增长最大似然估计的渐近性质

此外，通过（2.4），我们得到了limt→∞Ztvs（λ）ds=- 限制→∞Zvt（λ）λzσz+Δαzα+bzdz，λ∈ R+。然后，通过积分上限函数的连续性，我们得到了→∞Ztvs（λ）ds=ZλZσZ+ΔαZα+bzdz，λ∈ R+，其中右侧的积分定义良好，因为zλzσz+δαzα+bzdz 6Zλzδαzαdz=αδαzλzα-1dz=αλ2-αδα(2 -α)< ∞.因此，根据连续性定理，对于σ，我们有（2.15）∈ R++。接下来，我们使用连续时间观测（Yt）t给出σ的统计∈[0，T]具有任意T∈ R++。由于这个结果，我们不考虑参数σ的估计，它应该是已知的。参数σ是与W相关的扩散部分的一个参数，通常，可以使用对基础过程的极短（连续时间）观测（至少在理论上）来估计这类参数，这就是为什么作者认为这是已知的。在接下来的备注2.7中，我们证明了这也适用于我们的模型。2.7备注。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞. （2.8）中给出的格里高利奥尼表示意味着Y的连续鞅部分Ycontof Y是ycontt=σRt√YudWu，t∈ R+，见Jacod和Shiryaev【18，III.2.28备注，第1部分）】。因此，Ycontis hYcontit的（可预测的）二次变化过程=σRtYudu，t∈ R+。假设我们有P（Y∈ R++）=1或a∈ R++。对于所有T∈ R++，我们有σ=hYcontiTRTYudu=：bσT，因为，命题2.1的due到（v），PRTYudu公司∈ R++= 1.

我们注意到bσ是一个统计量，即存在一个可测函数：D（[0，T]，R）→ R使得bσT=Ξ（（Yu）u∈[0，T]），其中d（[0，T]，R）表示在[0，T]上定义的实值c\'adl\'ag函数的空间，因为（2.20）nPnT公司i=1Yi-1nnT公司Xi=1尹-易-1n-徐∈[0，T](Yu）！P-→ bσTas n→ ∞,如果（2.20）中的收敛几乎可以确定沿着一个合适的子序列保持P，那么（2.20）中的序列的成员是（Yu）u的可测函数∈[0，T]，可以使用Dudley[11]中的定理4.2.2和4.2.8。接下来我们证明（2.20）。根据Jacod和Shiryaev【18】中的定理I.4.47 a），nT公司Xi=1尹- 易-1nP-→ [是]Tas n→ ∞, T∈ R+，其中（[Y]t）t∈R+表示半鞅Y的二次变分过程。通过TheoremI。4.52在Jacod和Shiryaev【18】中，【Y】T=hYcontiT+Xu∈[0，T](Yu），T∈ R+。因此，对于所有T∈ R+，我们有nT公司Xi=1尹- 易-1n-徐∈[0，T](Yu）P-→ hYcontiTas n公司→ ∞.此外，对于所有T∈ R+，我们避风港nT公司Xi=1Yi-1nP-→ZTYudu组件n→ ∞,见Jacod和Shiryaev【18】中的命题I.4.44。因此（2.20）的结论是，概率收敛在乘法下是闭合的。最后，我们注意到，T在上面是固定的，因此不需要知道任何观测（Yt）T∈[0，T]进行上述计算，其中T>0可以是任意值。3 YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换利用Keller Ressel[22]中的定理4.10，我们推导出了YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换公式，其中t∈ R+。我们注意到，这种形式的联合拉普拉斯变换是菲利波维奇[13]中定理5.3的结果，也是焦等人[19]中命题3.3的特例。3.1定理。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y=Y）=1且有一些Y的唯一强解∈ R+。

