行为金融市场模型的平均场极限

常股票价格系统的对偶方程≡ 吉文比姐姐- tψ+（t，m）=ψ-（t，S）λh（m，S）- ψ+（t，m）λh（m，S）- tψ-（t，m）=ψ+（t，S）λh（m，S）- ψ-（t，m）λh（m，S）。（10） 我们定义了正函数ψ、p和凸函数K tobet 7的一般相对熵→ Kψ（g，p）：=ZRψp K总成dm。然后我们可以得出以下定理。定理1。对于所有凸函数K:R→ R和任意解p+，p-> 0，g+，g-方程（9）和解ψ+，ψ-> 对偶方程（10）的0，广义相对熵yinequalityddtKψ+（g+，p+）+Kψ-（g）-, p-)≤ 0，（11）保持不变。有关详细证明，请参阅附录A.2。作为直接的结果，我们可以陈述以下先验界：引理1。对于满足定理1的任何函数和任何凸函数K，我们可以陈述以下不等式。ZRψ+（t，m）p+（t，m）Kg+（t，m）p+（t，m）+ ψ-（t，m）p-（t，m）Kg级-（t，m）p-（t，m）dm公司≤ZRψ+（0，m）p+（0，m）Kg+（0，m）p+（0，m）+ ψ-（0，m）p-（0，m）Kg级-（0，m）p-（0，m）DMR备注1。应用熵不等式（11）来证明平衡分布的收敛性并不简单。困难在于，并非所有可能的稳定状态解决方案都是严格积极的。我们期望，系统（9）的长时间渐近性由最大非负特征值的正特征向量确定【25】。定理1中的熵不等式是证明长时间收敛甚至收敛到稳态的速度的合适工具。空间异构模型我们可以像以前一样分析异构模型。

冲突运算符q[f]（t，m，c，S）在时间t和股价S处的空空间：=Qgain[f]（t，m，c，S）- Qloss[f]（t，m，c，S）由n（Q）（t，S）={f给出∈Y：补充（f） {（m，c）∈ R： λ（t，m，c，S）≡ 0}，其中Y（R，R）再次是年轻度量的集合。如前所述，我们假设≡ s> 0和所有平衡解f+∞, f-∞特征为：A）ED[f+∞, f-∞] = 0–f+∞= f-∞= 0.–f+∞, f-∞> 0和f+∞, f-∞∈ N（Q）（s）带RF+∞dmdc=射频-∞dmdc。B） ED[f+∞, f-∞] < 0–f+∞= 0和f-∞> 0，f-∞∈ N（Q）（s）。C） ED[f+∞, f-∞] > 0–f-∞= 0和f+∞> 0，f+∞∈ N（Q）（s）。与均匀设置相比，情况ED[f+∞, f级+∞] 6=0，带f+∞, f-∞> 0不能是稳态。原因是由于对流（放牧压力增加），相对于放牧压力c的部分导数必须是常数。因此，对于任何testfunctionφ（m，c）和ED[f+∞, f级+∞] < 0Zφ（m，c）cH- ED[f+∞, f级+∞]f级+∞dmdc=0，必须保持。这个常数必须为零，否则这将与我们的边界条件相矛盾。limm，c→∞f（·）∞（m，c）=0。因此，超额需求只能取{-1，0，1}处于平衡状态。这为我们解释这些稳态的相互作用在随机模拟中产生了特征振荡行为提供了指导。熵界在二维情况下，广义熵的定义可以一一转化。因此，对于正函数Φ，n和任何凸函数K，我们有7→ KΦ（f，n）：=ZRZRΦn Kfn公司dmdc。非均质模型的对偶方程如下所示：- tΦ+（t，m，c）- H类(-ED）cΦ+（t，m，c）=Φ-（t，S，c）λ（m，c，S）- Φ+（t，m，c）λ（m，c，S）- tΦ-（t、m、c）- H（ED）cΦ-（t，m，c）=Φ+（t，S，c）λ（m，c，S）- Φ-（t，m，c）λ（m，c，S）。（12） 定理2。

