粗糙波动率的正则结构

为此，我们需要3.18。在第3.1节中介绍的正则结构（T，A，G）上，考虑一个模型（π，Γ），该模型在∏tI（Ξ）=（K）的意义上是可容许的* ∏tΞ）（·）- （K）* ∏tΞ）（t）。C |Ξ| RBΞ|∞,∞R20 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦珀森（3.19）KΞ（t）=I（Ξ）+（K* ∏tΞ）（t）1定义了模拟分布。更准确地说，KΞ∈ D∞T： =Sγ<∞DγT.备注3.19。我们的可采性概念类似于[，Def 5.9]，但此处不直接适用（由于[31]中假设5.4的失败）。证据失速构成符号。由于{1，I（Ξ）}跨越一个扇区，即结构群作用下不变的空间，很明显，ΓstI（Ξ）=I（Ξ）+（…）1、应用实现图∏s，然后在s处进行评估，立即识别（……）as∏tI（Ξ）（s）- πsI（Ξ）（s）=∏tI（Ξ）（s）=（K）* ∏sΞ）（s）- （K）* 在∏tΞ）（t）中，我们在最后一步中使用了可容许性和∏sΞ=∏tΞ，这是一个普遍的事实，因为结构组对最低阶符号的作用微不足道。因此ΓstKΞ（t）≡ KΞ（s），所以，平凡地说，KΞ∈ Dγt对于任何γ<∞. f、 定义∏：s 7→MXm=0m！mf（（RKΞ（s），s）I（Ξ）m.KsFrom【31，Prop.3.28】我们得到RKΞ（s）=hKΞ（s），1i=K* ∏sΞ。（特别是，当∏被视为近似或非线性近似模型时，我们看到f（ε）（s）与f∏重合。）我们还可以通过简单地将其乘以Ξ来确定ΞF∏。下面的引理总结了F∏和ΞF∏的性质。引理3.20。f∈ C2M+3b，T×RN>γ∈/κ、 ，kF∏kDγT（Γ）。k∏kNT，kΞF∏kDγ+T（Γ）。k∏kNT。对于两个给定的模型（π，Γ）和（π，Γ），| | F∏；F∏| | | DγT（Γ）；DγT（Γ）。k∏kNT+k∏kNT|||(Π, Γ); （π，Γ）| | T，（3.20）| |F∏；ΞF∏| | | Dγ+T（Γ）；Dγ+|Ξ| T（Γ）。k∏kNT+k∏kNT|||(Π, Γ); （π，Γ）| | T，（3.21）fC2M+3顶。mapF∏只是函数F的组成（在[，第4.2节]的意义上），由于前面的引理，模拟了分布KΞand 7→ s1。

结果就是证明）。f∈ C2M+3fRKsome R≥ 0). 然后，得到的边界与kfkC2M+3（BR×[0，T]）呈线性关系。规则结构与粗糙第21卷，b∏ε，ε简单地表示F∏byF（分别为Fε）。然后，我们可以应用海尔重建理论3.15。注意，因为我们有两个模型，所以我们有两个重构操作符randrε。对象R（ε）ΞF（ε）可以明确地写下来。引理3.22。我们有（a.s.）RFΞ（Ξ）=^Ξ（t）f（cW（t），t）dW（t），RεfεΞ（Ξ）=^Ξ（t）f（cWε（t），t）dWε（t）-^Kε（t，t）f（cWε（t），t）Д（t）dt。证据证据见附录。如果我们取φ=[0，T），我们得到rfΞ（[0，T））='Tf（cW（T），T）dW（T），因此它是自然的tofIεf（T）Rεfε[0，T）重构算子，或者（ε）是局部接近相应的模型∏（ε），因此我们实际上有两个自然近似：定义3.23。对于f，fε，如引理3.20和T中所示≥ 0 we setfIεf（t）：=RεΞfε（1[0，t]）=^tf（cWε（R），R）dWε（R）-^tCε（r）f（cWε（r），r）dr。对于[0，t]的（固定）划分{[tεl，tεl+1）}，具有tεl+1- tεl. ε我们进一步设置fjεf，M（t）=X[tεl，tεl+1）b∏εtlΞfεtl（1[tεl，tεl+1））=X[tεl，tεl+1）MXm=0m！mf（cWε（tεl），tεl）^tεl+1tεlcWε（r）-cWε（tεl）mdWε（r）--MXm=1（m- 1)!mf（cWε（tεl），tεl）^tεl+1tεlCε（r）cWε（r）-cWε（tεl）m级-1dr。如果没有混淆的风险，我们可能会降低指数f和f、M onfIε和fjε。粗略定价的方法表明，这些近似值确实都收敛。定理3.24。T>ffIεf，fJεf，MDe定义3.23我们有（i）对于任何δ∈ （0，1）和任何p<∞ 存在C，因此（3.22）支持∈[0，T]fIεf（t）-^tf（cW（r），r）dW（r）有限合伙人≤ CεδH，（ii）对于每个δ∈（0,1）我们可以选取足够大的M=M（δ，H），这样，对于anyp<∞存在C，因此（3.23）支持∈[0，T]fJεf，M（t）-^tf（cW（r），r）dW（r）有限合伙人≤ CεδH.22 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩雷马克3.25。

