粗糙波动率的正则结构

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英文标题：
《A regularity structure for rough volatility》
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作者：
Christian Bayer, Peter K. Friz, Paul Gassiat, Joerg Martin, Benjamin
  Stemper
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A new paradigm recently emerged in financial modelling: rough (stochastic) volatility, first observed by Gatheral et al. in high-frequency data, subsequently derived within market microstructure models, also turned out to capture parsimoniously key stylized facts of the entire implied volatility surface, including extreme skews that were thought to be outside the scope of stochastic volatility. On the mathematical side, Markovianity and, partially, semi-martingality are lost. In this paper we show that Hairer\'s regularity structures, a major extension of rough path theory, which caused a revolution in the field of stochastic partial differential equations, also provides a new and powerful tool to analyze rough volatility models.
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中文摘要：
最近，金融建模中出现了一种新的范式：Gatherel等人首先观察到的粗糙（随机）波动率。在高频数据中，随后在市场微观结构模型中衍生出来的数据，也被证明能够捕捉整个隐含波动率表面的关键风格化事实，包括被认为不在随机波动率范围内的极端偏斜。在数学方面，马尔可夫性和部分的半马提尼性都消失了。本文表明，Haier正则结构是粗糙路径理论的一个重要扩展，它在随机偏微分方程领域引起了一场革命，也为分析粗糙波动率模型提供了一个新的有力工具。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：波动率 Differential Applications Quantitative Mathematical

粗挥发性的规则结构。拜耳，P.K.FRIZ，P.GASSIAT，J.MARTIN，B.STEMPERAbstract。Gatheral等人首先在高频数据中观察到的，随后在市场微观结构模型中得出的，也被证明能够捕获整个隐含波动率表面的关键风格化事实，包括被认为超出随机波动率范围的极端偏斜。在数学方面，马尔可夫性和部分半马丁尼性都消失了。在本文中，我们表明，Haier的正则结构是粗糙路径理论的一个重要扩展，它在随机偏微分方程领域引发了一场革命，也为分析粗糙波动率模型提供了一个新的强大工具。在吉姆·盖瑟拉尔教授60岁生日之际献给他。内容1、导言21.1。马尔可夫随机波动率模型31.2。粗糙波动的并发症31.3。主要结果描述41.4。KPZ和奇异SPDE理论的教训82。定理1.1和1.3的简化103。粗略定价规则结构113.1。基本定价设置113.2。近似与重整化理论183.3。哈尔基的情况234。全粗波动率规律性结构244.1。基本设置244.2。小噪声模型大偏差255。波动性的粗糙Volterra动力学265.1。市场微观结构的激励265.2。规则结构方法275.3。解决粗波动286。数值结果31附录A.近似和重整化（证明）37附录B.大偏差证明40附录C.第5节证明42参考文献43日期：2017年10月23日。arXiv:1710.07481v1【q-fin.PR】2017年10月20日C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩1。

简介我们对It中给出的随机波动率（SV）模型感兴趣，其形式不同（1.1）dSt/St=σtdBt≡pvt（ω）dBt。这里，标准布朗运动和σt（分别为vt）被称为随机波动（分别为方差）过程。许多经典的马尔可夫资产价格模型都属于这个框架，包括一个具有方差过程的马尔可夫动力学，其形式为（1.2）dvt=g（vt）dWt+h（vt）dt；常数相关ρ：=dhB，通过使用2D标准布朗运动将其/DTI合并W、 W,B：=ρW+ρW≡ ρW+p1- ρW。本文研究了一类重要的非马尔可夫（分数）SV模型，称为Drough volatility（RV）模型，在这种情况下σt（相当于：vt≡ σt）通过区域内的分数布朗运动（fBM）建模∈ (0, 1/2).术语“粗糙”stemsH-这相当于takeH>/2。粗略制度的证据（最近的校准建议低至0.05）现在是压倒性的-无论是在实物还是定价措施下，参见例如波动率模型，我们指的是σt=f（cWt）形式的模型。“简单粗挥发性（RV）”（1.3）cWt=^tK（s，t）dWs；（1.4）带K（s，t）=√2H | t- s | H-1/2t>s，H∈ (0, 1/2).（1.5）请注意，与经典SV模型相比，随机波动率是明确给出的，它不仅为时间序列和期权定价问题提供了显著的结果，而且还具有市场微观结构调整：从霍克斯过程模型开始，Rosenbaum及其同事[16、17、18]发现了标度极限f、g、h，使得σt：=f（bZt）。

