金融系统性风险网络模型研究综述

事实上，i银行的总资产将达到ei+Pj∏jipj，同时在银行间市场'pi中拥有总负债。假设（ii），只要债务少于资产总额，银行将全额偿还，即pi=(R)pi，并保持净头寸ei+Pj∏jipj- ？pi。否则，当ei+Pj∏jipj<pi时，i银行将不得不使用其所有资产偿还其交易对手，即pi=ei+Pj∏jipj，使银行的净头寸等于零，未偿还债务总额等于'pi- 工程安装-Pj∏jipj。因此，如果我们要求所有银行同时满足相同的关系，我们导出以下方程组：pi=minei+Xj∏jipj，(R)pi i=1，N、 （3）为支付向量定义了一个定点问题，其组成部分也必须满足“pi”条件≥ 圆周率≥ 0对于每家银行，i.2.2收敛到支付向量系统，（3）产生清算程序的解，是一组非线性方程，对于这些方程，对支付向量的每个分量的依赖是分段线性、单调、有界和连续的。所有这些性质都允许通过一般的Knaster-Tarski定理证明解的存在性和唯一性[11]。为了确定解决方案，Eisenberg和Noe提出了一个简单的迭代算法，其中每个迭代都包括两个步骤：首先，一个更新，用于识别默认的banksD（p）={i∈ {1，…N}| pi<\'pi}。（4） 其次，通过查找以下映射的固定点来更新支付向量：~ p=∧（~ p）（π（∧（~ p）~ p+（1- ∧（~p））\'~p+~e）+（1- 其中∧（~p）是对角矩阵，如果i∈ D（~ p），否则为零。

如果金融网络是正则的，则等式（5）允许一个唯一的固定点；规律性条件在[6]中有详细定义，但为了简洁起见，我们注意到，当系统中的每家银行都有严格的正权益时，这种条件很容易得到遵守。固定点~p*然后使用向量方程（5）的值来更新默认银行集。重复这两个步骤，直到收敛到一组满足（3）的默认银行D和支付向量P，并且在正则条件下，该支付向量是（3）的唯一解。2.3相关文献和归纳Eisenberg和Noe的开创性论文（英文，以下简称）引发了研究，自发表以来，已经提出了许多归纳。在此，我们仅讨论引入最重要影响的因素，并概述其对系统性损失性质的影响。罗杰斯和维拉特[12]在系统中引入了违约成本。事实上，当发生破产时，像EN在其清算模型中所做的那样，假设没有额外成本是不现实的：破产的金融机构可能（i）需要以低于当前市场估值的价格快速清算有价值的外部资产，例如，由于再出售的价格影响，以及（ii）需要撤回其银行间资产，给予其交易对手与到期前提前还款相关的折扣。在这种情况下，EN系统被修改，引入了两个因子α和β-都在0和1之间-分别贴现破产机构的外部资产和银行间资产。得到的方程组读数为：pi=π，如果π<ei+Pj∏jipj，αei+βPj∏ijpjotherwise。（6） 很容易认识到，当α=β=1时，方程组（6）等价于（3）。

否则，这些贴现因素会增加损失，导致救助成本超过金融系统的初始损失。事实上，正如【13】中所述，虽然EN只是在整个金融系统中重新分配损失，但罗杰斯和维拉特清算程序承认存在额外成本，这正是金融监管机构想要最小化的。其动机是，虽然经济冲击带来的外部损失是由难以控制的复杂经济动态驱动的，但监管机构可以通过实施特定政策来避免金融系统互联性导致的可能的间接损失扩大。EN和Rogers-Veraart模型都是完全确定的。它们分别构成了金融系统中损失再分配和放大的机制。然而，这种机制只有在实际破产的情况下才会触发，即银行要想弥补损失，负债必须超过资产。它们是默认的传染机制。这是清算框架的一个局限性，可以或可能通过两种方式克服：第一，直接解释当对手陷入财务困境时激活的传播，如在DebtRank中[9]，并定义一种困境传染机制；其次，在到期之前，考虑外部资产在到期时的价值不确定性，即引入外部资产的概率分布。在后者中，传播仍然基于默认的传染机制。然而，外部资产的分布将包括如果外部资产在到期前按其现值计算，则平均会造成预期损失的情况，而这种情况本不存在。这是Elsinger等人采取的方法。