对于所有凸函数K:R→ R和任意解n+，n-> 0，f+，f-方程（7）和解Φ+，Φ-> 对偶方程（12）的0一般相对熵不等式ddtKΦ+（f+，n+）+KΦ-（f）-, n-)≤ 0，保留。证据证明类似于齐次情形。唯一的区别是额外的平流项。由于密度的增长假设，在c空间上积分后，平流项消失。作为直接结果，我们得到了先验界。引理2。对于满足定理2的任何函数和任何凸函数K，我们可以陈述以下不等式。ZRΦ+（t，m，c）n+（t，m，c）Kf+（t，m，c）n+（t，m，c）+ Φ-（t，m，c）n-（t、m、c）Kf-（t，m，c）n-（t、m、c）dmdc公司≤ZRΦ+（0，m，c）n+（0，m，c）Kf+（0，m，c）n+（0，m，c）+ Φ-（0，m，c）n-（0，m，c）Kf-（0，m，c）n-（0，m，c）dmdc。为了研究空间非均匀系统（7）和空间均匀系统（9）的稳定性，我们需要分析特征值问题。这项研究有待进一步研究。正如对空间非均匀和空间均匀模型的稳态讨论所揭示的那样，我们期望在这两种模型中获得根本不同的收敛性和稳定性结果。数字这一段致力于证实我们在之前的调查中获得的发现和猜测。在空间齐次模型的稳态讨论中，我们得到了稳态密度等于零或在碰撞算子的零空间中。图11清楚地表明，只要密度函数的支持位于碰撞操作符的零空间中，动力学是稳定的。图11：空间均匀确定性平均场交叉模型。初始密度在碰撞操作符的零空间中有支持。

更多参数见表3。图8和图12显示了解决方案g+、g的收敛性-到稳定状态b）- ii）或c）- ii）一般初始数据。有趣的是，我们在图12A中看到收敛到b型稳态）- ii）虽然g的初始质量-接近于零。因此，图12：空间均匀确定性平均场交叉模型。初始超额需求由ED[g+，g]给出-](0) = 0.99. 表3给出了其他参数。推测b）- ii）、c）- ii）是稳定的稳态，而b）- i） ，c）- i） 是不稳定的稳态。这一数值观测的适当证明有待进一步研究。空间非均匀模型的稳态分析表明，超额需求只能达到{-1，0，1}处于平衡状态。我们的确定性模拟（如图9、13和14所示）表明，过剩需求总是收敛到极限值{1，-1}. 如果初始密度在全空间N（Q）（t，S）中有支撑，则情况也是如此，见图14。这一观察结果与B）orC）中的稳态一致，并且初始值再次决定了收敛到一个或另一个。此外，图13中的结果表明，与A）相比，稳态B）的稳定性分别为C）。7结论与展望我们引入了一个动力学模型，并表明该模型至少在定性水平上是原始交叉模型的良好近似。我们推导了粒子模型的连续场和平均场极限，并获得了平均场交叉模型。0 0.1 0.2 0.3 0.4倍0.80.820.840.860.880.90.920.940.960.981库存价格0.1 0.2 0.3倍-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10超额需求0.1 0.2 0.3倍-0.10.20.30.40.50.60.70.80.91总质量FPlus massfMinus massfMinus图13：空间异质确定性平均场交叉模型是的。

初始超额需求由ED[f+，f]给出-](0) = 0.01. 表3给出了其他参数。我们的数值研究表明，平均场交叉模型显示出与原始经济物理交叉模型相同的特征。肥尾巴的出现是放牧压力的直接结果。在空间均匀的情况下，只有波动压力是活跃的，我们观察到股票收益的高斯行为。有趣的是，只有在空间异质模型中加入差异函数对过剩需求的依赖性，我们才能获得自愿聚类。此外，我们还对PDE系统进行了稳态分析。我们已经表明，在空间同质的情况下，与异质的情况相比，超额需求可以取不同的值。在异质情况下，过剩需求只能达到{-平衡情况下的1，0，1}。因此，我们得出结论，确定性骨架的这种行为解释了随机模型的振荡行为。此外，我们还可以推导出空间均匀和空间非均匀模型的熵边界。我们想简要讨论平均场交叉模型与微观交叉模型相比的优势。PDE-SDE系统最明显地使我们能够进行数学分析，例如，我们可以研究确定性PDE-ODE模型的稳态。此外，我们还得到了尺寸的缩减。因此，我们不单独考虑N个代理，而只考虑两个三维分布函数。与原始交叉模型相比，平均场模型的数值复杂性也有所降低。当然，我们必须假设有大量的代理人。

