美式看跌期权的鲁棒界

（1）中的上确界给出了基于模型的最高价格，条件是F为平凡，F=σ（X），F=σ（X，Y）。然而，正如Hobson和Neuberger【23】所指出的，另见Hobson和Neuberger【22】、Bayraktarand Zhou【3】和Aksamit等人【1】，如果我们在更丰富的概率空间上工作，有时可能实现更高的模型价格。在金融背景下，概率空间的选择通常没有明确规定。相反，概率空间的选择是一个建模问题，似乎没有充分的理由限制对模型子类的关注，尤其是如果该子类不包括最佳值。我们的最新假设将排除u有原子的情况，因此我们发现，在F是M的自然过滤的环境中工作总是很有效的。2.3超边缘以下美式期权的稳健超边缘概念由Neuberger首次提出【25】，另见Bayraktar和Zhou【3】以及Hobson和Neuberger【23】。我们在两个时间点以折扣单位工作。考虑一个普通的美式期权，如果在时间1行使，则为a股，如果在时间2行使，则为b股，其中a:R 7→ R+和b：R 7→ R+是正函数。定义2。（φ，ψ，{θi}i=1,2）是（a，b）ifa（x）的超边≤ φ（x）+ψ（y）+θ（x）（y- x） ，（4）b（y）≤ φ（x）+ψ（y）+θ（x）（y）- x） 。（5） 超边的代价由C=C（φ，ψ，{θi}i=1,2；u，ν）=Zφ（x）u（dx）+Zψ（y）ν（dy）给出，其中我们将C=∞ ifRφ（x）+u（dx）+Rψ（y）+ν（dy）=∞. 设H（a，b）为超边缘策略（φ，ψ，{θi}i=1,2）的集。2.4弱二元性和强二元性2预备阶段和设定定义背后的想法是，套期保值者购买一个到期日为1的欧洲看跌期权（和看涨期权）和一个到期日为2的欧洲看跌期权（和看涨期权）的投资组合（和payoffψ）。

（事实上，这是可以做到的，成本为C，这源于Breeden和Litzenberger的观点【7】。）此外，如果在时间1行使美式期权，套期保值者在时间1和2之间持有标的θ单位；否则，套期保值者在此期间持有标的θ单位。在前一种情况下，（4）意味着该策略会使美式期权支付超边际化；在后一种情况下（5）表示相同。备注2。我们可以扩展定义，并允许在一段时间内持有贴现资产的θ单位【0，1】。那么（4）的RHS将是φ（x）+ψ（y）+θ（x- M） +θ（x）（y- x） 。（6） 然而，在重新标记φ（x）+θ（x）之后- M） 7→ φ（x），（6）减小到（4）。（注意Rθ（x-M） u（dx）=0，由鞅性质确定，因此C不变。）与（5）类似。因此，在0和1之间允许非z ero策略在一般性上没有好处。对偶（超边缘）问题是发现（u，ν；a，b）=inf（φ，ψ，{θi}i=1,2）∈H（a，b）C（φ，ψ，{θi}i=1,2；u，ν）。（7） 空间H可能非常大，能够在较小的空间上搜索非常有用。下一个引理表明，任何带ψ的凸ψ≥ b可用于生成a超对冲（φ，ψ，{θi}i=1,2）。对于凸函数χ，让χ′＋表示χ的右导数。引理2。假设ψ≥ 带ψ凸的b。定义φ=（a- ψ） +并设置θ=0和θ=-ψ′+. （φ，ψ，{θi}i=1,2）是一条超边。证据我们有B（y）≤ ψ（y）≤ φ（x）+ψ（y）=φ（x）+ψ（y）+θ（x）（y- x） 和（5）如下。同样，通过ψ，ψ（x）的凸性≤ ψ（y）- ψ′+（x）（y）- x） 安达（x）≤ （a（x）- ψ（x））++ψ（x）≤ φ（x）+ψ（y）+θ（x）（y）- x） 。因此（4）如下。设H=H（b）为凸函数ψ与ψ的集合≥ b

