组合信用风险的有效指数倾斜

，d+1。（2） 估算m乘以^m=BPBi=1 %（z（i），w（i））r1，u*,Σ*（z） r2，θ*,η*（w） 在（32）中，其中%（z，w）通过（42）和u的分析形式计算*, Σ*, θ*, η*从算法第一部分的步骤（6）中获得。备注4。作为补充说明，在上述高效指数倾斜算法中，采用分量牛顿法确定最佳倾斜参数u、∑、θ、η；这与Teng等人（2016）的算法2不同，该算法只涉及一个参数的倾斜。值得一提的是，由于G（θ，η）的凸性和最优倾斜参数的唯一性，最优倾斜公式是稳健的，对初值不敏感。致illustrateAuthor：文章短标题26文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）   θ （θ） （a）克（u）    σ （σ） （b）G（σ）- -  ρ ×  ×  ×  ×  （ρ） （c）G（ρ）图1标准二元正态分布下简单事件X+Y>3的G（u，σ，ρ）函数。这种现象，我们考虑标准二元正态分布下简单事件X+Y>3的G（u，σ，ρ）函数。如图1所示，u和σ对初始值都不敏感；虽然初始值的范围对于找到最佳ρ至关重要，但对于大多数ρ，G（ρ）是变化的。注意，这种情况下的方差减少性能也如表2.5所示。数值结果本节通过广泛的仿真研究证明了所提出方法的能力和性能。我们将以下讨论分为四个部分：；前三项见第5.1节，最后一项见第5.2节。

首先，为了进行比较，我们举例说明了正态混合copula模型特例的结果，即单因素同质投资组合的t-copula模型，其设置类似于Bassamboo et al.（2008）和Chan and Kroese（2010）中的设置。其次，在考虑Xkis的t分布的三因素正态混合模型下，我们将所提出的方法与原始模拟的性能进行了比较。（请注意，由于大多数文献侧重于模拟一维情况，因此我们仅将我们的方法的性能与原始蒙特卡罗模拟进行比较。）第三，为了评估所提方法的鲁棒性，我们还将其性能与原油模拟的性能进行了比较，在三因素正态混合模型下，考虑了吉格分布。还调查了因债务人违约造成不同损失的情况。最后，在第5.2节中，我们比较了原始Monte CarloAuthor的计算时间：提交给的文章短标题；手稿编号（请提供手稿编号！）27在几种情况下使用拟议的重要性抽样进行模拟，并提供减少方差和增加计算时间之间的权衡。除了表12中比较不同样本数下计算时间的实验外，我们生成B=5000个样本来定位最佳倾斜参数，B=10000个样本来计算其余所有实验中的损失概率。根据Bassamboo et al.（2008）的设置，通过观察到对于具有成功概率p的伯努利随机变量，方差等于p（1- p） 。

注意，如第4.1节所述，对于正态混合随机变量，与倾斜W参数相比，倾斜正态随机变量Z的方差相对重要；因此，在实验中，对于多因素正态混合模型，我们仅对Z进行平均倾斜，对W进行θ-或η-倾斜。值得一提的是，即使在这种情况下，我们的有效指数重要性抽样方法也与之前的研究不同，因为在他们的方法中，只有正态分布中的θ和伽马分布中的η被视为倾斜参数。5.1. 不同模型设置的计算和数值实验首先，在表7中，我们比较了我们的方法与Bassamboo et al.（2008）和Chan and Kroese（2010）提出的方法之间的性能。为了进行比较，我们采用了与Bassamboo等人（2008）表1中相同的参数值集，其中最近的变量Xkin方程（2）遵循t分布，即W-1=W-1=Q/ν和Q~γ（ν/2，1/2）。模型参数选择为n=250，ρ=0.25，每个债务人的默认阈值χi=0.5×√n、 每个ci=1，τ=250×b，b=0.25，σ= 该表报告了Bassamboo等人（2008）提出的指数变化度量（ECM）的结果，以及Chan和Kroese（2010）提出的无交叉熵和有交叉熵的条件蒙特卡罗模拟（分别为CondMC和Condmcc）的结果。从表中可以看出，与原始模拟相比，所提出的算法（最后四列）显著减少了方差，并且总体而言，它优于ECM和CondMC估计量。此外，为了公平作者：文章简称第28篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）Bassamboo等人（2008）Chan和Kroese（2010）重要性抽样（IS）ECM CondMC CondMC CE IS CondMC ISνP（Ln>τ）V.R。

