美式看跌期权的鲁棒界

如前所述，让M*= （M）*= u，M*= 十、 M级*= Y）是随机过程，使得P（X∈ dx，Y∈ dy）=^πx*（dx，dy），其中^πx*∈^∏（u，ν）是结合了耦合uf的鞅耦合*,x个*7.→ νf*,g级*和￠uf*,x个*7.→ νf*,g级*.回想一下定理2的证明。在这里，为了证明MBEP=HC，我们使用了模型M下*, 或者更具体地说，在映射（f*, x个*) 至（f*, g级*), 在时间1“未执行”且在时间2处于货币中的质量由（ν）给出- u)|(-∞,f*)其中f*< e-. 当f（x′）<e时-（如（K，K）时的情况）∈ R∪R∪R） 然后同样的证明也适用，MBEP=HC，我们有最优性。然而，如果（K，K）∈ R∪ R、 那么情况就不是这样了*< e-因此，为了指定最佳模型，我们需要在耦合|uf上施加额外的结构*,x个*7.→ νf*,g级*.假设（K，K）∈ R∪ R、 然后x′<f*, 所以（f′，x′）∩ （f）*, g级*) = . 从f′和x′的定义性质可以看出，存在一个鞅耦合，我们称之为^πx′，x*∈^∏M（u，ν），结合了uf′，x′7的耦合→ νf′、x′和uf*,x个*7.→ νf*,g级*, 所以^πx′，x*映射（f′，x′）到（f′，x′，（f*, x个*) 至（f*, g级*) 和（（f′，x′）∪ （f）*, x个*))Cto（（f′，x′）∪ （f）*, g级*))C、 Let^M*= （^M*=u，μM*= 十、 ^M*= Y）是随机过程，使得P（X∈ dx，Y∈ dy）=πx′，x*（dx，dy）。If（K，K）∈ R∪ R∪ Rwe有M*∈ 米（秒）*, u，ν）和if（K，K）∈ R∩ Rwe有那个^M*∈ 米（秒）*, u, ν). 对于这两种模型，我们考虑一个候选停止时间τ*= 如果X<X，则为1*和τ*= 否则为2，则为候选超边（ψ*, φ*, θ*1,2）由函数ψ生成*在（17）中定义。定理3。假设假设2成立且（K，K）∈ R、 取决于（K，K）∈R∪ R∪ Ror R R∪ R、 型号M*和^M*和停止时间τ*是美国期权价格最高的一致模型。函数ψ*定义在（17）定义最便宜的SuperEdge。

此外，基于模型的最高价格等于最便宜的SuperEdge的成本。证据If（K，K）∈ R∪ R∪ r证明与第一个casein定理2的证明基本相同。为了方便起见，我们重复一下。第一个查找x*∈ （g）-1（K）、K）和f*∈ （十）*) 使得Υ（f*, x个*g级*= g（x*)) = 0如果x*= x′我们发现f*= f（x′）+=f′。在候选模型M下*质量低于f*时间1映射到时间2的同一点（这可能是因为f*< e-), 和massin（f*, x个*) 映射到（f*, g级*), 当质量大于x时*映射到f以下*或g以上*.然后在候选停止规则τ下*基于模型的预期收益等于ψ产生的套期保值策略的成本*:MBEP=Zx*-∞（K）- w） +u（dw）+Zf*-∞（K）- w） +（ν- u）（dw）=Pu（x*) + （K）- x个*)P′u（x*) + D（f*) + （K）- f*)D′（f*)= HC。现在假设（K，K）∈ R∪R、 引理7有一个唯一的x*∈ （g）-1（K），x′和f*∈ （十）*)使得Υ（f*, x个*, g级*= g（x*)) = 0如果x*= x′，那么我们有f*= f（x′）-) = x′。那么，既然ν是连续的，我们就得到了f*, x个*, g级*求解（9）和（10）。然而，请注意，x′≤ f*< e-.在候选模型^M下*时间1处（f′，x′）中的质量映射到时间2处的相同间隔。此外，质量低于f′，质量in（x′，f*) 时间1映射到时间2的同一点，质量in（f*, x个*) 映射到（f*, g级*). x以上的质量*要么映射到f′以下，要么映射到（x′，f*), g以上orto*. 特别是（ν- u)|(-∞,f′）∪（x′，f*)是指在时间1时未“行使”的质量，当u在时间2时在货币中无原子“行使”时，f 3稳健界限中的单跳为3.3。换句话说，（ν- u)|(-∞,f′）∪（x′，f*)是^M以下的概率*（X>X*, Y<K）。从（22）我们得到了rf′x′（K- w） （ν）- u）（dw）=0。