“非简单粗糙波动率（RV）”（1.6）Zt=z+^tK（s，t）g（Zs）ds+^tK（s，t）h（Zs）dWs，（1.7），随机Volterra动力学提供了简单粗糙波动率的自然概括。波动率不是一种交易资产，因此其非半马丁性（当H 6=1/2时）并不意味着套利。在[]之后，我们使用Volterra或Riemann-Liouville fBM，但也可以使用其他选择，如Mandelbrotvan-Ness fBM，以及适当修改的内核K。规则结构与粗糙的第3卷马尔可夫随机波动率模型。下面，我们首先提到了一系列众所周知的马尔可夫SV模型工具和方法PDE方法普遍存在于（低维）定价问题中，正如蒙特卡罗方法一样，注意到对强（或弱）比率1/2（或1）的了解是现代多水平方法（MLMC）工厂中的难题方案，目前在标准软件包中可用；o以及各种“强”大偏差（也称为精确渐近）结果，例如推导著名的SABR公式。出于几个原因，以Stratonovich形式编写模型动力学可能很有用：从aPDE的角度来看，操作符然后采用平方和形式，这可以在许多方面利用容积/NV方案[]还需要以Stratonovichform重写完整的动态。事实上，将NV视为5级容积，从[]的意义上讲，其3级简化只不过是熟悉的Wong Zakai近似结果。另一个需要Stratonovich公式的财务示例来自基于Stroock–Varadhan支持定理的利率模型验证[]。我们进一步注意到，QMC（例如。

如果噪声具有多尺度分解（通过将（分段）线性Wong-Zakai近似解释为驱动白噪声的Haar小波展开，则Sobol’）尤其有效。1.2.剧烈波动的并发症。由于失去马尔可夫性，PDE方法不适用，Freidlin–Wentzell大偏差估计（见[]）也不适用。此外，粗糙波动率不是一个半鞅，至少可以说，它使使用See this变得复杂，将重点放在“简单”的情况上，即（1.1），（1.3），因此（1.8）St/S=E^·fcWs公司星展银行（t） 。在（经典）随机指数（M）（t）=exp（Mt）内-[M] t）我们有鞅项（1.9）^tf（cW）dB=ρ^tf（cW）dWt |{z}+ρ^tf（cW）dWt试图将其置于Stratonovich形式，（1.10）“^tf（cW）o dW：=^tf（cW）dW+（It^o-Stratonovich校正）或，按照Wong Zakai近似的精神，（1.11）“^tf（cW）o W：=limε→0^tf（cWε）dWε“4 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.GASSIAT，J.MARTIN，B.STEMPERmust fail whenverh。It^o-Stratonovich校正由二次协变量给出，定义（尽可能）为（1.12）X【u，v】的概率极限∈π（f（cWv）- f（cWu））（Wv- Wu），沿着网格大小趋于零的分区的任何序列（πn）。但是，抛开琐碎的情况不谈，这一限制并不存在。例如，当nf（x）=x分数标度立即产生发散-/2） 上述括号近似值。这一问题也出现在期权定价的背景下，事实上，期权定价很容易降低（定理1.3和第6节）为彻底的波动性（第5节）。主要结果说明。在KPZ[]和Haier Pardoux“重整化”Wong Zakai定理[]上的工作，我们提供了最接近于粗糙波动率的满意近似理论。

这首先要说明的是，尽管粗糙路径理论的目的是处理低正则性路径，但它不适用于说明我们的基本近似结果，请写出˙Wε≡ tWε表示尺度ε至白噪声的合适近似值（详情如下），诱导近似值为fBM，表示为cwε。在整个过程中，赫斯特参数∈（0，/2）是固定的，F是光滑函数，因此（1.8）是现代金融理论要求的（局部）鞅。定理1.1。考虑简单粗糙波动率，动态St/St=f（cWt）dBt，即由bwρεCεCεtCε、eSε驱动→ Suniformly在压实上，其中teSεt/Sεt=f（cWε）˙Bε- ρCε（t）f（cWε）-f（cWε），Sε=S。类似结果适用于更一般（“非简单”）RV模型。备注1.2。当NH=1/2时，该结果是o-Stratonovich转换h</ρ非零的简单结果。股票（和许多其他）市场的情况就是如此[]。还要注意的是，在不减去Cε项的情况下，朴素近似Sεt通常会发散。为了阐明期权定价的含义，定义Black-Scholes定价函数（1.13）CBSS、 K；σT:= ESexpσ√T Z-σT- K+,其中Z表示标准正态随机变量。然后我们得到定理1.3。CεCεt（1.14）fIε：=fIεf（t）：=^Tf（cWε）dWε-^TCε（t）f（cWεt）dt规则结构和粗略第5卷，以及近似总方差，Vε：=Vεf（t）：=^Tf（cWεt）dt。然后，在定价模型（1.1），（1.3）下，在到期时间为T的k时签订的欧式看涨期权的价格为limε→0Ehψ（fIε，Vε）I其中（1.15）ψ（I，V）：=CBSSexpρI-ρV, K、 ρV.类似结果适用于更一般（“非简单”）RV模型。重整化近似积分（1.16）fIε=^Tf（cWε）dWε的数学透视收敛性-^TCε（t）f（cWεt）dt→ （It^o积分）。收敛到正确It^o对象的近似值。

