超广义中心极限定理：和的极限分布

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英文标题：
《Super Generalized Central Limit Theorem: Limit distributions for sums of
  non-identical random variables with power-laws》
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作者：
Masaru Shintani and Ken Umeno
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In nature or societies, the power-law is present ubiquitously, and then it is important to investigate the mathematical characteristics of power-laws in the recent era of big data. In this paper we prove the superposition of non-identical stochastic processes with power-laws converges in density to a unique stable distribution. This property can be used to explain the universality of stable laws such that the sums of the logarithmic return of non-identical stock price fluctuations follow stable distributions.
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中文摘要：
在自然界或社会中，幂律无处不在，因此，在最近的大数据时代，研究幂律的数学特征非常重要。本文证明了具有幂律的非恒等随机过程的叠加在密度上收敛到唯一的稳定分布。这一性质可以用来解释稳定定律的普遍性，即非同一股票价格波动的对数收益之和遵循稳定分布。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Mathematical Physics        数学物理
分类描述：math.MP is an alias for math-ph. Articles in this category focus on areas of research that illustrate the application of mathematics to problems in physics, develop mathematical methods for such applications, or provide mathematically rigorous formulations of existing physical theories. Submissions to math-ph should be of interest to both physically oriented mathematicians and mathematically oriented physicists; submissions which are primarily of interest to theoretical physicists or to mathematicians should probably be directed to the respective physics/math categories
math.mp是math-ph的别名。这一类别的文章集中在说明数学在物理问题中的应用的研究领域，为这类应用开发数学方法，或提供现有物理理论的数学严格公式。提交的数学-PH应该对物理方向的数学家和数学方向的物理学家都感兴趣；主要对理论物理学家或数学家感兴趣的投稿可能应该指向各自的物理/数学类别
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Super_Generalized_Central_Limit_Theorem:_Limit_distributions_for_sums_of_non-ide.pdf (283.93 KB)

2022-5-31 03:57:29 上传

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关键词：中心极限定理 中心极限 Mathematical distribution formulations

超广义中心极限定理——幂律非同型随机变量和的极限分布——Masaru Shintani*和Ken Umeno+京都大学信息学研究生院应用数学和物理系，吉田本町坂区，京都，606–8501（日期：2017年8月22日）。在《自然与社会》中，幂律无处不在，因此，研究大数据时代的幂律特征非常重要。本文证明了具有幂律的非恒等随机过程在密度上收敛于唯一稳定分布。这一性质可以用来解释稳定规律的普遍性，使得不相同股票价格波动的对数收益率之和遵循稳定分布。PACS编号：89.65。Gh，02.50-r、 02.70。Rr，05.40。FBI介绍离子-。世界上有很多遵循电力法的数据。最近的研究包括但不限于金融市场[1-7]、人们资产的分布[8]、地震发生周期之间的等待时间分布[9]以及战争次数对其强度的依赖性[10]。因此，研究幂律的一般特征很重要。特别是，对于金融市场的数据，Mandelbrot[1]首先指出，棉花价格波动的分布遵循稳定的规律。自20世纪90年代以来，关于作为幂律分布之和的中心极限定理或广义中心极限定理（GCLT）[11]是否可以应用于股票价格波动的对数收益率数据，一直存在争议。

特别是，Mantegna和Stanleye认为对数回报率遵循幂律指数α<2的稳定分布[2，3]，后来他们通过引入立方爪（α=3）[4]来否定自己的论点。即使在最近，so me研究人员[5-7]也争论了对数回报率的分布是遵循α>2的幂律，还是遵循α<2的稳定律。另一方面，有必要准备大量数据集来阐明分布的真实尾部行为【12】。在这方面，最近的研究[7]表明，东京证券交易所（TSE）的大型高频箭头数据支持1<α<2的稳定规律。在这项研究中，我们表明，多重股票价格波动的对数收益之和遵循稳定的规律，并且可以从理论背景来描述。我们将GCLT推广到独立非同一随机过程的和。我们称之为超广义中心极限定理（SGCLT）。稳定分布和GCLT概述。定义了r和omvariable x服从稳定分布的概率密度函数S（x；α，β，γ，u）[13]*神坛。马萨鲁。28a@kyoto-u、 日本+梅诺。知识范围8z@kyoto-u、 ac.jp的特征函数φ（t）为：S（x；α，β，γ，u）=2πZ∞-∞φ（t）e-ixtdx，其中φ（t；α，β，γ，u）表示为：φ（t）=ex p{iut-γα| t |α（1-iβsgn（t）w（α，t））}w（α，t）=α6=1时的tan（πα/2）- 2/πlog | t |如果α=1。参数sα、β、γ和u是满足0<α的实常数≤ 2.-1.≤ β≤ 1，γ>0，分别表示稳定分布中的幂律指数、偏度、尺度参数和位置。当α=2，β=0时，概率密度函数服从正态分布。

