Volterra型分数阶随机变量的大偏差原理

过滤{eFt}是右连续的（[48]，推论7.8），过程（Bt，{eFt}）仍然是布朗运动（[48]，定理7.9）。过程b的协方差函数由C（t，s）=RTK（t，u）K（s，u）d u，fort，s给出∈ [0，T]。定义3。如果核K满足以下条件，我们称（12）中的过程为Volterra型高斯过程：（a）K（0，s）=0≤ s≤ T、 对于所有0，K（T，s）=0≤ t<s≤ T、 （b）存在常数c>0和α>0，使得M（h）≤ 所有h的chα∈ [0，T]（M的定义见（11））。备注4。条件（a）是内核的典型Volterra类型条件。条件（b）包含在【40，41】中对体积高斯过程的定义中（见【40】中的定义5和【41】中的定义5.4）。请注意，[40，41]中的定义还包含对内核K的以下限制：（c）操作符K:L[0，T]7→ L[0，T]是内射的。本文件不使用条件（c）。备注5。关于Volterra型随机过程有大量文献。我们将只发表几篇论文。在【42】中，介绍并研究了AFFINE Vol te rra过程。此外，还考虑了以下形式的随机卷积：t 7→RtK（t- s） dMs，其中M是局部鞅，而核K满足定义3中的条件（b）（参见[42]中的（2.3）和（2.5））。在[62]中，在核K是光滑变化函数的条件下，研究了关于半鞅的Volterra型过程（见[62]，定义1.3）。[15]中的Volterr A过程有以下表示：t 7→RtK（t，s）usdBs，其中u是辅助弹性过程。Volterra型过程在金融中的应用在【24，42】中进行了讨论。定义中的Volterra型高斯过程3具有0<β<α的β-H–older连续修正。此外，这样的过程是经过调整的（参见[40，41]）。

在后半部分中，我们将始终假设Volterra型过程对于所有的β都有β-H-older连续路径a，其中0<β<α。在本节的其余部分，我们将讨论Volterra型过程的各种示例。让我们首先考虑标准布朗运动B和Ornstein-Uhlenbeckprocess Z（a）t=Rte-a（t-s） dBs，0≤ t型≤ T、 a>0。与这些过程相关的Volterra型核由K（t，s）=χ{s<t}和K（a）（t，s）=e给出-a（t-s） χ{s<t}，分别为。很容易看出，过程B和Z（a）t满足定义3中的条件，可以在该定义的（B）部分取α=1。因此，布朗运动和Ornstein-Uhlenbeck过程都是Volterra型过程。之前的事实是在【40，41】中确定的。备注6。Remark4中的标准布朗运动满足条件（c）（见[40，41]）。的确，假设一个函数f∈ L[0，T]是这样的：对于所有T，rtf（s）ds=0∈ [0，T]。n，区分之前的e质量，我们得到f（t）=0 a.e。Ornstein n-Uhlenbeck核也满足条件（c）。这可以如下所示：假设f∈ L[0，T]s atis公司-a（t-s） 对于al lt，f（s）ds=0∈ [0，T]。然后，微分前面的等式，我们得到f（t）- 阿尔特-a（t-s） f（s）ds=0a。s、 最后，根据前两个等式，f（t）=0 a.e.备注7。[40，41]中指出，Lebesgue的条件K（t，s）>0几乎都是0≤ s<t≤ T表示备注4中的条件（c）。我们认为，文献[40]第6页给出的先前状态的证明包含错误。更准确地说，通过微分[40]第6页最后显示的公式得出的公式中应该有加号而不是减号。我们不确定【40】和【41】中的p屋顶是否可以纠正。经典分式过程是Volterra型的。之前的断言是在[40，41]中陈述的。

然而，在[40，41]中未包含条件（b）对这些过程有效性的证明，也未提供关于常数α可接受值的信息。我们接下来将讨论上述声明。证明RiemannLiouville分数布朗运动是Volterra型过程非常简单。对于分数布朗运动，定义3中α=2H的条件（b）的简单简短证明见【74】第4节。为了完整性起见，我们在下面的引理8的证明中包含了[74]中的上述证明。在nextlemma中还将显示，相同的陈述对于分数Ornstein-Uhlenbeck过程有效。引理8。Riemann-Liouville分数布朗运动RH、分数布朗运动BH和分数Ornstein-Uhlenbeck过程都是典型的过程。对于所有这些过程，定义3中的常数α由α=2H给出。证据我们将首先证明RH的引理8。回想一下，过程Rhi的内核由ekh（t，s）=Γ定义H类+（t-s） H类-χ{s<t}。因此，定义3中的条件（a）已满足。接下来将显示条件（b）也成立。假设t+h≤ T、 那么我们有dh（h）：=ZTeKH（t+h，s）-eKH（t，s）ds=ΓH类+Zt公司（t+h- s） H类-- （t- s） H类-ds+Zt+ht（t+h- s） 2小时-1ds≤ΓH类+ZT公司（u+h）h--嗯-du+2h2h≤h2HΓH类+Z∞（v+1）小时--vH公司-dv+2H. （13） 使用中值定理不难证明（13）中的最后一个积分是有限的。这表明该工艺符合定义3中的条件（b），α=2H。我们的下一个目标是为BH证明Lemma8。以下证据包含在【74】中。（4）和（5）中给出了与BH有关的内核。