对于ψ∈H我们可以确定投资组合的相关成本C（ψ；u，ν）=Z（a（x）- ψ（x））+u（dx）+Zψ（y）ν（dy）。约化对偶套期保值问题限制了对ψ生成的超边的关注∈H和is to findD=D（u，ν；a，b）=infψ∈H（b）C（ψ；a，b）。（8） 显然我们已经≤D：我们将显示D=D代表美式看跌期权。2.4弱二重态和强二重态（S，M）是（u，ν）一致的模型，并在此框架中设τ为停止时间。根据这一停止规则，美国人的预期收益为E[（Kτ-Mτ）+]。相反，设ψ是ψ（y）的任何凸函数≥ （K）- y） +并设φ（x）=[（K- x）+- ψ（x）]+和θi（x）=-ψ′+（x）I{I=1}。然后对于任何i∈ {1，2}我们有（Ki- Mi）+≤ ψ（M）+φ（M）+θi（M）（M- M） 因此，对于any2.5，左帘耦合2个预备项，并设置{1，2}中的随机时间τ取值，（Kτ- Mτ）+≤ ψ（M）+φ（M）+θτ（M）（M- M） 。ThenE[（Kτ- Mτ）+]≤ 前任~u，Y~ν[φ（X）+ψ（Y）]，我们有弱对偶P≤ D、 假设我们可以找到*, M*, B*) 带M*∈ 米（秒）*, u，ν）和ψ*∈H使得a（B*, M*, S*) =C（ψ）*, u, ν).然后A（B*, M*, S*) ≤ P≤ D≤D≤C（ψ*, u，ν）但由于两个外部项相等，我们有p=D和强对偶性。此外，（S*, M*) 是一个一致的模型，为美式看跌期权（和τ）生成最高的价格*由τ给出*= 1当且仅当X∈ B*是最佳练习规则）和ψ*生成最便宜的SuperEdge。2.5左幕耦合左幕耦合（或鞅输运）由Beiglb¨ock和Juillet[6]引入，Henry Labord¨ere和Touzi[16]以及Beiglb¨ock等人[5]进一步研究。对于实数c，d和c≤ x个≤ 定义概率测度χc，x，dbyχc，x，d=d-除息的-cδc+x-cd光盘-cδd，其中χc，x，d=δxif（d- x） （十）- c） =0。注意，χc，x，dhas表示x。χc，x，dis是从（c，d）第一次退出时的x开始的布朗运动定律。引理3（Beiglb¨ock和Juillet[6]，推论1.6）。

设u，ν为凸序概率测度，并假设u是连续的。然后存在一对可测函数Td:R 7→ 兰德图：R 7→ R使得Td（x）≤ x个≤ Tu（x），对于所有x<x′，我们有Tu（x）≤ Tu（x′）和Td（x′）/∈ （Td（x），Tu（x）），如果我们定义πlc（dx，dy）=u（dx）χTd（x），x，Tu（x）（dy），那么πlc∈^∏M（u，ν）。πlcis称为左幕鞅耦合。注意，函数Td，Tuin引理3没有唯一性。例如，TDA和TUA的定义在外部并不重要[lu，ru]。此外，如果Tu在x′处有一个（必然向上的）跳跃，那么我们为Tu（x′）取什么值并不重要，只要Tu（x′）∈ [Tu（x′）-), Tu（x′+）。（因为我们假设u是连续的，所以我们选择x坐标值x′的概率为零。）更重要的是，如果（Td，Tu）满足引理3的性质，并且如果Tu（x）=x在区间[x，x]上，那么我们可以将Tdon（x，x）的定义修改为Td（x）=x或Td（x）=Td（x-) 并且仍然满足相关的单调性性质。Henry Labord\'ere和Touzi【16】通过在集Tu（x）=x上设置Td（x）=x，并将tuan和tda取为右连续来解决这种不确定性。我们遵循Henry Labord\'ere和Touzi[16]，在集Tu（x）=x上取Td（x）=x，但我们没有对Tdand Tu进行正确的连续性假设。此外，我们写（f，g）代替（Td，Tu）。引理4。设（Td，Tu）是一对满足引理3中所列单调性性质的函数。假设它们导致一个解πlc∈^∏M（u，ν）。设置g（x）=Tu（x）。在g（x）>x集f（x）=Td（x）和在g（x）=x集f（x）=x上，则（f，g）是这样的f（x）≤ x个≤ 对于所有的x′>x，我们有g（x′）≥ g（x）和f（x′）/∈ （f（x），g（x））。此外，u（dx）χf（x），x，g（x）（dy）=u（dx）χTd（x），x，Tu（x）（dy）。证据性质f（x）≤ x个≤ g（x）是直接的，所以我们只需要检查对于x′>x，我们有g（x′）≥ g（x）和f（x′）/∈ （f（x），g（x））。

