Volterra型分数阶随机变量的大偏差原理

在本文中，过程B是一个一般的连续Volterra型高斯过程，在这类过程中，只有分数布朗运动具有平稳增量。我们的下一个目标是解释如何在一般情况下证明定理13，假设它适用于T=1。定理13中的Volterra核K定义在集合[0，T]上。SeteKT（r，u）=T-HK（Tr，Tu），0≤ r、 u型≤ 1.（29）TheneKTis是[0，1]上的Volterra型核。考虑过程ε7→eXε，H，0<ε≤ 1，与kerneleKT关联。然后预测ε∈ （0，1），我们有εH-XεT，HT=εH-eXε，H（30）（我们将前面的等式留给感兴趣的读者练习）。将T=1的ore m13应用于（30）右侧的过程，我们可以看到，对于每个borel集合D R- infy公司∈Do钻头（y）≤ lim infε↓0ε2Hlog PεH-XεT，HT- x个∈ D≤ lim supε↓0ε2Hlog PεH-XεT，HT- x个∈ D≤ - infy公司∈(R)DbIT（y），其中位（y）=infh∈H【0,1】y- ρRσReKT（s，u）˙h（u）du˙h（s）dsρRσReKT（s，u）˙h（u）duds+Z˙h（s）ds. （31）假设A是R中的一个Borel集。然后，用Tε替换ε，用TH替换D-A、 我们获得- infx公司∈A.oT-2HbIT（第-x）≤ lim infε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ lim supε↓0ε2Hlog PεH-Xε，HT- x个∈ A.≤ - infx公司∈\'\'AT-2HbIT（第-x）.还有一点需要说明的是，对于每x∈ R、 T型-2HbIT（第-x） =IT（x）。（32）让f∈ H[0，T]，并设置H（u）=TH-f（Tu），0≤ u≤ 1、然后f<-> h是h[0，T]和h[0，1]之间的一对一对应关系。使用（29）和（31）中的先前注释，并简化得到的表达式，我们得到位（y）=inff∈H[0，T]J（y，f），（33）其中J（y，f）=hy- ρTH-RTσRzK（z，y）˙f（y）dy˙f（z）dzi'ρT-1RTσRzK（z，y）˙f（y）dydz+T2HZT˙f（y）dy.（34）现在，很明显，（32）跟在（33）、（34）和（26）后面。前面的推理说明了如何从T=1的情况下导出一般情况下的定理13。接下来，我们将假设processbB是自相似的。

这个额外的限制将允许我们推导出过程t 7的小时间大偏差原则→ tH公司-（Xt）- x） ，0<t≤ T、 从理论13中建立的小噪声大偏差原理出发。定义17。对于0<H<1，进程bbt，0≤ t型≤ T、 对于每个ε，称为H-自相似if∈ （0，1），bBεt=εHbBt，0≤ t型≤ T、 在法律上。通常情况下，在某些自相似假设下，可以将小噪声LDP传递到相应的小时间LDP。在我们的例子中，如果过程bb是H-自相似的，那么使用（18），（24）和布朗运动的自相似性，不难看出Xε，HT=XεT，0<ε≤ 1.（35）从（35）可以看出，过程ε7→ εH-Xε，HT- x个, 0 < ε ≤ 1，理论上可以用过程ε7代替→ εH-（XεT- x） ，0<ε≤ 在结果定理中，Le t us set t=εt。