粗糙波动率的正则结构

，可以写成x处的抽象多项式（“jet”），F（x）：=F（x）1+g（x）x+h（x）x+，当然，g=f，h=f/。。。。如果我们再次“认识到”这些抽象符号是诚实的∏xXk7→.-xk∏x∏x[F（x）]（.）=f（x）+g（x）（。- x） +h（x）（。- x） +。。。Haier寻求这种形式的解决方案：在每个时空点上都有一个喷气机，在解决了一个抽象的定点问题后，如果KPZ的情况下，它的形式是u（x，s）=u（x，s）1++v（x，s）x+2+v（x，s）。分发）。特别是，（1.20）7→（H？ξ）, 缓和噪音；哦？ξ噪声，更有趣的是，（1.21）7→H（H？ξ）), 典型增强的软化噪声；哦？[（H？ξ)- C], 重整化~ 哦？（H？ξ）2、噪声的重整化增强噪声（无论是否软化）及其某些增强，无论是否重整化。例如，为重整化增强噪声的实现映射写入∏x，sfo，其中有∏x，s[U（x，s）]（.）=u（x，s）+H？ξ|(*)+ H（H？ξ）2|(*)+ ...在哪里(*) 表示在（x，s）处适当居中。请注意，U在一个由（足够多）个符号组成的（有限）线性空间中取值，U（x，s）∈ h、 。。。，1，，X。。。i=：t仅部分，在【23】之后，符号将被着色。10 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩特地图（x，s）7→ U（x，s）是一个模型分布的例子，精确的定义是a分析需要跟踪每个符号的程度（也称同质性）。例如，| |=1/- κ（与一个人心中已实现对象的H¨older规则性相关），| X |=2等。所有这些度都收集在一个索引集中。最后也是最重要的一点，为了比较- δ1...t结构组。重建图/Schwartz分布。（这可以看作是缝纫引理的推广，它是彻底积分的本质，参见。

【23】将一系列高效兼容的局部扩展转化为抽象（建模分布）解决方案U的重建。确认：ANR-16-CE40-0020-01（PG）和DFG研究培训组RTG 1845（JM）。感谢纽约大学的反馈。定理1.1和1.3的约化在这些定理的上下文中，我们有（2.1）St=Sexp^tfcWs公司星展银行-^tfcWs公司ds公司.其中，我们记得^tf（cW）dB=ρ^tf（cW）dW+ρ^tf（cW）dW。所有近似值，Wε、Wε和bε≡ ρWε+ρWε一致收敛到明显极限，因此有助于理解随机积分的收敛性。请注意，FW与W密切相关，但与W无关。有趣的部分实际上是（1.16），即（2.2）^tf（cWε）dWε-^tCε（s）f（cWεs）ds→^tf（cW）dW，'tfcWεdWε→\'tfcWdW，快步前进。Sexph'Tσ（T，ω）dBt-\'Tσ（T，ω）dti- K+一个基本条件论元（Romano–Touzi首次在马尔可夫SVmodels的背景下使用）w.r.t.w，然后表明，买入价格是按BSSExpρ^tσ（t，ω）dW的预期给出的-ρ^Tσ（T，ω）dt！，K、 ρ^Tσ（T，ω）dt！。正则结构与粗糙第11卷，专门研究σ=f（fW）的情况，结合定理3.24，然后得出定理1.3。如5.2.3所述。粗略定价规则结构在本节中，我们发展了'f（fW）dW型积分的近似理论。在第一部分中，我们介绍了规则结构和我们将使用的相关模型。在第二部分中，我们应用正则结构的重构定理来总结我们的主要结果，即定理3.24。基本定价设置。H∈,/cWκ∈, 陛下≥ 最大{m∈ N | m·（H-κ) -1/2 -κ ≤ 0}，所以（M+1）（H- κ) - 1/2 - κ > 0 .（3.1）在此阶段，我们可以引入“level-（M+1）”模型spaceT={Ξ，ΞI（Ξ），…，ΞI（Ξ）M，1，I（Ξ），…，I（Ξ）M},（3.2）其中。idenotes由{…}中的（纯抽象）符号生成的向量空间。

