电价的多项式过程

表3.5）；使用该时期的校准参数对YT进行模拟；度-5多项式映射Φ（x）和φ（x）；结果价格St=Φ（Xt）。在此设置中，条件转移密度pYm | Ym-1（y；ym-1） ，以及相应的无条件密度，面积也使用（A.3）规定。现在需要计算第3.2.1节中描述的一维积分，在下面报告的实验中，我们使用高斯-勒让德积分进行这些计算。在此设置中，我们将函数pXm，Ym | Sm（x，y；Sm）表示为Jacobi多项式中的截断双和展开，与之前一样，最优Bayes滤波器迭代生成一个矩阵方程来更新此展开的系数，得到的归一化常数zm生成与给定参数集相关的对数似然LL。将该模型应用于2010年1月1日至2014年1月1日期间的结果如表3.5所示，如图8所示。从表3.5可以看出，对于5度多项式映射，BIC得分最为有利，因此该模型如图8所示。在那里，我们看到了对XT和Yt的模拟，多项式映射，以及由此产生的价格模拟。很明显，这两个过程可以被视为快和慢，其中（慢）Y在区间[0，1]中以某种悠闲的方式徘徊，当接近1时，会导致价格快速波动，以及价格较低的时期，当价格接近0.4的结论性备注时，尽管在本文中，我们将注意力限制在具有有限状态空间的多项式扩散模型上，该模型适用于价格被限制在区间内的市场，如引言中所述，多项式过程的类别要广泛得多。

例如，在其他情况下，价格可能被限制在半整数区间内，在半直线上增加的多项式映射可以与指数L'evy、CIR或（I）GBM过程结合使用。这将允许在各种环境下为能源市场开发简化形式和结构模型，并具有生成丰富动态的内置机制。虽然多项式过程可以产生的丰富的动力学为其使用提供了强大的动力，并且一直是本文工作的重点，但多项式过程的特征提供了更强大的动力。当然，这是一个事实，即条件预期和远期价格有一个（几乎）明确的表示。这有助于开发能够捕捉现货价格和远期曲线联合动态的模型，并将成为未来工作的重点。致谢这项工作得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议n，导致这些结果的研究也得到了欧洲研究理事会的资助。

307465-POLYTE。度数Φ2 3 4 5 6aX2.54 2.52 2.83 3.10 3.03bX10.72 4.33 4.03 5.54 5.23σX5.70 7.16 7.09 6.38 6.53aY1.03 7.27 10.40 2.04 2.20bY4.08 2.72 4.34 1.22 1.36σY0.95 1.06 1.02 1.38 1.36c0.81 1.00 0.72 0.76c0.79 0.81 0.89 0.89c0.05 0.77 0.77c0.61 0.57c-0.08c1.00 0.99 0.97 0.99 0.99c0.61 0.66 0.66 0.66c0.71-1.00-1.00c-0.79-0.59c0.34LL 2915.7 3633.5 3637.1 3648.8 3650.5BIC-5773.1-7194.1-7186.7-7195.7-7184.3表3.5：2010年1月1日至2014年1月1日期间校准双雅可比双因素模型的最佳参数、对数似然度和贝叶斯信息准则（BIC）得分，具有不同程度的多项式映射Φ。a和b值如（a.1）所述。请注意≥ 1和b≥ 1在所有情况下。最容易避免的BIC分数是5级。附录A雅可比过程（参见[12]、[16][17]和[30]，了解雅可比过程在金融中的使用示例，以及有关其性质和雅可比多项式性质的基本信息。）我们考虑（2.6）定义的雅可比过程。如果我们定义=2κθσ和b=2κ（1- θ） σ，（A.1），然后我们可以将（2.6）改写为dxt=σa（1- Xt）- bXt公司dt+σpXt（1- Xt）载重吨。（A.2）该过程的结构在这种形式下可能更为清晰。进程位于间隔[0，1]内。此外，如果≥ 1（分别为b≥ 1） ，然后是0处的边界（分别为。