然后t∈ [0，T]，而不是速率函数IT，我们得到一个由x 7给出的新速率函数→ T2HITT-Hx公司, x个∈ R、 从（32）可以看出，新的费率函数与（31）中定义的函数位一致。接下来，总结一下saidabove的观点，我们看到以下小时间大偏差原理成立：定理18。假设σ是R上的正函数，对于某些连续模ω，σ是局部ω-连续的。还假设thatbB是一个H-自相似Volterra型高斯过程，其中0<H<1。然后是一个小时间LDP和sp eed t-2（31）给出的手动完好率函数Bit对过程t 7有效→ tH公司-（Xt）- x） ，0<t≤ T、 其中X由（18）定义。更准确地说，对于每个Borel可测集 R- infx公司∈A.o位（x）≤ lim信息↓0t2Hlog PtH公司-（Xt）- x）∈ A.≤ lim支持↓0t2Hlog PtH公司-（Xt）- x）∈ A.≤ - infx公司∈？AbIT（x）。备注19。在这句话中，我们表明在某种意义上，functionBit不依赖于T。让0<T≤ T

然后，最初在[0，T]上定义的核K可以限制为[0，T]，因此过程T 7→BBT可以在间隔[0，T]上确定。接下来，我们将展示如果过程t 7→bBt，0≤ t型≤ T、 是H-自相似，则位（x）=所有x的位（x）∈ R、 实际上，B的自相似性意味着K（t，s）=ε-HK（εt，εs）表示所有0≤ s≤ t型≤ T和0<ε≤ 1、因此，T-HK（Tr，Tu）=T-HK（Tr，Tu）f或所有0≤ u≤ r≤ 1，且henceeKT（r，u）=所有0的eKT（r，u）≤ u≤ r≤ 1，其中（29）中定义了。接下来，我们看到（31）表示所有x的位（x）=位（x）∈ R、 5。如果去除漂移项，则小噪声LDP不会改变假设BB是如（12）中所述的高斯过程。还假设σ是R上的一个正连续函数。不难证明R上存在一个连续的正函数η，满足以下条件：η在[0]上严格递增，∞);利木→∞η（u）=∞; 和σ（u）≤ η（u）表示所有u∈ R、 我们将用η表示-1函数η（x），x的反函数∈ [0, ∞). 函数η-1定义于[η（0），∞) 并将上一组映射到[0，∞).将（24）中的SDE与以下SDE进行比较：dbXε，Ht=√εσ（εHbBt）d（(R)ρWt+ρBt），Xε，H=X。上一个方程的解由bxε，Ht=X给出+√ε′ρZtσ（εHbBs）dWs+√ερZtσ（εHbBs）dBs，然后是xε，HT-bXε，HT=-εZTσ（εHbBs）ds。因此，对于每个δ>0，PεH-Xε，HT- εH-bXε，HT> δ= PεH+ZTσ（εHbBs）ds>δ≤ PηεHsupt∈[0，T]bBt公司!> 2δε-（H+）T-1!= Psupt公司∈[0，T]bBt公司> ε-Hη-1.2δε-（H+）T-1.!.利用高斯过程最大值的大偏差原理（例如，参见[55]中的（8.5）），我们可以证明存在常数C>0和y>0，使得PSUPT∈[0，T]| bBt |>y！≤ e-Cy（36）对于所有y>y。不难证明limε↓0ε-Hη-1.2δε-（H+）T-1.= ∞.因此，存在ε>0，因此对于ε<ε，我们有εH-Xε，HT- εH-bXε，HT> δ≤ 经验值-Cε-2Hη-1.2δε-（H+）T-1..

