组合信用风险的有效指数倾斜

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英文标题：
《Efficient Exponential Tilting for Portfolio Credit Risk》
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作者：
Cheng-Der Fuh, Chuan-Ju Wang
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper considers the problem of measuring the credit risk in portfolios of loans, bonds, and other instruments subject to possible default under multi-factor models. Due to the amount of the portfolio, the heterogeneous effect of obligors, and the phenomena that default events are rare and mutually dependent, it is difficult to calculate portfolio credit risk either by means of direct analysis or crude Monte Carlo under such models. To capture the extreme dependence among obligors, we provide an efficient simulation method for multi-factor models with a normal mixture copula that allows the multivariate defaults to have an asymmetric distribution, while most of the literature focuses on simulating one-dimensional cases. To this end, we first propose a general account of an importance sampling algorithm based on an unconventional exponential embedding, which is related to the classical sufficient statistic. Note that this innovative tilting device is more suitable for the multivariate normal mixture model than traditional one-parameter tilting methods and is of independent interest. Next, by utilizing a fast computational method for how the rare event occurs and the proposed importance sampling method, we provide an efficient simulation algorithm to estimate the probability that the portfolio incurs large losses under the normal mixture copula. Here the proposed simulation device is based on importance sampling for a joint probability other than the conditional probability used in previous studies. Theoretical investigations and simulation studies, which include an empirical example, are given to illustrate the method.
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中文摘要：
本文研究了在多因素模型下，贷款、债券和其他可能违约的工具组合的信用风险度量问题。由于投资组合的数量、债务人的异质效应以及违约事件罕见且相互依赖的现象，在此类模型下，很难通过直接分析或粗略的蒙特卡罗方法计算投资组合信用风险。为了捕捉债务人之间的极端依赖性，我们为具有正态混合copula的多因素模型提供了一种有效的模拟方法，该方法允许多变量违约具有非对称分布，而大多数文献侧重于模拟一维情况。为此，我们首先提出了一种基于非常规指数嵌入的重要性抽样算法，该算法与经典的充分统计量有关。注意，与传统的单参数倾斜方法相比，这种创新的倾斜装置更适合多元正态混合模型，并且具有独立的意义。接下来，通过利用罕见事件如何发生的快速计算方法和提出的重要性抽样方法，我们提供了一种有效的模拟算法，以估计在正态混合copula下投资组合发生重大损失的概率。在此，所提出的模拟装置基于联合概率的重要性抽样，而不是先前研究中使用的条件概率。通过理论研究和仿真研究，包括一个实例，对该方法进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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PDF下载：
--> Efficient_Exponential_Tilting_for_Portfolio_Credit_Risk.pdf (714.6 KB)

2022-6-1 16:40:25 上传

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关键词：信用风险 Multivariate distribution Applications Quantitative

已提交TomanScript（请提供手稿编号！）鼓励作者通过风格文件模板（包括期刊标题）向期刊提交新论文。然而，使用模板并不证明论文已被接受在指定期刊上发表。《通知》杂志模板仅供提交给《通知》杂志使用，不得用于以印刷或在线方式分发论文，也不得用于将论文提交给其他出版物。投资组合信用风险的有效指数倾斜中国上海复旦大学傅凡海国际金融学院，cdfu@fudan.edu.cnChuan-中央研究院信息技术创新研究中心，台湾台北，cjwang@citi.sinica.edu.twThis本文考虑了在多因素模型下，贷款、债券和其他可能违约的工具组合的信用风险度量问题。由于投资组合的数量、债务人的异质影响以及违约事件罕见且相互依赖的现象，很难通过直接分析或粗糙的蒙特卡罗模型计算投资组合信用风险。为了捕捉义务人之间的极端依赖性，我们为具有正态混合copula的多因素模型提供了一种有效的模拟方法，该方法允许多变量默认值具有非对称分布，而大多数文献侧重于模拟一维情况。为此，我们首先提出了一种基于非常规主动嵌入的重要性抽样算法，该算法与经典的有效统计相关。请注意，这种创新的倾斜装置比传统的单参数倾斜方法更适用于多元正态混合模型，并且具有独立的意义。

接下来，通过利用稀有事件如何发生的快速计算方法和提出的重要性抽样方法，我们提供了一种有效的模拟算法，以估计在正态混合copula下投资组合遭受巨大损失的概率。在此，所提出的模拟装置基于联合概率的重要性抽样，而不是先前研究中使用的条件概率。通过理论研究和仿真研究，包括一个实例，对该方法进行了说明。关键词：投资组合，模拟，方差减少，重要性抽样，投资组合信用风险，Fouriermethod，Copula模型，稀有事件模拟。作者：文章简称2文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）1、介绍由于债务人未履行所需付款义务而产生的损失，通常称为信用风险，是金融机构最关心的问题之一。现代信用风险管理通常采用组合方法来衡量和管理这种风险，其中对组合中信用风险来源（债务人）之间的依赖关系进行建模。在债务人潜在违约的情况下，投资组合法评估了债务人之间的依赖性对多重违约和重大损失可能性的影响。此外，债务人触发的违约事件通常通过所谓的阈值模型来捕捉，在该模型中，当与债务人相关的潜在变量超过（或低于）预定阈值时，债务人违约。

