增长最大似然估计的渐近性质

回想一下，根据Li【25】中的公式（3.23），如果ηt（λ）和-uηt（λ）属于（0，θ）=（0，v），其中λ∈ （0，v），然后ZVT(-uηt（λ））λR（z）dz=z-uηt（λ）ηt（λ）R（z）dz。自ηt（λ）↓ 0作为t→ ∞, 适用于所有u∈ R--, 我们有ηt（λ），- uηt（λ）∈ （0，v）表示足够大，表示所有u∈ R--,限制→∞零电压互感器(-uηt（λ））λR（z）dz=limt→∞Z-uηt（λ）ηt（λ）R（z）dz=limt→∞Z-uηt（λ）ηt（λ）bzdz=limt→∞日志(-u） b=对数(-u） b，我们用limz的地方↓0R（z）bz=1。函数（0，v） x 7→RxλR（z）dz=：G（x）是连续且严格递减的，而其逆也是连续且急剧递减的，这意味着对于所有∈ R--和λ∈ （0，v），极限F(-u、 λ）=极限→∞vt公司(-uηt（λ））=极限→∞G-1（G）（vt(-uηt（λ））=G-1.日志(-u） b类存在并满足（7.12），其中G-1取G的倒数，因为（7.13）是Gis R的范围。因此，利用积分上限函数的连续性，ηt（λ）↓ 0as t→ ∞, 和（7.14），我们有（7.11），根据需要。使用该K（λ）∈ R++和V=Uλ/K（λ），我们有E（euV）=E（euUλ/K（λ）），U∈ R-, 然后是（7.11）收益率（7.1）。我们指出，在（7.1）的第二个证明中，我们无法直接使用（7.4），这就是为什么在上述论证中使用ηt（λ）对我们来说是真正必要的。接下来，我们检查∈ R++，然后是P（V∈ R++）=1。根据总概率定律，E（euUλ）=1·P（E-Uλ=1）+E（euUλ| E-Uλ6=1）P（e-Uλ6=1），U∈ R-, 因此，根据支配收敛定理和（7.11），P（e-Uλ=1）=limu→-∞E（euUλ）=limu→-∞经验值- yf公司(-u、 λ）+Zf(-u、 λ）F（z）R（z）dz= 经验值- yθ+ZθF（Z）R（Z）dz,我们使用的是（7.13），limu→-∞f级(-u、 λ）=limu→-∞G-1.日志(-u） b类= 石灰→-∞G-1（y）=θ=v（另见Li[25，定理3.15的证明]）。如果是∈ R++，我们有RθF（z）R（z）dz=-∞（见（iv）第一个证明的末尾），因此P（e-Uλ=1）=0。

这就产生了，在∈ R++，P（Uλ=0）=0，且自K（λ）∈ R++，我们有P（V=0）=0，即P（V∈ R++）=1。在下一条备注中，我们将定理7.1专门化为σ=0.7.3备注的情况。在定理7.1的条件下，在σ=0的情况下，利用定理7.1的第（ii）部分，我们推导了V的拉普拉斯变换，得到了一个显式表达式。调用函数ψuebt处的th，0:R+→ R-是微分方程ψ′uebt的唯一局部有界解，0（s）=Δαα(-ψuebt，0（s））α- bψuebt，0（s），s∈ R+，ψuebt，0（0）=uebt。（7.15）我们必须确定极限→∞ψuebt，0（t）。如果u=0，则微分方程（7.15）的唯一局部有界解为ψuebt，0（s）=0，s∈ R+，因此在这种情况下→∞ψuebt，0（t）=0。下面，让我们假设∈ R--. 微分方程（7.15）（可转化为伯努利微分方程）的唯一解为ψuebt，0（s）=-(-uebt）1-α+Δαbαeb（α-1） s-Δαbα1.-α、 s∈ R+，因此，根据定理7.1第（ii）部分，ψ*u=极限→∞ψuebt，0（t）=-(-u） 1个-α-Δαbα1.