关于（i）：虽然fiεf（t）不依赖于m的任何选择，也不受其（It^o）限制，但其选择会影响整个正则结构，因此，隐含地也会影响定义iεf时使用的重构算子ε，以及ε的模型分布。f∈ CMδ接近1时，f需要具有任意阶导数，因此我们的光滑性假设。ffsmooth（但没有任何进一步的界限）仍然是hassupε∈（0,1）Psupt∈[0，T]fIεf（t）-^tf（cW（r），r）dW（r）≤ CεδH！→ 0摄氏度→ ∞fform。现在，Lp估计的结果仍然成立，因为我们只考虑连续函数RkΞ（由someR≥0). 正如在FKCM+2（BR×[0，T]）中所指出的，破裂时的RKcWcWε浓度∈[0，T]| RKΞ（T）|。例如，IFF及其导数有指数增长，我们有上述定理的倍数，对于所有p<∞. 在第6节的数值讨论中，这句话特别强调了f（x）=exp（x）和p=2的选择。证据不丧失一般性T≤ 1，否则在子间隔中拆分[0，T]。让我们展示一下（3.22）。fIεf（t）-^tf（cW（r），r）dW（r）=（rε（FεΞ）- R（FΞ））（1[0，t]）=tb∏εΞFε（0）- ∏ΞF（0））（t-1[0，t]）+tRεΞFε-b∏εΞFε（0）- （RΞF- ∏ΞF（0））（t-1[0，t））。εδκ，δ∈,(3.14)κ ↑ 陛下↑ ∞任意接近H.fIεft-fJεf，Mt3.15。非常数vs.常数重整化如果Δε来自一个摩尔数（参见示例3.6），重整化Cε=Kε（·，·），这在定理3.13中得到了应用，因此在定义3.23中是一个常数，这是人们在研究单数SPDE时遇到的常见概念[，]。如果Δε来自kε·等小波，我们的分析会产生“非常数重整化”。人们很自然地会问，是否可以用平均值Cε=εεCε（t）dt来处理Cεε。CεH-1/2综上所述，很容易得出| hCε- Cε，Дi |。

εα+H-1/2，均匀分布在所有有界的规则结构和粗糙VOL 23Cα上，当α>/- H、 因此，取ν（t）=f（cWε），对于光滑的f，我们显然可以将其应用于任何α<H。因此，通过将α上的约束相等，我们得到了atH>/4。然后，实际结果是，将重点放在定理3.22第（i）部分所述的收敛性上，我们确实可以用一个常数来代替非常数重整化，但代价是限制在h>/4之内，并相应地损失收敛速度。有趣的是，我们的数值模拟表明，当anyH>0时，不会发生损失，常数重整化有效。虽然我们没有进一步研究这一（技术）点，但我们可以通过查看以下玩具示例来了解工作中的机制：考虑Iteo integral'WhdWwhereWHis是fBM，但现在使用Hurst参数h>/2，例如，作为Volterra过程over构建。利用年轻的整合理论，我们可以给出一个路径论证→/+然而，我们从随机理论（It^o积分）中了解到，这种收敛在任何大于0的情况下都会起作用（并且在概率上是次之）。因此，我们预计∈（0，/4），恒常正规化仍然有效，但现在差异仅在均方意义上消失（这就是我们在数值部分所做的）。3.3.哈尔基的情况。出于我们的目的，我们特别关注上述'tf（cW（r），r）dW（r）近似值的以下特殊情况。

