Volterra型分数阶随机变量的大偏差原理

[14]中的估计是针对实线索引的连续随机过程公式化的。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设t<0时BBT=0，如果t>1，则BBT=BB。设h>0为小数，设t∈ [0, 1 - h] 。回想一下，BB是Volterra类型的过程。由（12）可知，BBT+h-bBtis一个均值为零且方差V（t，h）=R | K（t+h，s）的高斯随机变量- K（t，s）| ds。因此，我们有V（t，h）≤ c hα，h<h，t∈ [0, 1 - h] 。因此存在x*> 0，这样对于所有x>x*,PbBt+小时-bBt公司> xhα=p2πV（t，h）Z∞xhαexp-y2V（t，h）dy公司=√2πZ∞xhα√V（t，h）膨胀-zdz公司≤√2πZ∞x个√cexp-zdz公司≤√2c√πxexp-x2c型≤√2c√πx*经验值-x2c型. （69）接下来，使用（69），我们可以看到[14]中（2.1）中的估计值与K一致=√2c√πx*, γ=2c，β=2，σ（h）=hα。现在，我们可以使用[14]中的引理2.2了。根据这个引理，L（h）=1，α而不是α，存在常数C>0，δ>0，h>0，x>0，这样PSUPT∈[0,1-h] sups公司∈（0，h）bBt+s-bBt公司> xhα！≤Chexpn公司-δxo，（70）对于所有x>x和0<h<h。我们的下一个目标是从（70）中删除（67）。让我们取任意整数m，使m<h，并将h=m。让我们取任意ε>0，使数字x由x=mαε定义-Hy，其中y是引理23中的一个数字，满足x>x。然后，应用（70），我们得到支持，t∈ [0,1]：| t-t型|≤m级bBt公司-bBt公司> ε-Hy公司≤ Cm扩展-δmαε-2Hyo。（71）很容易看出（67）来自（71）。这就完成了Lemma23的证明。让我们回到引理22的证明上来。不难看出使用（36）thatlim supη↓0lim supε↓0ε2Hlog Psupt∈[0,1]| bBt |>q（η）2εH！=-∞.从（64）可以看出，对于每一个N>0的大数，都存在一个η>0的小数，这取决于N，因此SUPM≥1lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ| supt∈[0，ξ（m）η]Ztσ（m）sdBs> δ< -N（72）和lim supε↓0ε2Hlog Psupt∈[0,1]| bBt |>q（η）2εH！<-N、 （73）设N和η是满足（72）和（73）的数。

然后，使用不等式log（a+b）≤ m ax（log（2a），log（2b）），a>0，b>0，考虑到（66），（67）和（73），我们发现存在m>1，这取决于n，并且以下条件成立：对于每m≥ m存在εm>0，取决于m和η，并满足ε2Hlog Pξ（m）η<1≤ -N、 （74）对于所有ε∈ （0，εm）。接下来，使用（65）、（72）和（74），并按照上述推理，我们可以看到thatlim supm→∞lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ| supt∈[0,1]Ztσ（m）sdBs> δ!< -N、 （75）由于N可以是任意大的正数，（75）表示（53）。这就完成了Lemma22的证明。最后，通过考虑（44）、（50）和（51），并应用定理4.2中提出的扩展收缩原理。23在【18】中，我们看到过程ε7→ Vε（Vε的定义见（50））满足速度ε的大偏差原则-2 Handgood rate function Igiven byI（x）=inff∈H【0,1】y+Z˙f（s）ds：Φ（y，f，bf）=x, （76）其中函数Φ在（42）中定义。接下来，回顾一下，对于每个ε，Vε=εH-bXε，H- x个在法律上（见（38）），我们证明相同的LDP适用于过程ε7→ εH-bXε，H- x个.备注25。Iis是一个好的速率函数，这一事实来源于Remark20和定理4.2.23in【18】。根据（42）和（76），对于每个f∈ H[0，1]，y应等于tox- ρRσ（bf（s））˙f（s）ds？ρnRσ（bf（s））dso。现在，使用（76），我们得到公式（26）。在T=1.7的情况下，这就完成了定理13的证明。期权定价函数的渐近行为和隐含的OLATILITYLET us表明，对于每个ε∈ （0，1），我们用Sε，Ht，0表示≤ t型≤ T、 过程满足（23）。下一条语句涉及二进制选项的小噪声行为。在引理15中建立的函数的连续性和单调性在推论26和下面的其他断言的证明中起着重要作用。推论26。