-α、 u型∈ R--,和henceE（euV）=exp-y(-u） 1个-α-Δαbα1.-α+aZ(-u） 1个-α-Δαbα1.-αδαzα-1+bdz, u∈ R--.我们可以导出ψ的上述公式*u、 u型∈ R--, 同样使用定理7.1的第（iii）部分。我们有θ=-bαδαα-1和，乘以（7.2），ZλbR（z）-zdz=-ZλΔαZα-2Δααzα-1+bdz=-α - 1.日志δααλα-1+b- 日志（b）= 日志δααλα-1+bb-α-1.对于所有λ∈ (0, θ). 因此，K（λ）=λΔαbαλα-1+ 1-α-1=Δαbα+λ1-α1.-α, λ ∈ （0，θ），因此ψ*u=-K-1(-u） =-(-u） 1个-α-Δαbα1.-α、 u型∈ R--.7.4定理。让a∈ R++，b∈ R--, σ, δ ∈ R++，和α∈ (1, 2). Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且有一些Y∈ R+。

然后，B的极大似然估计是强相合和渐近混合正态的，即bbTa。s-→ b作为T→ ∞, 安第斯山脉-英国电信/2（bbT- b） D-→ σZ-Vb-1/2为T→ ∞,其中，V是具有（7.1）中给出的拉普拉斯变换的正随机变量，Z是标准正态分布随机变量，与V无关。通过随机缩放，我们得到σZTYsds公司1/2（bbT- b） D-→ N（0，1）为T→ ∞.证据根据命题4.2，对于所有T存在唯一的MLEbbTof b∈ 采用（4.3）中给出的形式的R++。根据定理7.1，ebtRtYsdsa。s-→ -Vbas t→ ∞, 其中P（V∈ R++）=1，Henceztysds=e-btebtZtYsdsa。s-→ ∞ ·-Vb= ∞ 作为t→ ∞.自平方可积鞅的q值变分过程Rt公司√YsdWs公司t型∈R+采用以下形式RtYsdst型∈R+，使用（5.1）和T heorem B.1，我们得到了BBTA。s-→ b作为T→ ∞. 此外，根据（5.1），e-英国电信/2（bbT- b） =-σebT/2RT√YsdWsebTRTYsds，T∈ R++。同样，根据定理7.1，ebTRTYsdsa。s-→ -Vbas T→ ∞, 使用定理B.2和η：=-Vb1/2和v=-Vbwe有ebT/2ZTpYsdWs，-VbD-→-Vb1/2Z，-Vb！作为T→ ∞.（7.16）因此，根据连续映射定理，e-英国电信/2（bbT- b） D-→ -σZ-Vb-1/2为T→ ∞,产生第一个断言。再次应用（7.16）和连续映射定理，我们得到σZTYsds公司1/2（bbT-b） =-ebTZTYsds公司-1/2ebT/2ZTpYsdWsD-→ --Vb-1/2-Vb1/2Z=-ZD=N（0，1）作为T→ ∞,根据需要。7.5备注。在定理7.1的条件下∈ R++，-日志年初至今+年初至今, t型∈ R++，和-YtRtYsds，t∈ R++，也是b的强相合估计量。

实际上，根据定理7.1，使用P（V∈ R++）=1和P（RtYsds∈ R++）=1，t∈ R++（见命题2.1（v）），若为∈ R++，-日志年初至今+年初至今= -loge公司-beb（t+1）Yt+1ebtYt！a、 s。-→ -日志e-bVV公司= b作为t→ ∞,和-YtRtYsds=-ebtYtebtRtYsdsa。s-→ -五、-Vb=b作为t→ ∞.附录a似然比过程基于Jacod和Shiryaev【18】，参见Jacod和M’emin【16】、Sorensen【36】和Luschgy【30】，我们回顾了由半鞅诱导的概率测度绝对连续性的某些有效条件，以及相应的Radon–Nikodym导数的表示（似然比过程）。