组合信用风险的有效指数倾斜

不过，请注意倾斜其他参数作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）17α（即α→α + θ*) 在某些情况下，在方差折减因子方面的性能是单参数指数倾斜的2到3倍。这是由于约束-θ<α，η<β。例如，考虑只倾斜一个参数的情况，θ或η如下。对于简单事件{X>a}，我们可以选择一个参数η，使得0<η<β，或者选择一个参数θ，使得θ>0，以获得倾斜伽马分布的更大平均值。在这种情况下，很容易看出θ-倾斜产生了更大的参数搜索空间，因此获得了比η-倾斜更好的性能。请注意，事件{1/X>a}显示了相反的效果。[X~ γ（α，β）]方差折减系数方差折减系数a原油P（X>a）θ*η*(θ*, η*) P（1/X>a）θ的原油*η*(θ*, η*)10 2.613×10-13 2 3 0.2 2.438×10-12 4 620 1.050×10-246 24 47 0.5 1.864×10-215 41 4530 1.800×10-41,288 567 1,307 1.5 3.100×10-4294 1,321 1,74435 3.000×10-511,788 4,788 12,226 2.5 6.000×10-52156 11904 11939表3伽马分布的有效指数重要性抽样备注3。从上述示例中观察到，所提出的有效指数倾斜在两个方面的方差减少方面取得了改进。首先，在某些情况下，通过我们高效的指数倾斜算法同时对多个参数进行倾斜，大大提高了方差缩减性能；例如，在模拟简单中等偏差罕见事件的情况下，对于正态分布，虽然单独更改σ或ρ可能不会在方差减少方面提供很大帮助，但将其与u一起更改可以实现比传统均值漂移单参数倾斜法更好的3到4倍的性能。

其次，在某些情况下，倾斜其他一些参数会导致更好的性能；例如，对于伽马分布，改变形状参数α会使某些罕见事件的性能更好，尽管传统的参数倾斜总是会改变速率参数β。此外，对于简单的情况，这种双参数倾斜方法的计算时间几乎与单参数倾斜方法的计算时间相同，因为我们的算法在定位最佳倾斜参数时总是以3或4次迭代收敛。第5.2节提供了有关计算成本的更复杂混合物分布的分析。作者：文章简称第18篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）另一方面，对于其他感兴趣的事件，例如，e（X1{0<X<a}），除了所提出的罕见情况之外，所提出的有效指数倾斜方法总是比单参数倾斜方法提供更好的性能，因为最佳的双参数倾斜包括单参数倾斜的解。例如，在模拟标准noraml分布的E（X1{0<X<1}）的情况下，通过我们的方法将标准偏差与平均值一起倾斜可获得比仅倾斜平均值更好的10倍方差缩减性能。4、投资组合损失的重要性抽样为了便于列报，本节分为三个部分。我们首先在第4.1节中介绍了正态混合物分布的有效势倾斜。第4.2节提供了（3）中定义的%（Z，W）的重要抽样。第4.3节总结了用于计算投资组合损失概率P（Ln>τ）的重要抽样算法。4.1. 正态混合分布的有效指数倾斜回想一下，在方程（2）中，潜在随机向量X遵循多元正态混合分布。

在本节中，为了简单起见，我们以一维正态混合分布为例来演示所提出的有效指数倾斜。设X为一维正态混合随机变量，只有一个因子（即d=1），X=ξ√W Z，（26），其中ξ∈ R、 Z~ N（0，1），W是一个非负的标量值随机变量，它与Z无关。由于随机变量W与Z无关，通过对Z使用h（Z）和h（Z），对W使用∧h（W）和∧h（W）的函数嵌入，我们得到了dqθ，η，θ，η/dLdP/dL=exp{θh（Z）+ηh（Z）}E[exp{θh（Z）+h（Z）]}exp{θh（W）+~h（W）}E[exp{θ▄h（W）+η▄h（W）]}，（27）其中θ，η是Z和θ的倾斜参数，η是W的倾斜参数。现在，我们通过让u：=θ/（1）来考虑标准参数化-2η), σ:= 1/(1 -2η），θ：=θ，以及η：=η，在第3节的示例中采用。如果W遵循伽马分布，则伽马（α，β）来自方程式（16）和（23），方程式（27）变成dqu，σ，θ，η/dLdP/dL（28）作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）19=σexp{uz-u/2 +σ-12σ（z-u）}×ewη+θlog（w）Γ（α）（1/β）-α(β -η)-α-θΓ(α + θ).最佳倾斜参数u*, σ*对于Z，可通过求解方程（17）和θ获得*和η*对于W，是（25）和（24）的解。表4列出了一维单因素正态混合分布的数值结果。由于对于正态混合随机变量，方差与随机变量W相关，与将W（即θ或η）参数与u倾斜相比，将标准偏差σ与正态随机变量Z的平均u倾斜相对不显著。如表4所示。

