学习和无学习的模型时（分别为第4.2节和第4.3节）。条件∧<1对长期消费带价值的平均增长率施加了一个界限，即随着其成熟度的增加。