电价的多项式过程

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Polynomial processes for power prices》
---
作者：
Damir Filipovic and Martin Larsson and Tony Ware
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  Polynomial processes have the property that expectations of polynomial functions (of degree $n$, say) of the future state of the process conditional on the current state are given by polynomials (of degree $\\leq n$) of the current state. Here we explore the application of polynomial processes in the context of structural models for energy prices. We focus on the example of Alberta power prices, derive one- and two-factor models for spot prices. We examine their performance in numerical experiments, and demonstrate that the richness of the dynamics they are able to generate makes them well suited for modelling even extreme examples of energy price behaviour.
---
中文摘要：
多项式过程具有这样的性质，即在当前状态的条件下，过程未来状态的多项式函数（例如，阶数n$）的期望值由当前状态的多项式（阶数n$）给出。在这里，我们探讨了多项式过程在能源价格结构模型中的应用。我们以阿尔伯塔省的电价为例，推导了现货价格的单因素和双因素模型。我们在数值实验中检验了它们的性能，并证明了它们所能产生的丰富的动力学特性，使它们非常适合对能源价格行为的极端例子进行建模。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Polynomial_processes_for_power_prices.pdf (823.47 KB)

2022-6-1 15:17:47 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：多项式 Quantitative Expectations Applications Computation

电价的多项式过程*Damir Filipovic+Martin LarssonTony Ware§2018年9月19日抽象多项式过程具有这样一个性质，即在当前状态下，过程未来状态的多项式函数（例如，n阶）的期望值由多项式（阶）给出≤ n） 当前状态的。在此，我们探讨了多项式过程在能源价格结构模型中的应用。我们以阿尔伯塔省的电价为例，推导了现货价格的单因素和双因素模型。我们在数值实验中检验了它们的性能，并证明它们所能产生的丰富的动态，使它们非常适合于建模能源价格行为的极端例子。1简介这类多项式过程的特点是，在当前状态的条件下，过程未来状态的任何多项式函数（例如，可能达到某种程度的n）的期望，都是由当前状态的多项式（没有更高次）给出的。它包括指数L'evy过程、a'ne过程以及PearsonDiffusions，例如，允许在紧凑状态空间上进行非平凡动态。在金融建模中使用多项式过程至少可以追溯到21世纪初，Delbaen和Shirikawa【12】和Zhou【32】在利率建模方面进行了研究。最近，Cuchiero等人。

[11] 对时间齐次马尔可夫跳变扩散多项式过程进行了系统处理，并将其应用于期权估值和套期保值的方差缩减技术。菲利波维奇（Filipovic）和拉尔森（Larsson）[15]阐述了一大类状态空间上多项式微分的数学基础，并描述了它们在金融领域广泛应用中的潜在优势，如利率、信用风险、随机波动性和能源商品的市场模型。最后一个领域是本文的重点。能源市场价格表现出明显的季节性、均值回归和极端波动，通常以短期“峰值”的形式出现。这些特征产生于供需之间的相互作用，每一个都会受到季节性变化的影响，尤其是存储、传输或运输方面的限制，可能会因不可预见的基础设施故障导致的突然变化而加剧。（有关能源市场建模和风险管理问题的最新概述，请参阅[3、19、7、6、29]。）电价可能是一个极端的例子，这在很大程度上是由于在任何大容量中都难以有效存储电力（尽管电池技术的进步正在开始改变这一点），这意味着电力市场的供需关系在价格形成中起着重要作用，尤其是在监管市场中。在这里，我们重点关注加拿大阿尔伯塔省的一个这样的市场，该市场在20世纪90年代末解除了管制。1.1阿尔伯塔省电力市场阿尔伯塔省批发实时电力市场由阿尔伯塔省电力系统运营商（AESO）推动。ESO系统控制器设置系统边际价格（SMP），以响应系统需求，并根据优势顺序。