由于HSaties（2）和（6）的协方差函数，我们得到了zt（KH（t，s）- KH（t′，s））ds=CH（t，t）-2C（t，t′）+CH（t′，t′）=t2H-t2H+（t′）2H- |t型- t′| 2H+ （t′）2H=| t- t′| 2H，对于所有t，t′∈ [0，T]。这为BH建立了Lemma8。最后，我们将注意力转向过程呃。使用BH的公式（10）和引理8可以看出，为了证明定义3中条件（b）中的估计值，对于DH（t，s）=Ztse定义的Volterratype核，α=2H的条件是成立的-a（t-u） KH（u，s）duχ{s<t}。We ha veDH（t+h，s）-DH（t，s）=（e-啊-1） 中兴通讯-a（t-u） KH（美国）du+e-ahZt+hte-a（t-u） KH（美国）du。因此，对于较小的h>0，ZT | DH（t+h，s）- DH（t，s）| ds≤ chZTds公司中兴通讯-a（t-u） KH（美国）du+ cZTds公司Zt+hte-a（t-u） KH（美国）du. （14） 假设0<H<。然后，将Cauchy-Schwarz不等式应用于最后一个积分（14），我们得到了zt | DH（t+h，s）- DH（t，s）| ds≤ chZTZTKH（美国）哑弹+c hZTZTKH（美国）哑弹≤ 中国。（15） 从（15）可以看出，α=1的条件（b）适用于内核DH。因此，α=2H时，同样的条件成立。接下来，假设<H<1。然后，使用公式（4），我们可以看到KH（t，s）≤ 反恐精英-H全部0≤ s≤ t型≤ T、 其中，c>0是一个常数。接下来就是ZTDZt+hte-a（t-u） KH（美国）du≤ c>0时的Ch。先前的估计和（14）表明定义3中的条件（b）适用于α=2H的核DH。这就完成了Lemma8.3的证明。分数随机波动率模型在本文的其余部分中，我们假设（1）所描述的随机模型中的过程BB是一个连续的Volterra型高斯过程（见（12）和定义3）。很明显，processbB适用于过滤{Ft}0≤t型≤T、 因为函数σ在R上是连续的，过程bb是连续的，所以我们有ztσbBsds<∞ （16） P-a.s.开启Ohm.

由此可知，（1）中的方程是一个线性随机微分方程，它与局部鞅mt=Ztσ（bBs）d（(R)ρWs+ρBs），0≤ t型≤ T、 （1）中方程的唯一解是Dol'eans-Dade指数st=sexp-Ztσ（bBs）ds+(R)ρZtσ（bBs）dWs+ρZtσ（bBs）dBs, 0≤ t型≤ T、 （17）因此，对数价格过程Xt=对数满足度Xt=x-Ztσ（bBs）ds+。因此，E【St】≤ 对于所有t∈ [0，T]。（19） （19）中的i nequality表示∈ [0，T]，资产价格确定的一阶矩。然而，对于某些Volterra型高斯模型，资产价格的高阶矩可能是有限的（矩爆炸特性）。对于每t>0，我们设置p（m）t=supp>0:E标准贯入试验< ∞. 由（19）可知，p（m）t≥ 1、力矩爆炸特性是指p（m）t<∞ 对于所有t∈ （0，T）。例如，在不相关的Stein-Stein模型中，其中σ（u）=u |，波动过程bb是theOrnstein-Uhlenbeck过程（见[70]），矩会爆炸（见[35]，或[36]中的定理6.17）。对于σ（u）=u的相关Stein-Stein模型的类似结果，请参见[19]。在一般不相关高斯随机波动率模型的情况下，也存在动量爆炸（见[37]中的定理9）。模型爆炸特征的一个极端例子是σ（u）=euandbB等于标准布朗运动的不相关赫尔-怀特模型。那么对于所有t，p（m）t=1∈ [0，T]（见[33，34]或[36]，定理6.22）。通过考虑（19），我们看到资产价格过程S是鞅当且仅当E[St]=所有t∈ [0，T]。在这种情况下，P是风险中性度量。

