增长最大似然估计的渐近性质

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英文标题：
《Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth
  rate of a stable CIR process based on continuous time observations》
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作者：
Matyas Barczy, Mohamed Ben Alaya, Ahmed Kebaier, Gyula Pap
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a stable Cox--Ingersoll--Ross process driven by a standard Wiener process and a spectrally positive strictly stable L\\\'evy process, and we study asymptotic properties of the maximum likelihood estimator (MLE) for its growth rate based on continuous time observations. We distinguish three cases: subcritical, critical and supercritical. In all cases we prove strong consistency of the MLE in question, in the subcritical case asymptotic normality, and in the supercritical case asymptotic mixed normality are shown as well. In the critical case the description of the asymptotic behavior of the MLE in question remains open.
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中文摘要：
我们考虑一个由标准维纳过程和一个谱正严格稳定的Levy过程驱动的稳定Cox-Ingersoll-Ross过程，并研究了基于连续时间观测的最大似然估计（MLE）增长率的渐近性质。我们区分了三种情况：亚临界、临界和超临界。在所有情况下，我们证明了所讨论的极大似然估计的强相合性，在亚临界情况下证明了渐近正态性，在超临界情况下也证明了渐近混合正态性。在临界情况下，对所讨论的极大似然估计的渐近行为的描述仍然是开放的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Asymptotic_properties_of_maximum_likelihood_estimator_for_the_growth_rate_of_a_s.pdf (541.21 KB)

2022-6-1 16:09:28 上传

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关键词：最大似然估计 最大似然 似然估计 observations Applications

基于连续时间观测的稳定CIR过程增长率最大似然估计的渐近性质*,, 穆罕默德·本·阿拉亚**,艾哈迈德·凯拜尔***和丘疹脑回***** MTA-SZTE分析与随机研究小组，博莱研究所，塞格德大学，Aradiv'ertan'uk tere 1，H–6720 S zeged，匈牙利。**拉斐尔萨勒姆数学实验室，UMR 6085，卢昂大学，法国罗夫雷圣埃蒂安76801，马德里尔技术大学大道。***巴黎大学13号，巴黎索邦工业大学，拉加，法国北爱尔兰共和国（UMR 7539），法国维勒塔纽斯。***匈牙利塞格德H–6720 Szeged Aradi v'ertan'uk tere 1，塞格德大学Bolyai研究所。电子邮件：barczy@math.u-塞格德。胡（M.Barczy），穆罕默德。本-alaya@univ-鲁昂。fr（M.Ben Alaya），kebaier@math.univ-paris13.fr（A.Kebaier），papgy@math.u-塞格德。胡（G.Pap）。 通讯作者。摘要我们考虑了一个由标准维纳过程驱动的稳定Cox-Ingersoll-Ross过程和一个严格正稳定的L'evy过程，并研究了基于连续时间观测的最大似然估计（MLE）增长率的渐近性质。我们区分这些案例：次临界、临界和超临界。在所有情况下，我们证明了所讨论的极大似然估计的强相合性，在亚临界情况下渐近正态性，以及在超临界情况下渐近混合正态性。

