粗糙波动率的正则结构

这是KF的给定定义。我们回到求解（5.6）Z=z1+K（U（Z）·Ξ+V（Z））的目标，注意到U（Z）对于每个函数都有意义，比如模型分布，sayF（t）=F（t）1+PMk=1Fk（t）（IΞ）K∈ T+：=1，I（Ξ），（IΞ）M, 在这种情况下，（5.7）U（F）（t）=U（F（t））1+U（F（t））MXk=1Fk（t）I（Ξ）k（类似的注释适用于V，与V相关的复合运算符∈ 厘米+2）。召回M=1。定理5.3：。，紫外线∈ CM+2bRT>（5.6）具有唯一的溶液inDγ（T+），map（u，v，π）7→ Zis局部Lipschitz在意义上，如果Z andeZ是分别对应于（u，v，∏）和（eu，ev，e∏），| | Z；eZ | | | DγT.ku- eukCM+2b+kv- evkCM+2b+| | |（π，Γ）；（e∏，eΓ）| | | T，I通过符号τ6=Ξ取Iτ=0线性扩展到所有T）。30 C.BAYER，P.K.FRIZ，P.GASSIAT，J.MARTIN，B.Stemperw，当参数的（分别为CM+2band模型）范数保持有界时，比例常数有界。，运动，H>1/4），则Z=RZ在It^o意义下求解（5.2）。备注5.4。Z=rzi显然是抽象问题（唯一）解决方案的（唯一）重构。我们还检查了这确实是It^o-Volterra方程的一个解。然而，如果你想知道zi是随机It^o-Volterra方程的唯一强解，那么很明显，你必须求助于随机理论的唯一性结果，参见例[12]。证据参考文献[31]的结果，附录C中详细说明了细节。通过考虑参考文献[35，Thm 6.2]或文献[23，Ch.5]中的近似值，可以获得解决方案重建解It^o方程的事实。

利用上一小节中获得的大偏差结果，我们可以直接获得对数价格xt=^tf（Zs）（ρdWs+ρdWs）的aLDP-^tf（Zs）ds。对于平方可积h，设zhbe为积分方程zh（t）=z+^tK（s，t）u（zh（s））h（s）ds的唯一解。推论5.5。勒思∈（0，/2）和F平滑（无有界假设）。然后-XTS满足LDP的速度t2Hand速率函数，由（5.8）I（x）=infh给出∈L（[0,1]）{khkL+（x- Iz（h））2Iz（h）}其中Iz（h）=ρ^f（zh（s））h（s）ds，Iz（h）=^f（zh（s））ds。备注5.6。尽管我们之前限制为h>/4，但该方法可以扩展到任何h>0，并产生所述的结果。证据忽略第二部分（…）dsinXtwhich isO（t）=o（t-H） 由于有界，我们将bxt='tf（Zs）（ρdWs+ρdWs），通过缩放我们可以看到-bXt=dbXδ，δtHXδZδXZW，WδW，δWv替换为vδ=δ1+2Hh。然后我们注意到xδ=RδF（Zδ）（ρΞ+ρΞ），1[0,1]=: ψ（πδ，vδ），其中，根据定理5.3，ψ是局部Lipschitz。然后，我们可以直接使用∏δ满足LDP（定理4.2）和收缩原理，如[]中的引理3.3，以获得xδ满足速率函数i（x）=inf的LDP（khkL+khkL，x=ψ（π（h，h），0）.正则结构与粗略第31卷，然后需要注意的是，Zhis精确地求出了（5.6）对应于模型∏（h，h）和h的解≡ 0，并在推论4.3的证明中分别对h进行优化。我们还有一个近似结果：推论5.7。H>/Zlim Zε在紧致和概率上，其中（5.9）Zεt=Z+^tK（s，t）（u（Zεs）dWεs+（v（Zεs）- Cε（s）uu（Zεs）ds）。备注5.8。如果提供h>/4，可以用其平均值替换重整化函数cε。分布收敛。在当前上下文中，这是通过直接检查modelconvergence来实现的，幸运的是，这并不难。我们把细节留给感兴趣的读者。H∈,/来自最近推出的pre-Lie产品【9】。证据