这一重要概念在源自默顿信用风险模型（默顿1974）的所有模型中都是共享的；与每个债务人相关的潜在变量使用因子分析结果产生的多个因子进行建模，从而捕获常见的宏观经济或行业特定影响。为了模拟形成多元违约分布的依赖结构，文献中广泛采用了copulafunctions（例如，Li 2000、Glasserman和Li 2005、Glasserman等人2007、2008、Bassamboo等人2008、Chan和Kroese 2010）。最常用的模型之一是正态copula模型，该模型假设潜在变量遵循多变量正态分布，并构成许多风险管理系统的基础，如J.P.Morgan的CreditMetrics（Gupton et al.1997）。尽管它很受欢迎，但一些实证研究表明，在正常copula模型中很难捕捉到金融变量之间表现出的强烈依赖性（Mashal和Zeevi，2002）。因此，鉴于这一局限性，Bassambooet al.（2008）提出了一个从多元t分布衍生的t-copula模型，以捕捉金融变量的相对强依赖结构。更多研究见Chanand Kroese（2010）和Scott and Metzler（2015）。蒙特卡罗模拟是建模信贷风险来源之间的依赖关系时最广泛采用的计算技术；然而，它收敛缓慢，尤其是在低概率事件中。为了在模拟中更有效地获得罕见事件概率，一位常见的作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）3方法是通过重要性抽样改变因子平均值，这是一种方差减少（例如，Asmussen和Glynn 2007，Rubinstein和Kroese 2011）。

文献中研究了用于信用风险度量的罕见事件模拟的各种重要抽样技术（如Glasserman和Li 2005、Glasserman等人2007、Bassamboo等人2008、Botev等人2013、Scottand Metzler 2015、Liu 2015）。例如，Glasserman和Li（2005）为正态copula模型开发了两步重要抽样方法，并推导了与单因素同质投资组合相关的损失分布尾部的对数极限。由于难以将该方法推广到一般多因素模型，Glasserman et al.（2007）推导出了多因素正态copula模型下损失分布的对数渐近，其结果后来被Glasserman et al.（2008）用于开发重要抽样技术，以估计大损失的尾部概率，考虑不同类型的债务人。其他人则关注t-copula模型的重要抽样技术；例如，Bassambooet al.（2008）提出了两种重要抽样算法，以在多元t分布的假设下估计大损失的概率。Chan和Kroese（2010）提出了基于条件蒙特卡罗的简单模拟算法，该算法利用了罕见事件如何发生的渐近描述；后来在Scott和Metzler（2015）中，作者开发了一种新的重要性抽样算法，与Chan和Kroese（2010）中的算法相比，该算法需要更少的计算时间，但结果的准确性略低。

然而，大多数针对正态copula和t-copula模型提出的重要抽样技术都是基于大偏差理论，通过最小化重要性抽样估计器二阶矩的上界来选择倾斜参数，并且在这些论文中，它们只关注一维情况。另一种选择倾斜参数的方法是基于直接最小化重要性抽样估计量方差的准则。例如，Do和Hall（1991年）以及Fuhand Hu（2004年）研究了有效的模拟，以引导感兴趣的统计数据的抽样分布。Su和Fu（2000）以及Fu和Su（2002）在原始概率测度下最小化方差。Fuh等人（2011年）在多元t分布下应用重要性抽样方法计算风险价值（VaR）。作者：文章简称第4篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）沿着最小化重要抽样估计量方差的思路，本文针对正态混合copula模型下的投资组合风险问题提供了一种有效的模拟方法，其中包括流行的正态copula和t-copula模型作为特例。在这里，我们在一般模型设置中考虑分组正态混合copula。正态混合模型的一个重要思想是通过一组正混合变量将随机性纳入多变量非线性分布的协方差矩阵，在建模portfoliocredit风险的背景下，这些变量可以被解释为“冲击变量”（见Bassamboo et al.2008，McNeil et al.2015）。