我们在这里收集了一些在这种情况下产生的更具体的公式。ε-Nφ[0,1）φl，NN/2φN·-l、 l∈ Zδε这个小波是x，y的∈ R、 Δε（x，y）=Xl∈Zφl，N（x）φl，N（y）=2N[bx2Nc2-N、 （bx2Nc+1）2-N） （y）软化的Volterra核（3.13）则采用kε（u，v）=^的形式∞^∞Δε（v，x）Δε（x，x）K（u- x） dxdx=√2H·2N^[bv2Nc2-N、 （bv2Nc+1）2-N∧u） | u- x | H-1/2bv2Nc2-N≤udx公司=√2H1/2+HN××|u- bv2Nc2-N | 1/2+小时- |u- （bv2Nc+1）2-N∧ u） | 1/2+小时bv2Nc2-N≤u、 对角函数起着特殊的重整化作用，Cε（t）=Kε（t，t）=√2H 2N1/2+H | t- bt2Nc2-N | 1/2+H.（3.24），ρVolterra过程的协方差函数，cf.]，我们期望在近似值上保持一致。然而，工作量似乎与本文的主题无关。24 C.拜耳、P.K.弗里兹、P.加西亚特、J.马丁、B.斯坦佩尔我们有更多的ε（t）=^tK（t- r） dWε（r）=∞Xl=0Zl^tK（t- r） φk，N（r）dr=∞Xl=0-N/2Kε（t，l2-N） Zl=bt2NcXl=0-N/2Kε（t，l2-N） Zl，Zlh˙W，φl，NiN，Iεftdefinition 3.23，分区{[tl，tl+1}={[l2-N、 （1+1）2-N∧ t） }得出usfJεf，M（t）=dt2Ne-1Xl=0MXm=0m！mf（cWε（tl），tl）2N/2Zl^tl+1tlcWε（r）-cWε（tl）mdr--MXm=1（m- 1)!mf（cWε（tl），tl+1）^tl+1tlCε（r）cWε（r）-cWε（tl）m级-1randfiεf（t）=dt2Ne-1Xl=0^tl+1tl[2N/2Zl·f（cWε（r），r）dr- Cε（r）f（cWε（r），r）]dr。Cεrmean，君士坦丁-NCε（r）dr=√2H（H+1/2）（H+3/2）N（1/2-H） 。4、全粗糙波动率规律性结构基本设置。符号Ξ。我们再次确定了M，并确定了（更大）符号集合S，其中S S、 然后t=Mτ∈SRτ~=T型+{Ξ，ΞI（Ξ）。

，ΞI（Ξ）M}.(4.1)|Ξ|-/- κ与之前一样。与之前一样，我们设置cwt='tK（s，t）dWswithK（s，t）=√2H | t- s | H-1/2t>s，其中W也是独立的布朗运动。我们通过定义∏sΞI（Ξ）m，将正则模型（∏，Γ）扩展到这种正则结构=t 7→滴滴涕^tscW（u）-cW（s）mdW（u）（上述积分为It^o意义上的积分），以及ΞI（Ξ）m= ΞΓts（I（Ξ）m）。类似于引理3.8证明的论点表明，这确实定义了T上的模型。设置Γts时Ξ= Ξ，给定的关系正是由Γ的乘法所暗示的。《规则结构与粗略》第254.2卷。噪声小，模型偏差大。给定δ>0，我们考虑将W，W替换为δW，δW得到的“小噪声”模型（δ，δ），这意味着∏δ1=1∏δI（Ξ）m=δm∏I（Ξ）m∏δI（Ξ）m=δm+1∏I（Ξ）m∏ΔI（Ξ）m=δm+1∏I（Ξ）m，和∏δts1=1，ΓδtsΞ=Ξ，ΓδtsΞ=Ξ，ΓδtsI（Ξ）=I（Ξ）+δ（cW（t）-cW（s））1Γδtsτ=Γδtsτ·Γδtsτ，对于τ，τ∈ S、 hh，hHL，Th，hby∏h1=1，∏hsΞ=h，∏hsΞ=h，∏hsI（Ξ）（t）=^t∨s（K（u，t）- K（u，s））h（u）du，∏hττ=τ，τ的∏hτ∏hτ∈ 沙Γhts1=1，ΓhtsΞ=Ξ，ΓhtsΞ=Ξ，ΓhtsI（Ξ）=I（Ξ）+（^t∨s（K（u，t）- K（u，s））h（u）du）1Γhtsττ=Γhtsτ·Γhtsτ，对于τ，τ∈ S、 下列引理和定理在附录B引理4.1中得到证明。对于每个∈ H、 ∏hdoes定义模型。此外，maph∈ H 7→∏连续。定理4.2。δrateδ和j（π）给出的速率函数=khkHif∏=部分h的∏h∈ H、+∞, 否则作为直接推论，我们有推论4.3。对于δ小，P（Yδ≈ y）≈ 经验值[-I（y）/δ]，在yδ的大偏差原理（LDP）的精确意义上：=^f（δHcWs）δρdWs+ρdWs26 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩尔，速度δ，速率函数由（4.2）I（y）=infh给出∈L（[0,1]）{khkL+（y- I（h））2I（h）}，其中I（h）=ρ^f^sK（u，s）h（u）duh（s）ds，I（h）=^f^sK（u，s）h（u）duds。备注4.4。