在临界情况下，有关MLE的交感行为的描述仍然悬而未决。1引言我们考虑了由标准维纳过程驱动的跳跃型Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程和由SDEdYt=（a- bYt）dt+σpYtdWt+ΔαpYt-dLt，t∈ [0, ∞),（1.1）2010年数学学科分类：60H10、91G70、60F05、62F12。关键词和短语：稳定的Cox-Ingersoll-Ross过程，极大似然估计。本研究由卓越实验室MME-DII支持，批准号ANR11-LBX-0023-01(http://labex-mme-dii.u-cergy.fr/). 2016年9月至2017年1月，M'aty'as Barczy获得了Tempus公共基金会资助的“Magyar'Allami E'otv'os'Oszt'ond'j 2016”第75141号赠款的支持，并于2017年9月获得了匈牙利科学院j'anos Bolyai研究奖学金的支持。Ahmed Kebaierbene得到了Risqu es金融家基金会主席的支持。几乎肯定是非负初值Y，其中a∈ [0, ∞), b∈ R、 σ∈ [0, ∞), δ ∈ (0, ∞),α ∈ （1，2），（重量）t∈[0,∞)是一维标准维纳过程，和（Lt）t∈[0,∞)是一个谱正α稳定的L'evy过程，使得L的特征函数的形式为（eiθL）=expZ∞（eiθz- 1.-iθz）Cαz-1.-αdz, θ ∈ R、 （1.2）式中Cα：=（αΓ）(-α))-1和Γ表示伽马函数。事实上，（Lt）t∈[0,∞)是一个严格α稳定的L'evy过程，参见，例如，Sato【35，定理14.7第（vi）部分】。我们假设Y，（Wt）t∈[0,∞)和（Lt）t∈[0,∞)都是独立的。在给定条件下，与E（Y）<∞, SDE（1.1）和P（Yt）有一个（路径）独特的强大解决方案∈ [0, ∞) 对于所有t∈ [0, ∞)) = 1.

作为f法案的一部分，SDE（1.1）是福和李[15]中SDE（1.8）的特例（带有特殊选择z≡ 0），证明了路径唯一非负强解的存在性（见Fu和Li[15，推论6.3]）。最终，过程（Yt）t∈[0,∞)SDE（1.1）给出的是一个连续状态和连续时间的移民过程（CBI过程），见提案2.1（ii）。我们将Y称为α稳定的CIR过程（或αCIR过程），它是通常CIR过程（由SDE（1.1）给出，δ=0）的一般化。稳定CIR过程在随机建模中越来越流行，它本身也是一类有趣的CBI过程。Carr和Wu【9，方程式（31）】考虑了一个不连续过程，该过程允许一个与σ=0的α-稳定CIR过程的相应发生器重合的微型发生器，见命题2.1的（iv）。Li和Ma[26]证明了过程（Yt）t的指数遍历性∈[0,∞)前提是∈ (0, ∞)和b∈ (0, ∞), 有关更多详细信息，请参见定理2.5的（ii）。Li和Ma[26]还描述了由SDE（1.1）给出的σ=0的α稳定CIR过程的漂移参数（a，b）的条件最小二乘估计量（LSE）和加权条件LSE的渐近行为，基于亚临界情况下（即，当b∈ (0, ∞)). 在区域α中∈ (1,1+√), Li和Ma【26】表明，（a，b）的LSE的归一化因子为n（α-1） /α，这与√n-归一化对于亚临界模型非常常见。最重要的是，Li和Ma[26]还证明了（a，b）的加权LSE对应的归一化f因子是n（α-1） /整个区域α中的α（不同于（通常）L SE的α）∈ (1, 2).Jiao等人。

[19] 研究了α稳定CIR过程的若干性质，如积分表示、路径意义上的分支性质、严格正性的必要条件和充分条件，并对过程的跳跃进行了分析。此外，他们使用α-稳定循环过程进行利率建模和定价，指出这些过程可以描述主权债券市场上的一些近期现象，例如局部范围内的大波动以及通常的sm-all振荡，有关更多详细信息，请参阅Jiao et al.（19）的介绍。最近，Jiao等人【20】提出了具体的应用实例，并研究了电价的因子模型，其中α稳定的CIR过程可能会作为所讨论模型的因子出现。Peng【33】介绍并研究了一个所谓的具有重启的α-稳定CIR过程，即所讨论的过程表现为σ=0的SDE（1.1）给出的α-稳定CI R过程，它在[0]的边界0处终止，∞), 根据指数时钟，它跳到一个新的点[0，∞) 根据[0]上给定的概率分布，∞). 正如彭[33]所指出的那样，互联网拥塞中也会出现重启现象：每当一个网页需要花费太多时间才能出现时，按下重新加载按钮是很有用的，然后通常会立即出现网页。Yang[38]研究了具有小α稳定噪声的α稳定CIR过程，由SDEdYεt=（a- bYεt）dt+Δεqyεt-dLt，t∈ [0, ∞),（1.3）具有非负确定性初始值Yε=Y∈ [0, ∞), 其中q∈0,1-1/α和ε∈ (0, ∞). 基于n个规则间隔时间点skn，k的离散时间观测，描述了（a，b，δ）的近似极大似然估计（MLE）的渐近行为∈ {1，…，n}，在固定的时间间隔[0，1]。

