美式看跌期权的鲁棒界

如备注5末尾所述，为了本节的分析目的，不是度量u和ν满足重要的色散假设，而是πlci非常简单，{k:g（k）>k}是一个单一区间，f是单调递减函数。从单调f和g开始，让u连续，并定义ν由ν（dy）=Rxu（dx）χf（x），x，g（x）（dy）和πlcbyπlc（dx，dy）=u（dx）δx（dy）I{x≤e-}+ u（dx）χf（x），x，g（x）（dy）I{x>e-}, （14） 3.2分散假设3稳健边界当u为无原子时，对（u，ν）可能满足或不满足假设1，但尽管如此，可以按照本节中的描述准确构建候选最优模型、停止时间和对冲，并可以通过本节中的方法证明其是最优的。由于我们的分析仅通过函数（f，g）依赖于对（u，ν），因此我们可以将任何（f，g）作为出发点∈ 周一。备注7。在一个相关问题中，Hobson和Klimmek【20】展示了如何在色散假设下，将上下函数描述为一对耦合微分方程的解。在我们的例子（f，g）中，解[e]上的一对耦合微分方程-, ru）从微分（9）和（10）中获得：dfdx=-g级- xg公司- fρ（x）η（f）- ρ（f），dgdx=x- fg公司- fρ（x）η（g），初始条件为f（e-) = e-= g（e-). 另见Henry Labard\'ere和Touzi【16，方程式（3.10）和（3.9）】。Beiglb¨ock Juillet[6]中的左幕鞅耦合背后的原理是，它们确定从左到右依次映射时间1 x处的质量的位置。在我们当前的设置中，有一个间隔(lu，e-] 在第1次和第2次之间，质量可以保持不变。在e的右边-我们可以通过尽可能少的移动质量来定义f，g。

这导致敖德信评论7.3.2.2美国PutAspect K∈ （e）-, ru]并假设f和g的构造如引理5所示。定义∧：[g-1（K），K]7→R乘以∧（x）=（K- f（x））- （K）- x） x个- f（x）-（K）- x） g（x）- x=（g（x）- K） g（x）- x个-（K）- K） x个- f（x）。（15） 图中∧是图4中两条虚线斜率的差异。KKFXG坡度（K-f）-（K）-x） x个-F坡度（K-x） g级-x图4：标有x、f和g点的看跌期权草图。∧（x）是两条虚线斜率的差异。引理6。假设K∈ （e）-, ru]和f（K）<K。然后有一个唯一的x*= x个*（u，ν；K，K）∈（g）-1（K），K），使得∧（x*) = 0、此外f（x*) < Kand（K- f（x*))g（x*) - f（x*)=（K）- x个*)g（x*) - x个*=（（x）*- f（x*) - （K）- K） ）x*- f（x*)= 1.-（K）- K） ）x*- f（x*). （16） 3.2色散假设3u无原子时的稳健界限。很明显，见图4，因为f和g是连续的单调函数，所以∧是连续的且严格递增的。此外，∧（g-1（K））=-（K）-K） g级-1（K）-（f）og级-1） （K）<0且∧（K）=K-f（K）K-假设f（K）>0。因此∧=0有一个唯一的根。在这一根上，（16）中的品质保持不变。假设K>e-f（K）<K和x*= x个*（u，ν；K，K）∈ （e）-, K） 等于∧（x*) = 我们定义一个鞅耦合如下（上标* 表示wedefine的数量是最佳候选数量的事实）：考虑Ohm*= R×R={ω=（ω，ω）}配有Borel-sigma代数F*= B类(Ohm*). 设（X，Y）为坐标过程，使X（ω）=ω，Y（ω）=ω。让F*小题大做*= σ（X）和F*= σ（X，Y）。最后，对于^π∈ πM（u，ν）设P^π为鞅耦合P^π（X∈dx，Y∈ dy）=^π（dx，dy）和集S*= (Ohm*, F*, F*:= （F）*, F*, F*), P^π）。

