行为金融市场模型的平均场极限

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英文标题：
《Mean Field Limit of a Behavioral Financial Market Model》
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作者：
Torsten Trimborn, Martin Frank, Stephan Martin
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In the past decade there has been a growing interest in agent-based econophysical financial market models. The goal of these models is to gain further insights into stylized facts of financial data. We derive the mean field limit of the econophysical model by Cross, Grinfeld, Lamba and Seaman (Physica A, 354) and show that the kinetic limit is a good approximation of the original model. Our kinetic model is able to replicate some of the most prominent stylized facts, namely fat-tails of asset returns, uncorrelated stock price returns and volatility clustering. Interestingly, psychological misperceptions of investors can be accounted to be the origin of the appearance of stylized facts. The mesoscopic model allows us to study the model analytically. We derive steady state solutions and entropy bounds of the deterministic skeleton. These first analytical results already guide us to explanations for the complex dynamics of the model.
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中文摘要：
在过去十年中，人们对基于代理的经济物理金融市场模型越来越感兴趣。这些模型的目标是进一步深入了解金融数据的程式化事实。我们由Cross、Grinfeld、Lamba和Seaman（Physica A，354）推导了经济物理模型的平均场极限，并表明动力学极限是原始模型的良好近似。我们的动力学模型能够复制一些最突出的程式化事实，即资产回报的厚尾、不相关的股票价格回报和波动性聚类。有趣的是，投资者的心理误解可以解释为程式化事实出现的根源。介观模型允许我们对模型进行分析研究。我们推导了确定性骨架的稳态解和熵界。这些最初的分析结果已经为我们解释模型的复杂动力学提供了指导。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> Mean_Field_Limit_of_a_Behavioral_Financial_Market_Model.pdf (1.45 MB)

2022-6-1 16:14:51 上传

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关键词：行为金融 金融市场 Conservation Quantitative explanations

行为金融市场模型Torsten Trimborn的平均场极限*+, Martin Frank，Stephan Martin§2017年11月8日摘要在过去十年中，人们对基于代理的经济物理金融市场模型越来越感兴趣。这些模型的目标是进一步深入了解金融数据的风格化行为。我们推导了经济物理交叉模型的平均场极限[7]，并表明动力学极限与原始模型非常接近。我们的动力学模型能够复制一些最突出的程式化事实，即资产回报的厚尾、不相关的股票价格回报和波动性聚类。有趣的是，投资者的心理误解可以解释为程式化事实出现的根源。介观模型允许我们对模型进行分析研究。我们推导了确定性骨架的稳态解和熵界。这些最初的分析结果已经为我们解释模型的复杂动力学提供了指导。关键词：平均场限、股市、动力学模型、基于代理的模型、行为金融、程式化事实1简介在过去几年中，发生了许多金融危机（1987年黑色星期一、2000年Dot Combuble、2007年全球金融危机）。不幸的是，这些危机都有一个共同点，即经典金融市场模型无法解释其起源和存在[2，11]。此外，这些模型未能解释程式化事实的存在，这些事实被认为是造成市场崩溃的一个重要方面[20]。风格化事实是全世界可观察到的金融数据的统计属性[3]。最突出的例子是资产收益率和波动率聚类中的厚尾[4，1]。

在物理学中，程式化的事实可能被视为标度定律，这就是为什么物理学家对经济模型越来越感兴趣的原因。这导致了一个称为经济物理学的新研究领域，可以追溯到1987年的道琼斯崩溃（黑色星期一）。一般来说，物理学家和经济学家将物理理论，如动力学理论、平均场理论或渗流理论应用于经济问题。经济物理学的一个工具就是所谓的基于代理的金融市场模型。许多研究人员认为，这些模型有助于对金融市场有更多的了解*MathCCES，RWTH亚琛，52056亚琛，德国+Corresp on ding作者：trimborn@mathcces.rwth-亚琛。德国赫尔曼·冯·亥姆霍兹广场斯坦布奇计算中心卡尔斯鲁厄理工学院176344 Eggenstein Leopoldshafen，Germany§Im Hainzenthal 27，67722 Winnweiler，Germany[11，21]。这些现代金融市场模型由许多相互作用的主体组成，这些主体通过蒙特卡罗模拟进行研究【19】。这些模型没有考虑理性金融主体，通常被称为经济人，这在经典金融市场模型中已被考虑。他们更倾向于认为西蒙意义上的所谓有边界的理性代理人，并经常受到卡尼曼和特沃斯基创立的前景理论的启发。这些现代金融市场模型可以再现程式化的事实，它们似乎表明，对代理的心理误解是它们出现的原因之一。然而，到目前为止，人们还没有完全理解程式化事实的起源。时间连续性，尤其是动力学偏微分方程（PDE），有助于理解投资者（代理人）的微观建模与程式化事实的存在之间的联系。一个原因是可以研究PDE模型的长时间行为。