文献中有各种与正态混合模型相关的实证和理论研究（如Barndorff-Nielsen 1978、1997、Eberlein和Keller 1995）；这些模型在金融应用中很受欢迎，因为此类模型似乎能产生良好的财务回报数据，并且与连续时间模型一致（Eberlein和Keller 1995）。本研究分为两个方面。首先，基于重要性抽样估计方差最小化的准则，我们提出了一种创新的重要性抽样算法，该算法基于非传统的有效指数嵌入。在这里，我们称之为有效指数倾斜，因为嵌入的形式是基于基础分布的有效统计来选择的，在我们的方法中，可以倾斜不止一个参数（通常是两个参数）；例如，倾斜参数可以是多元正态分布中的位置和尺度参数。理论研究和数值研究支持我们新提出的重要性抽样方法。注意，创新的倾斜公式更适合分组正态混合copula模型，并且是独立的。值得一提的是，对于正态、多元正态和伽马分布，我们的模拟研究表明，对于一些简单的罕见事件模拟，有效指数倾斜的性能是经典单参数指数倾斜的2到5倍。特别是，当在正态混合模型中应用有效的指数倾斜时，倾斜参数可以是下伏伽马分布的形状或速率参数，这会导致更有效的模拟。作者：文章短标题文章提交至；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）5接下来，通过利用罕见事件如何发生的快速计算方法和提议的重要性抽样方法，我们为多因素模型和正态混合copula模型提供了一个有效的模拟算法，以估计投资组合发生大损失的概率。更准确地说，在这一阶段，我们使用傅立叶逆变换来处理总损失的分布，即n个“加权”独立但非同分布的伯努利随机变量的总和。介绍了牛顿法的一种自动变体，用于确定最佳倾斜参数。请注意，拟议的模拟设备基于联合概率的重要抽样，而不是先前研究中使用的条件概率。最后，为了说明我们方法的适用性，我们提供了在不同copula设置下所提出算法的数值结果，并强调了减少方差和增加计算时间之间的权衡。此外，我们还给出了一个实证例子，其中包含一组由CDXIGindex数据校准的多因素模型的参数。具体而言，我们的贡献总结如下：1。我们提出了一种基于创新指数倾斜装置的重要性采样算法。我们提出的高效指数嵌入方法本质上是对文献中常用的单参数倾斜方法的改进，该方法适用于正态copula或t-copula模型，更适用于分组正态混合copula模型。理论研究和数值研究支持我们的方法。2、基于所提出的倾斜方法，针对具有正态混合copula的多因素模型，提出了一种有效的模拟方法。

请注意，所提出的算法是一种多维方法，而以前的大多数文献侧重于模拟一维情况。3、大量的仿真研究证明了该方法的能力和性能。方差缩减因子与时间消耗率之间的关系表明，该算法取得了良好的性能，从而为度量正常混合copula模型中的组合信用风险做出了实际贡献。作者：文章简称第6篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）本文的其余部分组织如下。第2节阐述了估计大型投资组合损失的问题，并提出了正态混合copula模型。第3节介绍了基于有效指数嵌入的重要性抽样的一般说明。然后，我们在第4节研究了在正态混合copulamodel下提出的投资组合损失的最优重要性抽样。我们的方法的性能分别在第5节和第6节中通过广泛的模拟研究和实证示例进行了演示。第7节结束。这些建议推迟到附录中。2、正态混合copula模型下的投资组合损失考虑由n个债务人组成的贷款组合，每个债务人违约的概率很小。我们进一步假设，第k个债务人违约造成的损失，表示为asck（货币单位），是已知的。在基于copula的信用模型中，每个债务人的违约指标之间的依赖性通过潜在变量X=（X，···，Xn）的向量引入，其中，如果xk超过某个选定的阈值χk，则第k个债务人违约。违约总损失由n=c{X>χ}+···+cn{Xn>χn}，（1）其中是指标函数。

尤其值得注意的是，估计损失概率P（Ln>τ），尤其是在τ值较大时。如前所述，广泛使用的正态copula模型可能对投资组合中多个同时违约事件的概率不足。有鉴于此，Bassamboo等人（2008年）、Chan和Kroese（2010年）提出了t-copula模型来建模投资组合信用风险。在本文中，我们进一步考虑了正规混合模型（McNeil et al.2015），包括正规copula和t-copula模型作为特例，对于公式xk=ρk1pWZ+····+ρkdpWdZd+ρkpWd+1的广义d-因子模型k、 k=1，n、 （2）whichAuthor：提交给的文章简称；手稿编号（请提供手稿编号！）7oZ=（Z，…，Zd）|遵循具有零均值和协方差矩阵∑的d维多元正态分布，其中|表示向量转置；oW=（W，…，Wd，Wd+1）是独立于Z的非负标量值随机变量，对于j=1，…，每个WJI都是冲击变量，彼此独立，d+1或W=W=····=Wd+1是常见的伽马随机变量；ok~N（0，σ) 是与第k债务人相关的特殊风险，k=1，···，n；oρk1，ρkd是第k个债务人的因子载荷，ρk1+·····+ρkd≤1;o ρk=p1-（ρk1+····+ρkd），对于k=1，····，n。模型（2）是McNeil et al.（2015）中所谓的分组正态混合copula。上述分布被称为方差混合模型，它是根据一组由W分布控制的“权重”，从这组成分多元正态分布中随机抽取的。这种分布使我们能够通过variablesW混合乘性冲击，这可以解释为新信息产生的冲击。