我们有时会写=S（M）：={Ξ，ΞI（Ξ），…，ΞI（Ξ）M，1，I（Ξ），…，I（Ξ）M}，这样T=T（M）=Lτ∈SRτ。备注3.1。在这里和后继中，将特殊情况h=1视为健全检查是有用的，在这种情况下，我们恢复了[，Ch.13]中介绍的“二级”粗糙路径结构。更具体地说，如果取H¨older指数α：=1/- κ</2和（然后m=1）条件（3.1）正是熟悉的条件α>1/3。符号的解释如下：应将Ξ理解为属于布朗运动w的白噪声ξ的抽象表示，即ξ=˙Wwhere theWxx≤˙W（Д）=0表示Д∈ C∞c类((-∞,0)). 符号（…）具有“针对Volterra内核的集成”的直观含义，因此i（Ξ）表示白噪声对Volterra内核的集成√2H^t | t- r | H-1/2dW（r），cWtIm·I··IorI（Ξ）m=I（Ξ）·…·I（Ξ）应理解为上述对象之间的乘积。下一节中的模型（π，Γ）将严格解释生成T的符号。S中的每个符号都有一个同质性，我们用I（Ξ）m |=-1/2 - κ+m（H-κ） ，m≥ 0 | I（Ξ）m |=m（H-κ） ，m>0 | 1 |=0，12 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚特，J.马丁，B.斯坦佩尔收集了绒毛中元素的同质性：={|τ| |τ∈ S} ，其最小值为||-/-κ|τ·|τ|τ|τ|τ|对于τ，τ∈ S、 Gon应满足Γτ的模型空间- τ=Lτ∈S： |τ|<|τ| Rτ和Γ=τ∈ 砂Γ∈ G、 我们将选择G={h | h∈ （R，+）}由Γh1=1，ΓhΞ=Ξ，ΓhI（Ξ）=I（Ξ）+h1给出。和Γh（τ·τ）=Γhτ·Γhτ，τ∈ 其中τ·τ∈ 定义了S。，WR+RW（x）=0表示x≤ 我们将经常使用符号^tf（t）dW（t），^tf（t） dW（t）（3.3）WmotioncW，赫斯特指数H∈ （0，1/2）ascW（t）=W？K（t）=√2H^t | t- r | H-1/2dW（r），其中K（t）=√2H1t>0·tH-1/2关闭Volterra内核。

我们也写K（s，t）：=K（t- s） 。为了给产品术语ΞI（Ξ）kwe赋予意义，我们遵循粗糙路径的思想，定义s，t的“迭代积分”∈ R、 s≤ t asWm（s，t）=^ts（cW（r）-cW（s））mdW（r）（3.4）Wm（s，t）满足了陈氏关系引理3.2的修改。（3.4）中定义的WMA满足Wm（s，t）=Wm（s，u）+mXl=0毫升（cW（u）-cW（s））lWm-l（u，t）（3.5）表示s，u，t∈ R、 s≤ u≤ t、 证明。二项式定理的直接结果。WmRs，u，t∈ t、s的Rset∈ R、 t型≤ sWm（s，t）=-mXl=0毫升（cW（t）-cW（s））lWm-l（t，s）（3.6）我们现在能够定义一个模型（π，Γ），该模型对，I，I。规则结构&粗糙vol13a模型是线性映射的集合∏s:T→ Cc（R），Γst∈ G表示指数s、t∈ R满足∏t=∏sΓst，（3.7）∏sτ（Дλs）|。λ|τ|，（3.8）Γstτ=τ+Xτ∈S： |τ|<τcτ（S，t）τ，| cτ（S，t）||s- t | |τ|-|τ|(3.9)τ ∈ Ss，tДλsλ-1φλ-1·-开关λ∈ （0、1）和Д∈ C在球B（0，1）中具有紧凑支撑。我们将使用以下“It^o”模型（π，Γ），并（偶尔）编写（πIto，ΓIto），以避免与泛型模型混淆，泛型模型也由（π，Γ）表示，从而更精确地解释S的元素。