具体而言，我们认为的理论（讨论和参考见[]）对我们来说是非常合适的工具。这增加了˙Wεε˙Wa重标molli fier函数，即Δε（x，y）=ε-1ρ(ε-1（y- x） ）），这是Haierand同事通常的选择[，，]，重整化函数变成常数（因为˙Wε是静止的）；在这种情况下，cε（t）≡ Cε=CεH-1/2，其中c=c（ρ）明确表示为积分，参见（3.13）。另一方面，如果我们考虑白噪声的Haarwavelet近似，从数值角度来看非常自然，Cε（t）=√2小时+1/2吨- bt/εcε| H+1/2ε，平均cε=√2H（H+1/2）（H+3/2）εH-1/2.（1.17）人们很自然地会问，ifCε（t）毕竟可以用its（自发散）均值Cε代替。对于H>1/4，答案是肯定的，当H=1/4时有一个有趣的相变，参见第3.2节。从数值模拟的角度来看，TheROM 1.3是向前迈出的一步，因为它避免了任何WWCW'KdWof（I，V）。然而，考虑到Volterra kernelK的奇异性，这是不可取的，它是和同事的。粗糙vol背景下AR小波的理论和数值研究有待于进一步的工作。6 C.BAYER，P.K.FRIZ，P.GASSIAT，J.MARTIN，B.STEMPERpreferable模拟二维高斯过程（Wt，cWt：0≤ t型≤ T） 协方差可用。剩下的一个问题是收敛速度xf（cWs）Ws，t→ （It^o积分），在网格大小的分区中取[s，t]~/n、 很慢，因为它小的时候几乎没有规律。（Gatherel和合著者[，]报告H≈.05) . 正是在这里，更高的订购率，贯穿始终。弱速率的分析将在其他地方进行，因为MLMC算法的设计需要强速率的知识。

第6节进一步探讨了数值方面。Haier重建图的原理和基本连续性性质，问题是[]，例如包括指数型，Gatheral和[30]的工作中的定义特征。）定理1.4。XtlogSt/S（第-文本：t≥0）通过（1.18）I（y）=infh给出的速度2手速度函数满足短时大偏差原则∈L（[0,1]）{khkL+（y- ρI（h））2I（h）}，其中I（h）='f（bh（t））h（t）dt，Iz（h）='f（bh（t））dt，其中bh（t）='tK（s，t）h（s）ds。备注1.5。一个潜在的空头是利率函数的非显式形式，在感官分析的可处理性中，仍然抓住了货币附近波动性微笑的主要特征。根据[19]或上述定理1.4，在[5]中给出。接下来，我们将讨论由Rosenbaum及其同事[，]推动的非简单粗糙波动率，并考虑随机It^o–Volterra方程zt=z+^tK（s，t）（u（Zs）dW s+v（Zs）ds），以及由xt=^tf（Zs）（ρdWs+ρdWs）给出的相应粗糙SV对数价格过程-^tf（Zs）ds。规则结构与粗略第7f、u、vh卷∈ L（[0，T]），设zhbe为积分方程的唯一解zh（T）=z+^tK（s，T）u（zh（s））h（s）ds，de finei（h）='f（zh（s））h（s）dsandIz（h）='f（zh（s））ds。然后，我们将定理1.4（以及[19，38，30]）扩展到非简单粗糙波动率：定理1.6。LetXt=log（St/S）是非简单粗糙SV下的原木价格。然后-XTS满足LDP的速度t2Hand速率函数，由（1.19）I（x）=infh给出∈L（[0，T]）{khkL+（x- ρIz（h））2Iz（h）}。σ.f~ ρσ（0）σ（0）hK，itH-1/2，香港，icH（2H）1/2（H+1/2）（H+3/2）tH-1/2吨→与市场上出现的大幅倾斜一致。）至第一订单ZT≈ z+u（z）'tK（s，t）dW s=形式的zuzcWσcw，ρu（z）f（z）f（z）cHtH-1/2.按照[]的方法，定理1.6不仅允许进行严格的调整，而且还允许计算高阶微笑特征，尽管这在本文中没有讨论。

