增长最大似然估计的渐近性质

回想一下，L’evy It^o对L的表示形式为lt=Z（0，t）Z（0，∞)z euL（ds，dz）=γt+z（0，t]z（0,1]z euL（ds，dz）+z（0，t]z（1，∞)zuL（ds，dz）（2.1）用于t∈ R+，其中uL（ds，dz）：=Pu∈R+{Lu6=0}ε（u，Lu）（ds，dz）是与跳跃相关的R++上的整值泊松随机测度Lu：=Lu- Lu公司-, u∈ R++，L:=0，表示p过程L，ε（u，x）表示点（u，x）处的狄拉克测度∈ R+，euL（ds，dz）：=uL（ds，dz）- ds m（dz），其中m（dz）：=Cαz-1.-α(0,∞)（z） dz和γ：=-R（1，∞)z ds m（dz）=-CαR∞z-αdz=Cα1-α. 度量m只是L的L'evy度量。我们还注意到（Lt）t∈R+是鞅，因此E（Lt）=0，t∈ R+。下一个命题是关于SDE（1.1）强解的存在性和唯一性，还指出Y是一个具有明确给定分支和迁移机制的CBI过程，我们还收集了基于Dawson和Li【10】、Fu和Li【15】、Li【25】和Jiao等人【19】的Y的其他有用性质。2.1提议。设η为与（Wt）t无关的随机变量∈R+和（Lt）t∈R+满意P（η∈ R+=1和E（η）<∞. 让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2).

然后，以下陈述成立。（i） 存在一个路径唯一强解（Yt）t∈SDE（1.1）的R+，使得P（Y=η）=1和P（Yt∈ R+表示所有t∈ R+=1。（ii）工艺（Yt）t∈R+是一个具有分支机制的CBI过程R（z）=σz+Δαzα+bz，z∈ R+，移民机制F（z）=az，z∈ R+。（iii）对于所有t∈ R+和y∈ R+，yt的拉普拉斯变换采用形式e（e-λYt | Y=Y）=exp-yvt（λ）-ZtF（vs（λ））ds（2.2）对于所有λ∈ R+，其中R+ t 7→ vt（λ）∈ R+是（2.3）的唯一局部有界解tvt（λ）=-R（vt（λ）），v（λ）=λ。如果t∈ R+，y∈ R+和λ∈ R++\\{θ}，θ：=inf{z∈ R++：R（z）∈ R+}∈ R+，然后我们有（2.4）E（E-λYt | Y=Y）=exp(-yvt（λ）+Zvt（λ）λF（z）R（z）dz）。尤其是，（2.4）适用于所有λ∈ R++每当b∈ R+。（iv）Y的最小生成元的形式为（Af）（Y）=（a- by）f′（y）+σyf′（y）+ΔαyZ∞f（y+z）- f（y）- zf′（y）Cαz-1.-αdz，（2.5），其中y∈ R+，f∈ Cc（R+，R），f′和f′表示f.（v）的一阶和二阶偏导数，此外，如果P（η∈ R++）=1或a∈ R++，然后是PRtYsds∈ R++= 所有t均为1∈ R++。（vi）此外，如果σ∈ R++和a>σ，然后P年初至今∈ R++适用于所有t∈ R++= 1.（vii）此外，如果P（η∈ R++）=1，a=0，b∈ R+，然后P（τ<∞) = 1，其中τ：=inf{s∈ R+：Ys=0}，且P（对于所有t>τ，Yt=0）=1。证据

满足P（Y=η）=1和P（Yt）的路径唯一非负强解的存在性∈ R+表示所有t∈ R+=1，见Fu和Li【15，推论6.3】，得出（i）。此外，Dawson和Li【10】中的定理6.2以及Z∞（z）∧ z） Cαz-1.-αdz=CαZz1-αdz+CαZ∞z-αdz=Cα2.-α+α - 1.< ∞andZ公司∞（e）-zx公司- 1+zx）Cαx-1.-αdx=α（α- 1)Γ(2 -α） Z∞（e）-zx公司- 1+zx）x-1.-αdx=zαα（2.6）表示z∈ R+（例如，参见Li[25，示例1.9]）意味着Y是一个CBI进程，具有（ii）中给出的分支和迁移机制。