g的单调性继承自Tu的单调性。如果g（x）=x，则f（x）=x和f（x′）/∈ （f（x），g（x））=. 如果g（x）>x且g（x′）>x′，则f（x′）=Td（x′）/∈ （Td（x），Tu（x））=（f（x），g（x））。最后，如果g（x）>x且g（x′）=x′，则f（x′）=x′/∈ （f（x），x′=g（x′） （f（x），g（x））。图1给出了在ν没有原子的情况下f和g的程式化表示。（ν原子导致f和g的水平截面，见第3.6节。）在图中，集合{g（x）>x}是区间的有限并集，而通常它可能是区间的可数并集。类似地，图f中有很多向下的跳跃，而通常它可能有很多跳跃。图1捕获了f和g的基本行为。2.5左侧帘式联轴器2的预备工作和设置图1：一般情况下（无原子）函数f和g的样式化图。注意，在集合g（x）=x上，我们有f（x）=x。备注3。左帘鞅耦合可通过以下方式与图1识别：根据u选择x坐标；如果g（x）=x，则设置Y=x=x，因此对（x，Y）位于对角线上；否则，如果g（x）>x，那么f（x）<x，我们将y坐标设置为g（x），概率为x-f（x）g（x）-f（x）和f（x），概率为g（x）-xg（x）-f（x）。然后坐标（x，y）表示（x，y）的实现值。对于水平标高y，有两种情况。g（y）>y，然后y的值根据x=g的u进行选择-1（y），选择g（x）而不是f（x）；或g（y）=y，值y要么来自根据x=y的u进行的选择，要么来自根据f的u进行的选择-1（y）与f（f）的y坐标选择相结合-1（y））=y。假设ν也是连续的且fix x x。

然后，根据备注3的第一段，在左幕鞅耦合下，时间1的间隔（f（x），x）中的质量映射到时间2的间隔（f（x），g（x））。因此{f（x），g（x）}与f（x）≤ x个≤ g（x）是zxfu（dz）=Zgfν（dz），（9）Zxfzu（dz）=Zgfzν（dz）的溶液。（10） 本质上，（9）是质量条件的保持，（10）是平均值和鞅性质的保持。如果ν有原子，则（9）和（10）分别变为zxfu（dz）=Z（f，g）ν（dz）+λf+λg，（11）Zxfzu（dz）=Z（f，g）Zν（dz）+fλf+gλg，（12），其中0≤ λf≤ ν（{f}）和0≤ λg≤ ν（{g}）。回到连续u和ν的情况，对于固定x，可以有多个解决方案（9）和（10）。然而，如果我们将f和g视为x的函数，并在u为引理3的无原子性质时施加额外的单调性3鲁棒界（对于x<x′，g（x））≤ g（x′）和f（x′）/∈ （f（x），g（x）），那么通常，对于几乎所有x，对于（9）和（10）有唯一的解。然而，存在f跳变的异常x和存在多个解决方案的异常x，请参见第3.3节。备注4。注意，如果g（x）=Tu（x）=x=f（x）>Td（x），那么我们通常没有rxtd（x）u（dz）=Rg（x）Td（x）ν（dz）和rxtd（x）zu（dz）=Rg（x）Td（x）zν（dz）。然而，我们通常有rxf（x）u（dz）=Rg（x）f（x）ν（dz）和rxf（x）zu（dz）=Rg（x）f（x）zν（dz）。这解释了当g（x）=x时，我们选择f（x）的原因。备注5。有许多对（u，ν）导致相同的一对函数（f，g）。相反，让我 我 R be区间和定义I，I={（f，g）：g:I→ 一、 g（x）≥ x、 f：我→ 一、 f（x）≤ x} 设Ξ=∪我IΞI，I.假设u是任何可积测度，通过π（dx，dy）=u（dx）χf（x），x，g（x）（dy）和νviaν（dy）=Zxu（dx）χf（x），x，g（x）（dy）定义π。

（13） 然后（根据可积性条件）我们得到π∈^∏M（u，ν）。此外，如果我们设ΞI，IMon={（f，g）∈ ΞI，I:g增加，f（x）=x对g（x）=x，对于x′>x f（x′）/∈ （f（x），g（x））}和ΞMon=∪我IΞI，IMon，然后假设满足相同的可积性条件，我们得到，如果ν由（13）给出，那么π由π（dx，dy）=u（dx）χf（x），x，g（x）（dy）给出的π是左帘耦合。这句话的相关性如下。给定一对u≤cxν除了（f，g）之外，可能很难确定（f，g）的特性，这些特性定义了左帘耦合∈ 周一。（例如，如果不计算f和g，可能很难确定f向下跳跃的次数。）然而，如果我们想要构造（f，g）具有额外属性（例如没有向下跳跃）的示例，那么我们可以从适当的对（f，g）开始，在定义f的区间上取任意（连续）初始定律u，然后通过（13）定义ν。这一观察结果支持了我们在第3.2节和第3.3.3节中的分析，即当u是无原子的3.1问题公式时，美式看跌期权的稳健界限。我们在本节中的目标是推导美式看跌期权的最高一致模型价格。我们首先给出问题的简明表述，并陈述我们主要结果的版本。然后，我们首先在一个简单的特例中研究这个问题，然后将其推广到一个展示了所有主要特征的案例中，然后在一般案例中进行分析。在本文中，我们假设u没有原子。同样的假设也出现在Beiglb¨ockand Juillet【6】、Henry Labord\'ere和Touzi【16】以及Beiglb¨ock等人【5】中。Hobson和Norgilas研究了将左Curtain鞅耦合推广到u有原子的情况[24]。长期假设1。u没有原子。我们认为美国人有资产。