在经典（马尔可夫）随机随机随机性的情况下，H=1/2，并进一步特化tof（x）≡ x、 soZzformula Gatheral的书[，（7.6）]，其中归于梅德韦杰夫-斯凯莱。在拉夫赫斯顿的情况下，其中z模型随机方差，参见（5.1），我们有f=√., u=η√.由此得出以下（粗略赫斯顿，隐含波动率）短期偏差公式ρη√vcHtH公司-1/2,√V可通过【17】中获得的特征函数对其进行独立验证。文章的结构。趋同问题，第3节的主题。在第4节中，我们考虑了研究资产价格过程所必需的二维噪声的结构。第5节接着讨论了粗糙波动率的非平凡动力学情况。[]中给出了一些数值结果，随后给出了一些技术细节的悬而未决的问题。从第3节开始，我们所有的工作都依赖于海尔规则结构的框架。似乎没有必要重复所有必要的定义和术语，读者可以在[，，]和关于该主题的各种调查论文中找到这些定义和术语。相反，我们发现更具启发性的做法是证实我们的KPZ灵感，并在下一节中非正式地介绍这一背景下规则结构中的所有相关对象。8 C.拜耳，P.K.弗里兹，P.加西亚，J.马丁，B.斯坦佩1.4。KPZ和奇异SPDE理论的经验教训。没有一个好的近似值（现在还有许多其他的）。特别是，噪声的近似值（例如，为了论证，ε-软化）通常不会产生收敛的近似值。具体而言，这是一个有指导意义的（KPZ）方程式tu=徐+|xu |+ξξξ（x，t；ω）有一个很好的定义（“Cole-Hopf”），它^o-solutionu=u（t，x；ω），但如果考虑方程εuuε→近似理论和KPZ不存在Stratonovich解。

要了解问题所在，takeu≡为简便起见，写入=H？|xu |+ξ用时空卷积？加热内核h（t，x）=√4πtexp-x4t型{t>0}可以继续Picard迭代u=H？ξ+H？（（H？ξ））+。。。但（H？ξ）有一个直接的问题，（天真地）定义ε-到（H？ξε）的零极限，这是不存在的。然而，存在发散序列（Cε），因此，在概率上， limε→0（H？ξε）-Cε→ （新对象）=：（H？ξ）海尔遵循崎岖道路的哲学，当时的想法是接受H？ξ、 （H？ξ）2（以及更多）作为噪声（“模型”）的增强，解决方案依赖于路径鲁棒方式。这解开了看似固定的（甚至是非感官的）关系？ξ → ξ → （H？ξ）。粗略地说，有一个定理1.8。Cε形式euε→ u、 在概率和一致紧上，其中teuε=xeuε+|xeuε|- Cε+ξε。类似的结果适用于许多其他奇异半线性SPDE。dY=f（Y）dW，为简单起见，Y=0，考虑二阶（Milstein）近似yti+1≈ Yti+f（Yti）Wti，ti+1+ff（Yti）^ti+1tiWti，s˙WsdsOne必须解锁看似固定的关系w→˙W→^W˙W ds=：W，Haier–Pardoux【35】导出KPZ结果，作为It^o-SPDEs的Wong Zakai结果的特例。规则结构与粗略第9卷，因为有一个选择。例如，最后一个术语可以理解为It^o-积分W或Stratonovich积分Wo dW（事实上，还有许多其他选择，例如，接受W作为新的（分析）对象，这导致了主要的（粗略路径）洞察力理论=基于（W，W）的分析。相比之下，SPDE理论‘a la haier=基于（重整化）增强噪声（ξ，…）的分析。海勒理论内部：作为动机，考虑实值摩尔函数的泰勒展开式（atx），f（y）=f（x）+f（x）（y- x） +f（x）（y）- x） +。。。