美式看跌期权的鲁棒界

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英文标题：
《Robust bounds for the American Put》
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作者：
David Hobson and Dominykas Norgilas
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider the problem of finding a model-free upper bound on the price of an American put given the prices of a family of European puts on the same underlying asset. Specifically we assume that the American put must be exercised at either $T_1$ or $T_2$ and that we know the prices of all vanilla European puts with these maturities. In this setting we find a model which is consistent with European put prices and an associated exercise time, for which the price of the American put is maximal. Moreover we derive a cheapest superhedge. The model associated with the highest price of the American put is constructed from the left-curtain martingale transport of Beiglb\\\"{o}ck and Juillet.
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中文摘要：
考虑到相同标的资产上的一系列欧洲看跌期权的价格，我们考虑了寻找美国看跌期权价格的无模型上界的问题。具体而言，我们假设美式看跌期权必须以1美元T\\u或2美元T\\u行使，并且我们知道所有具有这些到期日的普通欧洲看跌期权的价格。在此背景下，我们发现了一个与欧洲看跌期权价格和相关行使时间一致的模型，其中美国看跌期权的价格是最大的。此外，我们推导出了最便宜的超边缘。与美式看跌期权的最高价格相关的模型是由Beiglb“{o}ck和Juillet的左幕鞅运输构造的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Robust_bounds_for_the_American_Put.pdf (455.17 KB)

2022-6-1 17:19:47 上传

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关键词：看跌期权 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

美国PutDavid Hobson的鲁棒界*和Dominykas Norgilas+沃里克考文垂大学统计系CV4 7AL，英国2018年5月23日AbstractWe认为，鉴于相同基础资产的一系列欧洲看跌期权的价格，美国看跌期权的价格存在一个无模型上界的问题。具体而言，我们假设美式看跌期权必须在任意一个Tor下行使，并且我们知道所有这些到期日的普通欧洲看跌期权的价格。在这种情况下，我们找到了一个与欧洲看跌期权价格和相关行使时间一致的模型，其中美国看跌期权价格最高。此外，我们推导出了最便宜的超边缘。美式看跌期权的最高价格模型是由Beiglb¨ockand Juillet的左幕鞅耦合构造的。关键词：模型独立定价、美式看跌期权、鞅最优运输、左幕耦合、最优停站。数学学科分类：60G40、60G42、91G20.1简介这篇文章的动机是试图了解一个稳健的或独立于模型的框架下美国普京可能的价格范围。在我们的解释中，这意味着我们假设我们已经给出了一系列欧式香草看跌期权的当前价格（针对连续的罢工和离散的到期日）。目标是为美国看跌期权价格最高的标的证券找到一致的模型，根据定义，如果贴现价格过程是鞅，并且基于模型的欧洲看跌期权支付的贴现预期值与欧洲看跌期权的给定价格相匹配，则模型是一致的。Hobson[17]在回溯期权的背景下引入了与模型无关或奇异期权价格鲁棒边界的概念，并自那时起多次应用，seeBrown等人。

[8] （障碍期权）、Cox和Ob l’oj【12】（无接触期权）、Hobson和Neuberger【21】和Hobson和Klimmek【20】（前向起跑跨接）、Carr和Lee【9】和Cox和Wang【13】（方差期权）、Stebegg【27】（亚洲期权）和调查文章Hobson【19】。主要观点是，香草欧式看跌期权的价格决定了交易到期日价格过程的边际分布（但不是联合分布），这些分布要求，加上鞅性质，对一致性模型类施加了有意义和有用的限制。这些限制导致了路径依赖泛函的预期收益的界，或者等价地限制了奇异期权的价格。除了定价问题外，还有一个相关的双重或对冲问题。在双重问题中，目标是构建欧洲看跌期权的静态投资组合和基础中的动态离散时间对冲，这两者结合在一起形成奇异期权的超边缘（在一类合适的候选价格路径上的路径）。双重问题的价值在于最便宜的超级边缘的成本。*电子邮件：d。hobson@warwick.ac.uk+电子邮件：d。norgilas@warwick.ac.uk1引言有越来越多的文献，从Beiglb¨ock等人[4]开始研究离散时间问题，Galichon等人[15]开始研究连续时间问题，其目的是解释如何在不存在二元差距的情况下表述问题，即基于模型的最高价格等于最便宜的超边缘，无论是对于特定的衍生产品，还是在一般情况下。许多关于稳健套期保值的早期论文利用了与Skorokhod嵌入问题的联系（Skorokhod[26]）。例如，在霍布森（Hobson）[17]对回溯期权的研究中，实现最高回溯价格的consistentmodel是根据Az'ema Yor[2]对Korokhod嵌入问题的解决方案构建的。