（37）现在，可以使用（37）thatlim supε↓0hε2Hlog PεH-Xε，HT- εH-bXε，HT> δi=-∞.因此，过程ε7→ εH-Xε，HT- x个和ε7→ εH-bXε，HT- x个指数等效（见[18]中的定义4.2.10）。因此，如果速度ε的大偏差原理-2手动速率函数I适用于后一个过程，也适用于前一个过程（见[18]中的定理4.2.13）。小噪声大偏差原理的证明让我们假设ρ6=0。ρ=0的证明使用了相同的思想，并且更加简单。在本节中，我们将在T=1的情况下证明定理13。对于每个ε∈ （0，1），我们有εH-bXε，H- x个= εHρZσ（εHbBs）dWs+ρZσ（εHbBs）dBs定律=εH〃ρZσ（εHbBs）dsW+ρZσ（εHbBs）dBs#。（38）（38）中的随机积分存在，而（16）中的L条件几乎肯定存在普通积分。为了证明（38）中的等式，我们证明了（38）中第二个表达式和第三个表达式的分布函数是一致的。这可以通过调节过程s 7的路径来实现→ σ（εHbBs）和随机变量σ（εHbBs）dBs的值，并考虑过程B和W的独立性。使用与[26]中引理B-1的证明相同的思想，不难证明二维过程t 7→ （Bt，bBt）是高斯分布。在[26]中，引理B-1涉及过程t 7→ （Bt，BHt），其中BHis fBm带有Hurst参数H。然而，过程BHis的自相似特性从未用于证明[26]中的引理B-1。让我们考虑由G=（B，bB）给出的空间E=C[0，1]中的中心d高斯向量G。

协方差算子K:E*7.→ 与G相关的E如下所示：K（α，α）（s）=（K（s），K（s）），0≤ s≤ 1，其中k（s）=Z（t∧s） dα（t）+Zdα（t）Zt∧sK（t，u）duandk（s）=Zdα（t）Zt∧sK（s，u）du+Zdα（t）Zt∧sK（t，u）K（s，u）d u.这里（α，α）∈ E*是区间[0，1]上有界变差的一对有符号Borel测度。我们的下一个目标是将众所周知的高斯测量大偏差结果（见[20]中的定理m 3.4.12，或[3]中的定理2.2.3）应用于上述向量G。我们将首先定义对应于G的抽象维纳空间W（参见[3]中的定义2.2.2）。我们设置W=（W，H，j，u），其中H=L[0，1]；j（f）（t）=Rtf（u）du，RtK（t，u）f（u）du对于0≤ t型≤ 1.W=j（H），其中闭合在空间C[0，1]中进行；u是过程t 7诱导的（W，B（W））上的高斯测度→英国电信、英国电信. 不难看出，空间W是可分的Banach空间，空间H是可分的Hilbert空间，j:h7→ W为连续线性注入（j的第一个分量为注入）。我发誓要证明ZWEXP{ihw*, wi}u（dw）=exp{-||j*w*||H} ，（39）其中H，i表示W之间的对偶性*W和j*: W*7.→ H*= H是j的伴随变换。空间W*是E的子空间A在[0，1]上的边界变化的有符号B-orel测度对的商空间*湮灭W。湮灭条件如下：（β，β）∈ A.<==>Zudβ（t）+ZuK（t，u）dβ（t）=0，不难证明j*（α+β，α+β）（t）=Ztdα（s）+ZtK（s，t）dα（s），0≤ t型≤ 1，其中（α，α）∈ E*和（β，β）∈ A、 接下来，使用高斯测度的特征函数的已知表达式，我们得到zwexp{ihw*, wi}u（dw）=exp{-w*（Cw*)} （40）其中C:W*7.→ W是协方差运算符。现在，很明显，为了证明（39）中的质量，有必要证明| | j*w*||H=w*（Cw*). （41）让w*= (α+ β, α+ β).