这改进了[]中的类似结果，即现在涵盖了粗略波动率建模[27，4，5]中要求的FOF指数形式。证据注意yδ=RδFδ·（ρΞ+ρΞ），1[0,1]Fδ≡ F∏δ根据定理3.15，它认为Yδ满足LDP，速率函数由i（Y）=inf给出{khkL+khkL, y型=RhFh·（ρΞ+ρΞ），1[0,1]},我们使用Fh的地方≡ F∏h。然后需要注意的是右侧Fh·（ρΞ+ρΞ）, 1[0,1]=^f^sK（u，s）h（u）du（ρh（s）ds+ρh（s）ds），并针对固定的硬件进行优化（4.2）。立即转化为短时大偏差，参见【19】。虽然此处的利率函数不是以非常有用的形式给出的，但有可能[]将其进行小规模扩展，从而计算（明确根据模型参数）与隐含波动率偏斜扩展相关的高阶缓和偏差。挥发性的粗糙Volterra动力学5.1。市场微观结构的激励。Rosenbaum及其同事[，，]表明，现代市场微观结构的程式化事实自然会产生分数动力学和空间，该空间在法律上收敛于粗糙Heston-formdSt/St的粗糙波动率模型=√vtdBt≡√vρdWt+ρdWt,（5.1）vt=v+^ta- bvs（t- s） 1/2-Hds+^tc√vs（t- s） 1/2-HdWs。（如前所述，W，风依赖布朗。）与经典Heston模型的情况类似，平方根提供了两种痛苦（对于任何依赖于有效平滑来获得（接近）对数正态波动率的方法，被认为是重要的粗糙波动率。这也是经典Heston模型的常见注释。Gatheral等人的《规则结构与粗略特征》第27卷。[]。这推动了对更一般的动态粗挥发性模型的研究，即形式DST/St=f（Zt）dBt≡ f（Zt）ρdWt+ρdWt,（5.2）Zt=z+^tK（s，t）v（Zs）ds+^tK（s，t）u（Zs）dWs（5.3），具有非常好的功能SF，u，v。

（Whilef（x）=√xis在接下来的内容中仍然可以，我们假设u，v∈ 对于局部解理论，然后实际上是imposeu，v∈ CBF全球存在。（有人明确预计在线性增长等情况下不会发生爆炸，但为了不偏离我们的调查主线，我们避免讨论。）注意f（z）扮演z，v的角色≡, u≡在前面的章节中考虑了（粗糙随机）波动率f（Zt）=f（cWt）。使用单数核（例如[46]或[12]）。5.2.规则结构法。我们坚持认为（5.2）不是一个经典的It^o-SDE（solutionstool），用于分析奇异感兴趣区域中的随机Volterra（分别为混合It^o-Volterra）方程。作为初步步骤，我们必须找到正确的模型空间，该空间由符号组成，这些符号通过正式的Picard迭代完成。为此，正式重写（5.2），或作为建模分布的方程式，（5.4）Z=I（U（Z）·Ξ）+（..）1人们可以从中猜测（或正式推导出[31，第8.1节]）对符号1的需要，I（Ξ），I（Ξ），I（ΞI（Ξ））。。。我们有度| 1 |=0，| I（Ξ）|=H-κ，然后，对于后续符号，度计算为（1/2+H）×{I数}+(-1/2+κ）×{Ξ数}。对于建模分布，Z（t）取大量符号的线性范围内的值，其（最小）数量由赫斯特参数h决定。粗略地说，Z∈ Dγγ度符号未在展开图中显示。例如，在“二级扩展”的情况下，我们可以预期z（t）=（..）1 + (....)I（Ξ）∈ D2（H-κ） | I | | II | H-κ.Z∈ Dγ然后so isU（Z），具有光滑函数的成分，以及通过[，Thm 4.7]具有∈ D∞-1/2-κDγ-1/2-κ奇异核，需要正度γ的模型分布-/- κ >0. GivenWe不知道关于混合It^o-Volterra系统的任何文献（尽管预计不会有困难）。