注意，除了少数情况，如柯西分布（α=1，β=0），基因ral参数α和β的稳定分布的明确形式未知。稳定的随机变量满足标度和定位参数的以下特性。r和omvariable X随S（α，β，γ，u），whenXd=γX+u如果α6=1γX+u+πβγlnγ如果α=1，（1），其中X=S（α，β，1，0）。当随机变量Xj满足Xj时~ S（x；α，βj，γj，0），具有不同参数的独立随机变量{Xj}的叠加Zn=（x+····+Xn）/nα，除了α也在稳定分布族中，如：Zn~ S（α，β，γ，u），（2）其中参数β，γ和u表示为：β=Pnj=1βjγαjPnj=1γαj，γ=（Pnj=1γαjn）α和u=如果α6=1，则为0-2 ln nnπPnj=1βjγjifα=1。我们可以通过使用随机变量之和的特征函数来立即证明这一点，这些随机变量的和表示为其特征函数的乘积：φ（t；α，^β，^γ，^u）=nYj=1φt/nα；α、 βj，γj，0.我们关注GCLT。设x的f是0<α<2时随机变量x的概率密度函数：f（x）（c+x-（α+1）对于x→ ∞c-|x个|-（α+1）对于x→ -∞,（3） 含c+，c-> 0是实常量。然后，根据GCLT【11】，将独立、同分布的随机变量X、·····、Xn的密度叠加为唯一的s表分布s（X；α，β，γ，0），用于n→ ∞, isYn=Pni=1Xi- Annαd-→ S（α，β，γ，0）for n→ ∞,An=如果0<α<1n，则为0Iln（ДX（1/n）），如果α=1nE[X]，如果1<α<2，（4），其中ДXis是X的特征函数，作为exp（itX）的期望值，E[X]是X的期望值，I是参数的虚部，参数β和γ表示为：β=c+- c-c++c-, γ=π（c++c-)2αsin（πα）Γ（α）α、 Γ是伽马函数。

当α=2时，我们得到u=Rxf（x）dx，σ=Rxf（x）dx，并且独立、相同分布的随机变量的叠加Yn在密度上收敛于正态分布：Yn=Pni=1Xi- nu√nσd-→ N（0，1），对于N→ ∞.我们的概括-。我们考虑了非恒等随机变量和的现有定理的一个推广。

在下面的内容中，我们假设随机变量{Xi}i=1，·····，n满足以下两个条件。（条件1）：随机变量C+>0，C-> 0分别遵守分布Pc+（c），Pc-（c） ，并满足E[c+]<∞, E【C】-] < ∞.（条件2）：随机变量的概率分布函数fi（x）满足0<α<2:fi（x）（c+ix）-（α+1）对于x→ ∞c-i | x|-（α+1）对于x→ -∞,（5） 其中c+I和c-I由C+和C获得的样品-.我们强调，即使我们将fi（x）overc+i和c积分，也可能得不到概率分布函数-i、 本文的主要主张是对GCLT的以下推广：具有幂律c的非同一随机变量的以下叠加SNO收敛于唯一稳定分布S（x；α，β*, γ*, 0）对于n→ ∞, 其中sn=Pni=1Xi- Annαd-→ S（x；α，β*, γ*, 0）对于n→ ∞,An=如果0<α<1nPni=1，则为0Iln（νi（1/n）），如果α=1Pni=1E[Xi]如果1<α<2，（6），其中νi是Xias的特征函数exp（itXi）的期望值和参数β*, γ*, βi，γi表达为：β*=EC+，C-[βiγαi]EC+，C-[γαi]，γ*=EC+，C-[γαi]α、 βi=c+i- c-ic+i+c-i、 γi=π（c+i+c-i） 2αsin（πα）Γ（α）α。此处EC+，C-[十] 表示关于随机参数分布Pc+和Pc的X的期望值o-.证明-。虽然下面的内容在数学上并不复杂，但我们给出了以下直观的证明。满足条件1-2的随机变量{Xj}j=1，···，n的概率分布函数表示为：fj（x）（c+jx-（α+1）对于x→ +∞c-j | x|-（α+1）对于x→ -∞,其中c+j>0 a和c-j> 0满足E[C+]>0和E[C-] > 叠加SNI定义为：SN=PNj=1Xj- ANNα，AN=如果0<α<1NPNj=1，则为0Iln（νj（1/N）），如果α=1PNj=1E[Xj]，如果1<α<2，其中Дjis是Xj的特征函数。另一方面，设N′为M×N，有一些M，{Xij}i=1，···，M，j=1，···，由同一个父代为xj为每个j提供的Nbe样本。