最近，Beiglb¨ock等人[4]（另见Dolinsky和Soner[14]以及Touzi[28]）支持稳健套期保值问题与鞅最优运输之间的联系。在本文中，我们将利用Beiglb¨ock和Juillet[6]引入的左幕鞅耦合，以及Henry Labord¨ere和Touzi[16]和Beiglb¨ock等人[5]开发的左幕鞅耦合。Neuberger【25】、alsoHobson和Neuberger【23】、Bayraktar和Zhou【3】以及Aksamit等人【1】发起了对稳健框架中美式索赔的研究。（考克斯（Cox）和霍格尔（Hoegrel）[11]的一篇论文询问了美国看跌期权价格的可能形状，考虑到共同到期的欧洲看跌期权的价格，将其视为行使的函数。）本文的主要创新之处在于，我们没有将重点放在一般的美式支付上，也没有证明定价（原始）问题和双重（对冲）问题具有相同的价值，而是明确关注美式看跌期权，并试图尽可能多地说明基于模型的美式看跌期权价格最大化的一致价格过程的结构，以及最便宜的SuperEdge的结构。从数学上讲，我们的问题可以如下所示。设u和ν是一对以凸顺序递增的概率测度，因此必然具有相同的|u。本文中的一个长期假设是u是连续的（或等效地，u没有原子）。设^∏M（u，ν）为u和ν之间的鞅耦合集（通常也称为鞅传输），并设K>Kbe为一对固定常数。我们考虑的问题是找到π∈^∏M（u，ν）supB∈B（R）EL（M，M）~π（K）- M） +I{M∈B} +（K- M） +I{M/∈B}, （1） 其中M=（(R)u，M，M）是具有联合定律P（M）的鞅∈ dx，M∈ dy）=π（dx，dy），B是R的aBorel子集。

就美式看跌期权问题而言，M应被视为标的资产的贴现价格（为了简化符号，我们写M≡ X和M≡ Y）。此外，Kankare看跌期权的贴现行使权和B代表贴现时间1的一组值，即在时间1行使期权的基础价格；否则，在第2时间执行看跌期权。然后（1）代表了寻找基于模型的美国看跌期权最高预期收益的首要问题。见第2.2节。根据欧洲看跌期权的静态投资组合和标的资产的分段恒定持有量，找到最便宜的超边缘存在相应的双重或对冲问题，见第2.3节。我们的主要成就是展示了模型和止损规则，该模型和止损规则为美式看跌期权实现了最高的可能价格，展示了最便宜的超边缘，并表明基于模型的最高价格等于最便宜的超边缘的成本。对于固定u、ν和K>K，通常有一系列最佳模型。固定u和ν，但varyingKand Kit证明有一种模型同时适用于所有Kand K。该模型与Beiglb¨ock和Juillet的左幕耦合有关[6]。特别是给定u≤cxν（带u连续）、Beiglb¨ock和Juillet[6]证明了存在函数Td和Tuwith Td（x）≤x个≤ Tu（x）使得Tu增加，如果x<x′，则Td（x′）/∈ （Td（x），Tu（x）），这样就有π∈^∏M（u，ν），集中在TD和Tu的图上。在这个鞅耦合下∈ {Td（X），Tu（X）}并通过鞅性质P（Y=Td（X）| X）=Tu（X）-XTu（X）-Td（X）（假设Td（X）=X和Tu（X）=X都不存在）。在本文中，我们将集中讨论u连续的情况。事实上，如果u有原子，那么情况就会变得更加微妙。