当然，这里需要首先求解Z，然后将S构造为随机指数。28 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩尔∈,/如前所述，固定一个整数项≥ 最大{m∈ N | m·（H-κ) - 1/2 - κ ≤ 0}（因此（M+1）。（H）- κ)-/- κ>0），然后看到∈ D（M+1）。（H）-κ） 可以。当n>/4，κ>MdescribeZare{1，I（Ξ）}时，如果添加描述右侧所需的符号，则最终得到跨越{I（Ξ），1，I（Ξ）}MH的二级模型空间≤/H∈/,/hΞ、I（Ξ）、I（Ξ）、I（Ξ）、I（Ξ）、1、I（Ξ）、I（Ξ）、I（ΞI（Ξ））ione给出的Mmodel空间需要考虑扩展模型空间bt=hbSi，以便得到τ∈学士学位=> ΞI（τ）m，I（τ）m∈bS，m≥ 0，（根据上文的解释，仅需要很多此类符号）。因此，诸如ΞI（Ξ（I（Ξ））m）、m等符号≥ 0，I（Ξ（I（Ξ（I（Ξ）））m），m，m≥ 0, . . .将出现。在这个阶段，树表示法（在Haier的作品中无处不在）将出现在安迪，我们参考[]（以及其中的参考文献），以了解最近试图调和分支粗糙路径的树形式主义[，]和正则性的最新代数形式主义的尝试。在目前的非简单情况下，符号分支可能无处不在。）在一般情况下，H>0，当然可以执行以下构造。然而，代数复杂性本质上是来自分支粗糙路径的复杂性，因此一般情况下需要正重整化）。虽然这一点以及负重正化已经得到了很好的理解（[，]，H>1/4（M=1），但只要有用，就会提到一般结果。解决粗糙波动性问题。（5.3）Dγ（5.5）Z=z1+K（U（Z）·Ξ+V（Z））。（这里，用u，v表示与合成有关的运算符。）∈ CM+2）我们还引入γ∈ （1/2+κ，1）UZ·正参数，因此重建、卷积等有意义。

LetH>/，M=1，我们注意到，asH→符号的数量趋于一致。相比之下，据我们所知，在最近研究的所有奇异单峰微分方程中，只有sine-Gordon方程[36]显示了任意多个符号。规则结构与粗糙第29卷Pickκ∈（0,4H-1） 所以（M+1）。（H）-κ)-/- κ >0. 如前一节所述，这正允许我们使用第3.1节中熟悉的结构。也就是说，M=1，T=hΞ，I（Ξ），1，I（Ξ）I。使用该节中给出的索引集和结构组。该结构配有It^o模型及其（重整化）近似。方程（5.5）主要涉及作用于γ的旋涡算子。一般构造[，第5节]是最常见的β，β=1/2+H）不符合[31]中的假设5.4），因此我们将非常明确。引理5.1。在第3.1节m=1的正则结构（T，A，G）上，考虑一个在∏tI（Ξ）=（K）意义上可接受的模型（π，Γ* ∏tΞ）（·）- （K）* ∏tΞ）（t）。设γ>0，F∈ Dγ和setKF:s∈ [0，T]7→ I（F（s））+（K* RF）（s）1然后（i）KmapsDγ→ Dmin{γ+β，1}和（ii）R（KF）=K* RF，即卷积与重建进行转换。KDγ→ Dγ+βSchauder估计源于这一事实，与[，p.64]中的假设5.3不同，我们不假设正则结构包含多项式结构。证据（草图）特殊情况F≡Ξ∈ D∞已在Lemma 3.18中处理。我们只表明，在一般情况下，Knecessarily具有声明的形式，但不会检查属性。考虑F的值为hΞ，IΞI，并使ansatz（KF）（s）：=IF（s）+（…）1.应用重建，再加上[，第3.28条]我们可以看到R（KF）≡(...) 这反过来必须等于* RF，前提是我们假设（ii）的有效性。