ε趋于0和n→ ∞ 在给定的速度下，对于某些受限参数集，Yang[38，Th eorem 2.4]证明了所讨论的近似极大似然估计的渐近正态性。在某些传感器中，它是超临界的，因为此受限参数集包含属于临界（b=0）和超临界（b）的参数∈ (-∞, 0）模型具有范数极限分布，对于临界模型，极限分布一般不为混合正态分布。Ma和Yang【31】研究了基于上述Yang【38】中所述离散时间观测的模型（1.3）（所有其他参数均应为已知n）a的LSE的渐近行为。他们描述了所讨论的LSE的渐近行为，并导出了它的大偏差和模偏差不等式，参见Ma和Yang【31，定理2.1，2.3–2.5】。在本文中，假设∈ [0, ∞), σ, δ ∈ (0, ∞) an dα∈ （1，2）是已知的n，我们研究了b的极大似然估计的渐近性质∈ R基于连续时间观测（Yt）t∈[0，T]带T∈ (0, ∞), 从某个已知的非随机初始值Y开始进程Y∈ [0, ∞).本文的组织结构如下。第2节专门讨论一些预备工作。首先，我们重新定义了稳定循环过程（Yt）t的一些有用性质∈[0,∞)由SDE（1.1）给出，如非负路径唯一强解的存在性、拉普拉斯变换的形式、微元生成器或过程或积分过程的三次正性条件，见命题2.1。我们推导了s-emimartin-gale（Yt）t的一个所谓的Grigelionis形式∈[0,∞),见提案2.2。基于Ytas t期望的渐近行为→ ∞, 我们根据b区分亚临界、临界或超临界情况∈ (0, ∞), b=0或b∈ (-∞, 0），见提案2.3和定义2.4。

在命题2.3中，也可以将参数Bc解释为模型的增长率。我们回顾了一个关于过程（Yt）t存在唯一平稳d分布的结果∈[0,∞)在次临界和临界情况下，以及在次临界情况下的指数遍历性，由于Li【25】，Li和Ma【26】以及Jin等人【21】，参见定理2.5。我们提请注意，（Yt）t存在唯一的平稳分布∈[0,∞)在关键情况下也是如此。R emark 2.6致力于为Ytas t的弱收敛性提供另一种证明→ ∞ 在定理2.5中，对于σ∈ (0, ∞), 提供更多的洞察力。在备注2.7中，我们使用连续时间观测（Yt）t给出σ的统计∈[0，T]具有任意T∈ (0, ∞),由于这个结果，我们没有考虑参数σ的估计，它应该是已知的。在第3节中，我们给出了YtandRtYsds的联合拉普拉斯变换公式，其中∈ [0, ∞), 使用Keller-Ressel【22】中的定理4.10，参见定理3.1。我们注意到，这种形式的联合拉普拉斯变换是Filipov i'c【13】中定理5.3的结果，也是Jiao等人【19】中命题3.3的特例，它用于描述所讨论的b在临界和超临界情况下的不对称行为。第4节致力于证明b的极大似然估计的存在性和唯一性（前提是σ∈ (0, ∞)) 推导其显式公式，参见命题4.2。在备注4.3中，以及附加假设a∈σ, ∞, 我们证明了lti是（Yu）u的可测函数∈[0，T]对于所有T∈ [0，T]与任何T∈ (0, ∞). 在第5节中，前提是∈ (0, ∞), 我们证明了在亚临界情况下，极大似然估计的强相合性和渐近正态性，见定理5.1。