然后| | j*w*||H=ZZtd（α+β）（s）+ZtK（u，t）d（α+β）（u）dt=ZdtZtd（α+β）（s）Ztd（α+β）（r）+2ZdtZtd（α+β）（s）ZtK（u，t）d（α+β）（u）+ZDTZK（u，t）d（α+β）（u）ZtK（v，t）d（α+β）（v）=ZZ（s∧r） d（α+β）（s）d（α+β）（r）+2ZZd（α+β）（s）d（α+β）（u）Zs∧uK（u，t）dt+ZZd（α+β）（u）d（α+β）（v）Zu∧vK（u，t）K（v，t）dt。此外，w*（Cw*) = E“ZBsd（α+β）（s）+ZbBud（α+β）（u）#=ZZd（α+β）（s）d（α+β）（r）E[BsBr]+2ZZd（α+β）（s）d（α+β）（u）EhBsbBui+ZZd（α+β）（u）d（α+β）（v）EhbBubBvi。接下来，使用等式E[BsBr]=s∧ rEhBsbBui=卢比∧英国（u，t）dt；EhbBubBvi=Ru∧vK（u，t）K（v，t）dt，我们得到（41）。因此，W是一个抽象的维纳空间。根据[20]中的定理3.4.12和引理3.4.2（另请参见[3]中的定理2.3），过程ε7→εHB，εHbB状态空间C[0，1]满足速度ε的大偏差原理-2我在空间C[0，1]上定义了手动良好速率函数，如下所示。回想一下f∈ H[0，1]，我们通过（25）定义了函数bf。考虑空气（f、bf）∈ C[0，1]表示所有f∈ H[0，1]，并用H表示这类对的空间。If（f，g）∈ H、 我们把I（f，g）=R˙f（s）ds，而if（f，g）∈ C[0，1]\\H，我们计算i（f，g）=∞.备注20。可以在[20]的第3.4节（见[20]中的引理3.4.2）中找到上述因子I是一个好的速率函数的证明。由于过程W a和B是独立的，因此过程ε7→εHW，εHB，εHbB状态空间R×C[0，1]满足速度ε的大偏差原理-2手动速率函数I（y，f，g）=y+I（f，g）。我们的下一个目标是使用前面的陈述和扩展收缩原理（Theore m 4.2.23 in[18]）。设Φ是空间M=R×C[0，1]上的一个泛函，由Φ（y，f，bf）=ρ给出Zσ（bf（s））dsy+ρZσ（bf（s））˙f（s）ds，（42）if（f，bf）∈ H、 由Φ（y，f，g）=0，if（f，g）∈ C[0，1]\\H（与[26]中引理B.3的证明中的公式进行比较）。

自f起∈ H[0，1]，我们有BF∈ C[0，1]，函数Φ在M上是有限的。对于每个整数M≥ 1，通过ΦM（y，h，l）=ρ定义M上的函数Zσ（l（s））dsy+ρm-1.∑k=0σl公里数h类k+1米- h类公里数. （43）很明显≥ 1，Φm:m 7→ R是一个连续函数。我们将首先确定【18】中公式（4.2.24）中条件的有效性。引理21。对于每个α>0，lim supm→∞supnf公司∈H： y+R˙f（s）ds≤αo |Φ（y，f，bf）-Φm（y，f，bf）|=0。（44）证明。表示Dβ={f∈ H： R˙f（s）ds<β}。不难看出，要证明（44），有必要证明对于所有β>0，lim supm→∞“supf∈Dβ| Jm（f）|#=0，（45），其中Jm（f）=Zσ（bf（s））˙f（s）ds-m级-1.∑k=0σ高炉煤气公里数fk+1米- f公里数.Sethm（s）=m-1.∑k=0σ高炉煤气公里数χ{km≤s≤k+1m}。那么Jm（f）=R[σ（bf（s））- hm（s）]˙f（s）ds和hencesupf∈Dβ| Jm（f）|≤pβsupf∈Dβ支持∈[0,1]|σ（bf（t））- hm（t）|。（46）由于引理2成立，集合Eβ={bf:f∈ Dβ}在C[0，1]中是预紧的。根据Arzel\'a-Ascoli定理，集合Eβ是一致有界且等连续的[0，1]。