MBEP=Zx*-∞（K）- w） u（dw）+Zf′-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）+Zf*x′（K- w） （ν）- u）（dw）=Zx*-∞（K）- w） u（dw）+Zf*-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）-Zx′f′（K- w） （ν）- u）（dw）=Zx*-∞（K）- w） u（dw）+Zf*-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）=Pu（x*) + （K）- x个*)P′u（x*) + D（f*) + （K）- f*)D′（f*)= HC。3.3.2（K，K）∈ B=B∪ B∪ BTheorem 4。假设假设2成立，并且（K，K）∈ B=B∪ B∪ B、 然后有一个一致的模型（Y<K）=（X<K）∪ （X>K，Y<K），如果X′<K，（f′<X<X′）=（f′<Y<X′）。那么，如果X<Kandτ=2，则具有这些性质且停止规则τ=1的任何模型都可以获得最高的一致模型价格。最便宜的超边是由ψ（x）=（K）生成的- x） +且基于模型的最高价格等于最便宜对冲的成本。证据设ψ（y）=（K- y） +。定义φ如引理2中所示，我们发现φ（x）=（K- x）+- （K）- x） +和超磨边成本（对于所有情况都相同）isHC=Pν（K）+Pu（K）- Pu（K）。假设（K，K）∈ B、 然后利用f和g的性质以及左幕耦合，我们可以看到基于模型的预期收益等于套期保值成本的证明与定理2的第二种情况相同。特别是，MBEP=ZK-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）=Pu（K）+Pν（K）- Pu（K）。现在假设（K，K）∈ B、 然后，在左侧幕墙下，从时间1的（f′，x′）到时间2的相同间隔的耦合质量。因此，低于Kat时间2的质量在时间1时低于，或在时间1时高于x′。因此，我们再次得出MBEP=ZK-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）=Pu（K）+Pν（K）- Pu（K）。最后，假设（K，K）∈ B、 我们再次利用这样一个事实，即在左帘耦合下，时间1处的质量自（f′，x′）映射到时间2处的相同间隔。在这两种情况下，低于Kat时间2的质量要么低于Kat时间1，要么高于Kat时间1。特别是，可在时间2“运动”的质量由（ν）给出- u)|(-∞,f′）∪（x′，K）。

然后使用rx′f′（K- z） （ν）- u）（dz）=0we再次haveMBEP=ZK-∞（K）- x） u（dx）+Zf′-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）+ZKx′（K- y） （ν）- u）（dy）=ZK-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy），结束验证。3.3当u为无原子3.3.3（K，K）时，f 3鲁棒界中的单跳∈ WSuppose（K，K）∈ W、 对于这种情况，我们关联以下超边：设ψx′由ψx′（z）给出=（K）- z） z≤ f′；（K）- f′）- （z）- f′）K-f′x′-f′f′＜z≤ x′；0 z>x′，（26）见图9。因为ψx′是凸的，ψx′（z）≥ （K）- z） +，我们可以使用引理2生成相应的超边缘策略（ψx′，φx′，θx′1,2）。定理5。假设假设2成立且（K，K）∈ W、 然后，存在一个一致性模型（f′<X<X′）=（f′<Y<X′），如果X<Kandτ=2，则任何具有此性质且停止规则τ=1的模型都可以获得最高的一致性模型价格。最便宜的超边际由（26）中定义的ψx′产生，最高的模型基准价格等于最便宜对冲的成本。证据首先注意ψx′（z）=Θ（x′- z） ++（1- （f′）- z） +，其中Θ=K-f′x′-f′。因为x′<Kwe有φx′（w）+ψx′（z）=（K- w）+- ψx′（w）+ψx′（z）=（K- w） ++Θ[（x′）- z）+- （x′）- w） +]+（1- （f′）- z）+- （f′）- w） +]且该策略的成本（在任何一致模型下）为HC=Pu（K）+ΘD（x′）+（1- Θ）D（f′）。（K，K）f′x′ψx′图9：空白区域W.3.3 f和g以及超边缘的图片。当u为无原子时，f 3鲁棒边界中的单跳现在考虑基于模型的预期支付。从（22）可以看出，uf′，x′和νf′，x′具有相同的平均值和质量，且为凸序。此外，对于|uf′，x′和|νf′，x′也是如此。因此，存在一个鞅耦合，我们称之为^πx′∈^∏M（u，ν），将时间1（f′，x′）的质量映射到时间2的相同间隔。