因子V.R.因子P（Ln>τ）V.R.因子P（Ln>τ）V.R.因子4 8.13×10-365 271 2,440 8.11 ×10-3338 8.09 ×10-31,6008 2.42 ×10-4878 1,690 20,656 2.36 ×10-46,212 2.47 ×10-414,77012 1.07 ×10-57,331 12,980 2.08 ×101.04 ×10-516,100 1.10 ×10-51.57 ×1016 6.16 ×10-752,185 81,170 1.30 ×106.34 ×10-72.78 ×106.20 ×10-71.89 ×1020 4.38 ×10-8301,000 4.19 ×101.27 ×104.12 ×10-85.44 ×104.14 ×10-81.61×10表7单因素模型（t分布）债务人违约导致的等损失情况下提出的算法的性能与CondMC CE的结果相比，我们首先遵循CondMC方法，通过对冲击变量进行分析积分；然后，我们不使用交叉熵方法，而是使用建议的重要性抽样方法进行方差缩减。在此设置下，建议的方法产生的方差减少与CondMC CE的方差减少相当。其次，表8、表9和表10比较了提议的重要性抽样方法与3因子t-copula模型的粗略模拟的性能，这是正态混合copula模型的特例，其中潜在变量xk服从多元t分布，即W-1j=Qj/νjandQj~ γ（νj/2，1/2），对于j=1，4、在三个表中，列出了因债务人违约而导致的相同损失（表8）和不同损失（表9和表10）的结果，这些损失具有不同的参数设置。根据Bassamboo et al.（2008）和Chan and Kroese（2010）中的设置，第i个债务人χiis的阈值设置为0.5×√n、 特殊风险kis设置为N（0，9），总损失τ设置为N×b。表8、9和10的灰色背景单元格中报告了基本情况模型参数的结果。对于等损失情形（ci=1），基本情形的模型参数b设置为0.3，而对于ci=（d2ie/n）和ci=（d5ie/n），b分别设置为0.7和2。

此外，基本情况的其他参数如下所示：~ν=（8 6 4 4），n=250，每个ρki=0.1（对于k=1，…，n和i=1，…，d），协方差矩阵∑=（uij）∈ 多元正态分布Z的R3×3设为ui，i=σi，ui，j=uj，i=ρσiσj，其中σ=1，σ=0.8，σ=0.5，ρ=0.5。如表8、9、10所示，我们的IS方法的性能明显优于原油模拟，尤其是当损失阈值τ增加且概率变小时。此外，作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）29等损耗（ci=1）b P（Ln>τ）V.R.系数~νP（Ln>τ）V.R.系数n P（Ln>τ）V.R.系数0.3 3 3.08×10-3863 (4,4,4,4) 3.09×10-31,009 100 1.91×10-20.4 2.39×10-45,931 (8,6,4,4) 3.08×10-3863 250 3.08×10-30.5 2.13×10-620,300 (8,8,8,8) 2.97×10-51,667 400 1.17×10-3ρkiP（Ln>τ）V.R.因子^ρP（Ln>τ）V.R.因子（σ，σ，σ）P（Ln>τ）V.R.因子0.1 3.08×10-3863 -0.5 3.06×10-31,100 (0.6,0.4,0.1) 3.08×10-30.3 1.89×10-3945 0 3.05×10-31,156 (0.8,0.6,0.3) 3.07×10-31,0870.5 2.76×10-41,174 0.5 3.08×10-3863 (1,0.8,0.5) 3.08×10-表8三因素模型（t分布）中债务人违约导致的损失相等的拟议算法的性能两种不同的损失（ci=（d2ie/n））b P（Ln>τ）V.R.因子~νP（Ln>τ）V.R.因子n P（Ln>τ）V.R.因子0.7 4.79×10-3832 (4,4,4,4) 4.78×10-3692 100 3.02×10-21 2.91×10-43,078 (8,6,4,4) 4.79×10-3832 250 4.79×10-31.2 1.20×10-514,471 (8,8,8,8) 8.64×10-57,305 400 1.87×10-3ρkiP（Ln>τ）V.R.因子^ρP（Ln>τ）V.R.因子σ，σ，σP（Ln>τ）V.R。