那么对于所有u，v∈ R-,E经验值uYt+vZtYsds= 经验值yψu，v（t）+aZtψu，v（s）ds, t型∈ R+，其中函数ψu，v:R+→ R-是微分方程ψ′u，v（t）=σψu，v（t）+Δαα的唯一局部有界解(-ψu，v（t））α- bψu，v（t）+v，t∈ R+，ψu，v（0）=u.（3.1），如果（u，v）6=（0，0），则ψu，v（t）∈ R--, t型∈ R++，如果（u，v）=（0，0），则ψu，v（t）=0，t∈ R+。证据根据Keller-Ressel【22】中的定理4.10，Yt，RtYsdst型∈R+是一个具有分支机制的二维CBI进程eR（z，z）=（eR（z，z），eR（z，z）），z，z∈ R+，威瑟尔（z，z）=R（z）-z、 eR（z，z）=0，z，z∈ R+，且具有移民机制F（z，z）=F（z），z，z∈ R+，其中R和F在位置2.1中给出。因此，根据Du ffe等人[12]的定理2.7（另见Barczy等人[5，定理2.4]），我们得到经验值uYt+vZtYsds= 经验值yψu，v（t）-ZteF公司(-ψu，v（s），-^1u，v（s））ds= 经验值yψu，v（t）+aZtψu，v（s）ds, t型∈ R+，其中函数（ψu，v，Дu，v）：R+→ R-是微分方程组的唯一局部有界解（ψ′u，v（t）=eR(-ψu，v（t），-νu，v（t））=σψu，v（t）+Δα(-ψu，v（t））α- bψu，v（t）+Дu，v（t），t∈ R+，Д′u，v（t）=eR(-ψu，v（t），-νu，v（t））=0，t∈ R+，初始值ψu，v（0）=u，Дu，v（0）=v。显然，Дu，v（t）=v，t∈ R+，因此我们得到ψ′u，v（t）=σψu，v（t）+Δα(-ψu，v（t））α- bψu，v（t）+v，t∈ R+，ψu，v（0）=u，根据需要。如果（u，v）=（0，0），那么，由于同零函数是（3.1）的（局部有界）解，通过该解的唯一性，我们得到ψ0，0（t）=0，t∈ R+。如果（u，v）6=（0，0），那么相反，让我们假设存在一个t∈ R++使得ψu，v（t）=0。利特*:= inf{t∈ R++：ψu，v（t）=0}。然后t*< ∞, ψu，v（t）<0表示所有t∈ [0，t*), 和ψu，v（t*) = 0、如果t*= 0，则0=ψu，v（t*) = ψu，v（0）=u，因此v∈ R--.

此外，存在序列（tn）n∈确认tn∈ R++，n∈ N、 田纳西州↓ 0=t*作为n→ ∞, ψ0，v（tn）=0，n∈ N、 因此，利用（3.1）的局部有界解是唯一的，ψ0，v（ktn）=ψ0，v（0）=0，k，N∈ N、 自tn起↓ 0作为n→ ∞, 对于所有t∈ R++，存在一个序列（kn）n∈Nsuch thatkn公司∈ N、 N个∈ N、 和kntn→ t作为n→ ∞ （可以选择kn：=ttn公司, n∈ N） 。由于ψ0是粘连续的，我们有ψ0，v（t）=0，t∈ R+，使我们面临冲突（由于v∈ R--). S o，ift*= 0，然后根据需要，ψu，v（t）<0，t>0。在续集中，让我们假设*> 一方面，ψ′u，v（t*) > 0，自ψ′u，v（t*) = 林氏↑0ψu，v（t*+ h）-ψu，v（t*)h=limh↑0hψu，v（t*+ h） ，其中h<0和ψu，v（t*+ h） <0屈服强度ψu，v（t*+ h） >0。另一方面，by（3.1），ψ′u，v（t*) = v 6 0，得出v=0。因此，如果t*> 0，则（3.1）的形式为ψ′u，v（t）=σψu，v（t）+Δα(-ψu，v（t））α- bψu，v（t），t∈ R+，其中ψu，v（0）=u和ψu，v（t*) = 0.通过（3.1）局部有界解的唯一性，ψu，v（t）=0表示所有t>t*, 因此ψu，v（t）=0，对于所有t>0。的确，leteψu，v（τ）：=ψu，v(-τ） ，τ6 0和τ*:= -t型*. Th eneψ′u，v（τ）=-σeψu，v（τ）-δαα(-eψu，v（τ））α+beψu，v（τ），τ6 0，其中eψu，v（0）=u，eψu，v（τ*) = 0，并且通过上述微分方程的局部有界解的唯一性，eψu，v（τ）=0表示τ∈ [τ*, 0]，即ψu，v(-τ） =0表示τ∈ [-t型*, 0]，即ψu，v（t）=0表示t∈ [0，t*]. 考虑到t的定义，这就产生了一个矛盾*事实上*> 03.2备注。