由于定理3.13和定理5.3，重构的连续性得出z=RZ=limε→0RεZε，所以唯一要做的就是检查Zε解（5.9）。注意，（5.6）意味着有（忽略所有法线和校准Z的上ε…）Z（t）=Zt1+u（Zt）I（Ξ），和（5.7），u（Z（t））I=u（Zt）I（Ξ）。但既然b∏ε是一个“光滑”模型，在备注3.15的意义上。在[31]中，一个hasRε（U（Zε）Ξ）（t）=b∏εt（U（Zε（t））Ξ）（t）=U（Zεt）（b∏εtΞ）（t）+uu（Zεt）（b∏εtΞI（Ξ））（t）=U（Zεt）˙Wε（t）- uu（Zεt）Kε（t，t）。由于卷积与重构相互转换，参见引理5.1，因此zε确实是（5.9）的解。6、数值结果我们现在将继续我们在第3.3节中离开的地方，并重新讨论欧式期权的情况。为了简单起见，仅限于单位时间间隔，我们对本文的中心算法进行了简要描述，并用数值结果补充了前几章中获得的理论收敛速度。用于运行模拟的代码已可用onhttps://www.github.com/RoughStochVol.Concise描述在不丧失一般性的情况下，将到期时间t设置为1。我们很感兴趣SK32 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩1.3，我们有（6.1）C（S，K，1）=E哥伦比亚广播公司SexpρI-ρV, K、 ρV计算挑战显然在于（I，V）的有效模拟=^f（cWt，t）dWt，^f（cWt，t）dt.i在Haar网格上近似白噪声过程˙W，如下所示：设{Zi}i=1，。。。2N个-1.~ iid N（0,1）并选择Haar网格级别N∈ 确保Haargrid的步长ε=2-N、 那么，不管怎样∈ [0，1]和i=0。

，2N- 1，我们设置˙Wε（t）=N-1Xi=0Zieεi（t），其中eεi（t）=2N/2[i2-N、 （i+1）2-N） （t）（6.2），得出fBmcWε（t）=N的近似值-1Xi=0Zibeεi（t），其中（6.3）beεi（t）=1t>i2-N√2H2N/2H+1/2|t型- i2-N | H+1/2- |t型- 最小值（（i+1）2-N、 t）| H+1/2.（6.4）如前所述，中心问题是对象f（cWε（t），t）˙Wε（t）dt在适当意义上不收敛于感兴趣的对象ε→这可以通过对“更简单”的重整化对象进行重整化来克服，该对象由fiε=^f（cWε（t），t）˙Wε（t）dt给出-^Cε（t）f（cWε（t），t）dt（6.5），其中重整化对象Cε（t）可以是Cε（t）=（N）中的一个√2小时+1/2吨-t2N型-N | H+1/2√2H（H+1/2）（H+3/2）N（1/2-H） 。（6.6）（I，V）模拟以实现适当意义上的收敛是目标fIε，Vε, （6.5）forfIε的表达式已重写为更适合有效模拟的形式：fIε=N-1Xi=0^（i+1）2-Ni2-NhZiN/2f（cWε（t），t）-√2H2NH+1/2吨- i2-N | H+1/2f（cWε（t），t）idt（6.7）Vε=N-1Xi=0^（i+1）2-Ni2-Nf（cWε（t），t）dt。（6.8）数值收敛速度。规则结构与粗糙VOL 33算法1：模拟（fIε，Vε）参数的M个样本：M∈ N： #蒙特卡罗模拟N∈ N： Haar网格“水平”，使得ε=2-Nd公司∈ N： #每个Haar子区间内梯形规则的离散点输出：M个二元对象样本（fIε，Vε）1个初始值fIε=Vε=0∈ RM；2模拟阵列Z∈ RM×2Nof iid标准法线；每个Haar子区间3个【i2】-N、 （i+1）2-N） 我在哪里∈ {0，…，2N- 1} do4在Haar子区间上选择d点离散网格；5评估功能bek、 k=0。

，i，来自Dito obtainbe上的（6.4）∈ R（i+1）×d；6计算CW= Z*×be∈ RM×dwhere Z*∈ RM×（i+1）是Z到其Firsti+1列的截断，因此cw是Di上fBM的近似值；7根据DiusingcW上的方程式（6.7、6.8）计算被积函数Z的最后一列*;8用梯形法则在子区间上近似各自的积分；9将获得的估计值添加到运行的sumsfIε和Vε中；10结束11返回fiε，Vε在本小节中，我们将讨论近似目标fiε与实际利益目标的强收敛性，以及期权价格本身的弱收敛性，如Haar gridinterval大小ε→具体而言，我们将研究我们误差的蒙特卡罗估计，即EXXatMPMi=1xi，其中从同一分布中提取的Xiaremid样本为x。在otherM中fIε，Vε可以如下所述进行矢量化，从而避免通过实现进行昂贵的循环。Lsimplicity-f（x，t）=exp（x），即没有明确的时间依赖性。也就是说，我们关心的是fIε-^exp（cWt）载重吨L(Ohm)我们预计误差几乎为εH.f（x，t）expx级（见[]和下文）。此外，对于最简单的非平凡选择，f（x，t）=x，即使对于非常粗糙的网格，离散化误差也会与蒙特卡罗误差重叠。自从W、 cW公司是一个具有已知协方差结构的二维高斯过程，对我们的方案有参考价值。然而，为了实现强收敛，我们需要两个对象都是34 C.拜耳、P.K.弗里兹、P.加西亚特、J.马丁、B.斯坦佩尔10210100=2N1011002×1013×1014×1016×101Error强误差：非常数重整化H=0.3：强率0.35参考率0.3H=0.2：强率0.25参考率0.2图1。