根据债券计分法，我们用M=（M=(R)u，M=X，M=Y）表示基础证券的价格。美式看跌期权只能在第1次或第2次行使：如果在第1次行使看跌期权，则支付金额为（K- 十） +；如果执行put，我们需要Ru（dx）（g（x）-x） （十）-f（x））g（x）-f（x）I{g（x）>f（x）}<∞. 那么ν是可积的，u≤cxν和π是鞅耦合。3.2色散假设3稳健界限当u在时间2无原子时，payoff为（K- Y）+。我们说在时间1（分别为时间2）ifX<K（分别为Y<K）时，看跌期权在货币中。否则，资金就用完了。假定X和Y的定律已知，L（X）=u，L（Y）=ν。在假设1下，我们的问题是TopProblem 1。Find1。美式期权的最高可能预期收益，其中预期是在符合M边际定律的模型下计算的，2。最便宜的超高价格。我们的主要结果如下：定理1。基于模型的美国看跌期权的最高预期收益等于最便宜的超边际价格。此外，通过与左幕鞅耦合相关的模型（以及明智选择的停止规则），可以获得基于模型的最高预期收益。此外，我们可以描述最便宜的su-per对冲策略：它采用引理2中描述的形式，是四种可能的类型之一。我们首先考虑几个退化情况。如果K≤ lu那么，美式看跌期权在时间1时总是缺钱，美式看跌期权与欧洲看跌期权在行使和到期日2时是等价的。由于行使与到期日为1的看跌期权是无成本的，因此一个简单的超边际策略是购买一个行使与到期日为1的欧洲看跌期权，以及一个行使与到期日为2的欧洲看跌期权。

这种对冲的成本是Pν（K），这也是在任何一致模型下，基于模型的美国看跌期权的预期收益。如果K≤ K时E[（K- Y）+X]≥ （K）- X）+≥ （K）- 十） +和τ=2是最佳值。同样，美国看跌期权与欧洲看跌期权具有相同的行使和到期日2。在这种情况下，对于asuperhedge来说，购买一个行使和到期日为2的欧洲看跌期权是足够的。通过引理2（带ψ（y）=（K）- y） +和φ=0）这将生成成本为Pν（K）的超边。同样，这是在任何一致的模型下，美国人基于模型的预期回报。对于本文的其余部分，我们提出了假设2。K> 最大值{lu，K}。3.2 American将分散假设置于3.2.1左侧帘式耦合下本节的目标是在一个简单的特例中呈现理论，并说明我们的方法的主要特点和解决技术，不受技术问题或考虑特例的影响。以下假设是对霍布索南德·克里梅克（Hobsonand Klimek）[20]提出的假设的一个小修改，另见亨利·拉伯德·埃尔尔（Henry Labord\'ere）和图兹（Touzi）[16]。见图2。假设1（分散假设）。u和ν分别与连续密度ρ和η绝对连续。ν在上有支持(lν、 rν） (-∞, ∞) 且η>0开(lν、 rν）。u支持(lu，ru） (lν、 rν）和ρ>0开(lu，ru）。

此外：（u）- ν） +集中在区间E=（E-, e+）和ρ>η；(ν - u）+集中在(lν、 rν）\\E和η>ρon(lν、 e类-) ∪ （e+，rν）。如果u≤cxν是具有不同方差的中心正态分布或具有共同均值的不同对数正态随机变量，则满足假设1。在离散假设下{k:Du，ν（k）>0}是一个区间，D=Du，ν凸于e-, 凹面打开（e-, e+，并且再次在e+上方凸出。3.2色散假设3u为无原子ρηfe时的稳健界限-x ge+图2：给定x>e时密度ρ和η以及f、g的位置示意图-. 如果可能，时间间隔（f，x）中的时间1质量保持在相同的位置。无法保持恒定的质量映射到（f，e-) 或者（x，g），以一种尊重鞅性质的方式。引理5（Henry Labard\'ere和Touzi【16】，第3.4节）。假设假设1成立。对于allx∈ （e）-, ru），存在f，g，f<e-< x<g，使（9）和（10）保持不变。此外，如果我们认为f和g是x在（e）上的函数-, ru）那么f和g是连续的，f严格减小，g严格增大，limx↓e-f（x）=e-= 林克斯↓e-g（x），limx↑ruf（x）=lν和limx↑rug（x）=rν。最后，如果我们将f和g的域扩展到[lu，ru]通过设置f（x）=x=g（x）打开[lu，e-] andf（ru）=lν和g（ru）=rν然后（f，g）∈ Ξ[lu，ru][lν、 周一。（e）-, e-)FG图3：色散假设下函数f和g的草图，区域K<f（K）和K>f（K）阴影。这是图1的一个简单特例。备注6。