（i） 根据命题2.1的（iii），ψu，0（t）=-vt公司(-u） 对于所有t∈ R+和u∈ R-.（ii）微分方程（3.1）是Polyanin和Zaitsev的特例【34，第1.5.1-2/（27）节】。4极大似然估计的存在性和唯一性在本节中，我们将考虑具有已知∈ R+、σ、δ∈ R++，α∈ （1，2），已知的确定性初始值Y=Y∈ R+，我们将考虑b∈ R作为未知参数。设pB表示（Yt）t诱导的概率测度∈可测空间（D（R+，R），D（R+，R））上的R+，具有自然过滤（Dt（R+，R））t∈R+，见附录A。进一步，所有T∈ R++，设Pb，T：=Pb | DT（R+，R）是Pb对DT（R+，R）的限制。下一个结果是关于氡-Nikodym衍生Pb、Td-Peb、Tf或b、eb的形式∈ R、 我们将把Peb、Tas视为固定参考测量值，并将根据观测值（Yt）t推导参数b的最大似然估计∈[0，T]。4.1提议。让a∈ R+、b、eb∈ R、 σ，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). 那么对于所有T∈ R++，概率度量Pb、Tand和Peb，皮重相对彼此绝对连续，以及对数d Pb、Td Peb、T（eY）= -b-ebσeYT公司- y- 在- δZTαqeYu-dLu-b-eb2σZTeYudu（4.1）几乎可以肯定地认为P，其中ey是与参数b相对应的α稳定CIR过程。证据在下文中，我们将应用Jacod和Sh iryaev【18】中的定理III.5.34（另见附录A）。我们将研究正则空间（D（R+，R），D（R+，R））。Let（ηt）t∈R+表示正则过程ηt（ω）：=ω（t），ω∈ D（R+，R），t∈ R+。回想一下，稳定的CIR进程（1.1）可以以（2.8）的形式写入。

根据位置2.1，S DE（1.1）具有路径唯一的强解（具有给定的确定初始值y∈ 因此，根据Jacod和Shiryaev[18]中的定理III.2.26，在概率测度Pb下，正则过程（ηt）t∈R+是一个半鞅，具有与截断函数h（在第2.2节中引入）相关联的半鞅特征（B（B），C，ν），其中B（B）t=Zt一-bηu+γδα√ηu+ZR（h（zδα√ηu）- h（z）Δα√ηu）m（dz）du，t∈ R+，Ct=Zt（σ√ηu）du=σZtηudu，t∈ R+，ν（dt，dy）=K（ηt，dy）dt，由K（y，R）给出的Borel变换核K从R+×R到R：=ZRR \\{0}（zδα√y） m（dz）表示y∈ R+和R∈ B（R），m（d z）=Cαz-1.-α(0,∞)（z） dz。以下讨论的目的是检查附录A中给出的一组有效条件（将使用符号），以便有权应用Jacod和Shiryaev[18]中的定理III.5.34。首先注意（Ct）t∈R+和ν（dt，dy）不依赖于未知参数b，因此V（eb，b）等于1，然后（A.1）和（A.2）很容易保持不变。我们也有PBν（{t}×R）=0= PbZ{t}K（ηs，R）ds=0！=1，t∈ R+，b∈ R、 进一步，（Ct）t∈R+可表示为Ct=RtcudFu，t∈ R+，其中随机过程（ct）t∈R+和（Ft）t∈R+由ct给出：=σηt，t∈ R+，Ft=t，t∈ R+。因此，对于所有b、eb∈ R、 B（B）t- B（eb）t=-（b）-eb）Ztηudu=Ztcuβ（eb，b）udFuPb几乎可以肯定为每t∈ R+，wher er e the随机过程（β（eb，b）t）t∈R+由β（eb，b）t=-b-ebσ，t∈ R+，产生（A.3）。