然后*, M^π=（u，X，Y））isa（u，ν）-一致性模型。很容易找到u和ν的鞅耦合，使得（f（x*), x个*) 映射到（f（x*), g（x*)).例如，我们可以取^π=πlc=πlc（u，ν），Beiglb¨ockand Juillet的左幕鞅耦合[6]。更一般地，让^πx*∈^∏M（u，ν）是任意鞅耦合，使得^πx*地图（f（x*), x个*) 至（f（x*), g（x*)) 和（f（x*), x个*)Cto（f（x*), g（x*))C、 图3所示的鞅耦合具有这个性质。让M*= （M）*= u，M*= 十、 M级*= Y）是P（X）这样的随机过程∈ dx，Y∈ dy）=^πx*（dx，dy）。然后M*∈ 米（秒）*, u, ν). Letτ*停车时间τ*= 1开(-∞, x个*) 和τ*= 2否则。我们在下面定理2中的主张是*, M*) 和停止时间τ*因此，在所有一致的模型中，美国在这一停售时间下的基于模型的价格是可能的最高价格。x个*XKK图5：图3和图4的组合，显示了它们如何联合定义最佳模型和最佳对冲。通过调整x，我们可以找到x*使得∧（x*) = 0、将数量（f（x*), x个*, g（x*))确定最佳模型、停止时间和对冲。继续假设K>e-和f（K）<K。现在我们定义了美式看跌期权的超边缘。3.2色散假设3u为原子自由基ψ时的稳健界*是函数ψ*（z）=（K）- z） z≤ f（x*);（g（x*)-z） （K）-f（x*))g（x*)-f（x*)f（x*) < z≤ g（x*);0 z>g（x*).（17） 注意，通过构造和（16），K-f（x*)g（x*)-f（x*)=K-x个*g（x*)-x个*然后ψ*（十）*) = K- x个*. 此外，ψ*是凸的且满足ψ*（z）≥ （K）- z） +。由此引理2，ψ*可用于构造asuperhedge（ψ*, φ*, θ*1,2).在下面的定理中，我们将假设美式看跌期权在时间1（或等价地，K）并不总是严格地存在于货币中≤ ru）。K>ru情况的讨论推迟到下文第3.3.5节。定理2。假设假设1成立。1、假设K∈ （e）-, ru]和f（K）<K。

模型*, M*) 在前面的段落中描述了一个一致的模型，其中美式期权的价格是最高的。停车时间τ*是最佳锻炼时间。函数ψ*（17）定义了最便宜的SuperEdge。此外，基于模型的最高价格等于最便宜的SuperEdge的成本。2、假设任一情况A:K≤ e-或者那样B:K∈ （e）-, ru]和f（K）≥ K、 然后有一个一致的模型，其中（Y<K）=（X<K）∪ （X>K，Y<K），如果X<Kandτ=2，则任何具有停止规则τ=1的此特性的模型都可以获得最高的组成模型价格。最便宜的超边缘由ψ（x）=（K）生成- x） +且基于模型的最高价格等于最便宜对冲的成本。备注8。在定理2的第2部分中，左帘耦合生成了一个模型，当与定理的停止规则相关联时，该模型可获得最高的一致模型价格。证据1、假设K>e-f（K）<K。那么通过引理6，有一个唯一的x*∈ （g）-1（K），K），使得∧（x*) = 0.对于此x*我们可以找到f*= f（x*) 和g*= g（x*) 带f*< K K<g*这样的话-f*g级*-f*=K-x个*g级*-x个*. 出于排版原因，我们将此缩写为（x*, f*, g级*) 至（x，f，g）进行本证明的剩余部分。因为ν是连续的，所以f，x，g解（9）和（10）。元素f、x、g可用于使用上述引理6之后的构造来定义模型。对于该模型，我们可以计算美式看跌期权的预期收益。同时，我们可以使用（f，x，g）定义超边缘。剩下的任务是证明SuperEdge的成本等于基于模型的预期收益。

然后，通过第2.4节的讨论，我们找到了一个最优模型和一个最便宜的超边缘。美式看跌期权的预期收益（对于该模型和停止规则）为ZX-∞（K）- w） u（dw）+Zf-∞（K）- w） （ν）- u）（dw）=Pu（x）+（K- x） P′u（x）+D（f）+（K- f）D′（f）。现在我们考虑套期保值成本。设置Θ=K-fg公司-f∈ (0, 1). 注意，由于x是∧（x）=0，我们有Θ=K-xg公司-x、 回想一下ψ的定义*在（17）中。然后ψ*（y） =Θ（g- y） ++（1- Θ）（f）- y） +。使用引理2，我们可以使用ψ*生成超级边缘策略。该策略的成本为ΘPν（g）+（1- Θ）Pν（f）+（1- Θ）[Pu（x）- Pu（f）]，（18）3.2色散假设3u无原子时的稳健界限，其中前两项来自购买静态time-2投资组合ψ*第三个来自购买time-1投资组合（K- w）+- ψ*（w） 。（18）中的表达式可以重写Aspu（x）+D（f）+Θ[Pν（g）- Pν（f）- Pu（x）+Pu（f）]。现在，我们考虑套期保值成本（HC）和基于模型的预期支付（MBEP）之间的差异。回想一下，Pχ（k）=Rk-∞（k）- x） χ（dx），χ∈ {u，ν}，且D（k）=Du，ν（k）=Pν（k）- Pu（k）。然后（9）和（10）可以重写为asP′u（x）- P′u（f）=P′ν（g）- P′ν（f），（19）（xP′u（x）- Pu（x））- （fP′u（f）- Pu（f））=（gP′ν（g）- Pν（g））- （fP′ν（f）- Pν（f））。（20） 我们发现- MBEP=Θ[Pν（g）- Pν（f）- Pu（x）+Pu（f）]- （K）- x） P′u（x）- （K）- f）D′（f）=ΘgP′ν（g）- xP′u（x）- fD′（f）- （K）- x） P′u（x）- （K）- f）D′（f）=Θ（g）- x） P′u（x）+（g- f） D′（f）- （K）- x） P′u（x）- （K）- f）D′（f）=P′u（x）[Θ（g- x）- （K）- x） ]+D′（f）[Θ（g）- f）- （K）- f）]=0，其中我们分别使用（20）、（19）和Θ的定义。模型的最优性、停止规则和对冲现在随之而来。（K，K）KKψ（y）φ（x）+ψ（x）图6：ψ（y）=（K）的看跌期权草图- y） +和φ（x）=（K- x）+- （K）- x） +。2、现在假设K≤ e-.