因此，在该模型下，在时间2可以“运动”的唯一质量由（ν）给出- u)|(-∞,f′）。注意，因为f′和x′满足（22），而henceRx′f′（x′）- w） （ν）- u）（dw）=0，D（x′）- D（f′）=Zx′-∞（x′）- w） +（ν- u）（dw）-Zf′型-∞（f′）- w） +（ν- u）（dw）=Zf′-∞（x′）- f′（ν）- u）（dw）+Zx′f′（x′）- w） （ν）- u）（dw）=（x′的- f′）Zf′型-∞(ν - u）（dw）。然后假设我们在时间1停止，如果X<Kand在时间2，否则我们有mbep=ZK-∞（K）- w） +u（dw）+Zf′-∞（K）- w） +（ν- u）（dw）=ZK-∞（K）- w） u（dw）+Zf′-∞（f′）- w） （ν）- u）（dw）+（K- f′）Zf′型-∞(ν - u）（dw）=Pu（K）+D（f′）+Θ[D（x′）- D（f′）=Pu（K）+ΘD（x′）+（1- Θ）D（f′）=hC，按要求。3.3.4（K，K）∈ GRecall建造Luand Ld。对于K∈ （x′，g（x′）和K∈ （Ld（K），Lu（K））不存在x*∈ （g）-1（K），K），使得∧（x*) = 0; 相反∧（x′\'-) < 0<∧（x′）+。另一方面，从（23）中，我们发现存在ux′，x′和νx′，g（x′）的鞅耦合。此外，请注意，|uf′，x′到（x′，x′）和|νf′，x′到（x′，g（x′）的限制分别等于ux′，x′，和νx′，g（x′）。然后我们定义了一个鞅耦合^πx′，x′∈^∏（u，ν）通过结合uf′，x′7的耦合→ νf′，x′，ux′，x′7→ νx′，g（x′）和（￠uf′，x′）- ux′，x′）7→ （￠νf′，x′）- νx′，g（x′）。换句话说，^πx′，x′映射（f′，x′）到（f′，x′，（x′，x′）到（x′，g（x′）和（（f′，x′）∪ （x′，x′）Cto（（f′，x′）∪ （x′，g（x′））C.LetMx′，x′=（Mx′，x′u，Mx′，x′=x，Mx′，x′=Y）是随机过程，使得P（x∈ dx，Y∈dy）=πx′，x′（dx，dy）。然后是Mx′，x′∈ 米（秒）*, u, ν). 注意，模型Mx′，x′是定理5证明中使用的Mx′的一个补充。给定x′，也就是x′，我们定义超边如下。首次定义线性函数: [f′，x′]→ R和: [x′，g（x′）]→ R根据（x） =（K- f′）- （十）- f′）（K- f′）- （x′）x′- f′；（x） =（g（x′）- x） K级- x′g（x′）- x′，注意（f′）=（K- f′），（x′）=（x′），（x′）=K- x′和（g（x′）=0。

此外，直接计算表明-1 < ′（x） <′（x） <0。现在用ψx′，x′（z）定义函数ψx′，x′=（K）- z） z≤ f′；（z） f′<z≤ x′；（z） x′<z≤ g（x′）；0 z>g（x′）。（27）3.3当u为无原子（K，K）g（x′）x′f′ψx′，x′x′=g′时，f 3鲁棒界中的单跳图10：点区域g的f和g以及超边的图片。对冲函数ψx′，x′在x′处有一个扭结。通过构造ψx′，x′是凸的，ψx′，x′（z）≥ （K）- z） +（见图10），因此引理2可以用来构造超边（ψx′，x′，φx′，x′，θx′，x′1,2）。定理6。假设假设2成立且（K，K）∈ G、 如果x<x′、τ=2，则模型Mx′、x′和停止时间τ=1可获得最高的一致模型价格。此外，（27）中定义的ψx′，x′产生最便宜的超边缘，基于模型的最高价格等于最便宜的超边缘的成本。证据在候选模型Mx′下，时间1处（f′，x′）中的x′质量映射到时间2处的相同间隔，而（x′，x′）中的质量映射到（x′，g（x′）。然后，在候选停止时间下（如果X<X′，则在时间1行使，否则在时间2行使），关于在时间1未行使期权的事件的Y定律（在Mx′，X′）由（ν）给出- u)|(-∞,f′）+ν|（g（x′），∞). 因此，bep=Zx′\'-∞（K）- w） +u（dw）+Zf′-∞（K）- w） +（ν- u）（dw）=Pu（x′）+（K- x′P′u（x′）+D（f′）+（K- f′）D′（f′）。现在考虑ψx′，x′产生的套期保值成本。设Θ=K-f′-（x′）x′-f′=-′和Θ=K-x′g（x′）-x′′=-′. 注意，我们可以将（27）重写为ψx′，x′（z）=Θ（g（x′））- z） ++（Θ- Θ）（x′）- z） ++（1- （f′）- z） +。