因此，β=supf∈Dβ| | bf | | C[0,1]<∞ （47）和ωβ（δ）=supf∈Dβsupt，t∈ [0,1]：| t-t型|≤δ| bf（t）-bf（t）|→ 0（48）asδ↓ 接下来，使用σ的局部ω-连续性条件，（46）中的估计以及（47）和（48）中的定义，我们得到了supf∈Dβ| Jm（f）|≤pβLrβωωβm级. （49）现在，从（47）、（48）和（49）中可以清楚地看出，（45）成立。这建立了[18]中公式（4.2.24）中的近似条件。Lemma21的证明就这样完成了。接下来我们将证明过程ε7→ ΦmεHW，εHB，εHbB是一个指数良好近似值，如m→ ∞ 至工艺ε7→ Vε=εH〃ρZσ（εHbBs）dsW+ρZσ（εHbBs）dBs#（50）（有关指数良好近似的更多详细信息，请参见[18]中的定义4.2.14）。引理22。对于每δ>0，limm→∞lim supε↓0ε2Hlog PVε- ΦmεHW，εHB，εHbB> δ= -∞. （51）证明。

使用（43），我们可以看到，为了证明（51），有必要显示LIMM→∞lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ|Zσ（m）tdBt> δ= -∞, （52）式中σ（m）t=σεHbBt- σεHbB【mt】m, 对于所有0≤ t型≤ 在前面的等式中，符号【a】代表数字a的整数部分∈ R.在续集中，我们借鉴了[26]附录B.2中的证明。然而，我们将该证明改编为我们的环境，并且还需要更改[26]中证明的某些部分，因为在[26]中对函数σ和过程bb施加了stron-ger限制，而不是在本文中。我们将建立以下比（52）中更强的条件：limm→∞lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ| supt∈[0,1]Ztσ（m）sdBs> δ!= -∞. （53）不难看出存在一个正函数q（η），其中η∈ （0，η），其中q（η）↑ ∞, L（q（η））↑ ∞, 和L（q（η））ω（η）↓ 0（54）为η↓ 0。这里L是定义11中出现的函数。例如，我们可以取q（η）=L-1（eω（η）），η=eω-1（L（0）），其中eω是（0）上的严格递减正连续函数，∞) 使得eω（η）↑ ∞ andeω（η）ω（η）↓ 0为η↓ 0、固定整数m≥ 1和一个0<η<η的数η，并定义一个随机变量ξ（m）η=inft型∈ [0，1]：εHηq（η）| bBt |+bBt公司-bB[公吨]米> η.ω的If∈ Ohm, 前面定义中的集合为空，那么我们将ξ（m）η（ω）=1。不难看出ξ（m）η是{eFt}停止时间。这里我们使用过滤{eFt}是右连续的这一事实。假设0<t<ξ（m）η。然后[mt]m<ξ（m）η，因此εHmax|bBt |，bB[公吨]米≤ q（η）（55）和εHbBt公司-bB[公吨]米≤ η. （56）接下来，使用（55），（56）和σ的局部ω-连续性条件，我们可以看到|σ（m）t |≤ L（q（η））ω（η），对于所有t∈h0，ξ（m）ηi.（57），每m≥ 1，过程M（t）=Rtσ（M）sdzs是[0，1]上的局部鞅。接下来我们将证明停止的进程t 7→Zt公司∧ξ（m）ησ（m）sdZs（58）是鞅。