这可以通过研究PDE模型的稳态解来实现。在过去十年中，物理和数学界曾多次尝试将金融市场模型转换为时间连续的PDE模型。例如[22，5]和最近的[30]。有许多数学方法可以将微观有序微分方程（ODE）转换为偏微分方程。经济应用中一种流行的方法是动力学Boltzmann方法，主要由Toscani和Pareschi提出[24]。安萨兹在数学上得到了很好的理解，并已应用于生命科学和社会科学中的许多不同应用【24】。在本文中，我们遵循一种密切相关的方法。我们不考虑动力学Boltzmann描述，而是执行平均场极限。平均场极限也是经典的动力学极限之一，它描述了许多微观介质的极限。这种选择的原因是，金融市场模型中代理人的微观耦合是由代理人投资决策的平均值引起的。因此，在动力学Boltzmann方法中，主体之间没有二元相互作用，而是由所有投资者的行为引起的力场驱动微观动力学。这项工作的目标是推导微观经济物理金融市场模型的平均场限。我们表明，介观模型是基于原始代理的模型的一个很好的近似。我们选择了一个微观经济物理模型，该模型考虑了投资者的行为方面，并揭示了它们是风格化行为存在的原因。因此，我们研究的出发点是Cross等人于2005年发布的基于代理的模型。

在蒙特卡罗模拟中，该模型可以再现金融数据最显著的程式化事实，即：股价回报数据中的厚尾、不相关的价格回报和波动率聚类。该模型的好处在于，通过计算机模拟表明，投资者的心理羊群压力导致了厚尾的出现。在没有羊群压力的情况下，股票价格行为表现为高斯回报分布。金融代理人被建模为西蒙意义上的有界理性代理人【26】。每个金融代理人都通过其在股票市场上的投资决策来描述，这意味着他们是处于空头头寸（卖出股票）还是长期头寸（买入股票）。由于每个代理都有两个可能的方向，因此与统计物理学中已知的伊辛自旋模型有着明显的联系。重要的是要强调，该模型遵循自下而上的方法[7]，并从合理的微观互动中发展出综合股价行为。这些微观互动可以解释为投资者的一种简单交易策略。尽管如此，我们仍然考虑一个基本模型。该模型很简单，因为代理之间没有二进制交互，代理没有学习能力。此外，我们想强调Cross等人的目标不是预测价格或了解如何计算历史价格，而是深入了解如何创建程式化事实。我们还想提及的是，之前曾有人试图从原始模型中推导出平均场模型[6]。事实上，平均场模型[6]遵循不同的理念，不使用自下而上的方法。特别是，模型【6】与原始模型【7】相比有很大不同。

在我们得出Cross等人模型的平均场限值之前，我们需要确保不存在与药剂数量相关的有限尺寸效应。早期的研究【10、32、17、13】和最近的Otte等人【29】表明，许多基于代理的经济物理模型具有有限的尺寸效应。令人高兴的是，正如Otte等人[29]的模拟所揭示的那样，原始交叉模型并非如此。在这项研究中，使用原始交叉模型的多达五百万试剂进行了模拟。有关进一步的模拟结果，请参考原始论文【7、8、18】和最近引入的SABCEMM工具【29】。动力学极限的结果是一个偏微分方程与随机微分方程（SDE）耦合的系统。SDE定义了市场价格的时间演变，而PDE控制着代理人的投资决策。推导了空间齐次PDE-SDE系统和空间非齐次PDE-SDE系统。前者对应于没有放牧的rationalagent模型，而后者考虑了放牧。事实上，空间同质模型可以生成高斯股价数据，而异质模型可以在资产回报中产生厚尾。因此，我们的介观模型显示出与原始模型相同的特征，并且可以定性地再现相同的程式化事实。此外，就其经济相关性而言，这一PDE-SDE系统对于纯数学的考虑已经很有趣。该模型与Eftimie等人最初提出的动物聚集模型非常相似。此外，我们的模型与[23，25]中讨论的结构化人口动力学密切相关。这类动力学模型可能是科航首次引入的【15】。

此外，与著名的Goldstein-Taylor模型也有明显的相似性【12，28】。本文的结构如下：首先，我们介绍了Crosset等人的经济物理模型，我们称之为Cross模型。然后，我们引入了原始交叉模型的微观近似，我们称之为动力学粒子模型。在第4节中，我们推导了时间连续空间均匀和空间非均匀平均场交叉模型。通过本文，我们对不同的模型进行了数值模拟。在第5节中，我们对平均场交叉模型进行了广泛的数值研究。此外，我们还表明，平均场交叉模型在质量上与原始交叉模型相同。在第6节中，我们对介观模型进行了定性研究。最后，我们简要讨论了这项工作，并提出了进一步的研究方向。2原始模型在本节中，我们简要定义了原始交叉模型[7]。数量为N∈ N个代理。每个经纪人都必须在每一个时间步骤中决定他想在市场上做多还是做空，也就是说，他想这样买卖股票。因此，每个代理的投资倾向γiof在买入头寸γi=1和卖出头寸γi=-1、t时刻的超额需求函数∈ [0, ∞) 定义为所有投资决策的平均值γi.EDN（t）：=NNXi=1γi（t）。（1） 因此，EDN衡量的是多头和空头投资者的比例。此外，该模型引入了控制投资决策转换机制的两种心理压力，即羊群压力和无为压力。不动作压力由间隔时间确定=mi1+αi，mi（1+αi）,其中，midenotes代理i的最后一次切换的股票价格，αi>0是所谓的行动阈值。

