组合信用风险的有效指数倾斜

请注意，如果W=W=····=Wd+1是一个常见的伽马随机变量，则X会形成一个多变量TDistribution，这是财务建模中最常用的形式。此外，我们考虑了Wj，j=1，方程（2）中的d+1具有广义逆高斯（GIG）分布。GIG混合分布是对称广义双曲线（GH）分布的一种特例，对于财务回报建模非常灵活。此外，GH分布还包括对称正态逆高斯（NIG）分布和具有双曲分布的对称多变量分布，因为其一维边缘是有趣的例子。请注意，这类分布在财务建模文献中已经很流行。一个重要的原因是它们与用来模拟连续时间价格过程的L'evy过程（如布朗运动或复合泊松分布）有关。例如，Eberlein和Keller（1995），Eberlein等人（1998）使用广义双曲分布对财务回报进行建模。读者可参考（McNeil et al.2015）了解更多详情。作者：文章简称第8篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）我们现在确定了以Z和W为条件的总投资组合损失的尾部概率。具体而言，以因子Z和W为条件的总投资组合损失的尾部概率（表示为%（Z，W））定义为%（Z，W）=P（Ln>τ|（Z，W））。（3） 所需损失概率可表示为asP（Ln>τ）=E[%（Z，W）]。（4） 为了对总投资组合损失概率（4）进行有效的蒙特卡罗模拟，我们对因子Z=（Z，…，Zd）|和W=（W，…，Wd+1）|的分布进行了重要抽样（见等式（2））。

换句话说，我们试图为Z和W选择重要抽样分布，以减少估计积分E[%（Z，W）]相对于Z和W原始密度的方差。正如Glasserman和Li（2005）在正常copula模型中所指出的，（4）的模拟涉及两个罕见的事件：违约事件和总投资组合损失事件。对于普通混合模型（2），这使得（4）的模拟更具挑战性。对于这类问题的一般模拟算法，我们将P（Ln>τ）模拟为（4）中的期望值%（Z，W）。我们的设备基于联合概率模拟，而不是文献中考虑的条件概率模拟。此外，我们注意到，模拟分布——多变量非线性分布和W的常用伽马分布——都是双参数分布。这促使我们在下一节中研究有效的指数倾斜。3、有效指数倾斜(Ohm, F、 P）是给定的概率空间。设X=（X，…，Xd）|是一个d维随机向量，f（X）=f（X，…，Xd）作为概率密度函数（pdf），在概率测度P下，关于Lebesguemeasure L。允许（·）是RDTOR中的实值函数。感兴趣的问题是计算（十） ，m=EP[（十） ]，（5）作者：文章简称提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）9式中，EP[·]是概率测度P下的期望算子。为了使用重要性抽样计算（5）的值，我们选择一个抽样概率度量Q，在该度量下，X相对于勒贝格度量有一个pdf Q（X）=Q（X，…，xd）。假设概率测度Q相对于原始概率测度P是绝对连续的。