非常数重整化下对数-对数标度上的经验强（6.9）误差，通过hm=10蒙特卡罗样本获得，梯形规则δ为 = 2.-17参考Haar网格的长度ε=2-实线显示了通过最小二乘回归获得的经验收敛率，虚线提供了视觉参考率。阴影色带显示基于蒙特卡罗估计量正态性的内插95%置信水平。通过基于小波的方案本身，即我们只需选取一些ε ε并考虑（6.9）fIε-fIεL(Ohm)asε→ ε. 如图1和图2所示，（6.6）中所述的两种重整化方法与0<H<的整个范围内的理论强速率几乎一致。5（参见第3.2节末尾的讨论）。备注6.2（弱收敛）。在没有马尔可夫结构的情况下，适当的弱收敛性Д正则性结构&粗略的VOL 35102101100=2N1011002×1013×1014×1016×101ErrorStrong错误：常数重整化h=0.3：强率0.33参考率0.3H=0.2：强率0.24参考率0.2（6.9）到hm=10蒙特Carlo样本，梯形规则delta为 = 2.-17参考Haar网格的长度ε=2-实线显示了通过最小二乘回归获得的经验收敛速度，虚线提供了视觉参考速度。阴影色带显示了基于蒙特卡罗估值器正态性的内插95%置信水平。收敛于裕利安怡fIε我- Eφ^exp（cWt）载重吨像 → 0，仍然是一个未解决的问题。然而，选取Д（x）=x，伊藤等距收益率（6.10）E“^exp（cWt）载重吨#=^EhexpcWt公司idt=^exp2t2H我们可以用数值来近似。所以我们可以考虑（6.11）EfIε-^exp2t2Hdt公司36 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B。

STEMPER1021010101=2N104103102101ErrorOption价格：弱错误H=0.4，比率0.83 H=0.3，比率0.62 H=0.2，比率0.44 H=0.1，比率0.30图3。对数-对数标度上的经验弱（6.12）误差为ε→ ε= 2-8，通过skρ获得-.σ.η-17阴影色带显示基于蒙特卡罗估值器正态性的置信水平。asε→我们的初步结果表明，对于两种重整化方法，弱利率似乎都在强利率H附近。新方差由f（x）=σexp（ηx）给出，σ和η分别表示即期波动率和波动率。LetCε表示认购价格（6.1）的近似值，基于fIε，Vε, fix一些ε ε并考虑（6.12）Cε（S，K，T=1）- Cε（S，K，T=1）ε → εH0<H<。正则结构与粗糙第37卷附录A。近似与重整化（证明）引理A.1。对于a，b>0和δ∈ [0，1]我们有x/∈ [0，1）| ax- bx |≤ 21-δ| x |δ（ax-δ∨ bx公司-δ） ·| a- b |δ和x∈ （0，1）| ax- bx |≤ 21-δ| x |δ（a（x-1） δbx（1-δ)∨ b（x-1） δax（1-δ） ）·| a- b |δ。证据这取决于| ax之间的插值- bx |≤ |x | supz∈[a，b]zx-1 | a- b |≤ |x | ax-1.∨bx公司-1 | a- b |和| ax- bx |≤ ax+bx≤ 2ax∨ bx。引理3.7的证明。重写cwε（t）=√2H'∞dW（u）'∞drΔε（r，u）| t- r | H-1/2r<twe haveEcWε（t）-cWε（s）= 2H^∞杜邦^∞drδε（r，u）（1r<t | t- r | H-1/2- 1r<s | s- r | H-1/2).^∞杜^∞dr |Δε（r，u）|r<t | t- r | H-1/2- 1r<s | s- r | H-1/2.^s∨tdr公司r<t | t- r | H-1/2- 1r<s | s- r | H-1/2,我们在第一步中使用It^o等距，在第二步中使用Jensen不等式。假设<twe可以在域[0，s]和[s，t]中拆分积分，从而得到界| t- s | 2H | s-r | 4H-1吨-s | 2H|t型-s | 2Hand Kolmogorov准则则显示了第一个不等式。如果我们可以证明e | cWε（t），那么第二个后面是插值（再次是Kolmogorov）-cW（t）|。