设H>0，并假设定理13中的条件成立。然后，下列等式成立：limε↓0ε2Hlog PSε，HT>sexpnyε-霍= -IT（y），y>0，（77）和Limε↓0ε2Hlog PSε，HT<sexpnyε-霍= -IT（y），y<0。（78）证明。使用定理13和引理15，我们可以看到，对于所有y>0，limε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个> y= -IT（y）。（79）现在，要证明（77）是（79）的后续。（78）的证明类似。备注27。在0<H<的情况下，我们有sexpnyε-霍→ sasε↓ 因此，对于h<，公式（77）描述了接近货币制度的二元期权的小噪声行为。请注意，我们在推论26中并没有假设processbB是自相似的。接下来我们将讨论数字期权的小到期行为。固定时间范围，并用T表示∈ （0，eT）期权的到期日。让我们回顾一下（31）中定义的功能。下一个断言可以使用定理18而不是定理13完全按照定理26建立。它推广了文献[26]中的推论4.7。推论2 8。设0<H<1，并假设定理18中的条件成立。还假设processbB是H-自相似的。然后，以下等式有效：limT↓0T2Hlog PST>六点-霍= -bIeT（y），y>0和极限↓0T2Hlog PST<sexpnyT-霍= -bIeT（y），y<0。备注29。对于0<H<，推论28描述了接近货币制度的二元期权的小到期行为（见备注27）。备注30。Coroll ary28中公式左侧的表达式不依赖于时间范围。这与以下事实一致：对于每0<eT≤eT和y>0，我们有bIeT（y）=bIeT（y）（见备注19）。接下来，我们将关注CALL和put定价函数的小成熟度和小噪音行为。我们还将研究隐含波动率的类似p问题。

假设时间范围是固定的，期权的到期日T等于0<T<eT。K>0表示履约价格。让我们也用k表示由k=logKs给出的对数货币性。n、看涨期权和看跌期权定价函数由c（T，K）=E定义（ST-K）+P（T，K）=E（K）- ST）+,分别地在小噪声情况下，我们设置ch（ε，K）=Eh（Sε，HT-K） +iand PH（ε，K）=Eh（K- Sε，HT）+i隐含波动率（T，K）7→bσ（T，K）与看涨期权定价函数C相关，定义为Black-Scholes模型中波动率参数σ的值，其中C（T，K）=CBS（T，K，σ=bσ（T，K））。隐含波动率（ε，K）的定义7→与通话定价函数CH相关的bσH（ε，K）类似。下一个陈述涉及混合小噪声和混合小到期制度下看涨期权和看跌期权定价函数的渐近行为。在小成熟度的情况下，我们假设过程BB是H-自相似的，并且走向p rice是T-依赖的，由KT=sexp{yT给出-H} 。该制度下的对数货币满足kT=yT-H、 在小噪声情况下，我们不假设processbB的自相似性。在这种情况下，我们设置Kε，HT=sexp{yε-H} kε，HT=yε-H、 推论31。（i） 设H>0，并假设定理13中的条件成立。还假设满足引理9中的线性增长条件。然后，y y始终大于0，limε↓0ε2Hlog CHε、 Kε，HT= -IT（y），（80），而对于y<0，limε↓0ε2Hlog PHε、 Kε，HT= -IT（y）。（81）（ii）设0<H<1，并假设定理18中的条件成立。还假设过程b i s H-自相似，并且引理9中的线性增长条件满足。然后，对于每一个y>0，limT↓0T2Hlog C（T，KT）=-bIeT（y），（82），而y<0时，limT↓0T2Hlog P（T，KT）=-bIeT（y）。（83）备注32。