设D（R+，Rd）表示定义在R+上的Rd值c\'adl\'ag函数的空间。Let（ηt）t∈R+表示正则过程ηt（ω）：=ω（t），ω∈ D（R+，Rd），t∈ R+。放置Fηt：=σ（ηs，s∈ [0，t]），t∈ R+，和dt（R+，Rd）：=\\ε∈R++Fηt+ε，t∈ R+，D（R+，Rd）：=σ[t∈R+Fηt！。Letψ Rk是任意非空集，设Pψ，ψ∈ ψ是规范空间上的概率测度（D（R+，Rd），D（R+，Rd））。假设对于每个ψ∈ ψ，在Pψ下，正则过程（ηt）t∈R+是一个半鞅，其半鞅特征（B（ψ），C，ν（ψ））与固定的Borel可测截断函数h:Rd相关联→ Rd、s ee Jacod和Shiryaev【18，定义I.2.6和备注II.2.8】。

即Ct：=h（ηcont）（ψ）it，t∈ R+，其中（h（ηcont）（ψ）it）t∈R+表示η在Pψ下的连续鞅部分（ηcont）（ψ）的（可预测的）二次变化过程（Rd×d），ν（ψ）是整值随机测度μηonR+×Rd的补偿器，与μη（ω，dt，dx）给出的η在Pψ下的跳跃相关：=Xs∈R+{ηs（ω）6=0}ε（s，ηs（ω））（dt，dx），ω∈ D（R+，Rd），其中ε（t，x）表示点（t，x）处的狄拉克测度∈ R+×Rd，和ηt：=ηt-ηt-, t型∈ R++，η： =0，B（ψ）是可预测的过程（其值在每个有限区间内具有有限的变化[0，t]，t∈ R+）出现在正则分解ηt=η+M（ψ）t+B（ψ）t，t∈ 特殊半鞅（eηt）t的R+∈在Pψ下的R+由ηt给出：=ηt-Xs型∈[0，t]（ηs- h类(ηs）），t∈ R+，其中（M（ψ）t）t∈R+是M（ψ）=0的局部鞅。我们提请注意，通过假设，过程C=h（ηcont）（ψ）i并不依赖于ψ，尽管（ηcont）（ψ）可能依赖于ψ。此外，对于每个ψ，假设Pψ（ν（ψ）（{t}×Rd）=0）=1∈ ψ，t∈ R+，和pψ（η=x）=1，带s ome x∈ Rdfor everyψ∈ Ψ. 注意，我们有半鞅表示ηt=x+B（ψ）t+（ηcont）（ψ）t+ZtZRdh（x）（uη- ν（ψ））（ds，dx）+ZtZRd（x-h（x））uη（ds，dx），t∈ R+，η在Pψ下，见Jacod和Shiryaev【18，定理II.2.34】。此外，对于每个ψ∈ ψ，让我们选择一个非减量、连续、自适应的过程（F（ψ）t）t∈R+，F（ψ）=0，可预测过程（c（ψ）t）t∈所有对称正半定d×d矩阵集合中的值为R＋，对于每t∈ R+。由于假设Pψ（ν（ψ）（{t}×Rd）=0）=1∈ ψ，t∈ R+，这样的选择（F（ψ）t）t∈R+和（c（ψ）t）t∈R+是可能的，见Jacod和Shiryaev[18，命题II.2.9和推论II.1.19]。设P表示可预测的σ-代数onD（R+，Rd）×R+。

还假设对于每个ψ，eψ∈ ψ，存在一个PB（Rd）-可测函数v（eψ，ψ）：D（R+，Rd）×R+×Rd→ R++和满足ν（ψ）（dt，dx）=V（eψ，ψ）（t，x）ν（eψ）（dt，dx），（a.1）ZtZRd的可预测Rd值过程β（eψ，ψ）qV（eψ，ψ）（s，x）- 1.ν（eψ）（ds，dx）<∞,（A.2）B（ψ）t=B（eψ）t+Ztc（ψ）sβ（eψ，ψ）sdF（ψ）s+ZtZRd（V（eψ，ψ）（s，x）- 1） h（x）ν（eψ）（ds，dx），（A.3）Zt（β（eψ，ψ）s）c（ψ）sβ（eψ，ψ）sdF（ψ）s<∞,（A.4）Pψ——几乎可以肯定每t∈ R+。