粗糙波动率的正则结构

让我们回忆一下设置。设（B，H，u）是一个抽象的维纳空间，我们称ξ为关联的B值GaussianeiHei∈ B*α ∈ NNonly finetly many non-zero entries，definehα（ξ）=∏i≥0Hαi（hξ，eii），其中hn，n≥0被定义为由形式hα（ξ）y，|α|=k，y的元素生成的线性空间的L（E，u）中的闭包∈ E、 还确定了不均匀维纳·朝什克（E）=⊕ki=0H（i）（E）。ψ的最终值∈ H（k）（E）和H∈ Hhomh'ξhudξPi≤ki公司∈ HkEhomkhomNow letE酒店=⊕τ∈我们τ其中是一个有限集，每个τ是一个可分的Banach空间。Letψ=⊕τ∈Wψτ是一个随机变量，使得每个ψτ都是inHKτ（Eτ）。让ψδ=⊕τδKτψτ，文献[37]中的定理3.5指出，ψδ满足LDP，速率函数由i（ψ）=inf给出1/2khkH，ψ=⊕τ∈Wψhomτ（h）.在我们的例子中，我们将此结果应用于=ΞI（Ξ）m，ΞI（Ξ）m，0≤ m级≤ M每个τ都是光滑函数（t，s）的闭式7→ 规范下的∏tτ（s）∏τk=supλ，t，φλ-|τ|D∏tτ，φλtE.为了得到定理4.2，需要识别（πτ）hom（h），这是在下面的引理中完成的。引理B.1。对于每个τ∈ W和h∈ H、 （πτ）hom（H）=∏Hτ。证据我们证明了对于τ=ΞI（Ξ）m，其他情况类似。注意ψ7→ψhom（h）与hktorfor fixedh是连续的（通过应用Cameron-Martin公式），因此足以证明（B.1）limε→0b∏ετhom（h）=∏hτ，其中b∏ε对应于具有ξ分段线性近似的（重整化模型）。对于任何测试函数Д，通过定义一个哈希∏εtτ，Дi=-hIε，Дi，42 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩尔韦里ε（s）=^st（（K* ξε）（u）- （K）* ξε（t））mξε（u）du- CεRεm，其中Rεmis是一个重正化项，其值在低阶chaosHm中，因此通过τhomki=1hξ，giighhomki=1hh，在我们的情况下，这意味着（Iε）hom（s）=^st（（K* hε）（u）- （K）* hε（t））mhε（u）du其中hε=ρε* h、 换句话说，我们有（b∏ετ）hom=hετ，通过h 7的连续性→∏hweobtain（B.1）。附录C。

第5节的证明定理5.3的证明来自下面引理中的估计，使用标准的Tuvzobtains全局存在性（不同于SPDE中的典型情况，该理论仅给出局部初始存在性）。通过translatinguandvwe可以假设w.l.o.g.初始条件为z=0。那么解的值为Dγ0，T（Γ）：={F∈ DγT（Γ），F（0）=0。}。引理C.1。对于各个模型（π，Γ）和（e∏，eΓ）的每个结果γ0，T（T），以及每个γ<1和T∈ （0，1），一个有| | | KF；KeF | | DγT（Γ），DγT（eΓ）。Tη| | | F；eF | | | | Dγ+T（Γ），Dγ+T（eΓ）对于某些η>0，比例常数仅取决于γ以及（π，Γ）和（e∏，eΓ）的范数。证据（γ<1避免出现任何多项式项，出现在[，第5节]中，但在我们的情况下不出现。）注意，iff属于toDγ0，Tso doesKF。由于在[31]的意义上是β阶：=+H的正则化核，因此沿着[31，第5节]的线，它遵循| | | | KF；KeF | | | DγT（Γ），DγT（eΓ）|||FeF | | | Dγ+|Ξ| T（Γ），Dγ+T（eΓ）γ∈γ,γ ≤ γ| |βγH-κ定义由于KF和KeF在t=0时消失，它认为| | | KF；KeF | | | DγT（Γ），DγT（eΓ）。Tη| | | KF；η=γ时，KeF | | | DγT（Γ），DγT（eΓ）- γ. 引理C.2。LetG（resp.eG）是对应于tog（resp.eG）的合成运算符∈ 厘米+2b。那么一个有| | | G（F）；eG（eF）| | DγT（Γ），DγT（eΓ）。公斤-eGkCM+2+| | | F；eF | | | DγT（Γ），DγT（eΓ）仅取决于γ和（π，Γ），（e∏，eΓ），F，eF，g，eg.Proof的范数的比例常数。但从三角不平等中可以明显看出。规则结构与粗糙第43卷参考文献[1]具有随机波动性的模型。《金融与随机》，11（4）：571–5892007。[2] 具有随机波动性的模型。《金融与随机》，11（4）：571–5892007年10月。[3] 金融中指数期权的定价。Comptes Rendus Mathematique，336（3）：263–2662003年。[4]2016.[5] 克里斯蒂安·拜耳、彼得·弗里兹、阿奇尔·古利萨什维利、布兰卡·霍瓦思和本杰明·斯坦珀。

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