对于公式（2.2）和，对于b∈ R+，公式（2.4）见Li【25，公式（3.29）和第67页】。接下来我们检查一下（2.7）-ZtF（vs（λ））ds=所有t的Zvt（λ）λF（z）R（z）dz∈ R+和λ∈ R++\\{θ}。如果y是连续可微函数（0，t），就足够了 s 7→ vs（λ）对于所有λ都是严格单调的∈ R++{θ}，从那时起，通过替代z=vs（λ），我们得到-ZtF（vs（λ））ds=-Zvt（λ）λF（z）svs（evz（λ））dz=Zvt（λ）λF（z）R（vs（evz（λ）））dz，因此为（2.7），其中（v（λ）∧ vt（λ），v（λ）∨ vt（λ）） z 7→ evz（λ）表示（0，t）的逆s 7→ vs（λ）。根据Li【25，命题3.1】，函数R+ λ 7→ vs（λ）∈ R+对于所有s严格递增∈ R+。对于所有s，我们有vs（θ）=θ∈ R+，因为R（θ）=0，所以该恒常函数是具有初始值θ的微分方程（2.3）的唯一局部有界解。如果b∈ R+，然后θ=0，因此λ∈ 对于所有s，R++意味着vs（λ）>vs（0）=0∈ R+。在这种情况下，使用微分方程（2.3）和不等式R（z）>0表示所有z∈ R++，我们得到svs（λ）=-对于所有s，R（vs（λ））<0∈ R+，因此函数（0，t） s 7→ vs（λ）是严格递减的，因此我们得出b的（2.7）∈ R+。如果b∈ R--, 然后θ∈ R++。因此，在b的情况下∈ R--和λ∈ （0，θ）对于所有s，我们有vs（λ）<vs（θ）=θ∈ R+。

在这种情况下，对于所有z，使用微分方程（2.3）和不等式R（z）<0∈ （0，θ），我们得到svs（λ）=-对于所有s，R（vs（λ））>0∈ R+，因此函数（0，t） s 7→ vs（λ）严格增加，因此我们得出b的（2.7）∈ R--和λ∈ (0, θ). 以类似的方式，在b的情况下∈ R--和λ∈ (θ, ∞) 对于所有s，我们有vs（λ）>vs（θ）=θ∈ R+。在这种情况下，使用微分方程（2.3）和所有z的低质量R（z）>0∈ (θ, ∞), 我们获得svs（λ）=-对于所有s，R（vs（λ））<0∈ R+，因此函数（0，t） s 7→ vs（λ）是严格递减的，因此我们得出b的（2.7）∈ R--和λ∈ (θ, ∞) 也微型生成器（2.5）的形式可以类似于Barczy等人[4]的定理2.1的证明进行检查，这意味着（iv）。对于（v），让我们定义t∈ R++和putAt：=ω ∈ Ohm : [0，t] s 7→ Ys（ω）是c\'adl\'ag，Ys（ω）∈ R+适用于所有s∈ [0，t].然后，通过（i），P（At）=1，对于所有ω∈ At，RtYs（ω）ds=0当且仅当Ys（ω）=0表示ALL∈ [0，t）.乘以（1.1），Ys=Y+as-bZsYudu+σZspYudWu+δZsαpYu-dLu，s∈ R+，几乎可以肯定地保持P。右侧的随机积分可以近似为assups∈[0，t]ns系列Xi=1qYi-1n（赢- Wi公司-1n）-ZspYudWuP-→ 0作为n→ ∞,sups公司∈[0，t]ns系列Xi=1αqYi-1n-（林- 锂-1n）-ZsαpYu-dLuP-→ 0作为n→ ∞,参见Jacod和Shiryaev【18，定理I.4.44】。因此存在序列（nk）k∈没有这样的积极参与者∈[0，t]nks公司Xi=1qYi-1nk（眨眼- Wi公司-1nk）-ZspYudWu→ 0作为k→ ∞,sups公司∈[0，t]nks公司Xi=1αqYi-1nk-（链接- 锂-1nk）-ZsαpYu-dLu→ 0作为k→ ∞保持P-几乎可以肯定。让我们用▄att表示上述两个P-几乎必然收敛所发生的事件。

