行为金融市场模型的平均场极限

异方差性参数设置为θ=2，我们参考表1了解更多详细信息。取连续值，而市场位置是离散的。因此，将人群分为两组是合理的，即持有多头头寸的经纪人和持有空头头寸的经纪人。在下一步中，我们希望推导出每个人在固定时间间隔内改变其市场地位的转换概率。这意味着我们希望忽略每个代理对其个人过去操作的任何依赖性。因此，每个代理在每个时间步滚动数据，并且代理的切换概率仅取决于代理在（m，c）空间中的位置和外部股票价格。这种简化对于推导动力学PDE系统至关重要。首先，我们的目标是基于p（c）表示的放牧压力推导切换概率∈ [0，1]，c∈ R、 事实上，羊群阈值是[B，B]上均匀分布随机变量的所有实现。因此，切换的可能性由随机变量β的累积分布函数简单给出~ Unif（B，B）。p（c）：=p（β≤ c） =捷克∞x个- BB型- Bdx公司=0，c<B，c-BB型-B、 c类∈ [B，B]，1，c>B。等效地，我们定义了两个随机变量ψ~ Unif（M（M），M（M）），M（M）：=m1+A，M（M）：=m1+A图2：原始交叉模型在不活动和放牧压力下的模拟。heteroskedastity参数设置为θ=2。有关参数的进一步选择，请参阅表1。和η~ Unif（M（M），M（M）），M（M）：=M（1+A），M（M）：=M（1+A），对于任意但固定的M>0。

请注意，M<M<M<M<Mholds，因此给定股票价格S>0和内存M>0的切换概率可以通过以下公式建模：q（M，S）：=1- P（ψ）≤ S） +P（η≤ S）=1，S<M（M），1-S-M（M）M（M）-M（M），S∈ [米（M），米（M）]，0，S∈ （M（M），M（M）），S-M（M）M（M）-M（M），S∈ [M（M），M（M）]，1，S>M（M）。我们将切换概率定义为这两种概率的线性组合。λP（t，c，m，S）：=λP（c）+λq（t，m，S），λ，λ>0，λ+λ=1。这一选择部分是为了简单起见，并且模拟结果表明该选择具有良好的性能。我们想总结一下新的动力学粒子模型。每种药剂都由三种性质（γi、ci、mi）来描述。过剩需求只是投资倾向的平均值（1），而羊群压力的时间演化由（2）给出。在每个时间步tk：=kt、 k级∈ N、 代理人以概率λP（tk、ci、mi、S）切换其市场位置。记忆变量MIAN和放牧压力CI在切换后会像原始模型一样更新。股票价格方程的时间演化由S（tk+1）=S（tk）+tκEDN公司tS（tk）+√t（1+θ| EDN |）S（tk）η。（6） 原始交叉模型的定价方程（4）通过显式指数积分器近似于基本的时间连续模型。我们通过Euler-Maruyama离散化来近似时间连续的SDE。在某种意义上，导出的切换概率已经可以看作是我们系统的平均场极限。事实上，只有当我们考虑足够多的代理时，我们的近似值才是好的。因此，这个动力学粒子模型应该被视为相互作用主体随机过程的实现。值得注意的是，与原始交叉模型相比，这种动力学近似导致计算成本显著降低。

模型输出在质量上相同，两个模型计算的数量相同。在同一台机器上进行了模拟。在我们的MATLAB实现中，我们获得了因子72.3.1动力学粒子模型微观模拟的加速。在本节中，我们希望表明动力学粒子模型必须被视为是原始交叉模型的良好近似，至少在定性水平上是如此。请记住，我们为代理人的投资决策引入了转换率，并更改了定价公式。在我们之前的微观模拟中，我们看到了纯不行动情况下股票回报分布的高斯行为（图3中的蓝色图表）。当加入羊群压力（图3中的绿色图表）时，价格行为迅速变化，我们得到了价格回报分布中的FATTAIL。这些结果与原始交叉模型中的结果一致。我们得出，额外的心理羊群效应在价格过程中形成跳跃，分别在过剩需求中产生振荡。在下一个模拟中，请参见图4，我们考虑一个正的异方差参数，设置θ=2。与原始交叉模型一样，我们获得了额外的波动率聚类，这可以从图4.4动力学模型中的自相关图中得出。我们引入了两组代理。一个投资者组的长γi=1，另一个短γi=-市场上排名第一。因此，我们考虑两种密度f+（t，m，c）和f-（t、m、c）。变量m∈ R我们调用内存变量，它考虑最后一个交换机的股价。变量c∈ R是羊群压力，如果个人市场位置与过剩需求方向相反，则羊群压力会增加。我们没有选择半空间m，c∈ R≥避免零位的非标准边界条件。由于我们的选择，我们可以提出simpleDirichlet边界条件。