ε2H-κ.（A.1）根据它的等距，我们有E[cWε（t）-cW（t）] = 2H^∞杜邦^∞drΔε（r，u）| t- r | H-1/2r<t- |t型- u | H-1/2u<t.'Δεr，u'B（0，cε）u'B（0，cε）rε-1吨-r | H-1/2. ε2Hyields^∞杜^∞-∞dr |Δε（r，u）||t型- r | H-1/2r<t- |t型- u | H-1/2u<t.在上述情况下，Either>uoru>tyield具有ε2项，因此与引理A.1有界|t型- r | H-1/2- |t型- u | H-1/2. （| t- r|-1/2+κ+| t- u型|-1/2+κ）·u- r | H-κ证明（A.1）。（3.15）的证明。我们只考虑符号ΞIm（Ξ），符号（Ξ）mcan可以用m处理≥38 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩姆>第二个方程式中的0）E^∞dWε（t） Дλs（t）（cWεst）m-^∞dW（t） Дλs（t）（cWst）m. ε2Δκλ2mH-1.-2κ，（A.2）E^∞dtДλs（t）Kε（s，t）（cWεst）m-1.- K（s）- t） （cWst）m-1.. ε2Δκλ2mH-1.-2κ，（A.3）cW（ε）stcW（ε）t-cW（ε）sδ∈,, κ∈, Hin the Wiener混沌和Kolmogorov模型准则的一个版本（[，命题3.32]）给出了（3.15）（注意，这给出了更好的均匀性，而不是我们实际需要的均匀性，因为我们在λ的指数中只有子2κ，而不是2mκ∈(0,1]). 我们可以将（A.2）的随机变量改写为^T+1dW（T）^duΔε（t，u）u≥0Дλs（u）（cWεsu）m- Дλs（t）（cWst）m利用[，定理7.39]和Jensen不等式，我们可以通过|（A.2）|来估计此方法积分的二阶矩。^T+1dt^du |Δε（T，u）| Eu≥0Дλs（u）（cWεsu）m- Дλs（t）（cWst）m.在λ范围内≤ ε方括号中的每个项都可以用λ2H简单地有界（使用引理3.7）-1、λ2H-1.-2κεκ. 另一方面，如果ε<λ，我们可以分割出一个有序项'B（0，cε）t'B（0，cε）duε。λ2mH-1.-2κε2κu≥0ofΔε（t，u）|Дλs（u）（cWεsu）m- Дλs（t）（cWts）m |≤ |（Дλs（u）- |λs（t））·cWεsu | m+| ||λs（t）|·（cWεsu）m- （cWst）m. CεB（s，（1+2c）λ）（t）λ-1.-κεκλmH+CεB（s，λ）（t）λ-1λmH-κεκ，Cε>Lpp∈, ∞（A.2）（A.3）E | cWm-第一-cWεstm-1|.