因此，在以下情况下，使用符号=ω ∈ Ohm :ZtYs（ω）ds=0,我们在∩在∩ 在在∩ω ∈ Ohm :ZspYudWu(ω) = 0,ZsαpYu-dLu（ω） =所有s为0∈ [0，t）在∩ω ∈ Ohm : Ys（ω）=Y（ω）+对于所有s∈ [0，t）在∩ω ∈ Ohm :Zs（Y（ω）+au）du=0，对于所有s∈ [0，t）在∩nω∈ Ohm : 对于所有s，Y（ω）s+as=0∈ [0，t）o在∩nω∈ Ohm : Y（ω）=-对于所有s∈ [0，t）o，其中最后一个事件的概率为0，表示PRtYs（ω）ds=0= 0.因此PRtYs（ω）ds∈R++= 0，因此我们有（v）。（vi）见Jiao等人【19】中的命题3.7。最后，我们证明了第（七）部分。首先注意，如果a=0，（Yt）t∈R+是一个连续的时间分支过程（没有移民）。如果b∈ R+，然后根据Li[25]中的推论3.9，P（τ<∞|Y=Y）=1表示所有Y∈ R++，因为Li[25]中的条件3.6适用于所有θ>0的toR∞θR（z）dz 6R∞θσzdz<∞. 最后一句话是根据以下事实得出的：在a=0且p（Y=0）=1的情况下，SDE（1.1）的路径唯一非负强解对于所有T∈ R+。注意，根据命题2.1，过程（Yt）t∈R+是一个半鞅，参见，例如，Jacod和Shiryaev【18，I.4.33】。现在，我们推导出半鞅（Yt）t的所谓Grigelionis形式∈R+，参见，例如，Jacod和Shiryaev【18，III.2.23】或Jacod和Protter【17，定理2.1.2】。2.2提议。设η为与（Wt）t无关的随机变量∈R+和（Lt）t∈R+满意P（η∈ R+=1和E（η）<∞. 对于∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ （1，2），let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）满足P（Y=η）=1的唯一强解。那么格里高利奥尼就是（Yt）t的形式∈R+的形式为（2.8）Yt=Y+Zt（a-bYu+γδαpYu）du+ZtZR（h（zδαpYu）-ΔαpYuh（z））m（dzdu+σZtpYudWu+ZtZRh（zδαpYu-) euL（du，dz）+ZtZR（zδαpYu-- h（zδαpYu-)) 对于t，uL（du，dz）∈ R+，其中h:R→ [-1，1]，h（z）：=z[-1,1]（z），z∈ R、 证明。

使用（2.1）和命题II。1.30在Jacod和Sh iryaev【18】中，我们得出Y=Y+Zt（a-bYu）du+ZtσpYudWu+δZtαpYu-dLu=Y+Zt（a-bYu）du+ZtσpYudWu+γδZtαpYu-du+δZtZRαpYu-h（z）euL（du，dz）+δZtZRαpYu-（z）- h（z））uL（du，dz）用于t∈ R+。为了证明这一说法，只需显示δZtZRαpYu即可-h（z）uL（du，dz）- du m（dz）= 我- 一、 （2.9）δZtZRαpYu-（z）- h（z））uL（du，dz）=I+I，（2.10），其中I：=ZtZRh（zδαpYu-)uL（du，dz）- du m（dz）,一： =ZtZR（h（zδαpYu-) - ΔαpYu-h（z））uL（du，dz）-du m（dz）,一： =ZtZR（zδαpYu-- h（zδαpYu-)) uL（du，dz），I：=ZtZR（h（zδαpYu-) - ΔαpYu-h（z））uL（du，dz），等式（2.11）I-I=I，I=ZtZR（h（zδαpYu）-ΔαpYuh（z））m（dz杜。对于方程（2.9）、（2.10）和（2.11），需要检查I、I和I的存在性。