增长最大似然估计的渐近性质

使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到c=σ2blog((-u） （）-σ4博客-u+4δ3σ(-u） +2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ,因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出结论（C.6）-σ2blog((-ψu，0（t））+σ4blog-ψu，0（t）+4δ3σ(-ψu，0（t））+2bσ+σ2blog((-u） （）-σ4博客-u+4δ3σ(-u） +2bσ+δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-ψu，0（t））+2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψu，0（t））+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ=σt。最后，如果b=0，那么通过分离变量，我们得到gu+4δ3σ古德古=-σdt，其中gu+4δ3σgu=9σ16δgu+4δ3σ-9σ16δgu+3σ4δgu，henceZgu+4δ3σgudgu=9σ16δloggu+4δ3σ-9σ16δlog（gu）-3σ4δgu+C=9σ16δlog1+4δ3σgu-3σ4δgu+C，屈服9σ16δlog1+4δ3σgu（t）-3σ4δgu（t）=-σt+C，t∈ R+，带有一些C∈ R、 使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到c=9σ16δlog1 +4δ3σ(-u）-3σ4δ(-u） 因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出9σ16δlog1 +4δ3σ(-ψu，0（t））1+4δ3σ(-u）-3σ4δ(-ψu，0（t））-(-u） ！=-σt.C.3示例。在α=的情况下，我们导出了定理7.1中给出的V的拉普拉斯变换的显式公式f。事实上，我们给出了两个详细的计算，第一个是基于ψ的表示*ugiven在定理7.1的第（iii）部分，第二个基于定理7.1的第（ii）部分。基于定理7.1第（iii）部分的计算。We have（euV）=exp（yψ*u+aZ-ψ*uσx+2δx+bdx），u∈ R-,带ψ*= 0和ψ*u=-K-1(-u） 对于u∈ R--, 其中K-1是严格递增函数K的逆函数：（0，θ）→ R++由k（λ）=λexp给出(-Zλσ+2δx-σx+2δx+bdx），λ∈ （0，θ），其中我们使用（7.2）和θ=infx个∈ R++：σx+2δx+bx∈ R+=-2δ3σ+r4δ9σ-2bσ.通过替换x=y，对于所有λ∈ （0，θ），我们有zλσ+2δx-σx+2δx+bdx=Zλσy+4δσy+2δy+bdy。首先我们考虑σ的情况∈ R++。

我们可以写出σx+4δσx+2δx+b=2x+4δ3σx+4δ3σx+2bσ+4δ3σ·x+4δ3σx+2bσ。如例C.1所示，我们有zλ2x+4δ3σx+4δ3σx+2bσdx=logσ2bλ+2δ3bλ+1andZλx+4δ3σx+2bσdx=q4δ9σ-2bσ对数λ2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσλ2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ,henceK（λ）=λσ2bλ+2δ3bλ+1λ2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσλ2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ-4δ3σr4δ9σ-2bσ=δ3b+rδ9b-σ2b+λ--1.-4δ3σr4δ9σ-2bσδ3b-rδ9b-σ2b+λ--1+4δ3σr4δ9σ-2bσ。注意，K的显式公式-1不可用。接下来我们考虑σ=0的情况。通过标记7.3，我们得到θ=9b4δ，K（λ）=2δ3b+λ--2, λ ∈0,9b4δ,因此ψ*u=-K-1(-u） =-(-u）--2δ3b-2，且henceE（euV）=exp(-y(-u）--2δ3b-2+aZ(-u）--2δ3b-22δx+bdx），u∈ R--.通过替换x=y，表示所有u∈ R--, 我们有(-u）--2δ3b-22δx+bdx=Z(-u）--2δ3b-12y2δy+bdy。如示例C.1中所示，我们可以写2y2δy+b=δ-9b2δy+3b2δ，thusZ(-u）--2δ3b-12y2δy+bdy=δ(-u）--2δ3b-1.-9b2δ日志(-u）--2δ3b-1+3b2δ- 日志3b2δ=δ(-u）--2δ3b-1+9b2δ测井1.-2δ3b(-u）,和henceE（euV）=exp-y(-u）--2δ3b-2.经验值3aδ(-u）--2δ3b-1.1.-2δ3b(-u）u为9ba2δ∈ R--.基于定理7.1第（ii）部分的计算。通过（7.1），知道ψ就足够了*对V的拉普拉斯变换有一个明确的公式。我们仅在σ的情况下进行此计算∈ R++。