然后{Xij}i=1，···，M，j=1，···，Nareindependent，i=1，···，M数据固定指数j的分布相同。然后，我们将叠加SN′定义如下：SN′=PMi=1PNj=1Xij- AN′N′α，AN′=如果0<α<1MNPNj=1，则为0(I如果α=1MPNj=1E[Xj]如果1<α<2，则为ln（Дj（1/（M N）））。这里，我们不考虑N的snindennesty的共收敛性→ ∞, 但考虑N′的叠加SN′→ ∞, 因为，如果SN收敛到indensity，则叠加SN将收敛到SN′的相同极限分布。我们重点研究了M的SN′密度的收敛性→∞ 和N→ ∞ 如下所示。关于前一个\'inSN\'，我们用以下AMj（j=1，····，N），AMj表示为\'PNj=1Amj=如果0<α<1MN，则为0I如果α=1ME【Xj】如果1<α<2，则为ln（Дj（1/M N））。这里，叠加SN′被描述为：SN′=PMi=1PNj=1Xij- AN′N′α=PMi=1Xi1-AMMα+···+PMi=1XiN-AMNMαNα。当α6=1时，让YMjbe为叠加PMi=1Xij- AMj公司/Mα。然后，对于M，Ymjc在密度上收敛到S（α，βj，γj，0）→ ∞ 根据GCLT（4），即ymj=PMi=1Xij- AMjMαd→ M的S（α，βj，γj，0）→ ∞,式中，βjandγjareβj=c+j- c-jc+j+c-j、 γj=π（c+j+c-j） 2αsin（πα）Γ（α）α。因此，利用稳定性质（2），我们得到了叠加SN′的收敛性，如下所示：SN′=PNj=1YMjNαd→PNj=1YjNα，对于M→ ∞, （Yj~ S（α，βj，γj，0））d→ S（x；α，β*, γ*, 0）对于N→ ∞,其中β*和γ*是：β*= 画→∞PNj=1βjγαjPNj=1γαj=limN→∞NPNj=1βjγαjNPNj=1γαj=EC+，C-[βjγαj]EC+，C-[γαj]，γ*= 画→∞（PNj=1γαjN）α=EC+，C-[γαj]α。这证明了叠加SN′在密度上收敛于S（α，β*, γ*, 0）。图1说明了此证明的概念。如上所述，非同一随机过程的叠加SN′在密度上收敛到一个唯一的步骤（i）X···x1nsupposition。。。。。。。。。XM 1···XM纳米→ ∞ ↓ ↓S（α，β，γ，0）··S（α，βN，γN，0）步骤（ii）S（α，β，γ，0），··S（α，βN，γN，0）|{z}叠加→∞-→ S（α，β*, γ*, 0）图1。收敛的概念（当α6=1）稳定分布。