此外，与实施例2中所示的情况类似，在这种情况下，在方差减少的意义上，倾斜θ和u也比倾斜η和u产生更好的性能。[Z]~N（0，1），W~ γ（α，β）]方差折减系数a原油u*σ*(u*, σ*) θ*η*(u*, θ*) (u*, η*)P(√W Z>a）2 1.344×10-13 1 6 1 1 5 44 2.808×10-27 2 10 2 1 17 138 9.500×10-430 8 48 4 3 394 23412 2.000×10-570 28 199 11 4 9619 5054表4正态混合分布的有效指数重要性抽样下，我们总结了第k债务人违约事件的倾斜，如果xkexkeeds a giventhresholdχkas“ABC事件倾斜”，这实际上涉及尾部事件{（a+B）C>τ}的计算，（29）其中a表示系统风险因素的正态分布部分，B表示与每个债务人相关的特殊风险，C表示独立于A和B的非负和标量值随机变量。例如，对于正态混合copula模型（2），d维多元正态随机向量Z=（Z，···，Zd）与A相关kis与B相关，非负和标量值随机变量W与C相关。表5总结了Glasserman和Li（2005）、Bassamboo等人（2008）、Chan和Kroese（2010）、Scott和Metzler（2015）以及我们的论文中使用的指数倾斜。注作者：文章短标题20文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）单参数倾斜（传统）有效指数倾斜（建议）Glasserman和Li（2005）Bassamboo et al.（2008）Chan和Kroese（2010）Scott和Metzler（2015）我们的论文多变量正态分布t-dist.正态混合分布A 3 7 3 3B 3 7 7 7 7C NA 3 7 3 3表5 ABC事件倾斜Glasserman和Li（2005）考虑了正态copula模型，因此无需强化C。

值得一提的是，Bassamboo等人（2008）、Chan和Kroese（2010）、Scottand Metzler（2015）只考虑了一维t分布，而我们考虑了多维正态混合分布。此外，除了提出的模型外，其他四种方法都采用了所谓的单参数倾斜。例如，尽管Scott和Metzler（2015）考虑了A和C的倾斜，这与我们的设置相同，但在两种分布中，只有一个参数是倾斜的（即，正态分布的平均值和伽马分布的形状）；然而，在我们的方法中，倾斜参数可以是基础伽马分布的形状参数或速率参数，这会导致更有效的模拟。4.2. 指数倾斜%（Z，W）在本小节中，我们使用与第3节中相同的符号。设Z=（Z，…，Zd）|是一个具有零均值和单位协方差矩阵I的d维多变量正态随机变量，并将W=（W，…，Wd+1）|表示为与Z无关的非负标量值随机变量。在概率测度P下，设f（z）=f（z，…，zd）和f（w）=f（w，…，wd+1）分别是z和w相对于勒贝格测度L的概率密度函数。如前所述，我们的目标是计算概率测度P下的期望%（z，w），m=EP[%（z，w）]（30）。为了通过重要性抽样对（30）进行评估，我们选择了一个抽样概率度量Q，其中Z和W具有相应的概率密度函数Q（Z）=Q（Z，…，zd），作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）21q（w）=q（w，…，wd+1）。假设Q相对于P是绝对连续的；方程（30）可以写成asEP[%（Z，W）]=等式%（Z，W）f（Z）q（Z）f（W）q（W）.