如果当前股价S（t）>0离开区间Ii，投资者将转换头寸。这种交易策略可以被解释为一个代理人获取利润或减少损失。该模型在时间上是离散的，具有固定的时间增量t>0。羊群压力由以下公式得出：（ci（t+t） =ci（t）+t | EDN（t）|，如果γi（t）EDN（t）<0，ci（t+t） =ci（t），否则。（2） 因此，如果金融机构处于少数地位，放牧压力就会增加。如果放牧压力超过放牧阈值βi，则会引发开关。阈值αi，βi来自均匀、独立和相同分布的随机变量。αi~ Unif（A，A），A>A>0，βi~ Unif（B，B），B>B>0。我们假设αi和βi在初始选择后是不相关和固定的。constantsBand Bhave与时间成比例，因为它们对应于投资者能够抵御羊群压力的时间单位。B： =B·t、 b>0，b：=b·t、 b>0。总之，切换机制可以描述如下。该开关由ifci>βior S（t）诱导/∈ 二。每次切换后，羊群压力重置为零，内存变量migetsupdated为当前股价。然后，股票价格由超额需求驱动：S（t+t） =S（t）exp（1+θ| EDN（t）|）√tη-t型+ κ t型EDN（t）t型, (3)η ~ N（0，1），（4）EDN（t）：=NNXi=1γi（t）-NNXi=1γi（t- t） ，（5）常数κ>0被称为市场深度，衡量需求变化对股价的影响。异方差参数θ≥ 0模型描述了过度需求对高斯随机变量建模的随机外部市场信息的影响。做出这种选择的原因是，“极端市场波动的时期往往伴随着极端时期”[7]需求过剩。

我们参考原始文件【7、8、18】了解更多建模细节。2.1微观模拟在本节中，我们简要介绍了原始交叉模型的模拟结果。我们调查了财务数据中最突出的风格化事实，即资产收益率的厚尾、不相关的股票价格回报和波动率聚类。厚尾分布的特征是分布尾部的代数衰减。qq图可以很好地说明这一点，其中数据符合高斯分布。从股票价格收益率的自相关函数可以推导出不相关的价格收益率和波动率聚类。前者对应于零的自相关，后者对应于绝对对数收益随时间滞后增加的低衰减正相关。如果只有不作为压力是活跃的（图1中的蓝色图表），我们获得了股票价格的高斯行为，因为超额需求大约为零。事实上，这种交易规则在某种意义上是合理的。如果加上羊群压力，股价行为会迅速变化，我们会得到非高斯回报分布（图1中的绿色图表）。在这两种情况下，我们观察到不相关的原始价格回报，这可以从图1中的自相关图中推断出来。此外，在两种压力都活跃的情况下，相关性很小。图2显示，将对超额需求的依赖性添加到差异中（θ=2），我们得到了波动率聚类。与早期的研究[7，8]一致，在羊群阈值相关或每次切换后阈值重新采样的情况下，我们在模拟中没有得到质的变化。

出于这些原因，我们使用了之前引入的最简单的设置。总之，我们想要记录的是，只有主动-被动压力和恒定扩散函数的模型会产生高斯股票回报行为。相比之下，加上羊群压力会改变价格行为，我们会在股票回报中获得厚尾。此外，增加一个依赖于需求的过度扩散函数，会导致波动性聚集。3动力学粒子模型正如前面所指出的，我们的目标是推导代理人动力学的介观描述。从数学角度来看，原始交叉模型是一个高度非线性的动力学系统。为了推导动力学PDE模型，我们需要考虑连续体极限t型→ 0和平均场限值N→ ∞. 平均场极限在统计物理学中广为人知，它与用概率量描述大粒子系统有关。著名的物理例子是伊辛模型或弗拉索夫方程。在推导动力学模型之前，我们首先推导一个粒子博弈。其次，我们将粒子游戏转换为PDE。事实上，我们的财务代理人可以用三个数量来描述；市场地位γi∈ {-1，1}，放牧压力ci≥ 0和memoryvariable mi≥ 两个量，羊群压力和记忆变量，can0 2000 4000 6000 8000 10000时间步长0.511.5股价-4-2 0 2 4标准正态分位数-0.2-0.100.10.2输入样本分位数QQ日志返回图0 2000 4000 6000 8000 10000时间步长-1-0.500.51超额需求0 20 40 60 80 100滞后-0.500.51自动相关函数log ReturnsBS log returnslog returnsFigure 1：原始交叉模型的模拟。蓝色图形表示仅在不活动压力下进行的模拟，而在不活动和放牧压力下进行的模型输出为绿色。