此外，我们假设股票价格（t）是外部提供的。密度的时间演化由两种现象描述：迁移——如果主体的决定与平均意见相矛盾，则存在与过度需求成比例的放牧压力平流。从数学上讲，这可以如图3所示：模拟具有不活动和放牧压力（绿色图）且仅具有不活动压力（蓝色图）的动力学粒子模型。我们设置了异方差参数θ=0，有关更多详细信息，请参阅表2。建模者：tf+（t、m、c）+cH类(-ED[f+，f-]（t） ）f+（t、m、c）= 0,tf公司-（t、m、c）+cH（ED[f+，f-]（t） ）f-（t、m、c）= 0，带[f+，f-]（t） ：=Zf+（t、m、c）- f-（t、m、c）dm dc。这里，形状函数H（·）具有以下特性oH（x）=0，x个≤ 0，oH（x）>0，x>0，o˙H（x）≥ 0, x个≥ 为了最好地近似原始交叉模型，我们选择形状函数如下：HC（x）：=（0，x≤ 0，x，x>0。粒子动力学的第二个影响是通过切换速率的相互作用。图4：不活动和放牧压力（绿色图）和仅不活动压力（蓝色图）的动力学粒子模型模拟。我们设置了异方差参数θ=2，有关更多详细信息，请参阅表2。转换机制如前所述，投资者在多头（γ=1）和空头（γ=-1） 位置完全由切换速率λ决定。由于我们面临一个速率，我们需要用交叉模型的特征时间步长来衡量概率λpBtC>0，我们定义：λ（t，c，m，S）：=λP（t，c，m，S）tC。具有长位置和短位置的代理的损失可以简单地用速率λ乘以相应的密度函数来描述。Qloss[f（·）]（t，m，c，S）：=f（·）（t，m，c）λ（t，m，c，S）。增益项更为复杂。

正如粒子动力学所确定的，所有已切换的代理都会在点（0，S）的（c，m）空间中重新发射。因此，转化为我们的连续动力学，我们得到：Qgain[f（·）]（t，m，c，S）：=δ（m- S（t））δ（c）ZQloss[f（·）]（t，m，c，S）dmdc。因此，例如，在f+的情况下，切换动态由下式给出：tf+（t，m，c）=Qgain[f-]（t、m、c、S）- Qloss[f+]（t，m，c，S）。该模型最后给出了密度f+，f-由系统描述：tf+（t、m、c）+cH类(-ED[f+，f-]（t） ）f+（t、m、c）= Q增益[f-]（t、m、c、S）- Qloss[f+]（t，m，c，S），tf公司-（t、m、c）+cH（ED[f+，f-]（t） ）f-（t、m、c）= Q增益[f+]（t、m、c、S）- Qloss[f-]（t、m、c、S）。（7） 此PDE系统与SDEdS=κ˙ED S dt+（1+θ| ED |）S dW耦合，（8）其中W表示维纳过程，我们从It^o的意义上解释随机积分。SDE（8）是之前引入的股价方程（6）的时间连续版本。PDE-SDE系统通过超额需求ED进行耦合。除了初始条件外，我们还提出了Dirichlet边界条件SLIMC→±∞f+（t，m，c）=极限值→±∞f-（t，m，c）=0，limm→±∞f+（t，m，c）=limm→±∞f-（t，m，c）=0。因此，我们可以将超额需求的时间导数简化如下：ddtED[f+，f-]（t） =Ztf+（t、m、c）-tf公司-（t，m，c）dmdc=Z-cH类(-ED[f+，f-]（t） ）f+（t、m、c）+ cH（ED[f+，f-]（t） ）f-（t、m、c）+ Q+增益（t、m、c、S）- Q+损耗（t、m、c、S）- Q-增益（t、m、c、S）+Q-损耗（t、m、c、S）dmdc=2Zf-（t，m，c）λ（t，m，c，S）- f+（t，m，c）λ（t，m，c，S）dmdc。空间同质模型在本段中，我们定义了空间同质模型。这里，我们所指的空间变量是放牧变量c，尽管这不是物理空间。这种选择的原因与动力学理论类似，因为平均场交叉模型在放牧变量c中有一个平流。