接下来我们检查（A.4），即PbZt公司β（eb，b）ucudFu<∞= 1，t∈ R+。（4.2）我们有ZTβ（eb，b）ucudFu=（b-eb）σZtηudu，t∈ R+。因为对于每个ω∈ D（R+，R），轨迹[0，t] u 7→ ηu（ω）是c\'adl\'ag，因此有界（参见Billingsley[7，（12.5）]），我们有ηu（ω）du<∞, 因此我们得到（4.2）。接下来，我们检查在概率测度Pb下，在给定初值的三元组（B（B），C，ν）对应的正则空间上，以Pb作为其唯一解的鞅问题的局部唯一性是否成立（有关局部唯一性的定义，请参见Jacod和Shiryaev[18]中的定义II.2.27）。根据命题2.1，SDE（1.1）有一个路径唯一的强解（具有给定的确定性初始值y∈ R+，因此Jacodand Shiryaev[18]中的定理III.2.26得出，正则空间上对应于（B（B），C，ν）的鞅问题的所有解集只有一个元素（Pb）产生期望的局部唯一性。我们还提到，Jacod和Shiryaev[18]中的定理III.4.29暗示，在概率测度Pb下，所有局部鞅都具有相对于η的积分表示性质。根据Jacod和Shiryaev【18】（另见附录A）中的定理III.5.34，Pb，Tand Peb，tareeeequivalent（可以改变b和b的角色），我们得到了Pb，Td Peb，T（η）=expZTβ（eb，b）ud（ηcont）（eb）u-ZT公司β（eb，b）u库杜, T∈ R++几乎可以肯定地持有Peb，其中（（ηcont）（eb）t）t∈R+表示（ηt）t的连续（局部）martin gale部分∈Peb下的R+。

使用Jacod和Shiryaev【18】中的备注III.2.28和（2.8），连续（局部）鞅部分（eYcontt）t∈（eYt）t的R+∈R+的形式为：contt=σRtqeYudWu，t∈ R+，通过（1.1），我们得到deycontt=deYt- （a）-ebeYt）dt- ΔαqeYt-dLt，t∈ R+。亨塞洛d Pb、Td Peb、T（eY）=ZT公司-b-ebσ德玉- ΔαqeYu-dLu-ZT公司-b-ebσ（a）-ebeYu）du-ZT公司-b-ebσσeYudu=-b-ebσZT（德宇- ΔαqeYu-dLu）+b-ebσZTa du-b-eb2σZTeYuduholds P-几乎可以肯定，这就产生了这种说法。接下来，利用命题4.1，通过将Peb、Tas视为固定参考度量，我们基于观测值（Yt）t推导出参数b的最大似然估计∈[0，T]。让我们用∧T（b，eb）替换Y来表示（4.1）的右侧。通过基于观测值（Yt）t的参数b的MLEbbTof∈[0，T]，我们的意思是bbt：=arg maxb∈R∧T（b，eb），这将证明不是依赖于oneb。我们推导最大似然估计的方法是文献中已知的方法之一，并且可以证明这些方法会导致相同的估计量Bbt，参见备注4.4。接下来，我们给出了关于所有T的MLEbbTof b的唯一存在性的一个结果∈ R++。4.2提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ，δ∈ R++，α∈ （1、2）和y∈ R+。如果a∈ R++理论∈ R++，然后对于每个T∈ R++，存在唯一的MLEbbTof b P-几乎可以肯定的是，形式为（4.3）bbT=-年初至今- y- 在- δRTα√于-Dlutysds，前提是Rtysds∈ R++（由于命题2.1中的（v），几乎可以肯定的是，R++会保持P不变）。证据由于提案2.1的（v），PRTYsds∈ R++= 所有T均为1∈ R++，因此（4.3）的右侧几乎肯定是定义良好的P。以下讨论的目的是说明（4.3）的右侧是（Yu）u的可测量函数∈[0，T]（即统计数据）。