首先注意，对于每个∈ (0, ∞) 我们有（sz）- sh（z）=sz{1<z | 6s}如果s∈ （0，1），z∈ R、 如果s=1，z，则为0∈ R-sz{s<z | 61}如果s∈ (1, ∞), z∈ R、 （2.12）I的存在将是I=I2,1的结果- I2,2- I2,3带I2,1：=ZtZRδαpYu-z{1<| z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}uL（du，dz），I2,2：=ZtZRδαpYu-z{1<| z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}du m（dz），I2,3：=ZtZRδαpYu-z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}uL（du，dz）-du m（dz）,从片场开始{Yu-= 0}，被积函数h（zδα√于-) - δα√于-h（z）在Itakes值0中。这里有| I2,1 | 6ZtZR |ΔαpYu-z |{1<z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}uL（du，dz）6ZtZR{1<z}uL（du，dz）<∞P-几乎可以肯定，参见例如Sato[35，引理20.1]。此外，| I2,2 | 6ZtZR |ΔαpYu-z |{1<|z | 6δα√于-}{δα√于-∈（0,1）}du m（dz）ZtZR{1<z}du m（dz）=tm（{z∈ R：| z |>1}）<∞.此外，功能Ohm ×R+×R （ω，t，z）7→ h（z）属于Glo c（uL），见Jacod和Shiryaev【18，定义II.1.27，定理II.2.34】。我们有| z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}| 6 | h（z）|，因此，通过定义Glo c（uL），函数Ohm ×R+×R （ω，t，z）7→ z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}也属于Glo c（uL）。

通过Jacod和Shiryaev【18，命题II.1.30】，我们得出以下结论：Ohm ×R+×R （ω，t，z）7→ δα√于-z{Δα√于-<|z | 61}{Δα√于-∈(1,∞)}也属于Glo c（uL），因此积分I2,3存在，因此我们得到了I的存在，从而得到了I的存在。接下来观察过程ζt：=δRtα√于-dLu，t∈ R+，我们有ζt=Δα√年初至今-Lt，t∈ R+，来自（2.1）和Jacod和Shiryaev【18，定义II.1.27】。因此，I=ZtZRzδαpYu-{| zδα√于-|>1} uL（du，dz）=Xu∈[0，t]LuδαpYu-{|Luδα√于-|>1} =徐∈[0，t]ζu{|ζu |>1}是一个有限的和，因为过程（ζt）t∈[0,∞)允许c\'adl\'ag轨迹，因此u最多可以有很多点∈ [0，t]绝对值|跳跃大小的ζu |ζuexceeds 1，参见例如Billingsley【7，第122页】。因此我们得到了I的存在，也得到了I的存在。最后，我们得到了| I | 6ZtZR |ΔαpYuz |{1<| z | 6Δα√Yu}{Δα√于∈（0,1）}m（dz）du+ZtZR |ΔαpYuz |{Δα√Yu<| z | 61}{Δα√于∈(1,∞)}m（dz）杜兹特ZR{1<z}m（dz）du+ZtZR |ΔαpYuz |{| z | 61}m（dz）du=tm（{z∈ R：| z |>1}）+ZtδYαuduZ-1 | z | m（dz）<∞,sinceR公司-1 | z | m（dz）=RzCαz-1.