投资决策不再依赖于二维（m，c）空间，而只依赖于记忆变量m。因此，空间同质模型不包括羊群效应，而对应于原始交叉模型的唯一无动力。因此，我们通过以下方式定义空间同质模型：tg+（t，m）=Qhgain[g-]（t、m、S）- Qhloss[g+]（t，m，S），甘油三酯-（t，m）=Qhgain[g+]（t，m，S）- Qhloss[克-]（t，m，S），Qhgain[g（·）]（t，m，S）：=δ（m- S（t））Zg（·）（t，m）λh（t，m，S）dm，Qhloss[g（·）]（t，m，S）：=g（·）（t，m）λh（t，m，S）。（9） 齐次模型可以通过积分出羊群变量并将切换率设置为λh：=q，从全模型直接导出tC。这里，我们使用碰撞积分的线性。事实上，如果λ=λh.5数值，g（·）（t，m）：=RRf（·）（t，m，c）dc成立。在本节中，我们给出了我们提出的平均场交叉模型的数值示例。我们表明，动力学模型表现出与原始交叉模型相同的特征行为。我们采用标准有限体积离散化方法求解PDE系统。我们使用一阶迎风格式，并应用梯形求积公式计算模型的积分。所得常微分方程采用显式Euler方法求解。注意，由于dirac三角洲引起的扰动源项，我们得到了一个附加的稳定性条件，以满足经典Courant-Friedrich-Lewy条件。我们通过支持一个网格单元的均匀分布来近似狄拉克三角洲。SDE由简单的EulerMaruyama离散化近似。首先，我们给出了空间均匀的测试用例，其次是空间非均匀平均场交叉模型的测试用例。最后，我们给出了平均场交叉模型的相应蒙特卡罗解算器，并给出了进一步的例子。空间齐次模型图5显示，在空间齐次设置中，我们获得高斯分布股票回报。

此外，不存在自相关（见图5）。图5中的模拟是在θ=0的情况下进行的，但我们想指出图5：θ=0的空间均质模型。有关更多参数，请参阅表3。对于θ=2，我们得到了定性上相同的结果。我们想强调的是，模拟结果与原始交叉模型的模拟在质量上是相同的。空间异质模型图6显示，空间异质模型输出具有非高斯回报分布的特征。异方差性参数设置为零，因此我们在图6中看到了近似为零的自相关。图6：θ=0的空间非均匀模型。表3给出了其他参数。通过将异方差参数设置为θ=2，我们可以获得绝对收益的正自相关（见图7）。模型的其他特征仍在改变，因此图7显示了非高斯回报分布和振荡超额需求。总之，我们可以说，平均场交叉模型表现出与原始交叉模型相同的均衡行为。5.1确定性股票价格方程使用确定性股票价格方程进行以下测试案例。我们这样做是为了研究同质和异质模型在完全确定性环境中是否已经表现出不同的行为。因此，平均场交叉模型成为PDE-ODE系统。图8中的空间齐次模型我们推断动力学收敛到asteady曲线。此外，图8显示，两个种群的质量在达到稳定状态之前是平均的。图7：θ=2的空间非均匀模型。表3给出了其他参数。图8：具有确定性股票价格方程且θ=0的空间齐次模型。