（31）设Qu，∑，θ，η为P的有效指数倾斜概率测度。这里，通过ρ和σ=（σ，…，σd）|构造的下标u=（u，…，ud）|和∑是随机向量Z的倾斜参数，θ=（θ，…，θd+1）|和η=（η，…，ηd+1）是W的倾斜参数。定义似然比r1、u、∑（z）=f（z）q1、u、∑（z）和r2、θ、η（w）=f（w）q2、θ、η（w），（32），其中q1、u、∑（z）和q2、θ、η（w）分别表示与倾斜参数u和倾斜参数θ的q（z）对应的概率密度函数。然后，结合（32），方程式（31）如下%（Z，W）f（Z）q（Z）f（W）q（W）= 等式u，∑，θ，η[%（Z，W）r1，u，∑（Z）r2，θ，η（W）]。（33）表示G（u，∑，θ，η）=EP%（Z，W）r1，u，∑（Z）r2，θ，η（W）. （34）通过使用与第3节中相同的参数，我们最小化G（u，∑，θ，η），得到倾斜公式。即倾斜参数u*, Σ*, θ*, 和η*选择满足G（u，∑，θ，η）u= 0,G（u，∑，θ，η）Σ= 0, (35)G（u，∑，θ，η）θ= 0,G（u，∑，θ，η）η= 0. （36）注意，为了模拟（1）中考虑的投资组合损失，%（z，w）=P（Ln>τ| z=z，w=w）。因此，为了得到（35）和（36）中的最佳倾斜参数，我们必须计算条件默认概率P（Ln>τ| Z=Z，W=W）。因此，我们采用如下所述的快速傅立叶逆变换（FFT）方法。然而，首先，我们注意到，使用方程式（2）中第k个债务人的延迟因素Xk的定义，条件违约概率P（Xk>χk | Z=Z，W=W）给定Z=（Z，…，zd）|和W=（W，…，wd+1）|变为spz，W，k=Pk> χk-Pdi=1ρki√WiZiρkpWd+1Z=Z，W=W！。（37）作者：文章简称第22篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）非同一ck的（快速）傅立叶逆变换。

对于不相同的ck，n个独立但非相同分布的“加权”伯努利随机变量之和的分布变得难以评估。这里，我们采用傅里叶逆变换计算%（z，w）（Oberhtinger 2014）。回想一下Ln |（Z=Z，W=W）等于lz，wn=nX`=1c`Hz，W`，（38），其中Hz，W`~ Bernoulli（pz，w，`）和Lz，wn的支持是一个具有有限个值的离散集。其傅里叶变换为φLz，wn（t）=E[eitLz，wn]=E[eit（Pni=1c\'Hz，w`）]=nY`=1E[eitc\'Hz，w`]=nY`=1φHz，w`（tc`），（39），其中φHz，w`（s）=1-pz，w，`+pz，w，`es。对于随机变量Lz，wn，我们可以通过反转傅里叶级数来恢复qz，wk=P（Lz，wn=k）：qz，wk=2πZπ-πeiktnY`=1φHz，w`（tc`）dt，（40），其中k=1，2，···，∞.FFT算法计算序列的离散傅立叶变换（DFT）或其逆。为了减少计算时间，本文使用FFT来近似概率不等式（40）。利用欧拉关系eiθ=cosθ+i sinθ，我们可以确定φLz，wn（t）的周期为2π；i、 e.，φLz，wn（t）=φLz，wn（t+2π），这是由于ei（t+2π）k=eitk。利用这个周期性性质，我们现在计算区间[0，2π]内N个等距值的特征函数φLz，wn为bz，wm=φLz，wn2πmN, m=0，1，···，N-1定义了概率序列qz，wk的DFT。通过使用上述特征函数值的对应序列，我们可以恢复概率序列；也就是说，从bz、wm的序列中提取qz、wk的序列，这可以通过使用反向DFT操作▄qz，wk=NN来实现-1Xm=0bz，wme-i2πkm/N，k=0，1，···，N-1.（41）作者：文章简称提交至；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）23最后，%（z，w）的近似值可计算为%（z，w）=1-PFFT（Lz，wn≤τ) = 1 -τX`=0qz，w`，（42），其中PFFT（·）表示使用快速傅立叶逆变换近似的概率。请注意，即使是“精确”FFT算法在使用有限精度浮点算法时也有误差，但这些误差通常非常小。大多数FFT算法都有突出的数值特性；例如，Cooley-Tukey算法的相对误差范围为( 日志N）。为了证明近似性能，表6提供了几个示例，显示了傅立叶逆变换的近似误差和计算时间。在表中，我们设置义务人的数量n=250，并假设pz，w，`=0.1（即Hz，w`~ 伯努利（0.1）），表示隐含性。为了检查近似性能，我们首先考虑ci=1相等的情况，其中概率（表示为PBinomial（·））通过参数n=250和p=0.1的二项分布的累积密度函数进行分析评估。观察到近似概率（PFFT（·））和分析概率（PBInomential（·））之间的差异是无差异的，即偏差非常小。此外，我们使用五种不同的TCI调查案例，其中我们将近似概率与通过500000个样本模拟生成的概率进行比较；如表6所示，近似概率均在相应的95%置信区间内。