-αdz=Cα2-α∈ R++，从而得出I的存在。接下来，我们将给出一个关于（Yt）t的初始时刻的结果∈R+。2.3提议。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞. 乙烯（Yt）=e-英国电信E（Y）-ab公司+abif b6=0，E（Y）+如果b=0，t∈ R+。（2.13）因此，如果b∈ R++，然后（2.14）极限→∞E（Yt）=ab，如果b=0，则限制→∞t型-1E（Yt）=a，如果b∈ R--, thenlimt公司→∞ebtE（Yt）=E（Y）-ab.证明。根据提案2.1，（Yt）t∈R+是CBI过程，具有（2.5）中给出的微型发生器。根据Barczy等人[5]的注释，该CBI过程具有参数（d、c、β、B、ν、u），其中d=1，c=σ，β=a，B=-b-R∞（z）- 1） +u（dz），ν=0，u=Δαm。

自E（Y）<∞ 力矩条件rr{0}| z{| z |>1}ν（dz）<∞ 我们可以应用Barczy等人[27]中的公式（3.1.11）或引理3.4和（2.14），其中eb=B+R∞（z）- 1） +u（dz）=-b和β=β+RR \\{0}zν（dz）=a产生thatE（Yt）=eteBE（Y）+ZteueBdu公司eβ。这意味着（2.13）和断言的其他部分。基于期望E（Yt）作为t的渐近行为→ ∞, 我们介绍了SDE（1.1）给出的稳定CIR模型的分类。2.4定义。让a∈ R+，b∈ R、 σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞. 我们称之为（Yt）t∈R+亚临界、临界或超临界，如果b∈ R++，b=0或b∈ R--, 恭敬地。下面的结果表明，过程（Yt）t存在唯一的平稳分布∈次临界和临界情况下的R+，次临界情况下的指数遍历性。2.5定理。让a∈ R+，b∈ R+，σ∈ R+，δ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R＋是满足P（Y）的SDE（1.1）的唯一强解∈ R+=1和E（Y）<∞.（i） 然后（Yt）t∈通过拉普拉斯变换（2.15）Z，R+在定律上收敛到其唯一的平稳分布π∞e-λyπ（dy）=exp-ZλF（x）R（x）dx= 经验值-Zλaxσx+Δαxα+bxdx对于λ∈ R+。特别是，在b=0和σ=0的情况下，π是严格的（2- α） -稳定分布，无负跳跃。此外，π的期望值是gi-venbyz∞yπ（dy）=如果a=0且b=0，则为0，ab∈ R+如果b∈ R+++∞ 如果a∈ R++和b=0。（2.16）（ii）此外，如果∈ R++和b∈ R++，然后进程（Yt）t∈R+是指数e rgodic，即存在常数C∈ R++和D∈ R++使得kpyt | Y=Y-πkTV6 C（y+1）e-Dt，t∈ R+，y∈ R+，其中kukTV表示由kukTV定义的R+上有符号度量值u的总变化范数：=supA∈B（R+）|u（A）|，PYt | Y=Y是Y相对于条件Y=Y的条件分布。

因此，对于所有Borel可测函数f:R+→ RwithR公司∞|f（y）|π（dy）<∞, 我们有（2.17）TZTf（Ys）dsa。s-→Z∞f（y）π（dy）as T→ ∞.证据yt向πas t的弱收敛性→ ∞, π是（Yt）t的平稳分布∈R+紧随Li【25，定理3.20和推论3.21后面的段落】，因为R（z）=σz+Δαzα+bz∈ R++，z∈ Li[25]中的R++，和条件（3.30）是满足的。事实上，对于所有λ∈ R++，ZλF（Z）R（Z）dz=ZλazσZ+δαZα+bzdz 6aαδαZλz1-αdz=aαλ2-αδα(2 - α)< ∞.