所讨论的渐近正态性适用于通常的平方根正规化(√T），但通常，渐近方差也取决于未知参数b。为了解决这个问题，我们还替换了规范化√T由arandom一σRtYsds1/2（仅取决于观测值，而不取决于参数b），其优点是，具有这种随机标度的b的MLE是渐近标准正态的，因此可以给出未知参数b的渐近置信区间，这对于实际目的是可取的。第6节致力于证明临界情况下b的极大似然估计的强相合性，前提是a∈ (0, ∞), （见定理6.2）使用命题6.1中描述的微分方程（3.1）的唯一局部有界Ed解的极限Behavior。我们把注意力放在α稳定的CIR过程（Yt）上∈[0,∞), 临界情况（b=0）有些特殊（与b=0的原始CIR过程相比），因为（Yt）t仍然存在唯一的平稳分布∈[0,∞), 然而，除非a=0，否则其期望值是有限的（见定理2.5），令人惊讶的是，我们可以证明问题中的极大似然估计的强相合性，而不仅仅是临界模型通常证明的弱相合性。在临界情况下，极大似然估计的渐近行为的描述仍然是开放的。在第7节f中，对于超临界情况，前提是∈ (0, ∞), 证明了b的极大似然估计与确定性标度e的d渐近混合正态是强相合的-bT/2，它是具有随机标度σ的渐近标准正态分布RtYsds1/2，见定理7.4。

我们指出，所讨论的极限混合正态律具有某种复杂的特征，即在其描述中，正随机变量V起作用，其中拉普拉斯变换包含一个与CBI过程（Yt）t的分支机制有关的函数∈[0,∞), 见定理7.1。我们对V的拉普拉斯变换的推导给出了两个证明，第二个证明主要基于CBI过程的一般理论，对此我们将参考文献[25]。我们用三个悬而未决的问题来结束本文，其中我们回顾了半鞅诱导的概率测度绝对连续性的某些有效条件，以及Radon–Nikodym d e ivative的表示（附录a），连续局部鞅的一些极限定理（附录ix B）和在a-稳定CIR过程的情况下，我们给出了在次临界和临界情况下唯一平稳分布的Laplacetransform的一些显式公式∈ [0, ∞),在b的所有情况下∈ R、 在超临界情况下，分别为V（附录C）。最后，总结了本文的创新之处。据我们所知，对于α-稳定循环过程（Yt）t，基于连续时间观测的m最大似然估计从未被研究过∈[0,∞), 由于这些过程在电价的金融数学和市场模型中越来越流行，估计其参数的问题也是一个重要的问题。

此外，在临界情况下，有些令人惊讶的是，我们可以证明b的MLE的强一致性，这可以被视为一种新现象，因为对于其他临界金融模型，如通常的CIR过程或Heston过程，在临界情况下只证明了弱一致性，参见Overbeck【32，定理2，第（iii）和（iv）部分】以及Barczy和Pap【6，Remark4.4】，分别地2个预备步骤let N，Z+，R，R+，R++，R-, R--和C分别表示正整数、非负整数、实数、非负实数、正实数、非正实数、负实数和复数的集合。对于x，y∈ R、 我们将使用符号X∧y：=最小值（x，y）和x∨ y：=最大值（x，y）。实数x的整数p部分∈ R表示为x个. 通过kxk和kAk，我们表示向量x的欧氏范数∈ Rd与矩阵a的诱导m矩阵范数∈ 分别为Rd×d。用B（R+）表示R+上的Borelσ-代数。我们将表示概率收敛、分布收敛、几乎肯定收敛和几乎肯定相等-→,D-→,a、 s。-→ 安达。s、 =，分别。通过Cc（R+，R）和C∞c（R+，R），我们分别表示具有紧支撑的R+上的连续可微实值函数集和具有紧支撑的R+上的不可微实值函数集。允许Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间，即：(Ohm, F、 P）完成后，过滤（Ft）t∈R+是右连续体，F包含F中的所有P-null集，F=σSt公司∈R+英尺. Let（Wt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的标准维纳过程∈R+，和（Lt）t∈对于过滤（Ft）t，R+是一个光谱正的严格α稳定L'evy过程∈R+，使得Lis的特征函数由（1.2）给出。我们假设W和L是独立的。