此外，假设对于每个ψ∈ ψ，局部唯一性适用于正则空间上的鞅问题，该空间对应于三元组（B（ψ），C，ν（ψ）），初始值为给定的x，Pψ为其唯一解。然后对于每个T∈ R+，Pψ，对于Peψ，T是绝对连续的，其中Pψ，T：=Pψ| DT（R+，Rd）表示PψtoDT（R+，Rd）的限制（类似于f或Peψ，T），在Peψ，T下，相应的似然比过程采用形式d Pψ，Td Pe）=ψ，T（η）ZT（β（eψ，ψ）s）d（ηcont）（eψ）s-ZT（β（eψ，ψ）s）c（ψ）sβ（eψ，ψ）sdF（ψ）s+ZTZRd（V（eψ，ψ）（s，x）- 1) (uη- ν（eψ））（ds，dx）+ZTZRd（log（V（eψ，ψ）（s，x））- V（eψ，ψ）（s，x）+1）uη（ds，dx）（A.5），对于所有T∈ R++，见Jacod和Shiryaev【18，定理III.5.34】。使用Jaco d和Shiryaev[18]对（A.5）进行的详细证明可在Barczy等人[2，附录A]中找到。B连续局部鞅的极限定理下面我们回顾一些连续局部鞅的极限定理。我们使用这些极限定理来研究b的极大似然估计的渐近性质。首先，我们回顾了连续局部鞅的一个强大的largenumbers定律。B、 1定理。（Liptser和Shiryaev【28，引理17.4】）让Ohm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。Let（Mt）t∈R+be a squ是关于过滤（Ft）t的可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。

Let（ξt）t∈R+是一个可测量的过程，这样PZtξudhMiu<∞= 1，t∈ R+，和ZTξudhMiua。s-→ ∞ 作为t→ ∞,（B.1）其中（hMit）t∈R+表示M.thenntξudMuRtξudhMiua的二次变化过程。s-→ 0作为t→ ∞.（B.2）如果（Mt）t∈R+是一个标准的维纳过程，（ξt）t的渐进可测性∈R+可以被重新定义为可测量性和对过滤（Ft）t的适应性∈R+。下一个定理是关于连续多元局部鞅的渐近行为，参见van Zanten【37，定理4.1】。B、 2定理。（van Zanten【37，定理4.1】）Le tOhm, F、 （Ft）t∈R+，P是一个满足通常条件的过滤概率空间。Let（Mt）t∈R+是关于过滤（Ft）t的d维平方可积连续局部鞅∈R+使得P（M=0）=1。假设存在一个函数Q:[t，∞) → Rd×D，带一些t∈ 使得Q（t）是所有t的可逆（非随机）矩阵∈ [t，∞), 限制→∞kQ（t）k=0和q（t）hM itQ（t）P-→ ηη作为t→ ∞,其中η是d×d随机矩阵。然后，对于定义的每个Rk值随机向量v(Ohm, F、 P），我们有（Q（t）Mt，v）D-→ （ηZ，v）为t→ ∞,其中Z是与（η，v）无关的d维标准正态分布随机向量。C在α=的情况下的一些显式公式首先，在α=的特殊情况下，我们通过计算其表达式中的积分，在定理2.5中给出的亚临界和临界情况下显式表示平稳分布的拉普拉斯变换。C.1示例。在α=的情况下，我们计算了orem 2.5中给出的唯一平稳分布π的拉普拉斯变换。让u∈ R--. 根据定理2.5，Z∞euyπ（dy）=exp-亚利桑那州-uσx+2δx+bdx.通过替换x=y，Z-uσx+2δx+bdx=Z(-u） 2yσy+2δy+bdy。首先我们考虑b的情况∈ R++和σ∈ R++。