因此，方程式（5）可以写成ZRD（x） f（x）dx=ZRd（x） f（x）q（x）q（x）dx=等式（十） f（X）q（X）, （6） 式中，EQ[·]是期望算子，在此期望算子下，X相对于Lebesguemeasure L具有pdf q（X）。比率f（X）/q（X）被称为重要抽样权重、似然比或Radon-Nikodym导数。这里，我们重点讨论P的指数倾斜概率测度。我们没有考虑文献（Asmussen和Glynn 2007）中出现的通常采用单参数指数倾斜的情况，而是提出了一种高效的指数倾斜算法。据我们所知，高效指数嵌入的使用在文献中似乎是新的。如以下示例所示，现有两参数分布（如伽马分布和正态分布）的倾斜概率可通过求解简单公式获得。设Qθ，η为倾斜概率测度，其中下标θ=（θ，…，θp）|∈ Θ Rp和η=（η，···，ηq）|∈Hrq倾斜参数。这里p和q分别表示参数sinΘ和H的数量。设h（x）是rdtorp的函数，h（x）是rdtorq的函数。假设（h（X），h（X））的矩母函数存在，并用ψ（θ，η）表示。设fθ，η（x）为指数倾斜概率测度Qθ，η下x的pdf，由fθ定义，η（x）=eθ| h（x）+η| h（x）ψ（θ，η）f（x）=eθ| h（x）+η| h（x）-ψ（θ，η）f（x），（7），其中ψ（θ，η）=lnψ（θ，η）是累积量函数。注意，在（7）中，我们提出了一种适合我们推导的参数化类型。以下示例和备注中给出了特定分布的h（x）和h（x）的显式表示，包括正态和多元正态分布以及伽马分布。作者：文章简称第10篇文章提交给；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）考虑有效的指数嵌入。方程式（6）becomesZRd（x） f（x）dx=ZRd（x） f（x）fθ，η（x）fθ，η（x）dx=等式θ，ηh（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）i.由于重要性抽样估计量的无偏性，其方差为v arQθ，ηh（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）i=等式θ，η“（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）#-m、 （8）其中m=RRd（x） f（x）dx。为简单起见，我们假设重要性采样器的方差存在。用G（θ，η）定义（8）右侧（RHS）的第一项。然后最小化v arQθ，η（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）等价于最小化G（θ，η）。标准代数给出了G（θ，η）的更简单形式：G（θ，η）：=等式θ，η“（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）#= EPh公司（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）i，（9），用于确定最佳倾斜参数。在下面的定理中，我们证明了（9）中的G（θ，η）是θ和η中的凸函数。该特性确保在确定最佳倾斜参数时，搜索阶段不存在多模问题。为了最小化G（θ，η），一阶条件需要θ，η的解，用θ表示*, η*, 使满意θG（θ，η）|θ=θ*= 0，和ηG（θ，η）|η=η*= 0，其中θ表示相对于θ的梯度，并且η表示相对于η的梯度。在X为指数函数且ψ（θ，η）是关于θ和η的有界连续可微函数的条件下，利用优势收敛定理，简单计算得到θG（θ，η）=EPh（十）(-h（X）+θψ（θ，η））e-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）i，ηG（θ，η）=EPh（十）(-h（X）+ηψ（θ，η））e-（θ| h（X）+η| h（X））+ψ（θ，η）i，因此，（θ*, η*) 是以下非线性方程组的根，θψ（θ，η）=EP（十） h（X）e-（θ| h（X）+η| h（X））EP公司[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]，（10）ηψ（θ，η）=EP（十） h（X）e-（θ| h（X）+η| h（X））EP公司[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]。（11） 作者：文章短标题文章提交至；手稿编号：。

（请提供手稿编号！）11为了简化（10）和（11）的RHS，我们定义了共轭测度\'Qθ，η：=\'Qθ、 关于Payoff函数的测量Q的η asd'Qθ，ηdP=（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））EP[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]=（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））-ψ（θ，η），（12），其中ψ（θ，η）是对数ψ（θ，η），其中ψ（θ，η）=EP[（十） e类-（θ| h（X）+η| h（X））]。那么（10）的RHS等于E'Qθ，η[h（X）]，在'Qθ，η下h（X）的期望值，而（11）的RHS等于E'Qθ，η[h（X）]，在'Qθ，η下h（X）的期望值。下面的定理建立了（9）的极小值的存在性、唯一性和特征。在此之前，为了确保力矩母函数ψ（θ，η）的完整性，我们添加了一个条件，即ψ（θ，η）是陡峭的，参见Asmussen和Glynn（2007）。为了确定陡度，让θ-i=（θ，···，θi，···，θp）∈Θ使得所有θk固定为k=1，····，i-1，i+1，···，p，第i分量除外。表示η-j∈H对于j=1，···，q也是这样。现在，让θi，max：=sup{θi：ψ（θ-i、 η）<∞}对于i=1、···、p和ηj，max：=sup{ηj：ψ（θ，η-j） <∞} 对于j=1，···，q（对于轻尾分布，我们有0<θi，max≤∞ 对于i=1、···、p和0<ηj，max≤∞ 对于j=1，···，q.）。然后陡度表示ψ（θ，η）→∞ asθi→θi，对于i=1、···、p或ηj，最大值→ηj，maxj=1，···，q。定理1中使用了以下条件。i） ψ（θ，η）ψ（θ，η）→∞ asθi→θi，对于i=1、···、p或ηj，最大值→ηj，对于j=1，···，q，最大值；ii）G（θ，η）是Θ×H上的连续可微函数，SUPI=1，··，p，j=1，··，qlimθi→θi，最大值G（θ，η）θi，limηj→ηj，最大值G（θ，η）ηj> 0。（13）注意，条件i）或ii）用于保证存在最小点。更多详情请参见附录。定理1。假设θ存在（h（X），h（X））的矩母函数ψ（θ，η）∈Θ Rp和η∈HRq。假设ψ（θ，η）陡峭。此外，假设i）或ii）保持不变。