根据每小时收到的供应和需求投标，按从最低价格到最高价格的顺序排序，确定价值顺序或投标堆栈。在每一时刻，SMP都对应于系统控制器调度的最后一个合格的electricityblock。每小时结束时，SMPs的时间加权平均值发布为*这项工作得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。+EPFL和瑞士金融研究所，Extranef 218，CH-1015洛桑，瑞士，达米尔。filipovic@epfl.ch数学系，ETH Z¨urich，R¨amistrasse 101，CH-8092 Z¨urich，martin。larsson@math.ethz.ch§加拿大卡尔加里西北大学大道2500号卡尔加里大学数学与统计系。T2N 1N4，aware@ucalgary.ca02000、4000、6000、8000、10000MWAlberta 2012年3月7日中午投标图1：2012年3月7日中午阿尔伯塔省发电池投标图。请注意，刚刚超过6000兆瓦的报价为零。在这一小时内，平均调度了7713MW的电力，总价格为22.67美元（来源：aeso.ca）。可以看出，如果需求量远远超过8000MW，SMP将急剧上升。1998、1999、2000、2001、2002、2003、2004、2005、2007、2008、2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017年每日平均泳池价格（$/兆瓦时）图2：1998年至2016年艾伯塔省每日平均泳池价格。共同价格。阿尔伯塔省的市场价格上限为1000加元，价格下限为0加元。生产者有义务将其全部可用产能投入市场，但没有义务确保价格符合可变成本。图1显示了2012年3月7日中午至下午1点的一个投标堆栈示例（从加利福尼亚州aeso获得）。出价从0美元到999.99美元不等。

平均而言，7713MW在一小时内完成了调度，总价格为22.67美元。该曲线的形状在一天中每小时都有所不同，以反映预期需求。上述曲线的急剧上升（在本例中）约为8000MW，这意味着价格很容易大幅上涨。这一潜力反映在图1中，图1显示了1998年至2016年初的日平均价格。1.2电价结构模型结构模型试图捕捉供需之间相互作用的各个方面，同时保持一定程度的数学可处理性（c.f.[24，7，31]）。巴洛（Barlow）是最早的此类电价模型之一。他将需求视为因子Xt的线性函数，建模为Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程：dXt=-κ（Xt- θ） dt+σdWt，（1.1），其中wt是标准布朗运动。用St表示的现货价格由T=fα（Xt）给出（对于某些α<0）=(1+αXtα如果1+αXt>，则为α否则，1999 2000年阿尔伯塔每日电价200 400 600 800天0.880.890.90.910.920.930.94OU过程0.88 0.9 0.92 0.94xfα（x）0 200 400 600 800天巴洛过程图3：巴洛的电价结构模型[2]。

从左至右：1998年3月10日至2000年5月18日期间的历史日平均价格；使用[2]表4.1中的校准参数对XT进行模拟；函数fα（x）；结果价格St=fα（Xt）。选择反映市场中的最高价格。如图3所示，尽管潜在需求过程是一个分化过程，但该模型能够产生历史市场价格时间序列中明显的短期价格峰值，尽管模拟峰值甚至比历史值更极端，并且经常达到1000美元的上限。这一截止值的存在意味着在该模型的框架内不可能获得远期价格的明确表达式，巴洛自己也注意到了这一点（[2]）。然而，巴洛的模型对结构模型的后续发展产生了强烈的影响。Kanamura和Ohashi【20】，Boogert和Dupont【4】采取了类似的方法，但使用分段多项式映射代替Box-Cox变换。一些人（例如[9，13]）通过引入其他潜在因素（如总市场容量）对该方法进行了推广，也遵循了均值回复差异过程，并将价格表示为这些因素线性组合的指数函数。这产生了与Schwartz和Smith[28]的数学结构相似的模型，用于捕捉商品价格的短期和长期动态。其他作者将电价表示为边际燃料价格功率的“热耗率”乘数，其中热耗率是潜在需求因素的函数【25】。根据不同的市场条件，可能存在不止一个这样的乘数。例如，Coulon等人。