最后，我们还想指出，与原始微观模型相比，SDE-PDE系统的参数减少了。0 0.1 0.2 0.3 0.4时间11.021.041.061.081.11.121.141.161.18股价0.1 0.2 0.3 0.4时间0.20.30.40.50.60.70.80.9超额需求0.1 0.2 0.3 0.4时间0.10.20.30.40.50.60.70.80.91总质量Fplus massfMinus Mass图14：空间异质确定性平均场交叉模型。初始密度在碰撞操作符的零空间中有支持。有关更多参数设置，请参阅表3。进一步的研究方向是量化几个参数（如市场深度κ）对股价统计特性的影响。可以进行敏感性分析或随机搭配来进行不确定性量化。此外，可能需要解决反问题，并将几个参数设置为原始股价数据。交叉模型的优点再次变得明显，因为我们显著减少了未知的数量。

最后，我们想指出扩展模型分析的可能性。因此，存在性、唯一性和渐近收敛性问题仍然悬而未决。致谢第一位作者得到了Hans-B"ockler Stiftung的支持。附录A。1数值参数值κ0.2A0.1A0.3bbt 4·10-5N 1000时间间隔【0，0.4】可变初始值α0或2S（0）1γi（0）γi（0）=1，1≤ 我≤ 667，γi（0）=-1, 668 ≤ 我≤ NED（0）NNPi=1γi（0）ci（t）B，1.≤ 我≤ Nmi（t）S（0），1.≤ 我≤ 表1：原始交叉模型的参数设置。参数值κ0.2A0.1A0.3bbt 4·10-5N 30.000时间间隔【0，0.4】可变初始值α0或2λ，λ=λ=0.5或λ=0，λ=1S（0）1γi（0）γi（0）=1，1≤ 我≤ 667，γi（0）=-1, 668 ≤ 我≤ NED（0）NNPi=1γi（0）ci（t）B，1.≤ 我≤ Nmi（t）S（0），1.≤ 我≤ 表2：动力学粒子模型的参数设置。参数值κ0.2A0.1A0.3bbt 4·10-5Nc，Nmgrid点400时间间隔【0，0.4】可变初始值α0或2λ，λλ=λ=0.5S（0）1ED（0）Rf+（0，m，c）- f-（0，m，c）dmdcf+（0，m，c）Unif（m，m）×Unif（B，B）f-（0，m，c）Unif（m，m）×Unif（B，B）表3：平均场交叉模型的参数设置。A、 2定性研究我们对与空间和速度相关的分布函数给出以下定义。它们可以立即转移到空间均匀设置中。定义1。给定任意函数φ（v，x），x，v∈ Rd和密度函数f（t，v，x），x，v∈然后我们称函数φ（·）的平均值为可观测值。hφ（v，x），f（t，v，x）i：=ZRd×Rdφ（v，x）f（t，v，x）dvdx。定义2。我们称函数ψ（v，x）∈ Rn、x、v∈ Rd、n、d∈ 动力学方程的碰撞不变量tf（t，v，x）+x（G[f]（t，v，x））=Q[f]（t，v，x），其中f：[0，∞) ×Rd×Rd→ Rn是密度函数，G[f]（t，v，x）∈ rnflux和Q[f]（t，v，x）碰撞操作符ifZRdψ（v，x）·Q[f]（t，v，x）dvdx=0，适用于所有函数f。