（9）中定义的G（θ，η）是（θ，η）中的凸函数，并且存在唯一的极小值（9），满足θψ（θ，η）=E'Qθ，η[h（X）]，（14）ηψ（θ，η）=E'Qθ，η[h（X）]。（15） 作者：文章简称第12篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）定理1的证明见附录。备注1。a） 为了使指数倾斜概率测度Qθ、η与原始概率测度P保持在同一指数族中，h（x）和h（x）的一种可能选择是基于原始概率分布的有效统计。例如，对于正态分布，有效统计量为T（x）=[x x x]，因此h（x）=x，h（x）=x；对于伽马分布，有效统计量为T（x）=[对数x x]，因此h（x）=对数x，h（x）=x，对于贝塔分布，有效统计量为T（x）=[对数x对数（1- x） ]且h（x）=对数x，h（x）=对数（1-x） 。这种装置也可以应用于其他分布，如对数正态分布、逆高斯分布和逆伽玛分布等。。b） 现在，我们为这个设备提供一个启发式解释。将有效统计用于指数倾斜的想法是，我们可以将这种倾斜视为同一给定参数族中的有效指数倾斜。此外，通过使用指数族中的Fisher-Neyman因式分解定理，我们注意到该装置可以在同一指数族中提供指数倾斜的最大自由度。我们还希望有一个类似于拉奥·布莱克威尔定理的有效指数倾斜的类比：在相同的指数嵌入中，在所有可能的重要抽样中最小化均方损失。

这些特性的理论研究将在另一篇论文中进行研究。为了说明所提出的有效指数倾斜，我们在此给出了两个示例：多元正态分布和伽马分布。我们选择这两种分布来表示在我们的一般框架中使用的有效指数倾斜的位置和尺度特性。在这些示例中，通过使用适当的重新参数化，我们根据每个分布的有效统计量获得了整洁的倾斜公式。我们的模拟研究还表明，对于一些简单的罕见事件，所提出的su-fficientExponential倾斜的性能是经典的单参数指数倾斜的2到5倍。我们在这里检查对每个示例应用定理1的有效性。首先，我们注意到多变量正态分布和伽马分布都是陡峭的。接下来，不难看出作者：文章短标题文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）13有效条件ψ（θ）ψ（θ）→∞ asθi→θi，对于i=1、···、p或ηj，最大值→ηj，maxfor j=1，····，qin定理1在每个例子中都成立。例如，当X~ Nd（0，∑），则ψ（θ）=O（ekθk）接近∞ 快速有效。这里说明的另一个简单示例是（十） =1{X∈A} 和A：=[A，∞) ×···×[公元，∞), 对于所有i=1、····、d和X，ai>0具有d维标准正态分布，那么很容易验证定理1中的充分条件成立。示例1。多元正态分布。为了说明有效指数嵌入的概念，我们首先以一维正态分布随机变量为例。设X为标准正态分布的随机变量，用N（0，1）表示，概率密度函数（pdf）dPdL=e-x/2/√2π.

通过使用h（x）：=x和h（x）：=x的（7）中的有效指数嵌入，我们得到dqθ，η/dLdP/dL=exp{θh（x）+ηh（x）}E[exp{θh（x）+ηh（x）}]=p1-2ηexp{ηx+θx-θ/(2 -4η)}. （16） 在这种情况下，倾斜概率测度Qθ，η为N（θ/（1- 2η), 1/(1 - 2η）），η<1/2，位置刻度族。对于以下事件（十） ={X>a}对于a>0，定义Qθ，η为N(-θ/（1+2η），1/（1+2η）），η>-1/2.为了便于演示，我们考虑标准参数化，让u：=θ/（1）-2η), σ=1/(1 -2η）和定义Qu，σ为N(-u/(2σ-1), σ/(2σ-1） ）σ>1/2。应用定理1，（u*, σ*) 是u=E'Qu，σ[X'X>a]和σ+u=E'Qu，σ[X'X>a]的根。（17） 以单参数指数嵌入情况为例，σ固定。标准计算给出了ψ（θ）=eθ/2、ψ（θ）=θ/2和ψ（θ）=θ。利用X |{X>a}是一个截断正态分布的事实，在Q，θ下具有最小值a*必须满足θ=φ（a+θ）1-Φ（a+θ）- θ、 参见Fuh和Hu（2004）。作者：文章简称第14篇文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）[X~ N（0，1）]P（X>a）u的方差折减系数a原油*σ*(u*, σ*)1 1.566×10-15 2 122 2.300×10-219 4 603 1.370×10-3222 35 6174 3.000×10-57094 860 32552表1正态分布的有效指数重要性抽样表1给出了正态分布的数值结果。如表中所示，使用简单事件{X>a}的有效指数倾斜，在方差折减因子方面的性能比单参数指数倾斜要好2到5倍。现在我们开始研究d维多元正态分布。设X=（X，…，Xd）|是一个具有标准多元正态分布的随机向量，用N（0，I）表示，PDF det（2πI）-1/2e-（1/2）x | I-1x，其中I是单位矩阵。