有许多条件保证Dol\'eans Dade指数S是鞅，例如Novikov条件、Kazamaki条件、Krylov条件和Bene条件（参见，例如[49、47、51、59、66、67、7 1]）。有趣的是，即使对于指数增长函数σ，资产定价过程也可能是鞅（见[45，53，69]）。例如，在[45]中建立了Scott模型（见[68]），其中σ（x）=exandbB是Ornstein-Uhlenbeck过程，过程S是鞅当且仅当-1 < ρ ≤ 由于初始条件和长期平均值均为零的Ornstein-Uhlenbeck过程是Volterra型高斯过程，因此前面的陈述表明Volterra型高斯模型中的资产价格过程可以是严格的局部鞅。[2、7、39、53、57、69]研究了随机波动率模型中鞅性质的损失。下一个引理表明，如果（17）中的函数σ增长缓慢，则S是鞅。引理9。LetbB是一个连续高斯过程，适用于过滤Ft，0≤ t型≤ T、 用C和m分别表示过程b的协方差函数和平均函数。假设以下非退化条件适用于进程bb:C（t，t）>0适用于所有t∈ （0，T）.设σ是R上的正连续函数，满足线性增长条件：σ（x）≤ c+cx，对于某些c>0、c>0和所有x∈ R、 （17）定义的stoch散度指数是{Ft}鞅。证据由于processbB是连续的，因此函数C和m分别在[0，T]和[0，T]上是连续的。有必要证明存在δ>0，使得l=：sup0<t≤TE[exp{ΔσbBt公司} ] < ∞ （20） （参见，例如，【36】，推论2.11）。如果δ<2cmax0≤t型≤TC（t，t）-1.（21）设δ>0如（21）中所示。

那么，我们有≤ ecδsup0<t≤TE[exp{cδbBt}]=ecδ√2πsup0<t≤TpC（t，t）ZREPcδy-2C（t，t）（y-m（t））dy.（22）设置α（t）=2C（t，t）- cδ和β（t）=m（t）c（t，t）。然后，变换（22）右侧的表达式，我们看到≤ecδ√2πsup0<t≤TpC（t，t）试验β（t）4α（t）-m（t）2C（t，t）ZRexpn公司-α（t）yody=ecδ√sup0<t≤TpC（t，t）α（t）expβ（t）4α（t）-m（t）2C（t，t）= ecδsup0<t≤Tp1-2cδC（t，t）expcδm（t）1- 2cδC（t，t）≤ecδp1- 2cδ最大值0≤t型≤TC（t，t）膨胀cδm（t）1- 2cδ最大值0≤t型≤TC（t，t）.因为me-an函数m是连续的，所以我们有| m（t）|≤ M代表所有0≤ t型≤ T、 最后，利用（21）和前面的不等式，我们得到（20）。这就完成了引理9的证明。备注10。假设Lemma9中使用的s tochastic指数s是一个严格的局部鞅。由于S是一个连续的自适应过程，因此它是局部有界的。根据[17]中的推论1.2，满足了无氮午餐的条件，风险消失（必要定义和更多细节见[17]）。4、小噪声和小时间大偏差原则为每个ε固定一个参数H>0，和∈ （0，1），考虑（1）中随机微分方程的以下标度形式：dSε，Ht=√εSε，Htσ（εHbBt）d（(R)ρWt+ρBt），Sε，H=S.（23），对于每个β∈ （0，1），我们没有σβbBsds<∞ P-a.s.开启Ohm. 此外，过程xε，Ht=对数Sε，Ht，0≤ t型≤ T、 Xε，H=X=对数ε，Ht=X-εZtσ（εHbBs）ds+√ε′ρZtσ（εHbBs）dWs+√ερZtσ（εHbBs）dBs。（24）我们需要以下定义。定义11。设ω为[0]上的递增连续模，∞), 也就是ω：R+7→ R+是一个递增函数，使得ω（0）=0和lims↓0ω（s）=0。如果每个δ>0存在L（δ）>0，则称为局部ω-连续的函数σ，例如σ（x）- σ（y）|≤ L（δ）ω（| x- y |）对于所有x，y∈ [-δ, δ].连续模的一个特殊例子是ω（s）=sα和α∈ (0, 1). 在这种情况下，我们得到了一个局部α-H¨older条件。