那么φ（z）=（1- Θ）[（x′”- z）+- （f′）- z） +]+（1- Θ）[（x′\'- z）+- （x′）- z） +]，3.3μ无原子时f 3鲁棒界的单跳，因此套期保值成本isHC=ΘPν（g（x′））+（1- Θ）D（f′）+（1- Θ）Pu（x′）+（Θ）- Θ）D（x′）=Pu（x′））+D（f′）+Θ[D（x′）- D（f′）+Θ[Pν（g（x′））- Pν（x′）- Pu（x′）+Pu（x′）]。现在使用（22）和g（x′）=x′这一事实，我们得到了D′（f′）=D′（x′）和f′D′（f′）- D（f′）=x′D′（x′）- D（x′）。因此Θ[D（x′）- D（f′）=（K- f′）D′（f′）- （x′）D′（f′）；（28）此外（23）给出了Θ[Pν（g（x′））- Pν（x′）- Pu（x′））+Pu（x′）]=Θ[g（x′）P′ν（g（x′））- x′P′u（x′）- x′D′（x′）=Θ[（g（x′））- x′P′u（x′）+（g（x′））- x′）D′（x′）=（K- x′）P′u（x′）+（x′）D′（f′）。（29）然后，结合（28）和（29），我们得出结论，HC=M BEP。3.3.5 K>引理5中的ru，在色散假设下，我们构造了f和g，但仅在区间（e）上-, ru]。更一般地说，在现有假设1下，贝格洛克（Beiglb¨ock）和朱利埃（Juillet）[6]以及亨利·劳德埃（HenryLabord\'ere）和图兹（Touzi）[16]的论点允许我们在[lu，ru]适用于任意定律u≤cxν。就其目的而言，u范围外的f和g的定义并不重要，因为它们对左帘鞅耦合的构造没有影响。尽管如此，我们可以通过设置f（x）=x=g（x），以尊重引理3中条件的方式将f和g的定义扩展到R，-∞ < x个≤ lu;f（x）=lν、 g（x）=rν，ru<x<rν；f（x）=x=g（x），rν≤ x<∞.我们将表明，利用f和g的这些定义，前面章节的分析扩展到K>ru的情况。假设rν>ru，ru<K<rν。则∧（ru）=rν-Krν-ru-（K）-K） ru-lν和∧（rν-) = ∞. If∧（ru）≥ 0和∧是连续的，则存在x*∈ [lu，ru]使得g（x*) > x个*和∧（x*) = 0

然后，正如第3.2.2节所述，我们可以构建一个模型，即停止时间和超边缘，以使基于模型的预期收益等于对冲成本，因此模型、停止时间和对冲都是最优的。该模型可以基于左帘耦合，最佳练习规则是，如果X<X，则在时间1练习美国人推杆*. 即使∧不是连续的，也可能存在x*使得∧（x*) = 0和相同的参数适用（请参见第3.3.1节）。如果没有，则我们处于第3.3.4节的设置中，但我们可以再次确定最佳模型和对冲。基本上，情况∧（ru）≥ 0被现有参数的直接扩展所覆盖。注意∧（ru）≥ 0相当于toK≥ K-（ru- lν） （rν- K） rν- ru。现在假设ru<K<rν且K<K-（ru-lν） （rν-K） rν-ru。然后∧（ru）<0，并且自∧（rν）-) = ∞并且∧在[ru，rν]上是连续的（注意，我们已经将f和g定义为该范围内的常数），必须存在x*∈ （ru，K）使得∧（x*) = 在时间1和任何3.4的时间间隔内，如果ν没有质量，或ν=u，运动总是最佳的。3当u为原子自由鞅耦合时，鲁棒边界可用于生成一个模型，该模型可获得基于模型的最高价格pu（K）=（K-u). 最便宜的超边由ψ（y）=K生成- lνrν- lν（rν）- y） ++rν- Krν- lν(lν- y） +。（30）该对冲风险投资的成本- lνrν- lνPν（rν）+rν- Krν- lνPν(lν） +Pu（K）-K- lνrν- lνPu（rν）-rν- Krν- lνPu(lν） =K- lνrν- lν（rν）- u）+（K- u) -K- lνrν- lν（rν）- u）=（K- u).最后假设K>rν。在任何一致模型下，对于X<KE[（K- Y）+X]<E[（K- Y）+X]=（K- 十） 。在第一时间练习美国式推杆总是最佳的。