一方面，我们必须为运动决定集合B提供更大范围的可能候选。在X的原子上，我们有时可能希望停止，有时可能希望2预备阶段和设置继续，尽管我们仍然必须做出不违反未来价格运动鞅性质的停止决定。另一方面，表征左限幅耦合的函数Td，tut在u有原子的点上变得多值。因此，我们不清楚如何确定最优模型。出于这些原因，我们必须扩展鞅耦合的概念，并以一种有用的方式，将Beiglb¨ock和Juillet的左幕鞅耦合推广到原子情况。在一篇配套论文（[24]）中讨论了左帘耦合对u中原子情况的适当扩展；在本文中，我们重点关注我们结果的财务方面，即美国看跌期权稳健对冲的应用。本文其余部分的结构如下。在下一节中，我们将精确地描述您的问题，即找到美式看跌期权稳健的、模型独立的价格，并解释如何在无原子的情况下将问题转化为（1）。我们还解释了定价问题如何与构造最便宜的超边缘的双重问题相关。在第3节中，我们假设u是连续的，我们通过研究一系列更加复杂的设置来展示如何确定最佳模型和对冲。

本节中的构造利用了Beiglb¨ock和Juillet【6】以及Henry Labord'ere和Touzi【16】的左curtaincoupling结果。通过弱对偶，模型的最高价格以最便宜的超边缘的成本为界。因此，如果一方面我们可以确定一致的模型和停止规则，另一方面我们可以确定超边缘，这样具有停止规则的模型中的预期收益等于超边缘的成本，那么我们必须确定最佳模型和最佳停止规则以及最佳对冲策略。此外，不存在二元性差距。这就是我们证明的策略。我们分析的一个特点是，只要可能，我们都会对结果进行图形化解释和推导。在我们看来，这种方法有助于带来可能隐藏在微积分方法下的见解。2准备工作和设置2.1度量值和凸顺序给定了一个可积度量值η（不一定是概率度量值），在定义η=RRxη（dx）RRη（dx）上表示η的重心。设Iη与端点{lη、 rη}是包含η支撑的最小间隔。定义Pη：R 7→ R+乘以Pη（k）=Rk-∞（k）-x） η（dx）。那么Pη是凸的，并且是递增的，并且表示贴现的欧洲看跌期权价格，表示为履约的函数，如果贴现的基础haslawη在到期时。此外，{k:Pη（k）>η（R）（k- η)+}  Iη。注意，Pη与由Uη（k）定义的电位Uη相关：=-RR | k- x |η（dx）乘以Pη（k）=(-Uη（k）+（k- (R)η）η（R））。对于任何c<d且度量ηletηc，dbe由ηc给出的度量，d（a）=η（a∩ （c，d））。设？ηc，d=η- ηc，d。两个测度η和χ是凸序的，我们写η≤cxχ当且仅当η（R）=χ（R），\'η=\'χ和Pη（k）≤ R上的Pχ（k）。我们必须有lχ≤ lη≤ rη≤ rχ。设^∏M（η，χ）为η和χ的可调耦合集。

然后∏M（η，χ）=π ∈ P（R）：π具有第一边缘η和第二边缘χ；（2） 持有其中P（R）是Rand（2）上的概率测度集，Rand（2）是鞅条件zx∈BZy公司∈Ryπ（dx，dy）=Zx∈BZy公司∈Rxπ（dx，dy）=ZBxη（dx） 波雷尔B R、 （2）对于一对度量η，χ定义D=Dη，χ：R 7→ R+乘以Dη，χ（k）=Pχ（k）-Pη（k）。注意，如果η，χ的质量和重心相等，那么η≤cxχ等于D≥ R上为0。Let ID=[lD、 rD]是包含{k:Dη，χ（k）>0}的最小闭合区间。如果ID是这样的ID 那么我们必须有η=χ开[lχ, lD）∪ （rD，rχ）。下面的引理告诉我们，如果对于某些x，Dη，χ（x）=0，那么在η和χ的任何鞅耦合中，质量都不能穿过x。可以在Hobson[18，p254]中找到证明。2.2财务模型2准备工作和SET UPLemma 1。前提η和χ是η的概率测度≤cxχ。假设D（x）=0。如果π∈^∏M（η，χ）那么我们有π((-∞, x） ，（x，∞)) + π（（x，∞), (-∞, x） ）=0。从引理1可以看出，如果区间Iη的内部有一个点x，使得dη，χ（x）=0，那么我们可以将构造η到χ的鞅耦合的问题分离为一对分别涉及x左右质量的子问题，始终注意在x处适当分配χ的质量。事实上，如果有多个{xj}，且Dη，χ（xj）=0，那么我们可以将问题划分为一系列“不可约”问题，每个问题都发生在区间IID上，使得IID内部的D>0，端点的D=0。在给定间隔内开始的所有质量在相同间隔内传输到一个点。然而，在我们的设置中，除了指定amodel（或相当于鞅耦合）之外，我们还需要指定停止规则，这需要在所有不可约组件中同时定义。