通过使用（7）中的有效指数嵌入，我们得到了dqθ，η/dLdP/dL=exp{θ| x+x | Mx}E[exp{θ| x+x | Mx}]=Eθ| x+x | Mx-（θ|）（I-2米）-1θ）p |（I）-2米）-1 |，（18），其中|·|表示矩阵的行列式，andM=（aij）∈Rd×d，对于i=j，aij=η，对于i 6=j，aij=ηd+1。在这种情况下，倾斜概率测度Qθ，η为（（i-2米）-1θ，（I-2米）-1).对于以下事件（十） ={X∈A} ，将Qθ、η定义为N（（I+2M）-1(-θ） ，（I+2M）-1). 与上述一维正态分布类似，我们通过让u：=（I）来考虑标准参数化- 2米）-1θ，∑：=（I- 2米）-1，定义“Qu，∑为N(-（2I- Σ-1)-1(Σ-1） u，（2I- Σ-1)-1).应用定理1，（u*, Σ*) 是u=E'Qu的根，∑[X | X∈A] ，（19）K（u，∑）=E'Qu，∑[X|(ηiM）X | X∈A] 对于i=1，2，····，d+1，（20）作者：文章短标题文章提交至；手稿编号（请提供手稿编号！）15其中ηiM=（bjk）∈Rd×Df对于i=1，2，···，d+1，（21）K（u，∑）=Tr-(ηi∑-1)(Σ)-u|(ηi∑-1)u. （22）在等式（21）中，Tr（A）是矩阵A的轨迹；bjkis的值定义如下：foreach i=1、···、d、bjk=1，如果i=j=k，则为0，否则，对于i=d+1，则为bjk=1，如果i 6=k，则为0，否则为。备注2。（19）和（20）的左侧（LHSs）是累积量函数ψMN（θ，η）的导数：=log（p |）（I-2米）-1 |）+（θ|（I-2米）-1θ）分别对应于参数θ和η的多元正态分布。注意，在（22）的RHS中，矩阵（I）行列式的导数采用雅可比公式-2米）-1和ηi∑-1isηi∑-1= ηi（i-2M）=（mjk）∈对于i=1，2，···，d+1，其中对于每个i=1，···，d，mjk=-2，如果i=j=k，则为0，否则，对于i=d+1，则为mjk=-2，如果i 6=k，则为0，否则为。表2给出了标准二元正态分布的数值结果。

如表所示，对于三种类型的事件{X+X>a}、{X>a、X>a}和{XX>a、X>0、X>0}，倾斜不同的参数会导致方差减少的不同性能。尽管有时会倾斜作者：文章短标题16文章提交给；手稿编号（请提供手稿编号！）方差参数或相关参数单独提供较差的性能，将它们与平均参数倾斜相结合可以产生比一个参数指数倾斜更好的性能2到3倍。[X~ N（0，I）]方差折减系数k原油u*σ*ρ*(u*, σ*, ρ*)P（X+X>a）3 1.663×10-224 2 2 434 2.400×10-3138 4 2 3545 1.800×10-41064 8 4 4036P（X>a，X>a）1 2.532×10-29 1 2 161.5 4.600×10-334 2 7 682 5.800×10-4227 5 18 504P（XX>a，X>0，X>0）2 1.538×10-221 2 3 463 4.800×10-357 2 3 1455 5.600×10-表2标准二元正态分布的有效指数重要性抽样示例2。伽马分布。设X为伽马分布的随机变量，用伽马（α，β）表示，pdfdPdL=（βα/Γ（α））Xα-1e级-βx.通过使用（7）中的有效指数嵌入，h（x）：=log（x）和h（x）：=x，我们得到dqθ，η/dLdP/dL=exp{θh（x）+ηh（x）}E[exp{θh（x）+ηh（x）}=exη+θlog（x）Γ（α）（1/β）-α(β -η)-α-θΓ(α + θ). （23）在这种情况下，倾斜概率测度Qθ，η为γ（α+θ，β-η). 对于以下事件（十） ={X>a}对于a>0，定义Qθ，η为γ（α-θ, β + η). 应用定理1，（θ*, η*) 是的根-对数（β-η） +Υ（α+θ）=E'Qθ，η[对数（X）| X>a]，（24）α+θβ-η=E'Qθ，η[X'X>a]，（25），其中Υ（α+θ）是等于Γ（α+θ）/Γ（α+θ）的digamma函数。表3给出了伽马分布的数值结果。请注意，常用的参数指数倾斜仅涉及参数β的更改（即，将β更改为β-η*) 在伽马分布的情况下。