由于n′的极限分布与SN′的极限分布相同，因此SNalso收敛于（x，α，β*, γ*, 0）。当α=1时，由于AMj中M和n之间的依赖性，这种说法不成立，但我们发现，支撑位置sn的极限分布通常在密度toS（x；α，β）上收敛*, γ*, 0）如以下数值示例所示。数字确认-。在较低的情况下，我们通过so me数值实验证实了SGCLT（6）的理论。为了从数字上验证主要观点，我们使用了两种检验：两个样本Kolmogorov-Smirnov（K S）检验[14]和两个样本Anderson-Darling（AD）检验[15]，显著性水平为5%。我们通过不同的方法生成两个数据，并查看-两个测试的值。然后，除非无效假设被拒绝，否则我们判断这两个数据遵循相同的分布。对于第一个数据，我们生成满足条件1-2的非相同随机过程，并准备以与（6）相同的方式获得的上一个位置。对于第二个数据，我们定义了遵循稳定分布的随机数s，其中第一个数据将根据（6）收敛到稳定分布。注意，我们将叠加与非累积分布函数进行比较，但从另一种数值方法获得的随机数较低，因为除了少数情况外，稳定分布的累积分布函数不能显式表示。对于第一个数据，让我们考虑混沌动力学系统xn+1=g（xn），其中g（x）定义为[16]，0<α<2:g（x）=δ| x||δx | 2α-1.x>δ时为1/α-Δδ| x|1.-|δx | 2α0<x<ΔΔδ| x时为1/α|1.-|δx | 2α1/a用于-δ<x<0-δ| x||δx | 2α-1.x为1/α<-δ。该映射对于几乎所有初始点x都具有混合性质和遍历不变密度。

作者之一（KU）获得了以下显式非对称幂律分布作为不变密度【16】：ρα，δ，δ（x）=αδαxα-1π（1+δ2αx2α）如果x≥ 0αδα| x |α-如果x<0，则为1π（1+δ2α| x | 2α）。对于x，这种不对称分布的行为如下→±∞:ρα，δ，δ（x）απδαx-（α+1）对于x→ +∞απΔα| x|-（α+1）对于x→ -∞.这与X中随机变量的GCLT（3）条件完全相同。然后，将变量δ和δ分布，我们可以得到具有相同幂律的各种不同分布。我们将参数δ1i和δ2i视为从和, 哪里和分别服从Pδ（δ）和Pδ（δ）。对于δ>0且具有有限平均值的情况，定义这些值。然后参数c+I和c-i表示为c+i=απΔα1i和c-i=απΔα2i，E[C+]<∞, E【C】-] < ∞ 由于δ1i、δ2i不为0，以及来自一些随机变量的样本，区域也满足要求和具有有限平均值。如上所述，我们可以得到一些满足条件1-2的随机过程。对于秒数据，通过以下过程生成的随机数遵循稳定分布【17】。让Θ和Ohm 为独立随机数：Θ均匀分布于-π、 π, Ohm 平均值为1的指数分布。此外，设R如下：R=sin（α（θ+Θ））（cos（αθ）cosΘ）1/αhcos（（α-1） Θ）Ohmi（1-α） /α（α6=1）πh（π+βΘ）tanΘ- β对数πOhm cosΘπ+βΘi（α=1），对于0<α≤ 其中θ=弧tan（βtan（πα/2））。那么接下来是R~ S（x；α，β，1，0）。利用尺度参数和位置的性质（1），我们得到了任意稳定的分布。根据相应获得的两个数据，我们可以看到辅助位置SN=（PNi=1Xi- AN）/N1/α在密度上收敛到稳定分布（x；α，β*, γ*, 0）或否。表I和II显示P-每个α的KS测试和AD测试值，, . 常数L是序列的长度，N是用于叠加的序列数。

U（a，b）的意思是（a，b）中的均匀分布。图2显示了α=1时的对应关系示例。“Crand（0，1）”是遵循标准柯西分布的随机数。这种情况表明，具有柯西分布的概率分布函数的积分平均值不是唯一确定的。从表一和表二可以看出，我们不能拒绝α在任何情况下的完全假设。换句话说，叠加分布sn和稳定分布（x；α，β*, γ*, 0）根据我们的SGCLT，密度足够接近。在图3中，我们可以看到非相同分布随机变量的叠加收敛。结论-。我们进一步推广了具有相同幂律指数α的独立非同一随机过程和的GCLT。我们对SGCLT的主要主张可以有更广泛的应用，因为自然界中存在各种不同类型的幂律。因此，我们的SGCLT可以支持关于稳定定律的ubiq-uit性质的论点，即多重股票价格波动的对数回归遵循1<α<2的稳定分布，将其视为具有幂律的非相同随机变量之和。以股票市场数据为例。然后，对于每个股价波动的对数收益率分布具有几乎相同的幂律指数和不同的尺度参数（c+，c-), 我们根据SGCLT得到一些趋势或指标。作者感谢Dr。