我们注意到，在b的情况下，Li和Ma【26，命题2.2】包含上述考虑∈ R++。（i）中平稳分布的唯一性来源于Keller Ressel[23]第80页。也就是说，假设（Yt）t存在另一个平稳分布π′∈R+，并让（Y′t）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解∈ R+，b∈ R+，σ∈ R+，和δ∈ 满足L（Y′）=π′的R++，其中L（Y′）表示Y′定律。然后，根据建议2.1的第（iii）部分，对于所有λ∈ R+，极限→∞E（E-λY′t）=极限→∞E（E（E-λY′t | Y′）=极限→∞Eexp(-Y′vt（λ）+Zvt（λ）λF（z）R（z）dz）！=E经验值-ZλF（Z）R（Z）dz= 经验值-ZλF（Z）R（Z）dz,其中最后一步是支配收敛定理和极限→∞vt（λ）=0，λ∈ R+（例如，参见Li【25】中定理3.20的证明）。因为L（Y′t）=π′，t∈ R+，我们有∞e-λzπ′（dz）=exp-RλF（z）R（z）dz, λ ∈ R+，产生该R∞e-λzπ′（dz）=R∞e-λzπ（dz），λ∈ R+。通过拉普拉斯变换的唯一性，我们得到了所需的π=π′。此外，在b=0和σ=0的情况下，通过（2.15），我们有z∞e-λyπ（dy）=exp(-ZλaxΔαxαdx）=exp-aα（2- α)δαλ2-α, λ ∈ R+，所以π是严格的（2- α） -稳定分布，无负跳。最后，再乘以（2.15），Z∞yπ（dy）=limλ↓0aλσλ+Δαλα+bλ=如果a=0且b=0，则为0，ab∈ R+如果b∈ R+++∞ 如果a∈ R++和b=0。对于第（ii）部分，我们可以使用Li和Ma[26]中的定理2.5。

我们只需要检查Liand Ma[26]的条件2.1，即我们必须证明某个常数θ的存在∈ R++使R（z）∈ z>θandR时的R++∞θR（z）dz<∞. 此处R（z）∈ R++适用于所有z∈ R++（由于b∈ R++），以及，例如，θ=1，Z∞R（z）dz 6αδαz∞zαdz=α（α- 1)δα< ∞.当σ=0时，（Yt）t的指数遍历性∈R+也遵循Jin等人[21]的定理6.1。收敛（2.17）如下，例如，从Bhattacharya【8】中命题2.5之后的讨论中得出。2.6备注。在以下情况下，如果σ∈ R++，我们对YtD的收敛性给出了另一个（更详细的）证明-→ πas t→ ∞ 在定理2.5中，也给出了更多的见解。考虑P（Y=Y）=1和一些Y的情况就足够了∈ R+。使用（2.2），我们有（e-λYt）=exp- yvt（λ）- aZtvs（λ）ds对于t∈ R+和λ∈ R+，其中函数R+ λ 7→ vt（λ）∈ R+由（2.3）给出。首先，weshow that limt→∞vt（λ）=0。该证明基于以下版本的比较定理（例如，参见Filipovi\'C等人[14]中的引理C.3或Am an n[1，引理16.4]）：如果S:R+×R→ R是一个连续函数，其第二个变量是局部Lipschitz连续的，p，q:R+→ 满足p′（s）6 s（s，p（s）），s∈ R+，q′（s）=s（s，q（s）），s∈ R+，p（0）6 q（0），然后p（s）6 q（s）表示所有s∈ R+。通过选择S：R+×R→ R、 S（S，x）：=-σx，（s，x）∈ R+×R，比较定理得出0 6 vs（λ）6 f（s），s∈ R+，（2.18），其中f:R+→ R+是微分方程f′（s）=s（s，f（s））=s的唯一局部有界解-σf（s），s∈ R+，f（0）=λ。该可分离微分方程的解采用以下形式：f（s）=λ1+σλs，s∈ R+。（2.19）因此，使用σ∈ R++，我们很容易受到限制→∞f（t）=0，由（2.18）得出thatlimt→∞对于所有λ，vt（λ）=0∈ R+，根据需要。