如果α=1，则定义11中的条件为局部Lipschitz条件。备注12。在不损失一般性的情况下，我们可以假设δ7→ L（δ）是[0]上的一个偶数严格递增的连续函数，∞) L（0）>0且limδ→∞L（δ）=∞. 然后，逆函数L-1在[L（0）上定义并连续，∞). 此外，limγ→ ∞L-1(γ) = ∞. 在本文中，我们假设函数满足上述条件。让f∈ H[0，T]，其中符号H[0，T]代表Cameron-Martin空间，由绝对连续函数f组成，f（0）=0和˙f∈L[0，T]。序列中将使用以下符号：bf（s）=ZsK（s，u）˙f（u）du。（25）接下来，我们将回顾R上利率函数的定义（更多详细信息请参见[18]）。一个扩展的实函数I:R 7→ [0, ∞] 如果不相同，则称为速率函数∞ 并且是下半连续的。I的后一个性质意味着，对于每个δ>0，子级集Γδ={x∈ R:I（x）≤ δ} 是R的一个闭子集。如果对于每个δ>0，集合Γδ是R的一个紧子集，那么I称为好速率函数。下一个断言是本论文的主要结果之一。它概括了[26]中建立的大偏差原则。定理13。假设σ是R上的正函数，对于某些连续模ω，σ是局部ω-连续的。设H>0，Letb为Volterra型高斯过程。SetIT（x）=inff∈H【0，T】x个- ρRTσ（bf（s））˙f（s）dsρRTσ（bf（s））ds+ZT˙f（s）ds. （26）那么这个函数就是一个好的速率函数。此外，速度ε为s的小噪声大偏差原则-2（26）给出的手动速率函数适用于过程ε7→ εH-Xε，HT- x个,0 < ε ≤ 1，其中Xε，Ht由（24）定义。

更准确地说，对于每个Borel可测子集A ofR，以下估计值适用：- infx公司∈A.oIT（x）≤ lim infε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ - infx公司∈(R)AIT（x）。（27）符号Ao和'A在之前的估计中分别代表f或集合A的内部和闭合。备注14。第节给出了函数Iis是一个好的速率函数这一事实的证明（见备注25）。对于T 6=1的函数it，可以得到相同的陈述，使用说明如何证明T 6=1的定理13的原因，假设它保持f或T=1（参见定义前的讨论17）。在下一个断言中，我们将讨论函数IT的各种属性。引理15。速率函数IT:R 7→ [0, ∞) （26）中的定义在R上是连续的。此外，函数在(-∞, 0]，在[0]上不递减，∞), 它（0）=0。备注16。下面给出的速率函数单调性的证明是对克里斯·蒂安·拜尔（Chris ti an Bayer，2017年12月）在一个非常不同的环境中证明类似语句的简单证明。我们感谢Christian分享他的证据。引理15的证明。ITis continuous这一事实相当标准（例如，参见[26]中的推论4.6）。为了完整起见，我们加入了它的证明。因为它是一个速率函数，所以它是下半连续的。另一方面，函数等于一系列连续函数的数量，因此它是上半连续的。因此，这是一个连续函数。很明显，函数处处都是非负的。接下来，使用函数f=0，我们看到它（0）=0。还有待于证明引理15中的单音性陈述。我们将仅证明Iis是（0，∞).

赔偿案件中的证据是相似的。下面公式（76）和（42）中的函数Igiven的表示将在证明中受益。我们将用矛盾来推理。Le t x<x，假设I（x）<I（x）。固定τ>0，其中I（x）+τ<I（x）。那么，从（76）和（42）可以看出，存在y∈ R和f∈ H[0，1]，依赖于τ，且Φ（y，f，^f）=xandI（x）≤y+Z˙f（s）ds<Z+Z˙g（s）ds，（28）对于所有Z∈ R和g∈ H[0，1]，满足条件Φ（z，g，^g）=x。对于任何0≤ t型≤ 1，x∈ R和f∈ H【0，1】，设置Φt（x，f，bf）=ρZtσ（bf（s））dsx+ρZtσ（bf（s））˙f（s）ds。功能t 7→ Φty、 f，^f是连续的。此外，Φy、 f，^f= 0和Φy、 f，^f= Φ（y，f，^f）=x。接下来，利用假设0<x<x和中值定理，我们看到存在r∈ （0，1），取决于ε，且Φr（y，f，^f）=x。定义函数h如下：h（s）=f（s），表示0≤ s≤ r和h（s）=r的f（r）≤ s≤ 1、然后h∈ H[0，1]，Φ（y，H，^H）=Φr（y，f，^f）=x，a n dR˙H（s）ds≤R˙f（s）ds。最后，取（28）中的z=y和g=h，我们得出一个矛盾。这就完成了Lemma15的证明。在T=1的特殊情况下，定理13的证明包含在第6节中。它演示了定理4的小噪声模拟的证明。5英寸[26]。然而，正如引言中已经提到的那样，我们必须克服两大困难。在[26]中，假设函数σ满足全局H¨older条件，而我们对σ正则性的限制是局部的，相当弱。此外，文献[26]中的过程b是分数布朗运动，这使得文献[26]的作者可以利用分数布朗运动的增量是平稳的这一事实。