此外，我们将与任何碰撞不变量ψ（v，x），f（t，v，x）i=ZRdψ（v，x）Q[f]（t，v，x）dvdx有关的动力学密度的所有观测值称为守恒量。备注2。由于我们对密度f+的增长假设，f-我们得到：tZR×Rφ（m，c）f+（t，m，c）+φ（m，c）f-（t，m，c）dmdc=ZR×Rφ（m，c）Q增益[f-]（t、m、c、S）- Qloss[f+]（t、m、c、S）dmdc+ZR×Rφ（m，c）Q增益[f+]（t、m、c、S）- Qloss[f-]（t、m、c、S）dmdc。如果φ，φ是碰撞不变量，我们有：tZR×Rφ（m，c）f+（t，m，c）+φ（m，c）f-（t，m，c）dmdc=0。因此，守恒量在时间上是恒定的，这揭示了它们命名的动机。定理3。我们的齐次模型的所有碰撞不变量都由ψ（m）=c，ψ（m）=c给出，在空间非齐次情况下，我们得到：ψ（m，c）=c，ψ（m，c）=c，其中c，c，∈ R是常数。因此，我们系统的唯一守恒量是质量，分别是试剂的数量。证据我们对空间异构环境进行了证明，但可以将结果一对一转换为一维情况。函数ψ（m，c），ψ（m，c）必须满足：ZR×Rψ（m，c）Q增益[f-]（t、m、c、S）- Qloss[f+]（t、m、c、S）dmdc++ZR×Rψ（m，c）Q增益[f+]（t、m、c、S）- Qloss[f-]（t、m、c、S）dmdc=0这相当于ψ（S，0）ZR×Rλ（t，c，m，S）f-（t、m、c）dmdc-ZRψ（m，c）λ（t，c，m，S）f+（t，m，c）dmdc++ψ（S，0）ZR×Rλ（t，c，m，S）f+（t，m，c）dmdc-ZR×Rψ（m，c）λ（t，c，m，S）f-（t，m，c）dmdc=0此方程可以重写。ZR×Rλ（t，c，m，S）f-（t，m，c）（ψ（S，0）- ψ（m，c））dmdc+ZR×Rλ（t，c，m，S）f+（t，m，c）（ψ（S，0）- ψ（m，c））dmdc=0。前面的公式必须适用于所有函数f。因此，通过变量演算引理，我们可以得出ψ（S，0）=ψ（m，c），ψ（S，0）=ψ（m，c）必须成立的结论。因此，我们定义了c：=ψ（S，0）和c：=ψ（S，0），并完成了证明。定理1的证明由：proof给出。

一个简单的计算显示。t型ψ+（t，m）p+（t，m）Kg+（t，m）p+（t，m）+ t型ψ-（t，m）p-（t，m）Kg级-（t，m）p-（t，m）+ ψ+（t，S）p-（t，m）Kg级-（t，m）p-（t，m）λh（m，S）- ψ+（t，m）δ（m- S） ZRλh（t，m）p-（t，m）Kg级-（t，m）p-（t，m）dm+ψ-（t，S）p+（t，m）Kg+（t，m）p-（t，m）λh（m，S）- ψ-（t，m）δ（m- S） ZRλh（t，m）p+（t，m）Kg+（t，m）p+（t，m）dm=ψ+（t，m）δ（m- S） ZRλh（m，S）p-（t，m）Kg+（t，m）p+（t，m）- Kg级-（t，m）p-（t，m）+ Kg+（t，m）p+（t，m）g级-（t，m）p-（t，m）-g+（t，m）p+（t，m）!dm+ψ-（t，m）δ（m- S） ZRλh（m，S）p+（t，m）Kg级-（t，m）p-（t，m）- Kg+（t，m）p+（t，m）+ Kg级-（t，m）p-（t，m）g+（t，m）p+（t，m）-g级-（t，m）p-（t，m）!dm。然后我们在m上积分得到。ddtZRψ+（t，m）p+（t，m）Kg+（t，m）p+（t，m）dm+ddtZRψ-（t，m）p-（t，m）Kg级-（t，m）p-（t，m）dm=ψ+（t，S）ZRλh（m，S）p-（t，m）Kg+（t，S）p+（t，S）- Kg级-（t，m）p-（t，m）+ Kg+（t，S）p+（t，S）g级-（t，m）p-（t，m）-g+（t，S）p+（t，S）!dm+ψ-（t，S）ZRλh（m，S）p+（t，m）Kg级-（t，S）p-（t，S）- Kg+（t，m）p+（t，m）+ Kg级-（t，S）p-（t，S）g+（t，m）p+（t，m）-g级-（t，S）p-（t，S）!dm。由于K的凸性，不等式0≥ K（y）- K（x）+K（y）（x- y） ，适用于任何可微分函数K。因此，右侧为负值，entropyinequality（11）适用。参考文献【1】J.-P.Bouchaud。经济学和金融中的幂律：来自物理学的一些想法。《定量金融》，1（1）：105–112，2001年。[2] D.Colander、H.F"ollmer、A.Haas、M.D.Goldberg、K.Juselius、A.Kirman、T.Lux和B。树獭金融危机和学术经济学的系统性失败。2009年。【3】R.Cont.《资产回报的实证性质：程式化事实和统计问题》。《定量金融》，1（2）：223–2362001年。[4] R.Cont.《金融市场中的波动率聚类：经验事实和基于代理的模型》。《经济学长期记忆》，第289-309页。Springer，2007年。[5] S.Cordier、L.Pareschi和C.Piatecki。

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