我们可以写2yσy+2δy+b=σ·2y+4δ3σy+4δ3σy+2bσ-8δ3σ·y+4δ3σy+2bσ。我们有(-u） 2y+4δ3σy+4δ3σy+2bσdy=“对数y+4δ3σy+2bσ#y型=(-u） y=0=对数σ2b(-u） +2δ3b(-u） +1个.此外，使用y+4δ3σy+2bσ=y+2δ3σ+2bσ-4δ9σ，我们得到zy+4δ3σy+2bσdy=q2bσ-4δ9σ弧长+2δ3σq2bσ-4δ9σ!+ C如果b∈2δ9σ, ∞,-y+2δ3σ+C，如果b=2δ9σ，q4δ9σ-2bσ对数y+2δ3σ-q4δ9σ-2bσy+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ!+ C如果b∈0,2δ9σ,其中C∈ R、 如果b∈2δ9σ, ∞和σ∈ R++然后，应用公式arctan（u）- arctan（v）=arctanu-v1+uv, u、 五∈ R+，我们得到(-u） y+4δ3σy+2bσdy=q2bσ-4δ9σ阿尔茨坦(-u） +2δ3σq2bσ-4δ9σ!- arctan2δ3σq2bσ-4δ9σ!=q2bσ-4δ9σarctanq2bσ-4δ9σ2bσ(-u）-+2δ3σ,和henceZ∞euyπ（dy）=σ2b(-u） +2δ3b(-u） +1个-2aσexp8aδ3σq2bσ-4δ9σarctanq2bσ-4δ9σ2bσ(-u）-+2δ3σ.如果b=2δ9σ和σ∈ R++，然后是Z(-u） y+4δ3σy+2bσdy=-(-u） +2δ3σ+2δ3σ=(-u）(-u） +2δ3σ=1+2δ3σ(-u）-,和henceZ∞euyπ（dy）=9σ4δ(-u） +3σδ(-u） +1个-2aσexp（8aδ3σ1+2δ3σ(-u）-).如果b∈0,2δ9σ和σ∈ R++，然后是Z(-u） y+4δ3σy+2bσdy=q4δ9σ-2bσ日志(-u） +2δ3σ-q4δ9σ-2bσ(-u） +2δ3σ+q4δ9σ-2bσ- 日志2δ3σ-q4δ9σ-2bσ2δ3σ+q4δ9σ-2bσ=q4δ9σ-2bσ对数(-u）2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσ(-u）2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ,和henceZ∞euyπ（dy）=σ2b(-u） +2δ3b(-u） +1个-2aσ(-u）2δ3σ+q4δ9σ-2bσ+2bσ(-u）2δ3σ-q4δ9σ-2bσ+2bσ8aδ3σr4δ9σ-2bσ。接下来我们考虑b的情况∈ R++和σ=0。然后我们可以写2y2δy+b=δ-9b2δy+3b2δ，thusZ(-u） 2y2δy+bdy=δ(-u）-9b2δ日志(-u） +3b2δ- 日志3b2δ=δ(-u）-9b2δ测井2δ3b(-u） +1个,和henceZ∞euyπ（dy）=exp-3aδ(-u）1+2δ3b(-u）9ba2δ。接下来我们考虑b=0和σ的情况∈ R++。让u∈ R-. 根据定理2.5，Z∞euyπ（dy）=exp-亚利桑那州-uσx+2δxdx.通过替换x=y，Z-uσx+2δxdx=Z(-u） 2yσy+2δydy=Z(-u） σy+2δdy。因此，Z(-u） σy+2δdy=“σlogy+4δ3σ#y型=(-u） y=0=σlog(-u） +4δ3σ-σ对数4δ3σ=σ对数3σ4δ(-u） +1个,亨塞兹∞euyπ（dy）=3σ4δ(-u） +1个-4aσ。最后，通过定理2.5的证明，如果b=0，σ=0，α=，则r∞euyπ（dy）=exp{-3aδ3/2(-u） 1/2}，u∈ R-.