我们还注意到，计算时间随着不同ci的数量呈线性增长。ci=1 ci=（d5ie/n）τPFFT（Ln≤τ）PFFT（Ln≤τ ) -pBinomential（Ln≤τ）时间τPFFT（Ln≤τ）PMC（Ln≤τ）（95%CI）时间20 1.72×10-1.-7.19×10-150.03 200 1.29×10-11.29×10-1(1.28×10-1, 1.30×10-1) 0.1310 3.53×10-4.-7.69×10-170.04 100 1.32×10-31.31×10-3(1.21×10-3, 1.41×10-3) 0.145 5.84×10-71.11×10-160.04 50 1.20×10-51.00×10-6(1.24×10-6, 1.88×10-5） 0.14表6傅里叶逆变换的近似性能和计算时间（秒）4.3。算法本小节总结了我们实现所提出的高效指数重要性采样算法的步骤，该算法由两部分组成：倾斜参数搜索作者：文章短标题24文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）以及尾部概率计算。第一部分的目的是确定最佳倾斜参数。我们使用自动牛顿法实现搜索阶段（Tenget al.2016）。我们在此定义了与Payoff函数%（Z，W）相关的共轭度量值Qu，∑：=\'Q%（Z，W）u，∑，\'Qθ，η：=\'Q%（Z，W）θ，η。利用共轭测度和（19）、（20）、（25）和（24）中的结果，我们定义了函数gu（u）、g∑（∑）、gθ（θ）、gη（η）（见等式（35）和（36））asgu（u）=u-E'Qu，∑[Z'Ln>τ]，（43）g∑（∑）=K（u，∑）-E'Qu，∑[Z|(ηiM）Z | Ln>τ]对于i=1，2，····，d+1，（44）gθ（θ）=-对数（β-η) + Υ(α+ θ), ··· , -对数（βd+1-ηd+1）+Υ（αd+1+θd+1）|(45)-E'Qθ，η[ln（W）| ln>τ]，gη（η）=α+θβ-η、 ···，αd+1+θd+1βd+1-ηd+1|-E'Qθ，η[W | Ln>τ]，（46），其中（44）中的ηiM在（21）中定义。为了找到最佳倾斜参数，我们必须找到上述四个方程的理论。用牛顿法，通过δ（k）=δ（k）迭代求出（43）、（44）、（45）和（46）的根-1)-J-1δ（k-1） gδ（δ（k-1） ），（47）其中gδ（δ）的雅可比矩阵定义为jδ[i，j]：=δjgδ，i（δ）。

（48）在（47）和（48）中，δ可以替换为u、∑、θ和η，以及J-1δ是矩阵Jδ的逆。为了测量（43）、（44）、（45）和（46）中的解的根精度，我们定义了gδ（δ）askgδ（δ）k=gδ（δ）gδ（δ）gδ（δ），（49）的平方误差之和，当kgδ（δ（n））k小于预定精度水平时，可接受aδ（n）. 第一部分的详细程序如下：作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）25o确定最佳倾斜参数：（1）从N（0，i）生成独立样本z（i），从γ（νj/2，1/2）生成独立样本q（i）ji，i=1。B计算w（i）j=νj/q（i）j，j=1，d+1。（2） 适当设置u（0）、∑（0）、θ（0）和η（0），k=1。（3） 通过（43）、（44）、（45）和（46）计算gδ（0）函数。（4） 计算gδ函数的Jδ及其逆矩阵。（5） 计算δ（k）=δ（k-1)-J-1δ（k-1） gδ（δ（k-1） ）in（47），δ=u，∑，θ，η。（6） 通过（43）、（44）、（45）和（46）计算gδ（k）函数。如果 δ ∈ {u，∑，θ，η}，kgδ（δ（k））k<, 设置δ*= δ（k）并停止。否则，返回步骤（4）。我们继续描述计算损失概率的第二个组件，其中最佳倾斜参数为u*, Σ*, θ*和η*使用（参见上述第一个组件的步骤（6））。出于演示目的，我们展示了t-copula模型的详细过程，其中方程（2）中的潜在向量X遵循多元t分布（回想一下W-1j=Qj/νjand Qj~γ（νj/2，1/2），对于j=1，d+1）。第二组分的详细程序总结如下：o计算损失概率P（Ln>τ）：（1）从N（u）生成独立样本z（i*, Σ*) γ（νj/2）的q（i）j-θ*j、 1/2+η*j） 对于i=1。B计算w（i）j=νj/q（i）j，j=1。