出于这个原因，我们不坚持认为Iχ内部的d>0，尽管在构建解决方案的简单设置中会出现这种情况。2.2美国Putsuppose的财务模型和基于模型的价格▄Z=（▄ZTi）i=0,1,2是不支付股息的金融证券的价格，其中T=0是今天的日期。（在本节中，上标·表示未折扣的数量。）假设利率是非随机的正利率。当i=0，1，2时，在支付无风险利率的银行账户中投资的一个单位的现金在时间i中的价值为BTiat time i。然后B=1。定义Z=（Zi）i=0,1,2，通过Zi=~ZTi/~BTiso，Z是贴现资产价格，简化时间指数i=0，1，2。时间0时已知的Weassume。设∑是取{T，T}中的值的停止规则集，T是{1，2}中的停止规则列值集。考虑一个美国式的推杆，可以在Tor Tonly上执行。定义Ki=K/~BTi。在固定模型下，在{T，T}中取值的一个美国人在执行（停止）规则σ下的预期收益由E[~Bσ（~K）给出-Zσ）+]和美国期权的价格（假设仅在Tor T允许行使）发行σ∈∑EBσ（K-Zσ）+= supτ∈TE[（Kτ- Zτ）]。假设我们得到了欧洲看跌期权价格{PTi（{k）}k≥0对于i=1，2对于连续罢工k。如果买入价格来自折扣价格过程为鞅的模型，则PTi（k）=BTiE[（k-ZTi）+]=E~kBTi- Zi+=: PikBTi！。然后对于固定i，我们有Pi（k）=PTi（kBTi），如果我们得到了到期的欧洲看跌期权价格，那么我们可以阅读Zi定律：P（Zi<k）=P′i（k-) =k▄PTi（k▄BTi-).此后，我们假设我们在折扣设置中工作，时间指数在集合i=0，1，2中。在这种情况下，美式看跌期权具有payoff（K- Z） +在时间1和Payoff（K- Z） +时间2，其中Ki=K/~BTi。

由于假设利率为正，我们有K<K。我们假设我们得到了所有可能的冲击的欧洲看跌期权价格（到期日和原始时间尺度）。从这些我们可以推断出时间1和2的折扣价格过程的规律。我们用u和ν表示这些定律。根据Jensen不等式，如果u和ν是以这种方式从欧洲看跌期权集合中产生的，那么u≤cxν。“不可约”这一术语源于Beiglb¨ock和Juillet[6]，尽管霍布森（Hobson）[18]和考克斯（Cox）[10]的早期论文中也提出了将问题分解为不同组成部分的想法。2.3预磨边2和设置定义1（Hobson和Neuberger【22】）。假设u≤cxν。让S=(Ohm, F、 P，F={F，F，F}）是一个过滤概率空间。我们说M=（M，M，M）=（(R)u，X，Y）是一个（S，u，ν）一致的随机过程，我们写M∈ M（S，u，ν）if1。M是S-鞅，2。L（M）=u，L（M）=ν。如果S是过滤概率空间，M是（S，u，ν）组成的随机过程，我们说（S，M）是（u，ν）一致的模型。让B∈ F、 确定B上的停止时间τBbyτB=1，Bc上的停止时间τB=2。（相反，采用{1，2}中的值的任何停止规则都有这种形式的表示。）假设（S，M）是（u，ν）一致模型。基于（S，M）模型的停止规则下美国看跌期权的预期收益τBisA（B，M，S）=E[（KτB- MτB）+]。然后，优化模型（S，M）下的超额止损规则，美式看跌期权的价格isA（M，S）=supBA（B，M，S）。美国看跌期权isP基于模型的最高预期收益=SUPSUPM∈M（S，u，ν）supBA（B，M，S）。（3） 备注1。需要注意的是，（3）中的上确界可以超过（1）中的上确界，但仅在u有原子的情况下，见Hobson和Norgilas【24】。