组合信用风险的有效指数倾斜

如表所示，粗模拟结果与估计值的高方差有关，作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）33这会导致非常长的模拟时间，以获得良好的估计，尤其是对于verysmall概率。例如，对于表中b=0.2的情况，我们可能需要超过10000条模拟路径来获得每个模拟的非零估计，从而导致5.00×10的较大方差-4.因此，为了减少方差并获得良好的估计，这种模拟是必要的。对于更有效的模拟方案，尽管之前的一些研究针对正常copula下的多因素模型（Glasserman et al.2008）或t-copula下的单因素模型（Bassamboo et al.2008，Chan和Kroese 2010）解决了这一问题，在更一般的正态混合copula模型下，对于有效模拟多因素模型的重要抽样方法的研究很少，其中包括流行的正态copula和t-copula模型作为特例。特别是，现有的重要性抽样算法不能用于模型（50）和（51）中的投资组合损失。为了弥补这一缺点，我们提出了一种重要的抽样算法来估计在正态混合copula下投资组合遭受巨大损失的概率。值得再次提及的是，新提出的有效指数化更适合于正常混合模型模拟。通过八因素模型下的经验示例，表13所列方法的方差减少性能证实了这一点。

请注意，对于这组校准因子负荷，具有较高权重的特质风险√1.-ρS≈ 潜变量Xk值以0.877为主；在这种情况下，倾斜最后一个非负标量值随机变量Wd+1对variancereduction性能至关重要。对于更多的应用，作为未来的工作，我们考虑在更一般的copula模型（如阿基米德copula模型）中应用此方法来估计预期的不足。请注意，在实际应用中，模拟的需求更为严重，其中模型（50）中的参数未知，必须从实际数据集进行估计；见第11.5章（McNeil et al.2015）。此外，当使用bootstrap方法对未知参数进行精确的区间估计时，需要对bootstrap算法进行1000次复制。我们认为，在这种情况下，Fuh和Hu（2004）提出的修正重要性抽样将非常有用。作者：文章简称第34篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）结论本文研究了一个具有正态混合copula的多因素模型，该模型允许多变量故障具有非对称分布。由于投资组合的数量、债务人的异质性影响以及违约事件罕见且相互依赖的现象，很难通过直接分析或粗略的蒙特卡罗模拟来计算投资组合信用风险。为了解决这个问题，我们首先提出了一种有效的指数化算法，然后提出了一种有效的模拟算法来估计在正常混合copula下投资组合遭受巨大损失的可能性。

我们还提供了所提出方法的理论合理性，并通过数值结果和实证例子说明了其有效性。基于此模型，未来可能有几个方向。举几个例子，首先，我们将探索所提议的有效指数倾斜的更多特性，并将其应用于更多的实践，看看它能走多远。其次，我们可以考虑在ETA椭圆copula和/或阿基米德copula模型下模拟投资组合损失。第三，虽然在本文中，默认时间是固定的，默认边界是外生的，但默认时间可以是预定时间T之前的任何时间，默认边界可能取决于企业特征，也可能取决于状态和时间。为了捕捉这些现象，我们将考虑更复杂的动力学模型，对于这些模型，重要性抽样应该更复杂。第四，通过建立首次通过时间模型，将企业价值过程与信用评级结合起来考虑更为实际。在这种情况下，需要对马尔可夫链进行重要抽样。附录：定理1的证明为了证明定理1，我们需要以下三个命题。命题1取自定理VI.3.4。在Ellis（1985）中，命题2是凸分析的标准结果，命题3取自Soriano（1994）的定理1。注意，虽然命题2和命题3中的函数域是整个空间，但子空间的结果仍然适用于类似的证明。作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）35提案1。f（θ）在θ处可微∈int（Θ）当且仅当d偏导数f（θ）θifor i=1，···，d存在于θ∈ int（Θ）和是有限的。提案2。让f：Rd→Rbe在所有x上都是连续的∈Rd。