|t型-s | 2（m-1） H类-2κεδ2κ我们只剩下e^∞dtДλs（t）（Kε（s，t）- K（s）- t） ）（cWεst）m-1..^∞dtДλs（t）| Kε（s，t）- K（s）- t） | | s- t | 2（m-1） H，λ≤ ελ<εt>cεc>带^B（0,2cε）dtДλs（t）| t- s | 2（m-1） H（ε2H-1+| t- s | 2H-1).^B（s，λ-12cε）dt（λ2（m-1） Hε2H-1+λ2mH-1 | t | 2mH-1). λ2（m-1） H类-1ε2H+λ2mH-1(λ-1ε）2mH≤ λ2kH-κεκ，完成证明。《正则结构与粗糙》第39卷引理A.2。对于定义为3.5且t>2cε和s的c∈ 对于κ，我们有R∈ （0，H）| K（s- t）- Kε（s，t）||s- t | H-1/2-κεκ.证据cε≥ |s-t |/cε≥ |s-t |/| K（s- t）- Kε（s，t）|=^∞-∞duδ2，ε（t，u）（1t<s | s- t | H-1/2- 1s<u | s- u | H-1/2),式中δ2，ε（t，·）：=\'∞-∞dx'∞-∞dxδε（t，x）δε（x，·）满足定义3.5中的特性，并支持inB（t，cε）。注意，对于2cε≥ |s- t |/2要么两个指示函数都消失，要么一个消失，所以我们只需要考虑t<在这里我们用引理A.1得到一个常数'∞-∞|δ2，ε（t，u）| | t- s | H-1/2-κεκ. |t型- s | H-1/2-κεκ. 引理3.16的证明。（3.17）φyφ·-y、 y型∈ Zψjyj/2ψj·-y、 j≥, y∈-jzan并在以下符号中使用φy=2j/2φ（2j（·- y） ），j≥, y∈-jZ。在此基础上，我们可以表达Bβ1，∞νbyXy的正则性∈Z |（Д，φy）L |+supj≥0jβXy∈2.-jZ公司-dj/2 |（Д，ψjy）L |。kхkBβ1，∞在不丧失一般性的情况下，我们可以假设λ=2-jis并矢，因此通过缩放XY∈2.-jZ |（Дλs，φjy）L |+supj≥j（j-j） βXy∈2.-jZ公司-（j）-j） d/2 |（Дλs，ψjy）L |。2jd/2kДkBβ1，∞.（A.4）我们现在可以重写（RF- ∏sFs）（Дλs）=Xy∈2.-jZ（RF- ∏sFs）（φjy）·（φjy，Дλs）L+Xj≥jXy公司∈2.-jZ（RF- ∏sFs）（ψjy）·（ψjy，Дλs）L=Xy∈2.-jZ（RF- ∏yFy）（φjy）（φjy，Дλs）L+Xy∈2.-jZ∏y（Fy- ΓysFs）（φjy）（φjy，Дλs）（A.5）+Xj≥ j、 y型∈ 2.-jZ（RF- ∏yFy）（ψjy）（ψjy，Дλs）L+Xj≥ j、 y型∈ 2.-jZ∏y（Fy- ΓysFs）（ψjy）（ψjy，Дλs）L（A.6）（A.5）-此外，jγλγ（A.6）。Xj公司≥j-jγ+Xj≥jXA3α<γ-jα-(γ-α） jXy公司∈2.-jZjd/2 |（ψλs，ψjy）L |。Xj公司≥j-jγ+2-γjXA3α<γXj≥j-（j）-j） α-（j）-j） β。2.-jγ=λγ，其中我们使用β+α>0，α∈ A在最后一行。40 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B。

引理的STEMPERProof 3.22。首先注意，通过泰勒公式可以很容易地检查缩放HaarwaveletsДλsandγ∈ （0，（M+1）H）E“^Дλs（t）f（cW（t），t）dW（t）- ∏sFΞ（s）（Дλs）#1/2. λ(γ-1/2-κ） （A.7）s（A.7）Д函数inBβ1，∞（Rd））。现在按照[]继续，我们选择测试函数η，ψ∈ C∞C带ηeven和suppη B（0，1），\'η（t）dt=1。然后我们得到ψδ（s）=hψ，ηδsiE|RFΞ（ψδ）-^ψδ（t）f（cW（t），t））dW（t）|1/2=E“^dxψ（x）RFΞ（ηδx）-ηδx（t）f（cW（t），t））dW（t）#1/2.^dxψ（x）Δγ-1/2-κδ→0→ 0其中，我们在第二步中加入了一个术语∏xΞF（x）。需要注意的是，^ψδ（t）f（cW（t），t））dW（t）δ→0→^ψ（t）f（cW（t），t）dW（t）LPRFψδ→ RFψLPwe obtainE|RFΞ（ψ）-^ψ（t）f（cW（t），t）dW（t）|= 0这意味着第一句话。对于第二个恒等式，我们以同样的方式进行，但使用引理A.3。引理A.3。对于F∈ L（P×Leb）我们有“^F（t）dWε（t）#.^Eh | F（t）| idtProof。\'|Δεx，yx |εy |Δε·，r |不等式to^F（t）dWε（t）=^∞^∞Δε（t，r）F（t）dt dW（r）。附录B引理4.1的大偏差证明。πhs满足代数约束的事实是显而易见的，因此我们只关注 C-1/2Ξ正则结构与粗糙卷41kK* hkCH公司≤ CkhkC公司-我们注意到使用Cauchy-Schwarz不等式D∏tΞI（Ξ）m，φλxE=^h（s）（K）* 小时（秒）- K* h（t））mφλx（s）ds≤辅助设备-t型|≤λ| K* 小时（秒）- K* h（t）|！mkhkLk kφλxkL。λmH-1/2.πΞI（Ξ）m的不等式也是这样，Γ的界也是这样。我们留给读者的类似论点证明了连续性是h。定理4.2的证明。该定理是Haier-Weber[]中关于Banach值高斯多项式大偏差结果的特例。