证据相当标准，但为了完整起见，我们决定将其包括在内。Letτn↑ T、 n个→ ∞, 是进程M的停止时间的局部序列。然后，对于每个n≥ 1、工艺t 7→ M（t∧ τn）是鞅，因此过程mn（t）=M（t∧τn∧ξ（m）η）也是一个鞅（见[66]中的推论3.6）。因此，对于所有0≤ s≤ t型≤ T、 E[锰（T）| Fs]=锰（s）。（59）通过过程M的采样路径的连续性，（59）右侧的表达式趋向于M（s∧ξ（m）η）a s n→ ∞. 我们的下一个目标是以n的形式达到极限→ ∞在（59）中等式左侧的期望符号下。要做到这一点，必须证明“支持”的不平等性≥1 | Mn（t）|#<∞, （60）然后使用支配收敛定理。用[Mn]表示过程Mn的二次变化。利用Doob的最大不等式、二次变差的定义和（57），我们得到了“sup0≤u≤tMn（u）#≤ 4EhMn（t）i=4E[[锰]（t）]≤ 4E“Zξ（m）ησ（m）sds公司#≤ 4L（q（η）ω（η）。根据前面的估计和单调收敛定理，E“sup0≤u≤tM（u∧ξ（m）η）#<∞.因此“支持”≥1 | Mn（t）|#≤ E“sup0≤u≤t | M（u∧ ξ（m）η）|#<∞.这建立了（60）并完成了（58）中的过程是鞅这一事实的证明。让我们xλ>0。然后，对于0<ε<ε，随机指数t=exp（λεHZt∧ξ（m）ησ（m）sdZs-λε2HZt∧ξ（m）ησ（m）sds）是鞅（使用（57）和Novikov条件）。在其余的证明中，我们将假设0<ε<ε。根据（57）和上述马丁性条件，e“exp（λεHZt∧ξ（m）ησ（m）sdZs）#=E“Etexp（λε2HZt∧ξ（m）ησ（m）sds）#≤ 经验值λε2HL（q（η））ω（η）< ∞, （61）对于所有t∈ [0, 1]. 将t=1插入（61），我们得到“exp（λεHZξ（m）ησ（m）sdZs）”#≤ 经验值λε2HL（q（η））ω（η）.

（62）由于（58）中的过程是鞅，因此（61）中的可积条件意味着过程t 7→ exp（λεHZt∧ξ（m）ησ（m）sdZs）是一个正子鞅（见[48]中的命题3.6]）。接下来，使用[48]中的第一个子鞅不等式，定理3。8，我们获得支持∈[0，ξ（m）η]expεHλZtσ（m）sdBs> eλδ≤ 经验值ε2HλL（q（η））ω（η）- λδ.设置λ=Δε2HL（q（η））ω（η），我们从前面的不等式中得到支持∈[0，ξ（m）η]εHZtσ（m）sdBs>δ≤ 经验值-δ2ε2HL（q（η））ω（η）. （63）接下来，使用过程t 7→ -B是布朗运动，我们从（63）thatP导出支持∈[0，ξ（m）η]εHZtσ（m）sdBs> δ≤ 2经验值-δ2ε2HL（q（η））ω（η）.现在，用δ|ρ|替换δ，转换所得不等式，并使用（54）中的最后一个语句，我们得到以下等式：limη↓0supm≥1lim supε↓0ε2Hlog PεH |ρ| supt∈[0，ξ（m）η]Ztσ（m）sdBs> δ= -∞. （64）不难看出pεH |ρ| supt∈[0,1]Ztσ（m）sdBs> δ!≤ Pξ（m）η<1+ PεH |ρ| supt∈[0，ξ（m）η]Ztσ（m）sdBs> δ（65）andPξ（m）η<1≤ Psupt公司∈[0,1]εHηq（η）| bBt |+bBt公司-bB[公吨]米> η!≤ Psupt公司∈[0,1]| bBt |>q（η）2εH！+Psupt公司∈[0,1]εHbBt公司-bB[公吨]米>η!. （66）我们需要以下辅助语句。引理23。对于每y>0，lim supm→∞lim supε↓0ε2Hlog Psupt∈[0,1]εHbBt公司-bB[公吨]米> y！=-∞. （67）备注24。对于分数布朗运动，引理23是在[26]中建立的（见[26]第138页的证明）。[26]的作者使用了fBm具有固定增量的事实。定理13中的高斯过程不一定具有平稳增量。然而，引理23仍然成立。证据我们有PSUPT∈[0,1]bBt公司-bB[公吨]米> ε-嗨！≤ P支持，t∈ [0,1]：| t-t型|≤m级bBt公司-bBt公司> ε-Hy公司. （68）为了估计（68）右侧的术语，我们将使用Cs'aki和Cs'org'o的一篇有趣的论文[14]中得到的估计值。