系数0.1 4.79×10-3832 -0.5 4.81×10-31,055 (0.6,0.4,0.1) 4.84×10-30.3 2.96×10-3876 0 4.80×10-3745 (0.8,0.6,0.3) 4.79×10-30.5 4.27×10-4739 0.5 4.79×10-3832 (1,0.8,0.5) 4.79×10-3表9：与Chan和Kroese（2010）的表2所列结果相比，对于具有逆FFT（t分布）的a3因子模型，拟议算法的性能有2个不同的损失，这表明当ρKi增加时，CondMC的性能恶化，我们的方法的性能被证明是稳定的。造成这种现象的原因是，随着ρKi的增加，因子Z在确定罕见事件的发生方面变得越来越重要；虽然CondMC simplyignose Z的贡献，但该方法扭曲了Z和W的分布。第三，除了t-copula模型外，表11还显示了另一种类型的三因素正态混合copula模型的结果，其中Wj遵循广义逆高斯（GIG）分布的特殊情况，即Wj~ γ（νj/2，1/2），对于j=1，4和~ν=（8 6 4 4）；除b设置为0.28、0.32和0.36外，其他模型参数与表8中的基本情况相同。从表11中我们观察到，我们的方法优于原始模拟，这证明了所提出的算法对于正常混合copula模型的能力。此外，还值得注意的是，在此设置中，倾斜伽马分布的其他参数νj/2（即νj/2→νj/2-θ*j） 在方差折减因子方面，其性能是传统单参数指数倾斜（倾斜η）的2到4倍。作者：文章简称第30篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）五种不同的损失（ci=（d5ie/n））b P（Ln>τ）V.R.因子~νP（Ln>τ）V.R.因子n P（Ln>τ）V.R。

系数2.38×10-2141 (4,4,4,4) 2.39×10-2139 100 1.09×10-14 8.59×10-43414 (8,6,4,4) 2.38×10-2141 250 2.38×10-26 4.15×10-781,498 (8,8,8,8) 1.84×10-31,131 400 9.77×10-3ρkiP（Ln>τ）V.R.因子^ρP（Ln>τ）V.R.因子σ，σ，σP（Ln>τ）V.R.因子0.1 2.38×10-2141 -0.5 2.39×10-2152 (0.6,0.4,0.1) 2.37×10-20.3 1.51×10-2183 0 2.35×10-2125 (0.8,0.6,0.3) 2.40×10-20.5 2.34×10-3143 0.5 2.38×10-2141 (1,0.8,0.5) 2.38×10-2表10我们的算法在5种不同损失情况下的性能，这些损失是由具有反向FFT（t分布）的a3因子模型的债务人违约造成的，原油IS（倾斜η）IS（倾斜θ）b P（Ln>τ）方差P（Ln>τ）方差V.R因子P（Ln>τ）方差V.R因子0.28 2.04×10-32.04×10-31.98×10-36.99×10-6291 1.98×10-32.79×10-60.32 2.00×10-42.00×10-41.74×10-48.09×10-82,473 1.75×10-43.04×10-86,5750.36 8.00×10-68.00×10-67.99×10-63.77×10-1021,194 7.55×10-61.11×10-1072352表11三因素模型（对称广义双曲线分布）债务人违约导致的等损失情况下我们算法的性能5.2。拟议重要性抽样算法的计算时间我们现在开始比较几种情况下原始蒙特卡罗模拟的计算时间与拟议重要性抽样的计算时间，并深入了解减少的方差与增加的计算时间之间的权衡。

表12列出了原油模拟的计算时间和表8左上角列出的三种情况的方法。从表中我们观察到，使用更多样本（B）来确定最佳倾斜参数大大提高了方差缩减性能，但这会线性增加确定参数的计算时间；请注意，方差折减因子与样本数B呈非线性增长，我们的搜索算法通常只需7到9次迭代即可实现收敛。尽管需要额外的计算时间来找到合适的倾斜参数，但我们可以仅使用B=1000个样本来获得相当好的估计值，方差大大减少，尤其是在尾部概率很小的情况下。在表12的最后一列中，我们还报告了原始模拟所消耗的计算时间与生成公平估计（T*C、 将左侧带有星号的值）转换为ourimportance sampling算法的值，包括参数搜索时间（TI）和概率作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）31计算（TI）。从表中可以观察到，对于b=0.5的情况，使用10000甚至100000的原油模拟无法生成估计值，而我们的方法使用A7411方差缩减率得出了很好的估计值，而原油模拟需要的计算时间是我们的12.77倍。表12最后两列中列出的方差折减系数和时间消耗率之间的关系表明，所提出的算法取得了良好的性能，从而为衡量正态混合copula模型中的组合信用风险做出了实际贡献。备注5。通过求解方程组，找到最佳倾斜参数。