最近的一项工作是在网络估值的统一框架中考虑两种机制【15】以简洁的形式考虑不确定性和违约成本。3由于双边银行间风险敞口导致的银行违约级联3.1 Gai-Kapadia模型自Gai和Kapadia[7]的工作以来，许多研究人员开发了违约级联金融网络的网络模型，尤其是银行相互借贷的银行间网络。盖卡帕迪亚级联模型的基本结构在很大程度上基于瓦茨全球级联模型[8]，该模型将发生在人类社会互动形成的网络上。在瓦茨模型中，节点如何影响其邻居的机制非常简单；只有当至少有某一部分R∈ 其邻居中的[0，1]已激活。因此，级联的瓦茨模型被归类为线性阈值模型或仅仅是阈值模型，属于复杂传染类别。瓦茨模型的主要含义是，在随机连接的网络上，只要网络不是太稀疏或太密集，即使初始活动节点的极小部分也可能导致大量节点被激活。这种临界现象被称为全局级联，全局级联可能发生的分析条件称为级联条件，可以通过利用平均场近似来计算。在本节中，我们将解释瓦茨开发的阈值模型的基本特性【8】。由于人类的激活阈值可以被重新解释为银行违约的阈值，了解社交网络文献中使用的阈值模型对于理解银行间网络中许多现有的违约传染模型非常重要。

在这里，我们解释了计算级联大小的两种不同方法，即基于树的近似法[16]和生成函数法[7,8]。虽然Watts模型假设边是无向的，但将其框架扩展到有向网络是向前延伸的[7]。相反，简单传染指的是一个传染过程，其中节点受到其外部邻居影响的概率是给定的。0246800.20.40.60.81级联区域图1：具有泊松度分布的阈值级联模型。直线表示根据式（7）计算得出的ρ值，圆圈表示模拟的平均叶栅尺寸，在1000次运行时，N=10，R=0.18，平均值。z是平均度数，种子分数ρ=10-4.3.1.1基于树的近似在这里，我们简要地解释了一种用于解决社会传染模型的树状近似方法【16】。树状近似的基本思想是通过假设网络是局部树状的来计算激活节点的平均最终分数ρ。随机选择的节点处于活动状态的概率，或全局级联的平均大小，通过以下等式计算：ρ=ρ+（1- ρ)∞Xk=1pkkXm=0公里！qm（1- q） k级-mF公司mk公司, （7） 其中q是随机选择的邻居处于活动状态的概率，ρ是节点处于初始活动状态（即种子节点）的概率，pki是度分布，k和m分别表示活动邻居的度和数量。在这一点上，邻居的激活概率（被认为与平均值相同）被视为独立的，因为由于局部树状结构的假设，至少在局部没有影响循环。

在简单的瓦茨模型中，如果m/k>R，响应函数F（·）取1，否则取0。概率q为q=ρ+（1- ρ)∞Xk=1kzpkk-1Xm=0k- 1百万！qm（1- q） k级-1.-mF公司mk公司, （8） 其中z表示平均度，它是网络的连通性参数。注意，应该使用多余度分布kpk/z，而不是度分布pk，来计算邻居的活动邻居的平均分数。这可以理解为“子节点”受其“父节点”影响，然后子节点影响“孙节点”等情况。然后，q的解作为递归方程（8）的一个固定点获得，这反过来又给出了公式（7）中平均叶栅尺寸ρ的解。尽管简单，基于树的方法可以非常准确地预测全局级联的最终大小（图1）。可能发生全局级联的参数空间称为级联区域，级联区域中参数满足的分析条件称为级联条件。要查看级联条件的推导，让我们定义S（q）asS（q）≡∞Xk=1kzpkk-1Xm=0k- 1百万！qm（1- q） k级-1.-mF公司mk公司. （9） Gleeson和Cahalane【16】认为，如果式（8）中RHS的导数（即ρ+（1- ρ） S（q））nearq=0取的值大于1，则初始种子ρ越小，则ρ值越大。因此，一阶级联条件由（1）给出- ρ)∞Xk=1k（k- 1） zpk公司Fk- F（0）> 1.（10）事实上，与模拟结果的比较表明，对于参数空间（R，z），这不是一个非常精确的条件。因此，他们还提出了（C）给出的二阶级联条件- 1)- 4CC+2ρ（C- C- 2C+4CC）<0，（11），其中假设ρ≈ 0，且C’定义为S（q）=P∞`=0C\'q\'和c`≡∞Xk=`+1 `Xn=0k- 1`!`n(-1)`-nkzpkF公司nk公司.

（12） 条件（11）表明等式（8）的二阶近似值，q=ρ+（1- ρ） （C+Cq+Cq），在q=0附近没有解，因为在q=0附近存在正根意味着不可能进行全局级联。Gleeson和Cahalane【16】表明，二阶叶栅条件（11）与数值模拟预测的叶栅区域非常匹配。3.1.2生成函数法现在，我们解释了计算预期级联大小的生成函数法。在此过程中，我们计算随机选择的节点易受攻击的概率；我们说，如果节点的度k满足≤ 1/k。也就是说，如果一个节点易受攻击，那么如果至少有一个邻居处于活动状态，则该节点将被激活。设uk=P[R≤ 1/k]表示具有k条边的节点易受攻击的概率。由于随机选择的节点具有度k的概率为pk，因此脆弱节点度的生成函数为g（x）=∞Xk=0ukpkxk。（13） 当存在多个固定点时，将选择最小解作为有效解。事实上，根据模型参数，递归方程（8）可能表现出鞍结分叉，这可能导致相变【16】。在各种阈值模型中都可以观察到这种aphase转变【17，18】。为了获得二阶条件，我们可以简单地将q=0附近的S（q）近似到二阶：S（q）=S（0）+S（0）q+S（0）q，其中C=S（0），C=S（0），C=S（0）。生成函数G（x）只包含脆弱节点度分布的所有矩的信息。脆弱节点多余度分布的生成函数导致toG（x）=P∞k=1kukpkxk-1Pk=1kpk=G（x）z，（14），其中gre表示导数。