C、 2示例。现在我们给出了定理3.1的一个特例，给出了α=。Let（Yt）t∈R+是SDE（1.1）的唯一强解，满足P（Y=Y）=1且s ome Y∈ R+，带∈ R+，b∈ R、 σ∈ R++，δ∈ R++和α=。然后，根据定理3.1，对于所有u∈ R-,E（euYt）=经验值ψu，0（t）y+aZtψu，0（s）ds, t型∈ R+，（C.1），其中函数ψu，0:R+→ R-是微分方程ψ′u，0（t）=σψu，0（t）+2δ的唯一局部有界解(-ψu，0（t））- bψu，0（t），t∈ R+，ψu，0（0）=u.（C.2）当u=0时，（C.2）的唯一局部有界解为ψ0,0（t）=0，t∈ R+。让我们考虑函数gu（t）：=(-ψu，0（t））∈ R++，t∈ R+。那么我们有ψu，0（t）=-gu（t），ψu，0（t）=gu（t）(-ψu，0（t））=gu（t）和ψ′u，0（t）=-所有t的2gu（t）g′u（t）∈ R+和u∈ R--,因此（C.2）yieldsg′u（t）=-σgu（t）-δgu（t）-bgu（t），t∈ R+，gu（0）=(-u） 。（C.3）如果是b∈ R+，（C.3）有一个常数解当且仅当u=0，然后g（t）=ψ0,0（t）=0，对于所有t∈ R+。如果是b∈ R--, （C.3）有一个常数解，当且仅当u=0或u=u：=--2δ3σ+r4δ9σ-2bσ,然后g（t）=ψ0，0（t）=0，对于所有t∈ R+或gu（t）=(-u） ，因此ψu，0（t）=所有t的uf∈ R+。在续集中，我们假设∈ R--, 如果是b∈ R--, 此外，我们假设u 6=u。Th en，通过分离变量，我们得到gu+4δ3σgu+2bσ古德古=-σdt。如果b 6=0，则gu+4δ3σgu+2bσgu=σ2bgu-σ2bgu+2δ3bgu+4δ3σgu+2bσ=σ2bgu-σ2bgu+δ3bgu+4δ3σgu+2bσ-δ3bgu+4δ3σgu+2bσ，我们有zσ2bgu-σ2bgu+δ3bgu+4δ3σgu+2bσdgu=σ2blog（| gu |）-σ4博客gu+4δ3σgu+2bσ+ C=-σ4博客1+4δ3σgu+2bσgu+ C、 其中C∈ R

此外，u singgu+4δ3σgu+2bσ=gu+2δ3σ+2bσ-4δ9σ，我们得到zδ3bgu+4δ3σgu+2bσdgu=δ3bq2bσ-4δ9σarctangu+2δ3σq2bσ-4δ9σ!+ C如果b>2δ9σ，-如果b=2δ9σ，δ3bgu+2δ3σ+C，δ3bq4δ9σ-2bσ对数gu+2δ3σ-q4δ9σ-2bσgu+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ!+ C如果b<2δ9σ。（C.4）因此，如果b>2δ9σ，则-σ4博客1+4δ3σgu（t）+2bσgu（t）-δ3bq2bσ-4δ9σarctangu（t）+2δ3σq2bσ-4δ9σ= -σt+C，t∈ R+，带有一些C∈ R+。使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到C=-σ4博客1 +4δ3σ(-u）-2bσu-δ3bq2bσ-4δ9σarctan(-u） +2δ3σq2bσ-4δ9σ,因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出σ4blog1 +4δ3σ(-ψu，0（t））-2bσψu，0（t）1+4δ3σ(-u）-2bσu+δ3bq2bσ-4δ9σ阿尔茨坦(-ψu，0（t））+2δ3σq2bσ-4δ9σ- 阿尔茨坦(-u） +2δ3σq2bσ-4δ9σ=σt。类似地，如果b=2δ9σ，则-σ4博客1+4δ3σgu（t）+2bσgu（t）+δ3bgu（t）+2δ3σ=-σt+C，t∈ R+，带有一些C∈ R+。使用初始值gu（0）=(-u） ，我们得到C=-σ4博客1 +4δ3σ(-u）-2bσu+δ3b(-u） +2δ3σ，因此，由gu（t）=(-ψu，0（t）），我们得出σ4blog1 +4δ3σ(-ψu，0（t））-2bσψu，0（t）1+4δ3σ(-u）-2bσu-δ3b(-ψu，0（t））+2δ3σ+δ3b(-u） +2δ3σ=σt。此外，如果b 6=0且b<2δ9σ，则σ2blog（gu（t））-σ4博客gu（t）+4δ3σgu（t）+2bσ-δ3bq4δ9σ-2bσ对数gu（t）+2δ3σ-q4δ9σ-2bσgu（t）+2δ3σ+q4δ9σ-2bσ= -σt+C，t∈ R+，（C.5）和一些C∈ R