根据（C.6），对于所有t∈ R+和u∈ R--当uebt6=u时，我们得到-σ2blog((-ψuebt，0（t））+σ4blog-ψuebt，0（t）+4δ3σ(-ψuebt，0（t））+2bσ+σ2blog((-uebt））-σ4博客-uebt+4δ3σ(-uebt）+2bσ+δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-ψuebt，0（t））+2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψuebt，0（t））+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数(-uebt）+2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-uebt）+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ=σt.使用σ2blog((-uebt））=σ4blog(-u） +σt，我们得出的结论是ψ*usatis方程（C.7）-σ对数(-ψ*u） +σlog-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ+σ对数(-u）-σ对数-2bσ+δq4δ9σ-2bσ日志(-ψ*u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψ*u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ- 日志q4δ9σ-2bσ-2δ3σq4δ9σ-2bσ+2δ3σ= 根据定理7.1，R(-ψ*u） <0。我们有R(-ψ*u） =σ-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ(-ψ*u） ，此处为w-ψ*u∈ （0，θ），因此-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ<0。此外-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ=(-ψ*u） +2δ3σ-r4δ9σ-2bσ(-ψ*u） +2δ3σ+r4δ9σ-2bσ,在哪里(-ψ*u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ>0，因此(-ψ*u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ<0。因此，ψ*usatis方程（C.8）-σ对数(-ψ*u） +σlogψ*u-4δ3σ(-ψ*u）-2bσ+σ对数(-u）-σ对数-2bσ+δq4δ9σ-2bσ日志q4δ9σ-2bσ- (-ψ*u）-2δ3σq4δ9σ-2bσ+(-ψ*u） +2δ3σ- 日志q4δ9σ-2bσ-2δ3σq4δ9σ-2bσ+2δ3σ= 注意，根据定理7.1，（C.8）等价于K(-ψ*u） =-u、 我们展示了推导这个方程的另一种方法。

根据定理7.1，对于所有足够小的λ∈ R++，（C.9）Z-ψ*uλσz+2δz+bzdz=Zf-uK（λ），λλR（z）dz=博客-英国（λ）=博客(-u）-blog（K（λ））=blog(-u）-博客（λ）-bZλbR（z）-zdz。通过替换z=y，并使用（C.5），z-ψ*uλσz+2δz+bzdz=z(-ψ*u）√λσy+2δy+bydy=博客（| y |）-博客y+4δ3σy+2bσ-4δ3σbq4δ9σ-2bσ对数y+2δ3σ-q4δ9σ-2bσy+2δ3σ+q4δ9σ-2bσy型=(-ψ*u） y型=√λ=博客(-ψ*u）-博客（λ）-博客-ψ*u+4δ3σ(-ψ*u） +2bσ+博客λ +4δ3σ√λ+2bσ-4δ3σbq4δ9σ-2bσ日志(-ψ*u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-ψ*u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ- 日志√λ +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ√λ+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ.此外，ZλbR（z）-zdz=Zλbσz+2δz+bz-zdz=-Zλσ+2δZ-σz+2δz+bdz。通过替换z=y，zλσ+2δz-σz+2δz+bdz=z√λσy+4δσy+2δy+bdy。我们可以写出σy+4δσy+2δy+b=σy+2δσy+2δy+b+2δσy+2δy+b，因此，通过（C.4），ZλbR（z）-zdz=-Z√λσy+4δσy+2δy+bdy=-日志σy+2δy+b+4δ3σq4δ9σ-2bσ对数y+2δ3σ-q4δ9σ-2bσy+2δ3σ+q4δ9σ-2bσy型=√λy=0=-日志σλ +2δ√λ+b+ 日志(-（b）-4δ3σq4δ9σ-2bσ日志√λ +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ√λ+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ-日志q4δ9σ-2bσ-2δ3σq4δ9σ-2bσ+2δ3σ.因此，（C.9）再次得出ψ*usatis fies方程（C.7），因此，方程（C.8）。致谢我们感谢Cl'ement Foucart为我们提供了如何推导（7.1）定理7.1中V的平面变换公式的想法。我们要感谢Hatem Zaag解释了可用于描述普通微分方程（3.1）渐近行为的几种方法。我们要感谢裁判的评论，这些评论帮助我们改进了报纸。参考文献【1】Amann，H.（1990）。普通微分方程。非线性分析导论。Walter de Gruyter，柏林，纽约。[2] Barczy，M.、Ben Alaya，M.、Keb aier，A.和Pap，G.（2019年）。

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