∏s1=1Γts1=1∏SΞ=˙WΓtsΞ=ΞsI（Ξ）m=cW（·）-cW（s）mΓtsI（Ξ）=I（Ξ）+（cW（t）-cW（s））1∏sΞI（Ξ）m={t 7→ddtWm（s，t）}Γtsτ=Γtsτ·Γtsτ，对于τ，τ∈ 带ττ的S∈ SWe通过施加线性将两个映射从S扩展到T。引理3.3。上述定义的一对（π，Γ）定义了（a.s.）（T，a）上的一个模型。证据S（3.7）Im（3.8）（3.9）ImH-κ, κ∈, HcW（3.9）tsττtsτ·tsτsImИλs | Wms，t |≤ C | s- t | mH+1/2-（m+1）κ（其中C>0表示具有C的随机常数∈Sp公司<∞Lp），使∏sI（Ξ）m（Дλs）|=^Дλs（t） Wm（s，t）dt≤ C^Д0-1（t- s） ）| s- t | mH+1/2-（m+1）κdtλ≤ CλmH-1/2-（m+1）κ=Cλ| I（Ξ）mΞ|。It^o'tf（r，cW（r））dW（r）型积分。

对于此类表达式的近似理论，我们需要一个描述近似的可比较设置，这将通过引入模型（ε∏，ε）来实现。ε、 ε，˙W。因此，通过将˙wb替换为收敛（作为分布）到˙W作为ε的一些修改˙Wε来构建近似模型是很自然的→ 0.˙WεδεδεHaar函数。因此，我们发现允许Δε取贝索夫空间Bβ1中的值很方便，∞（R） ，β>1/2+κ，包括1[0,1]∈ B1，∞（R） 。14 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩雷马克3.4。我们很快回忆起贝索夫空间Bβ1的定义，∞（R） （参见示例[]），尽管此处仅在附录引理3.16的证明中明确使用。Givena紧支撑小波基φy=φ（·）- y） ，y∈ Z、 ψjy=2j/2ψ（2j（·）- y） ），j≥, y∈-jZwe设置KgKbβ1，∞:=Xy型∈Z |（g，φy）L |+supj≥0jβXy∈2.-jZ公司-j/2 |（g，ψjy）L | Bβ1，∞RLgC公司-dβe+1cRβ≤这一标准是有限的。定义3.5。下面我们称之为Δε：R→ Ra可测有界函数，具有以下性质oΔε（x，y）=所有x，y的Δε（y，x）∈ R、 ，oR 3 x 7→ Δεx·∈ Bβ1，∞Rβ>-||/κo'RΔε（x，·）dx=1，osupR |Δε|。ε-1，osuppΔε（x，·） B（x，c·ε）表示任意x∈ R和一些c>0。示例3.6。有两个例子对我们的目的特别有意义o我们说Δε“来自一个molli fier”，这意味着存在对称的、紧支撑的L∞∩ Bβ1，∞（R） -函数ρ，积分为1，使得Δε（x，y）=ε-1· ρ(ε-1（y- x） ）o另一个有趣的例子是Δε“来自小波基”的情况。考虑ε-荷兰∞∩Bβ1，∞φk，Nk∈Z（例如。

哈尔父小波φk，N=2N/2·1[k2-N、 （k+1）2-N） ）并设置Δε（x，y）=Xk∈Zφk，N（x）φk，N（y）注意，我们还可以在这个选择中添加几代母小波。注意，（本地）Wis包含在inB中|∞,∞（R） （回忆：|Ξ|=-/- κ） ，以便到期|∞,∞（R） （Bβ1，∞（R） ）我们可以设置˙Wε（t）：=h˙W，Δε（t，·）i1R+（t）被积函数f我们引入符号^tf（R）dWε（R）：=^tf（R）˙Wε（R）drand，如果f取由˙W引起的某些（非齐次）维纳混沌中的值，我们还引入^tf（R） dWε（r）：=^tf（r）˙Wε（r）dr，（3.10），其中表示灯芯产品。请注意，这两个对象通常不重合。这个（3.3）（3.10）˙Wick乘积和Skohorod积分的Wε及其联系参见例[39]）。