（10） -（11），我们必须评估EQ的RHSs。(10)-(11). 表12显示，从实验上看，所提出的执行算法在定位最佳倾斜参数方面是有效的，因为它总是在10次迭代中收敛，样本数量相当少，例如，B=1000。原油ISSearch参数计算概率（B=1000）B BTime（TC）P（Ln>τ）BTime（TI）#iter时间（TI）P（Ln>τ）方差V.R.因子T*C/（TI+TI）0.3 100 2–100 191 9 200 3.20×10-31.13×10-33 0.461,000 19 1.00×10-3500 647 8 191 3.38×10-31.42×10-422 0.2210,000*181 3.80×10-31,000 2,049 8 201 3.01×10-35.12×10-6602 0.080.4 1,000 17 – 500 581 8 183 2.43×10-41.37×10-6175 2.7110,000 184 1.00×10-41,000 1,618 9 220 2.32×10-48.08×10-7296 1.13100,000*2,070 2.00×10-42,000 2,687 7 276 2.29×10-42.83×10-7844 0.70.5 10,000 204 – 1,000 1,269 7 210 1.70×10-62.88×10-107,411 12.77100,000 1,812 – 2,000 2,442 8 209 1.98×10-62.59×10-108,244 7.131,000,000*18,896 2.00×10-65,000 6,001 8 228 1.90×10-61.07×10-1019845 3.03表12计算时间（秒）6。CDXIG指数多因素模型的有效模拟为了证明所提出方法的能力，在本节中，我们将重要抽样算法应用于根据CDXIG指数数据校准的多因素模型的一组参数，并使用2006年3月31日的数据考虑CDXIG指数的基础投资组合（Rosen和Saunders，2009年，2010年）。通过使用Rosen和Saunders（2010）中的相同设置，假设多因素模型具有单个全局因素zg和一组部门因素ZSjforj=1、··、7；从惠誉25个行业合并而来的7个行业的详细信息可以找到作者：Article Short Title32 Article submitted to；手稿编号（请提供手稿编号！）原油ISb P（Ln>τ）方差P（Ln>τ）方差V.R。

系数0.01 2.38×10-22.32×10-22.19×10-22.61×10-40.05 6.60×10-36.56×10-36.43×10-34.61×10-50.2 5.00×10-45.00×10-44.18×10-41.01×10-6表13罗森和桑德斯（2009）中实证例子的表现。对于该八因素模型，每个债务人有两个非零因素负载，因此，SJ部门第k个债务人的信誉指数由XK给出=√ρG·ZG+√ρS-ρG·ZSj+p1-ρS·k、 如果s（k）=Sj，（50），其中s（k）表示第k个债务人的部门，ρG=0.17和ρs=0.23对于allobligors是相同的。如（McNeil et al.2015）所述，潜在变量Xkcan具有一般解释，包括资产价值和信誉。就本例中的信誉而言，总投资组合损失被定义为Ln=c{X<χ}+····+cn{Xn<χn}。（51）由于CDXIG指数有125个等权债务人，我们将n=125，并将c=c=·····=cequal设置为1。在Rosen和Saunders（2010）中，我们没有使用传统的正态copula模型，而是在t-copula模型下考虑这一规范。Frey和McNeil（2003）、Bassamboo et al.（2008）、McNeil et al.（2015）提出了使用该模型的合理性，他们认为假设正常的依赖结构可能会低估风险因素联合大幅度变动的可能性，而t-copula模型更适合建模极端依赖的影响。对于（50）中考虑的t-copula模型，特殊风险kis设置为N（0，1），第i个债务人的阈值χiis设置为-0.55 ×√n、 总损失τ设置为n×b，与上一小节中的设置相同，潜变量xk遵循自由度等于4的多元t分布，即W-1j=Qj/4和Qj~γ（4/2，1/2），对于j=1，表13列出了这个实证例子在方差缩减因子方面的表现。