注意，G（1）等于随机选择的邻居易受攻击的概率。我们现在介绍脆弱集群大小的生成函数：H（x）=∞Xn=0θnxn，（15）H（x）=∞Xn=0|θnxn，（16），其中θndnote表示随机选择的节点属于大小为n的易受攻击集群的概率，而|θnis表示随机选择的节点的邻居的相应概率。随机选择的邻居属于易受攻击簇的概率的生成函数应满足以下自洽方程【8，20】：H（x）=1- G（1）+xG（H（x））。（17） 第一项表示邻居不易受攻击的概率，第二项对应于所选邻居所属的易受攻击簇的大小分布。请注意，如果一个节点位于大小为n的易受攻击群集，则其邻居也必须属于大小为n的易受攻击群集。因此，随机选择的邻居属于大小为n的易受攻击群集的概率的生成函数取决于二阶和高阶邻居的生成函数，从而产生自一致性决定（17）[8，20]。这里，需要假设一个局部树状结构来获得生成函数，在这种情况下，不同的邻居属于脆弱集群的（局部）独立子集。一旦获得H（x），H（x）即计算为灰分（x）=1- G（1）+xG（H（x）），（18）我们注意到，粗略地说，计算H（H）的过程对应于Gleeson Cahalane[16]基于树的方法中递归方程（8）（等式（7））中执行点q（ρ）的推导。平均脆弱簇大小由hni=H（1）=G（1）+（G（1））z给出- G（1）。（19） 因此，级联条件表示为z<G（1）=Xk=1k（k- 1） ukpk。（20） 参见第。

关于生成函数的基本解释，请参见Newman[19]。生成函数方法和基于树的方法之间的这种对应关系并不严格，因为脆弱集群的大小与平均级联大小不相同[8]。银行间资产内部资产银行负债存款资本AIBAEKDLIB图2：银行的风格化资产负债表。注意，由于k>0时uk=F（1/k），只要阈值严格为正值（即R>0且F（0）=0），且种子分数足够小（即ρ→ 0).3.1.3金融传染的金融传染模型，节点和有向边分别代表银行和借贷关系，节点的激活被解释为银行违约。事实上，Gai-Kapadiamodel与Watts模型是同构的，区别在于前者处理有向随机图，而后者关注无向随机图。要看到这一点，让我们考虑一个银行的风格化资产负债表（图2）。假设每家银行可能有两种类型的资产：银行间资产（AIB）和外部资产（AE）（如股票、债券等）。在负债方面，可以有银行间负债、LIB和客户存款D。然后，银行i的偿付能力条件由AIBI+AEi给出- LIBi公司- Di>0，（21），这相当于说银行的净值（或资本）应该是正的。现在，考虑一下这样一种情况，即从一家银行向其他银行发放的贷款金额是均匀分布的，因此每个银行间风险敞口都简单地写为AIBi/| Ni |，其中Nidenotes是指银行i向其贷款的借款人集合。

我们假设银行间总资产AIBi与净值Ki的比率在各银行中是常见的，由AIBi/Ki=1/R得出R>0时为i。在这些假设下，银行i的违约条件导致φi>KiAIBi=R，（22），其中φi是银行i的交易对手违约的分数。为简单起见，假设违约损失为100%；放款人将把借给违约银行的全部资金放在一边。等式（22）指出，如果违约交易对手的实际比例超过恒定阈值水平R，i银行将违约，这与瓦茨模型中的社会传染机制基本相同（即，仅用R代替R）。请注意，如果i银行持有足够数量的资本，以至于R>1，那么i银行就没有机会（传染）脱脂，因为资本可以完全吸收最大可能的损失。由于暴露于银行违约风险的边缘是向外延伸的边缘（即，向其他银行贷款），只要没有双向边缘，社会传染机制就以简单的方式应用于此。这里的诀窍是，银行间风险敞口的数量或边缘权重在银行贷款给的借款人之间均匀分布。这大大简化了分析，因为从另一方面来说，我们必须将默认条件（22）中的φII替换为银行承担的损失的总分数。下一节将讨论更一般的异构边权重情况。考虑到同构性质，使用Gleeson、Cahalane【16】和Watts【8】开发的方法分析同一道路上的银行违约级联很简单。由于其简单性和分析可操作性，过去几年中，Gai-Kapadia模型经常被用作更复杂的金融传染模型的基线框架。