正则结构与粗糙第15卷我们现在通过设置cwε（t）=K来定义近似分数布朗运动？˙Wε=√2H^t | t- r | H-1/2dWε（r），具有预期的规律性，如以下引理所示。引理3.7。在每个紧时间间隔l[0，T]上，我们都有估计值| cWε（T）-cWε（s）|。Cε| t- s | H-κ、 | cWε（t）-cWε（s）- （cW（t）-cW（s））|。C | t- s | H-κεδκ.ε ∈,δ ∈,κ∈, 对于p，在lp中（一致）有界的HCε，C>∈ [1, ∞).证据证明是基本的，但有点笨重，因此推迟到附录。最后，我们可以给出近似模型（πε，Γε）的定义，即根据近似（因此是规则）噪声Wε构建的“规范”模型。εs1=1Γεst1=1∏εsΞ=˙WεΓεstΞ=Ξ∏εsI（Ξ）m=cWε（·）-cWε（s）mΓεstI（Ξ）=I（Ξ）+cWε（t）-cWε（s）ε∏sI（Ξ）mΞ=（cWε（·）-cWε（s））m˙Wε（·）εstτ=εstτ·εstτ，τ，τ，τ∈ SLemma 3.8。上面定义的一对（πε，Γε）是（T，a）上的一个模型。证据恒等式∏t=Γts∏很容易检查。ΓstandsImcWεsImИλsδε|˙Wε|上的界（3.8）和（3.9）≤ Cε常数Cε，在紧集上。（如引理3.22）得出积分^tf（r，cWε（r））dWε（r）。(3.11)ε → 如果H<1/2，则为0。

这可以通过使用重整化模型（b∏ε，Γε）来解决。b∏ε像（3.11）这样的积分不能收敛到^tf（r，cW（r））dW（r）的原因在于，相应的模型不满足（πε，Γε）→（π，Γ）符合适当规范。为了了解情况，我们将首先重写∏sΞI（Ξ）kLemma 3.9。对于^1∈ C∞c（R），s∈ R、 m级∈ {1，…，M}我们有∏sΞI（Ξ）M（Д）=^∞^1（t）（cW（t）-cW（s））m dW（t）-m^∞^1（t）K（s）- t） （cW（t）-cW（s））m-1dt16 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦珀千吨级√2H1t>0次-1/2注意，在第二项中，积分域实际上是（0，s）。备注3.10。我们的符号反映了Skorokhod积分和Wickproduct之间的密切关系。事实上，当ng=PXs[s，t]，在有限分区上求和为[0，t]，并且在有限维纳It^o混沌中的每个随机变量（非自适应）时，它遵循[，Thm 7.40]'gδWPXs Ws，tlin。证据我们通过重新表达Wk（s，t）来证明这一点。对于s<t，我们有alreadyWk（s，t）=^tsdW（r） （cW（r）-cW（s））kso仍然要看t<s会发生什么。关于这个案例中的关系（3.6），我们有k（s，t）=-kXl=0吉隆坡（cW（t）-cW（s）l·^dr˙W（r） （cW（r）-cW（t））k-为了简洁起见，我们使用形式表示法，它很容易转化为严格的公式。利用高斯的U，V，Uwe有（3.12）Ul·（V 英国-l） =V （乌鲁克-l） +lE[V U]Ul-1万-l（根据[39，定理3.15，7.33]），我们得到wk（s，t）=-^dr˙W（r） （cW（r）-cW（s））kt<r<s-kXl=0吉隆坡l·^dr E[˙W（r）·（cW（t）-cW（s））]·（cW（t）-cW（s））l-1·（cW（r）-cW（t））k-l。吉隆坡kk-1升-1.E˙Wr·cWt-cWs公司-堪萨斯州-rr>0t<r<此和获得的工作（s，t）=-^dW（r） （cW（r）-cW（s））kt<r<s+k^drK（s- r） （cW（r）-cW（s））k-1r>0。（可根据[，Thm 3.2]给出上述Skorokohod形式的替代推导。）由于∏sΞI（Ξ）m（Д）='Д（t）dtWm（s，t），因此权利要求如下。