对于0<H<，推论31描述了看涨期权和看跌期权价格接近货币的小时间行为（se e Remark27和29）。备注33。公式（80）可以重写如下：logCHε、 Kε，HT= ε-2HIT（y）+oy（ε-2H），（84）作为t↓ 0.表格ula（81）可以使用卖出定价函数PH进行类似转换ε、 Kε，TT,0 < ε ≤ 推论的证明31。我们将只证明推论31的第（i）部分。第（ii）部分的证明类似。有一些众所周知的方法，可以将对数价格的大偏差估计值与看涨期权和看跌期权定价函数的类似估计值进行比较。感兴趣的读者可以查阅论文【26，64】（参见【64】中第36页的证明，或【26】中推论4.13的证明）。推论31的第2部分概括了文献[26]中的推论4.13。对于y>0，可以如下获得呼叫的较低LDP估计。固定δ>0。那么我们有了ε、 Kε，HT≥ sexp{yε-H} hexp{Δε-H}-1i×PSε，HT>sexp{（y+δ）ε-H}.接下来，应用lim infε↓将0ε2Hlog变换到先前估计的两侧，并考虑不等式er-1.≥ 对于所有的r>0，我们得到lim infε↓0ε2Hlog CHε、 Kε，HT≥ lim infε↓0ε2Hlog PSε，HT>sexp{（y+δ）ε-H}.根据推论26中的第一个公式，用y+δ代替y，并根据之前的估计，lim infε↓0ε2Hlog CHε、 Kε，HT≥ -IT（y+δ）。最后，由于函数是连续的（见Lemma15），因此呼叫定价函数的较低LDP估计值成立。接下来，我们将关注较高的估计值。设p＞1，q＞1，使得p+q＝1。然后ε、 Kε，HT≤内赫Sε，HTpiopnPSε，HT>sexpnyε-霍oq。使用Corollary26中的第一个公式，我们得到了lim supε↓0ε2Hlog CHε、 Kε，HT≤plim supε↓0ε2Hlog EhSε，HT圆周率-qIT（y）。（85）仍需估计公式（85）右侧的期望值。

从（24）开始Sε，HTpi=spE经验值-pεZtσ（εHbBs）ds+p√ε′ρZtσ（εHbBs）dWs+p√ερZtσ（εHbBs）dBs≤ 服务提供商E经验值-2pεZTσ（εHbBs）ds+2p√ε′ρZTσ（εHbBs）dWs+2p√ερZTσ（εHbBs）dBs×E经验值2p级- pεZtσ（bBs）ds. （86）通过引理9，对于每ε>0，过程t 7→ 经验值-2pεZtσ（εHbBs）ds+2p√ε′ρZtσ（εHbBs）dWs+2p√ερZtσ（εHbBs）dBs是鞅。从（86）可以看出Sε，HT圆周率≤ 服务提供商E经验值2p级- pεZTσ（εHbBs）ds.此外，利用Lemma9中的线性增长条件，我们得到了Sε，HT圆周率≤ spexpnp-pcε至E经验值2p级- pcε2H+1ZTbBsds.在续集中，我们将使用之前估计的较弱版本。这个版本使用起来更简单，对于我们的目的来说已经足够了。由于ε<1，上述估计值为Sε，HT圆周率≤ spexpnp-p首席技术官E经验值2p级- pcεZTbBsds. （87）我们的下一个目标是证明一个辅助语句（下面的引理34），它将允许我们估计（87）右侧出现的期望值。我们对lemma34的证明与[26]中类似估计的证明在性质上不同。它使用了过程B的Karhunen-Lo'eve分解（有关KarhunenLo'eve定理的更多信息，请参阅，例如，[73]）。根据这个定理，存在一个非递增序列λk，k≥ 1，正数的∑∞k=1λk<∞, 和标准正态变量Zk，k的i.i.d.序列≥ 1，这样ZTBBUDU=∞∑k=1λkZkin分布（88）（例如，见[37]中的公式（5））。符号λk，k≥ 1，表示与过程b相关联的协方差算子的正特征值（计算重数），并假设特征值按降序重新排列。引理34。设a>0为实数。然后，对于所有0<ε<（4aλ）-1，（89）以下估计成立：E经验值aεZTbBudu≤ exp（2a∞∑k=1λk）。（90）证明。