[10] 生成表中的现货价格=(-1） δiψi（Gt，Lt），其中函数ψiis的选择由概率πidepending on Ltandδi决定∈ {0，1}（δi=1对应负价格），形式为ψi（g，l）=gδieαi+βimax（0，min（l，Cmax）），δi∈ {0，1}表示存在燃料价格依赖性。对多种燃料价格的依赖也可以在结构建模范式中捕捉到。[18，8]中开发了一个框架，用于捕获对涉及随机出价栈函数的多个燃料价格的依赖性。他们的框架允许价值顺序的随机变化，至少两种基础燃料可以生成远期价格的明确公式。Aid等人[1]假设每种燃料类型有一个投标价格，并且也能够通过合并涉及储备利润幂律的热耗率函数来捕捉峰值。他们认为，使用幂律（而不是指数图）可以重现尖峰，即使是对于基本需求和容量过程的平稳且相当简单的动态。2能源市场的多项式过程本文提出的主要思想是，可以通过使用多项式映射来获取热耗率（或投标堆栈）函数的作用，并使用多项式过程来获取潜在因素，从而生成能源市场模型。正如我们希望证明的那样，这提供了一个框架，与指数或幂律图的使用相比，它允许基础因素与最终价格之间存在更一般的关系，同时确保可处理的远期价格公式。如果Xt遵循多项式过程，那么我们可以生成一个形式为ST=Φ（Xt）=H（Xt）的现货价格模型p、 （2.1）式中，H（x）是由多项式过程（例如，在一维中，H（x）=（1，x，x，…）保存的多项式空间的基函数向量。

，xn）对于某些固定n∈ N） ，pis是定义多项式映射Φ的系数向量。可通过使多项式系数向量与时间相关来结合季节性。设置p（t）=PKk=1sk（t）pk对于某些固定向量p，PK与确定性函数s（t），sK（t）Yieldst=H（Xt）KXk=1sk（t）pk。（2.2）此外，我们可以利用因子过程的多项式性质，直接写出期货价格。WehaveF（t，t，t′）=t′- TH（Xt）KXk=1“ZT′Te（u-t） Gsk（u）du#pk，（2.3），其中区间[t，t′]是合同交付期，G是定价度量Q下x的生成器相对于基准H（x）的矩阵表示。也就是说，如果Φ（x）=H（x）pis是一个次数最多为n的多项式，则等式[Φ（Xt）| X]=H（X）etGp。示例2.1。季节性权重的一个简单例子是s（t）=cos（ct），其中c是一个常数。实际上，由于cos（ct）=Re（eict），我们有明确的表达式zt′Te（u-t） Gs（u）du=ReZT′Te（u-t） Geicudu！=ReeictZT′Te（u-t） （G+ic）du！=重新eict（G+ic）-1.e（T′）-t） （G+ic）- e（T-t） （G+ic）,如果G+ic是可逆的，即。-ic不是G的特征值。在第三部分，如果G只有实特征值，这当然成立。显然，表示为此类傅立叶模式的线性组合的季节性权重可以以类似的方式处理。2.1单因素规范单因素多项式离散过程包括几何布朗运动、OU过程（1.1）以及其他均值回复过程，如非均匀几何布朗运动（IGBM）[23，5]，定义为dxt=κ（θ- Xt）dt+σXtdWt，（2.4），其中κ>0，θ>0，σ>0，并且，这里和下面，W是一些过滤概率空间上的布朗运动(Ohm, F、 英尺，P）。而对于OU进程，状态空间是R，对于IGBM（2.4）Xt∈ (0, ∞) 对于t>0 a.s.，如果X>0。Cox-Ingersoll-Ross过程也是多项式：dXt=κ（θ- Xt）dt+σpXtdWt。