BY提案4.1，适用于所有b、eb∈ R和T∈ R++，概率度量Peb，Tand Pb，Tareabesolutely continuous to there，and logd Peb、Td Pb、T（Y）= -电子商务-bσ年初至今- y- 在- δZTαpYu-dLu-电子商务-b2σztyudu几乎可以肯定地保持P。上述等式的左侧相对于（Yt）t是可测量的∈[0，T]（参见，例如，Jacodand Shiryaev[18，T heorem III.3.4]），因此其右侧也是可测量的，这产生了Tα的可测量性√于-Dlu与（Yt）t有关∈[0，T]以及随后的Bt。根据提案4.1，对于所有b、eb∈ R、 我们有blog（λT（b，eb））=-σ年初至今- y- 在- δZTαpYu-dLu-bσZTYudu，blog（λT（b，eb））=-σZTYudu。因此，基于连续时间观测（Ys）的MLEbbTof b∈[0，T]几乎可以肯定存在P，并且它的形式为（4.3），前提是rtysds∈ R++。4.3备注。接下来，在命题4.2的假设和附加假设a>σ的情况下，我们证明了LTI是（Yu）u的可测函数∈[0，T]对于所有T∈ [0，T]，其中T∈ R++，它（在特殊情况下a>σ）为（4.3）的右侧是一个统计量这一事实提供了另一个证明。回顾符号ζt=δRtα√于-dLu，t∈ R+，我们有 ζt=Δα√年初至今-Lt，t∈ R+（根据（2.1）和Jacod和Shiryaev[18，定义II.1.27]），并使用SDE（1.1），我们得到Yt= ζt=Δα√年初至今-中尉，t∈ R+。因此Lt公司=Ytδα√年初至今-, t型∈ R++，自，由（iv）的第2.1项，P年初至今∈ R++适用于所有t∈ R++= 1、对于所有t∈ [0，T]和ε∈ （0，1），Z（0，t）Z{ε<Z | 61}Z euL（du，dz）=Xu∈[0，t]{ε<|Lu | 61}Lu公司-Z（0，t）Z{ε<Z | 61}Z du m（dz）=Xu∈[0，t]ε<|Yu |Δα√于-Yuδα√于-- tZ{ε<z | 61}z m（dz），是（Yt）t的可测函数∈[0，T]。同样，对于所有t∈ [0，T]，Z（0，T）Z{| Z |>1}ZuL（du，dz）=Xu∈[0，t]{|Lu |>1}Lu=Xu∈[0，t]|Yu |Δα√于->1.Yuδα√于-,这是（Yu）u的可测函数∈[0，T]也是。

因此，对于所有t∈ [0，T]，徐∈[0，t]|Yu |Δα√于->εYuδα√于-- tZ{ε<z | 61}z m（dz）+γtP-→ Ltasε↓ 0，得出LTI是（Yt）t的可测函数∈[0，T]。最后，还要注意，如果Yt-= 0，t∈ R+，然后使用Yt=Δα√年初至今-中尉，t∈ R+，我们有Yt=0产生Yt=Yt-= 0（与t处L的跳跃大小无关）。4.4备注。文献中还有另一种推导MLE的方法。Sorensen【36】将b的anMLE定义为方程∧T（b）=0的解，其中∧T（b）是Sorensen【36】中公式（3.3）给出的所谓得分向量。Luschgy【29】，【30】将此方程称为估算方程。根据命题4.1的证明符号，考虑到β（eb，b）的形式以及V（eb，b）等于1的事实，我们得到∧T（b）：=ZT-σdYcontu=-σZT（dYu- （a）-bYu）du- ΔαpYu-dLu）=-σ年初至今- y- aT+bZTYudu- δZTαpYu-dLu对于b∈ R和T∈ R++。估计方程∧T（b）=0，b∈ R、 有独特的解决方案-年初至今-y-在-δRTα√于-Dlutyudu提供了rtyudu是严格正的，这几乎可以肯定地保持P，前提是a∈ R++或y∈ R++（由于命题2.1的（v））。回想一下，这种独特的解决方案与BBT一致，请参见（4.3）。5次临界情况下极大似然估计的渐近行为∈ R++或y∈ 然后，使用（4.3）和SDE（1.1），我们得到BBT- b=-年初至今- y- 在- δRTα√于-dLu+bRTYsdsRTYsds=-σRT√YsdWsRTYsds（5.1）规定RTYSDS∈ R++，这几乎可以肯定是由于命题2.1的（v）。这里注意σRT√YsdWs=YcontT，T∈ 根据Jacod和Shyriaev【18】和（2.8）中备注III.2.28的第1）部分，R+。5.1定理。设a，b，σ，δ∈ R++和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+。