让我们以适当的形式重新表达近似模型。引理3.11。对于^1∈ C∞c（R），s∈ R、 m级∈ {1，…，M}我们有∏εsΞI（Ξ）M（Д）=^∞Д（t）（cWε（t）-cWε（s））m dWε（t）- m^∞Д（t）Kε（s，t）（cWε（t）-cWε（s））m-1dt+m^∞Д（t）Kε（t，t）（cWε（t）-cWε（s））m-1dtwhere 定义见（3.10），其中kε（u，v）：=E[cWε（u）˙Wε（v）]=1u，v≥0^∞^∞Δε（v，x）Δε（x，x）K（u- x） dxdx。（3.13）规则结构和粗略证明第17卷。五、 紫外线UmV UmmEV UUm-1U=1）我们可以重写∏εsΞI（Ξ）m（Ξ）=^∞Д（t）（cWε（t）-cWε（s））m dWε（t）+m^∞dtД（t）E[˙Wε（t）（cWε（t））-cWε（s））]（cWε（t）-cWε（s））m-1·插入E[˙Wε（t）（cWε（t））-cWε（s））]=Kε（t，t）- Kε（s，t）表示恒等式。比较引理3.11和3.9中的表达式，我们可以看到，我们在道德上必须减去m^И（t）Kε（t，t）（cWε（t）-cWε（s））m-1dt来自该模型，这将为我们提供一个新的模型b∏ε。当然，我们必须小心，这一步骤保留了“陈关系”b∏εsΓst=b∏εt，见下面的定理3.13。如果我们将Kε解释为Volterra核的近似值，我们可以看到表达式cε（t）：=Kε（t，t），t≥ 0小时-1/2∞ε →上限。引理3.12。对于所有s，t∈ 我们有| Kε（s，t）|。εH-1/2.证据|Kε（s，t）|。ε-2'B（t，cε）dx'B（x，cε）du's- u | H-1/2. εH-1/2. b∏ε我们将紧凑时间间隔[0，T]上的两个模型（π，Γ）和（e∏，eΓ）之间的距离定义为| | |（π，Γ）；（e∏，eΓ）| | T：=supsuppД B（0，1），λ∈ （0，1），s∈ [0，T]，τ∈ Sλ-|τ| |（πs-e∏s）τ（Дλs）|+supt，s∈ [0，T]，τ∈ S、 A 3β<|τ| tsτ-eΓtsτ|β| t- s | |τ|-β、 （3.14）|·|βτ|τ|βfirst supremum运行于Д∈ CCK和k^1kC≤ 1、我们还需要k∏kT=supsuppД B（0，1），λ∈ （0，1），s∈ [0，T]，τ∈ Sλ-|τ|∏sτ（Дλs）|||-/- k W是指数为1/2的H¨older- κ.定理3.13。定义，适用于所有人∈[0，T]，线性映射b∏εs:T→ Cc（R）由，表格∈ {1，…，M}b∏εsΞI（Ξ）M=∏εsΞI（Ξ）M- mCε（·）∏εs（I（Ξ）m-1） 18 C.拜耳、P.K.弗里兹、P.加西亚特、J.马丁、B.斯坦佩兰德∏εs=∏εson所有剩余符号均为s。

然后（b∏ε，bΓε）：=（b∏ε，ε）定义了（T，a）和紧时间间隔上的（“重整化”）模型|||（b∏ε，bΓε）；（π，Γ）| | T有限合伙人。εδκ.（3.15）对于任何δ∈（0,1）和P∈[1, ∞). 特别是，我们有“几乎速率”形式=M（κ，H）largeenough。备注3.14。在二级布朗粗糙路径的特殊情况下（即H=1/，M=1），上述结果与已知结果完全一致（即使这里的情况很简单，我们处理的是标量布朗）。更具体地说，我们看不到通常的（强）速率“几乎”1/2，但必须减去粗糙路径/模型拓扑中使用的H¨older指数（这里：1/- κ） 这正好导致了“几乎κ”的比率。