使用公式（88），我们得到d=：E经验值aεZTbBudu≤ E“exp（aε∞∑k=1λkZk）#=∞∏k=1EhexpnaελkZkoi=∞∏k=1（1- 2aελk）-.Thereforelog D≤∞∑k=1日志1+2aελk1- 2aελk. （91）假设（89）成立。然后2aελk<对于所有k≥ 1，因此，2aελk1- 2aελk<1，k≥ 1、接下来，使用（91）、之前的估计和不等式日志（1+h）≤ h、 0<h<1，我们得到日志D≤ aε∞∑k=1λk1- 2aελk≤ 2a级∞∑k=1λk。很明显，引理34中的估计是成立的。这就完成了引理34的证明。设a=（2p- p） cin Lemma34。使用（90）和（87）不难看出，对于allp>1，lim supε↓0ε2Hlog EhSε，HTpi=0。接下来，使用（85），我们看到对于所有q>1，lim supε↓0ε2Hlog CHε、 Kε，HT≤ -qIT（y）。因此，看涨期权价格的上大偏差估计值源自之前的不等式。这样就完成了推论31的证明。接下来我们将关注隐含波动率的渐近行为。另一种标准是使用如推论31中的看涨期权价格估计来研究混合制度下隐含波动率的小噪声和小到期行为。Gao和Lee的论文【28】中包含了一些重要的结果，解释了如何在了解日志调用行为的情况下，刻画各种状态下隐含波动性的渐近行为。[28]的作者使用了对数货币性和无量纲隐含波动率的各种参数化，并使用了一个参数θ→ ∞. 在小噪声情况下，我们使用参数θ=ε-1和参数化ε7→ kε，HT=yε-H、 ε7→√εbσH（ε，kε，HT）。在小型成熟期，参数θ=T-使用1，参数化如下：T 7→ kT=yT-H、 T 7→√Tbσ（T，kT）。推论35。（i） 设H>0，并假设定理13中的条件成立。还假设Lemma9中的线性增长条件满足。

然后，y y 6=0，limε↓0bσHε、 kε，HT=|y | p2IT（y）。（ii）设0<H<1，并假设定理18中的条件成立。还假设过程b i s H-sel f-相似，并且引理9中的线性增长条件满足。然后，对于每y 6=0，限制↓0bσ（T，kT）=y | qbIeT（y）。备注36。Corol lary35的第（ii）部分是[26]中推论4.15的推广。我们将仅概述推论35第（i）部分的证明。第（ii）部分的证明类似。设Lε=对数（ε，Kε，HT）。然后从（84）得出kε，HTLε→ 0为ε→ 因此，我们可以在推论35中考虑的制度中使用[28]中的公式（7.8）。不难看出，如何从[28]中的公式（7.8）推导出推论35第（i）部分中的公式。感谢Christian Bayer、Peter Friz、Blanka Horvath、Benjamin Stemper和Stefan Gerhold进行了有趣而有价值的讨论。参考文献[1]E.Al\'os、J.A.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（2007），571-589。[2] 安徒生和皮特堡。随机波动率模型中的矩爆炸。《金融与随机》（2007），第29-50页。[3] P.Baldi、G.Ben Arous和G.Kerkyacharian。H¨olderspaces中的大偏差与Strassen定理。随机过程及其应用，42（1992），171-180。[4] C.拜耳、P.弗里兹、P.加西亚、J.马丁和B.S回火。粗糙波动率的规则结构。预印本，可在arXiv上获得：1710.07 481v1，2017。[5] C.拜耳、P.K.弗里兹和J。Gatheral公司。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（2016），887-904。[6] C.拜耳、P.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。提交出版的粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜，可在arXiv上获得：1703.05132 v1，2017年。[7] E.Bayraktar、C.Kardaras和H.Xing。

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