1） 无法获得（有关证明，请参见，例如，[12]）。转变密度（从t到t>t）由p（x，t；y，t）给出=∞Xn=0knw（x）ψn（x）ψn（y）e-un（T-t） ，（A.3），其中ψn（x）=Jn（x；A+b- 1，a），un=κn+σn（n- 1） =nσ（a+b- 1+n），kn=（a+b- 1+2n）（a）n（a+b）nn！（a+b- 1+n）（b）nandw（x）=w（x；a，b）=Γ（a+b）Γ（a）Γ（b）xa-1(1 - x） b类-注意，我们使用了符号（x）k：=Γ（x+k）/Γ（x）。雅可比多项式Jn（·；u，v）满足递归（为了方便起见抑制对u和v的依赖）xJn（x）=αnJn-1（x）+βnJn（x）+γnJn+1（x），其中αn=n（v- u- n） （u+2n）（u+2n）- 1） ，βn=2n（u+n）+v（u- 1） （u+2n- 1） （u+2n+1）和γn=-（v+n）（u+n）（u+2n+1）（u+2n），我们有J（x）=1和J（x）=1-（u+1）vx。雅可比多项式是微分算子的本征函数，由其对光滑函数的作用定义为Lg公司（十）=v- （u+1）xg级x（x）+x（1- x）g级x（x）。相应的特征值为-n（u+n）。因此，函数ψn（·；a，b）是雅可比过程的最小生成元的特征函数，具有特征值-un.它们与重量w正交，因此（A.3）意味着，对于每个n，E[ψn（XT）| XT=x]=E-un（T-t） ψn（x）。B有界区间上的递增多项式映射从[0，1]到[0，1]的递增多项式映射可以由[0，1]上的非负多项式构造。这类多项式的特征有多种，最早可以追溯到[21]。这里我们给出了二次因子乘积的另一种表征。下面的结果刻画了[0，1]上积分为1的非负二次多项式集。提案B.1。

对于α∈ [-3，3/2]，将β定义为β（α）=（+α，α∈ [-3，]q- (α -), α ∈ （，]（B.1）然后，对于任何α∈ [-3，]和β满足|β|≤β（α），多项式qα，β（x）=αx+2βx+1-α在上为非负[-1，1]并积分到2，φ（x）=qα，β（2x- 1） 在[0，1]上为非负，并积分为1。此外，任何具有这些性质的qu-adratic多项式φ都可以用这种方法来写。证据命题B的证明。1仅涉及基本考虑。显然，任何二次多项式q满足R-1q（x）dx=2可以写成形式q（x）=qα，β（x）=αx+2βx+1-α. 为了保证非负性，我们注意到qα，β（±1）≥ 0 i ff。1 +α ≥ 2 |β|（该区域可视为从(-图9）中的3，0）。如果没有根[-1，1]，该条件是必要且有效的。将有根于[-1，1]i fff|β| < α. 在这种情况下，非负性有效。最小值为非负值，这导致（α，β）位于图9所示的椭球体区域内。所有递增多项式映射Φ：[0，1]7→ [0，1]可以由成对的参数（α，β），（αk，βk）写入φ（x）=∏ki=1qαi，βi（2x- 1） ，（B.2）和设置Φ（x）=Rxφ（t）dtRφ（t）dt。（B.3）注意，如果每个i的αi6=0，则Φ的度数为2k+1。还应注意，如果φ（x）≥ [0，1]上的0，[0，1]中φ的任何实零都必须成对出现，因此代数的基本定理意味着[0，1]上的任何非负多项式都可以写成形式（B.2）。图9:[- 1，1]（见提案B.1）。参考文献[1]Ren\'e Aid、Luciano Campi和Nicolas Langren\'e。一种用于定价和对冲电力衍生品的结构风险中性模型。《数学金融》，23（3）：387–4382013年。[2] 马丁·巴洛。电价的差异模型。

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