SinceM=1需要条件/- κ>/3，我们看到κ</6，与in[，Ex.10.14]中给出的完全相同。通过使用更高级别的粗糙路径（此处：M>1）可以实现更好的速率，实际上，特殊情况h=1/2，但一般情况下，可以视为[]的结果：以使用为代价~/(1/- κ） 在水平上，可以选择κ任意接近1/2，从而恢复通常的“几乎”1/2的速率。当然，对于H<1/2的情况，粗路径考虑是无法达到的。证据由于引理3.12，对于固定ε，我们有∈[0，T]| Cε（T）|<∞和∏sI（Ξ）m |.|-s | mh界（3.8）仍然满足。修改b∏εsΞI（Ξ）m-ε∏sΞI（Ξ）md不会导致违反“陈氏关系”。实际上，使用（3.7）对原始模型的有效性，我们得到b∏εtΓεts（ΞI（Ξ）k）=b∏εtkXl=0吉隆坡（cWε（t）-cWε（s））lΞI（Ξ）k-l！=ε∏s（ΞI（Ξ）k）-kXl=0吉隆坡（cWε（t）-cWε（s））l（k- l） Cε（·）（cWε（·）-cWε（t））k-l-1=∏εs（ΞI（Ξ）k）- kCε（·）k-1Xl=0k- 1升（cWε（t）-cWε（s））l（cWε（·）-cWε（t））k-l-1=∏εs（ΞI（Ξ）k）- kCε（·）（cWε（·）-cWε（s））k=b∏εs（Ξ（I（Ξ）k）。（3.7）b∏ε，ε仍然是（T，a）上的模型。最后，界限（3.15）有点技术性，留给附录a。

近似和重整化理论。\'tfcWεr，rWεr\'tfWr，rWrtheorem，我们在下面陈述。地图F：R→ T在空间DγT（Γ）中，对于一些时间范围T>0，如果kf kDγT（Γ）：=supA3β<γ，s∈[0，T]| F（s）|β+supA3β<γ，s，T∈[0，T]，s6=T | F（T）- ΓtsF（s）|β| t- s |γ-β< ∞,（3.16）规则结构与粗略第19卷|·|βτ|τ|β∏F，FR 7→ T | | | F；F | | | DγT（Γ），DγT（Γ）：=supA3β<γ，T∈[0，T]| F（T）- F（t）|β+supA3β<γ，s，t∈[0，T]，s6=T | F（T）- ΓtsF（s）- （F（t）- ΓtsF（s））|β| t- s |γ-β.γ>F∈ Dγt具有类似于∏F（·）的局部分布。定理3.15。[31，定理3.10]给定一个模型（π，Γ），γ>0且在>0时，有一个唯一的连续算子：DγT（Γ）→C |Ξ|（R）对于任何∈ [0，T]和Д∈ Cc（B（0，1））（3.17）|（RF- ∏sF（s））（Дλs）|。k∏kTλγ。对于两种不同的模型（π，Γ）和（π，Γ），我们还有（右前- ∏sF（s）- （右前- ∏sF（s））（Дλs）. λγkF kDγT（Γ）| |（π，Γ）；（π，Γ）| | T+k∏kT | | F；F | | | DγT（Γ）；DγT（Γ）（3.18）对于F∈ DγT（Γ），F∈ DγT（Γ）。如前所述，我们希望自己能够使用紧密支持的函数∈Bβ1，∞（Rd），β>-|Ξ|包括像Haar小波这样的对象。下面的引理允许我们跨越所有边界。引理3.16。(3.8)(3.14)(3.17)(3.18)φ ∈ Bβ1，∞Rd，β>-||在B（0，1）中有紧凑的支撑（在常数改变后）。备注3.17。这涵盖了特定的函数，如1[0,1]∈ B1，∞（R） 。证据我们在附录中通过小波方法证明了这一点。符号X（ε）表示X和Xε。\'tfcW（ε）r，rW（ε）r正则结构TF（ε）（s）中的被积函数f（cW（ε）（r），r）：=MXm=0m！T上的mf（cW（ε）（s），s）I（Ξ）m模型分布。我们将把F（ε）写成一个（随机）模型分布的组合，并用光滑函数F来分析。