有关更多参数，请参阅表3。空间非均匀模型在空间均匀模型中，空间非均匀模型的动力学也达到稳态（见图9）。在图9中，我们得出过度需求变成-因此，所有代理人的职位都相同。因此，我们可以得出结论，空间同质和空间的确定性框架图9：具有确定性股票价格方程且θ=2的空间异质模型。有关更多参数，请参阅表3。异构模型表现不同。在下一节中，我们将详细分析这两个模型的稳态。5.2蒙特卡罗解算器在本节中，我们介绍了空间异质平均场交叉模型的蒙特卡罗解算器。虽然蒙特卡罗解算器的收敛速度很差，但至少有一个优势。与大多数确定性方案相比，蒙特卡罗解算器不会向数值解添加任何耗散【24】。这是一个重要特征，例如在分析密度函数的尾部行为时。为了推导蒙特卡罗解算器，我们需要将平均场交叉模型解释为随机过程的主方程。随机过程的主要特征是切换机制。我们将蒙特卡罗算法总结如下。蒙特卡罗算法1。生成样本Xi=（γi，mi，ci）∈ {-1，1}×R≥0×R≥0，i=1。。。，N来自初始分布。2、对于每个时间步骤k∈ {1，…，Tt} i）计算EDkNsee（1），Sk+1见方程式6，^λki：=1- 经验值(-tλki）ii）用概率^λkiγk+1i=-γki，mk+1i=Sk+1，ck+1i=0。b） 否则，γk+1i=γki，mk+1i=mki，并计算ck+1iby（2）。3、重建密度f+k+1，f-k+1。请注意，我们的粒子模型λP的切换速率=tCλ是^λ的一阶泰勒近似。

^λ与λPis相比的优势在于∈ （0，1）适用于任意时间步长t、 因此，与有限体积法相比，没有时间步长限制。定性上，图10中的模型输出与图10一致：θ=2的空间非均匀平均场交叉模型。用10个样本的蒙特卡罗求解器进行了模拟。有关更多参数设置，请参阅表3。之前的模拟采用有限体积方案。因此，图10中的结果与原始交叉模型的结果定性一致。6模型的定性行为在本节中，我们希望研究空间均匀和空间非均匀平均场交叉模型的分析行为。目标是证实我们之前的发现，并更详细地理解复杂的模型行为。这两个模型都是带有线性相互作用积分的积分微分方程。两种模型的代理数量都是守恒的，这与系统的质量相对应。此外，我们还证明了两个模型的唯一碰撞不变量是由常数函数给出的。详情请参阅附录。我们将分析分为两部分，首先研究空间同质模型，其次研究空间异质模型。空间齐次模型碰撞算子Qh[g]（t，m，S）在时间t和股价S的零空间：=Qhgain[g]（t，m，S）- Qhloss[g]（t，m，S）由n（Qh）（t，S）={g给出∈ Y：支持（g） {m∈ R：λh（t，m，S）≡ 0}，其中Y（R，R）表示年轻度量集。我们选择了这个函数空间，因为Dirac delta函数是young测度的子集。

注意，尤其是g=δ（m- S） isin在空空间中。图8所示的先前模拟表明，在确定性股票价格演变的情况下，我们的系统（9）达到了稳定的结果。稳态我们假设股票价格≡ s> 0是常量。这是合理的，因为在均衡状态下，过剩需求是恒定的，因此时间导数为零。因此，确定性股票价格方程的右侧为零。然后等位平衡解g+∞, g级-∞模型的+∞, g级-∞] = 0i）g+∞= g级-∞= 0.ii）克+∞, g级-∞> 0和g+∞, g级-∞∈ N（Qh）（s）带RG+∞dm=Rg-∞dm。b） ED[克+∞, g级-∞] < 0i）g+∞= 0和g-∞> 0，克-∞∈ N（Qh）（s）。ii）g+∞, g级-∞> 0和g+∞, g级-∞∈ N（Qh）（s）带RG+∞dm 6=Rg-∞dm。c） ED[克+∞, g级-∞] > 0i）g-∞= 0和g+∞> 0，克+∞∈ N（Qh）（s）。ii）g+∞, g级∞> 0和g+∞, g级-∞∈ N（Qh）（s）带RG+∞dm 6=Rg-∞dm。如果稳态解g+∞, g级-∞是零空间N（Qh）（s）的元素，这意味着它们不再转换其市场地位。原因是记忆变量或更准确地说，最后一次转换的股票价格非常接近均衡价格，因此代理不会感觉到改变位置的压力。熵界正如动力学理论中经常做的那样，我们想展示系统的熵耗散（9）。这样的熵不等式是动力学模型证明性和渐近性的关键因素。从数学上讲，动力学方程的熵是一种特殊的李雅普诺夫泛函。我们使用一般相对性的概念。