（2.5）对于CIR过程（2.5），Xt∈ (0, ∞) a、 s.如果2κθ≥ σ.本节的最后一个示例是Jacobi过程，它将构成我们在下面进一步探讨的模型的基础。定义为dxt=κ（θ- Xt）dt+σpXt（1- Xt）dWt，（2.6），其中κ>0，θ∈ [0，1]，σ>0。这里的状态空间是[0，1]，Xt∈ （0，1）a.s.如果2κmin{θ，1- θ ≥ σ（详见附录A）。2.2一些具有有界状态空间的双因素规范上述Jacobi单因素模型的简单扩展如下：dXt=（b+BXt+BYt）dt+σpXt（1- Xt）dW1tdYt=（b+BYt）dt+ρpYt（1- Yt）dW2t。在这里，Yt作为一个水平因子，影响Xt的均值回归水平。在这个简单的规范中，Ytis是一个自主的Jacobi过程，因子之间没有二次协变量：hX，Y i=0。下文讨论了Y的其他可能动态。在此设置中，现货价格和期货价格由几乎相同的公式给出；唯一的区别是第二个因素Yt的出现：St=H（Xt，Yt）KXk=1sk（t）pkF（t，t，t′）=t′- TH（Xt，Yt）KXk=1ZT′Te（u-t） Gsk（u）du pk，其中：oH（x）=（1，x，y，x，xy，y，…，xn，xn-1年，xyn公司-1，yn）对于某些固定n∈ N、 os（t），sK（t）是捕捉价格季节性的确定性函数pk是将（Xt，Yt）映射到现货价格St的多项式的坐标表示。o区间[T，T′]是标的物的交付期。oG是（Xt，Yt）的生成器相对于基H（x，y）的矩阵表示。也就是说，如果Φ（x，y）=H（x，y）pis是一个至多n次的多项式，然后E[p（Xt，Yt）]=H（X，Y）etGp。其他一些可能的多项式保持因子规范如下：示例2.2。XT对Yt漂移的反馈：dXt=（b+BXt+BYt）dt+σpXt（1- Xt）dW1tdYt=（b+BXt+BYt）dt+ρpYt（1- Yt）dW2t。示例2.3。

Xt的范围取决于Yt：dXt=（b+BXt+BYt）dt+σpXt（u+νYt- Xt）dW1tdYt=（b+BXt+BYt）dt+ρpYt（1- Yt）dW2t。适用参数u≥ 0和ν≥ 0。这里x取[0，u+νYt]中的值，Yt取[0，1]中的值。因此，状态空间是E={（x，y）：0≤ x个≤ u+νy，0≤ y≤ 1} ，这是一个平行四边形。示例2.4。在上述所有示例中，我们有hX，Y i=0。以下规格缓解了这种情况：dXt=（b+BXt+BYt）dt+q1- Xt公司- Yt（αdW1t+αdW2t）dYt=（b+BXt+BYt）dt+q1- Xt公司- Yt（αdW1t+αdW2t），其中α=（αij）i，j=1,2为对称正定义矩阵。这可以矢量化的形式写成dXtdYt公司=b+bXtYt公司dt+q1- Xt公司- YtαdWt，其中b=（b，b）, B=（Bij）i，j=1,2，Wt=（W1t，W2t）。此进程的状态空间是单位磁盘，E={（x，y）：x+y≤ 1}. 特别是，XT在[-p1级- Yt，p1- Yt]。示例2.5。体制转换模型：dXt=（b+BXt+BYt）dt+σpXt（1- Xt）dWtdYt=（1- Yt）dNt+YtdNt，其中n和n是强度λ0的标准泊松过程→1和λ1→0（分别）。带Y的W∈ {0，1}，yt在两个值0和1之间交替。因此，状态空间是E=[0，1]×{0，1}。为了计算（X，Y）的生成元，考虑E上的函数f（X，Y）。It^o的公式yieldsf（Xt，Yt）=f（X，Y）+Zt（b+BXs+BYs）xf（Xs，Ys）+σXs（1- Xs）xxf（Xs，Ys）ds+Ztxf（Xs，Ys）σpXs（1- Xs）dWs+Xs≤t（f（Xs，Ys）- f（Xs，Ys-))= f（X，Y）+ZtGf（Xs，Ys）ds+（局部鞅），其中gf（X，Y）=（b+Bx+By）xf（x，y）+σx（1- x）xxf（x，y）+λ0→1(1 - y） f（x，0）- λ1→0yf（x，1）。对于这个状态空间，多项式的数目比R上的少。实际上，E上的任何多项式p（x，y）的形式都是p（x，y）=（1- y） p（x）+yp（x）。