如果f是强制性的（在f（x）的意义上）→∞ 如果kxk→∞), 那么f至少有一个全局极小值。提案3。让f：Rd→R、 f是连续可微函数和凸可满足函数（13）。则存在f的最小点<定理1的证明>在下面，我们首先证明G（θ，η）是严格凸函数。对于任何给定λ∈（0，1）和（θ，η），（θ，η）∈Θ×H，通过ψ（·，·）的凸性，我们得到ψ（λθ+（1-λ)θ, λη+ (1 -λ)η) = ψ(λ(θ, η) + (1 -λ)(θ, η)) (52)≤ λψ(θ, η) + (1 -λ)ψ(θ, η).ThenG（λ（θ，η）+（1-λ） （θ，η））=G（λθ+（1-λ)θ, λη+ (1 -λ） η）=Ep（十） 经验值-((λθ+ (1 -λ） θ）| h（X）+（λη+（1-λ） η）| h（X））+ψ（λθ+（1-λ)θ, λη+ (1 -λ)η)≤ Ep公司（十） 经验值-((λθ+ (1 -λ） θ）| h（X）+（λη+（1-λ） η）| h（X））+λψ（θ，η）+（1-λ)ψ(θ, η)by（52）=Ep（十） 经验值-λ（θ| h（X）+η| h（X））+λψ（θ，η）-(1 -λ） （θ| h（X）+η| h（X））+（1-λ)ψ(θ, η)< EP公司λ（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）+（1-λ)（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）= λG（θ，η）+（1-λ） G（θ，η）。接下来，我们证明了优化问题（9）中（θ，η）的存在性。为了得到G（θ，η）的全局极小值，我们注意到，从上述参数来看，G（θ，η）是严格凸的，并且G（θ，η）θiandAuthor：文章短标题36文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）G（θ，η）η存在于i=1，···，p，j=1，···，q。命题1确定G（θ，η）连续可微于（θ，η）∈Θ×H.通过（9）中G（θ，η）的定义，很容易看出条件i）意味着G（θ）是强制性的。然后根据命题2，G（θ，η）有一个唯一的极小值。很容易看出ii）在命题3中暗示条件成立。为了证明（14）和（15），我们将（10）和（11）的右侧简化为Qθ，η。标准代数givesEP（十） h（X）e-（θ| h（X）+η| h（X））EP公司[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]=E'Qθ，η[h（X）]，EP（十） h（X）e-（θ| h（X）+η| h（X））EP公司[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]=E'Qθ，η[h（X）]，对于i=1，··，p，j=1，··，Q。这意味着期望的结果。

尾注1。虽然一些论文提到，他们可以处理d因子模型，但因子遵循i.i.d.高斯变量，因此可以通过Cholesky分解简化为一维情况。这里我们将均值向量和方差协方差矩阵作为两个参数。3、为了简单起见，我们省略了A、B和C之前的系数。虽然为了简单起见，我们在这里考虑了单位协方差矩阵，但可以直接将其扩展到任何有效的协方差矩阵∑。注意，定理1适用于指数族中的随机变量。在本节中，我们仅应用建议的重要性抽样来模拟投资组合损失。在模拟罕见事件概率的情况下，X在非凸集中，需要基于混合分布倾斜进行进一步分解，参见Fuh和Hu（2004），Glasserman等人（2008）。这方面的进一步研究将在另一篇论文中研究。所有的实验都是通过Mathematica 11在带有2.6 GHz Intel Core i7 CPU的MacBookPro上运行程序获得的。作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）377.请注意，如Scott和Metzler（2015）所述，由于他们的算法需要较少的计算时间，但精度略低于Chan和Kroese（2010），因此我们在此仅将其性能与Bassamboo等人（2008）、Chan和Kroese（2010）进行比较。8、该现象与示例2和第4.1.9节所示的情况一致。在这里报告的所有实验中，预定的精度水平 设置为10-4.10. 请注意，我们将此示例视为八因素模型；将我们的有效重力倾斜与Glasserman等人（2008）提出的方法相结合的方法将是未来的工作。11

选择这两个值是为了匹配Akhavein等人（2005）估计的相关性。12、请注意，这里我们按照Rosen和Saunders（2010）中的设置来定义（51）中的损失，这与（1）中的不同；因此，模拟方案与简单修改几乎相同。13、由于该多因素模型仅用于说明方法，为简单起见，此处选择的每个债务人的阈值大致与指数的平均一年违约概率0.19%相匹配。致谢本研究部分由台湾科技部资助，资助项目包括：MOST 105-2410-H-008-025-MY2、MOST 106-2118-M-008-002-MY2、MOST 102-2221-E-845-002-MY3和MOST 105-2221-E-001-035。参考Sakhavein JD、Kocagil AE、Neugebauer M（2005）《资产相关性的比较实证研究》。惠誉评级技术报告。Asmussen S，Glynn P（2007）《随机模拟：算法与分析》（纽约：Springer-Verlag）。Barndor Off-Nielsen OE（1978）《双曲线分布和双曲线上的分布》。斯堪的纳维亚统计杂志5（3）：151–157。Barndor Off-Nielsen OE（1997）正态逆高斯分布和随机波动率建模。斯堪的纳维亚统计杂志24（1）：1–13。作者：文章简称第38篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）Bassamboo A，Juneja S，Zeevi A（2008）《具有极值依赖的投资组合信用风险：渐近分析和有效模拟》。运筹学56（3）：593–606。Botev ZI，L\'Ecuyer P，Tu ffin B（2013）《马尔可夫链重要性抽样及其在罕见事件概率估计中的应用》。

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