如果K>rν或K<lν然后我们在第3.3.2节研究的案例中，最便宜的对冲是由时间2支付ψ（y）=（K）生成的- y） +。如果K∈ [lν、 rν]然后我们在第3.3.3节中研究的情况下，最便宜的超边由ψ=ψ（y）生成，其中ψ由（30）给出。在任何一种情况下，基于模型的最高预期收益为u（K）=（K- 这也是SuperEdge的成本。lνrurν图11：第3.3.3.4节间隔设置中K>rν的各种情况，其中ν没有质量，或ν=u。左幕鞅耦合的定义（回忆引理5）只要求g=t递增，而不是连续。一般来说，g可能有跳跃；当存在ν不放置质量的间隔时，会发生这种跳跃。如果g有一个跳跃，那么我们需要调整SuperEdge。假设g在^x处有一个跳跃（因为g在增加，所以必须向上），假设f在^x处是连续的。进一步假设Kis使得^x∈ （g）-1（K），K）。然后像以前一样，我们想找到x*∈ （g）-1（K），K），使得∧（x*) = 回忆一下∧在增加，假设∧（g-1（K））<0<∧（K）。If∧（^x-) < 0且∧（^x+）>0，则∧=0将没有解。另一方面，通过将x=^x，^f=f（^x）固定在（15）中，并且仅改变g，我们可以看到存在^g∈ （g（^x-), g（^x+），使得（^g- K） /（^g- ^x）=（K- K） /（^x）-^f），使得Υ（f（^x），^x，^g）=0。然后，候选（实际上是最优）超边缘3.5当u是原子自由策略时，连续ν3鲁棒边界的一般情况由ψ生成*, 在（17）中给出，带（f*, x个*, g级*) = （^f，^x，^g），见图12。

此外，由于ν不充电（g（^x- ), g（^x+），三重（^f，^x，^g）求解质量和平均值方程（9）和（10）。基于模型的预期收益和套期保值成本之间的强二元性如下所示。KK^f^xg（^x-) g（^x+）^g图12：标有点^x、^f和^g的看跌期权草图。或者，假设f在'x处有向下跳跃。如果ν=uon（f（'x+），f（'x），则可能发生这种情况-)).假设Kis为'x∈ （g）-1（K），K）和∧（(R)x-) < 0且∧（(R)x+）>0，因此我们无法再次找到x∈ （g）-1（K），K），其中∧（x）=0。我们可以像处理g中的不连续性一样处理这个问题：选择“f”∈ （f（\'x+），f（\'x-)) 使得Υ（\'f，\'x，g（\'x））=0，然后考虑由ψ生成的hedgengstrategy*带（f*, x个*, g级*) = （\'f，\'x，g（\'x））。请注意，u=νon（f（\'x+），f（\'x-)) 所以如果（9）和（10）保持一些f∈ [f（\'x+），f（\'x-)] （使用‘‘x，’g）则它们在此间隔内保持所有f。因此，我们可以构造一个耦合，其中（\'f，\'x）映射到（\'f，\'g），并且强对偶成立。对于f和g中的两个跳跃，我们有一个成对区域（K，K）的图形表示，这意味着对冲策略必须如上所述进行调整，见图14。如果g在^x处有跳跃，则∧（^x-) < 0且∧（^x+）>0相当于位于顶点{（g（^x））三角形内部的点（K，K-), g（^x-)), （g（^x+，g（^x+），（^x，f（^x））}。另一方面，如果f在'x处向下跳跃，则∧（'x-) < 0和∧（\'x+）>0相当于点K，K位于顶点{（\'x，f（\'x）的三角形内部-)), （\'x，f（\'x+），（g（\'x），g（\'x））}（将其与区域g进行比较）。例外情况下，我们可能会在g和f的ˇx处同时跳跃。那么需要这些参数的（K，K）集是一个具有顶点（ˇx，f（ˇx）的四边形-)), （ˇx，f（ˇx+）、g（ˇx+）、g（ˇx+）和（g（ˇx-), g（ˇx-)).