考虑一个行使规则，其中美式看跌期权如果在货币中，则在时间1行使，否则在时间2行使，以及一个模型，其中低于Kat时间1的质量在时间1和2之间保持不变。（这是可能的，因为u≤ ν开(-∞, e-) 和K≤ e-.)美国看跌期权的预期收益-∞（K）- x） u（dx）+ZK-∞（K）- y） （ν）- u）（dy）=Pu（K）+Pν（K）- Pu（K）。（21）3.3u无原子时f 3鲁棒界中的单跳或者，假设K>e-但f（K）≥ K、 然后在左幕下，Kat时间1以下的鞅耦合质量在时间1和2之间保持不变（注意K≤ f（K）≤ e-), Kand-Kat时间1之间的质量映射为（K，∞). 然后，低于Kat时间2的质量要么低于Kat时间1，要么高于Kat时间1。该模型下的预期收益（如果美式看跌期权在货币中，则使用在时间1行使的策略）再次由（21）给出。现在考虑对冲成本。设ψ（y）=（K- y） +。定义φ如引理2中所示，我们发现φ（x）=（K- x）+- （K）- x） +=（K- （十）∨ K） ）和超边缘成本isHC=Pν（K）+Pu（K）- Pu（K）。因此，基于模型的预期收益等于对冲成本。3.3现在，g>x的两个间隔和fWe中的一个向下跳跃将色散假设放宽到f不是单调的情况。可能出现这种情况的最简单情况是，g（x）>x有两个区间。我们并不认为有许多自然的例子属于这种情况，而是这个中间案例说明了在一般情况下可以发现的现象，但在分散假设下无法找到。假设2（单跳假设）。u和ν分别与连续密度ρ和η绝对连续。ν在上有支持(lν、 rν） (-∞, ∞) 且η>0开(lν、 rν）。u支持(lu，ru） (lν、 rν）和ρ>0开(lu，ru）。

此外：（u）- ν） +集中在E=（E-, e+）∪ （e）-, e+，e+<e-E上的ρ>η；(ν - u）+集中在(lν、 rν）\\E和η>ρon(lν、 e类-) ∪ （e+，e-) ∪ （e+，rν）；存在f′＜e-和x′∈ （e+，e-) 使Zx′f′u（dz）=Zx′f′ν（dz）和Zx′f′zu（dz）=Zx′f′zν（dz）。（22）在假设2下，可以找到（f，g）∈ Ξ(lu，ru）(lν、 rν）周一。功能g：(lu，ru）→ (lν、 rν）和f：(lu，ru）→ (lν、 rν）满足（参见图7的下半部分）：1。g（x）=x开(lu，e-] ∪ [x′，e-];2.g（x）>x on（e）-, x′）∪ （e）-, ru）；3、g是连续且严格递增的；4、f（x）=x开(lu，e-] ∪ [x′，e-];5、f：（e）-, x′）7→ （f′，x′）连续且严格递减；6、f：（e）-, ru）7→ (lν、 e类-) \\ （f′，x′）严格递减；7、存在x′\'∈ （e）-, ru）使得f在x′处跳跃；此外，f（x′）-) = x′>f′=f（x′）+。远离x′，f在（e）上连续-, ru）。3.3当u为无原子f′x′=g′（f′，f′）（e）时，f 3鲁棒界中的单跳-, e-)（x′，x′）（e-, e-)（x′，x′）（x′，g（x′））gf图7：假设2下f和g的图片。通过构造，我们得到zx′x′u（dz）=Zg（x′）x′ν（dz）；Zx′x′zu（dz）=Zg（x′）x′zν（dz），（23），因此如果时间1时（x′，x′）中的质量映射到时间2时的（x′，g（x′），则保留总质量和平均质量。注意，给定（f′，x′）满足（22），我们也有rx′f′u（dz）=Rg（x′）f′ν（dz）和rx′f′zu（dz）=Rg（x′）f′zν（dz）。特别地，给定（22）和（23），方程szx′fu（dz）=Zg（x′）fν（dz）；Zx′fzu（dz）=Zg（x′）fzν（dz）有两个f的解，即f=x′和f=f′。因此，在定义左幕鞅耦合时，在x′处有两种选择：我们可以取f（x′）=x′或f（x′）=f′。与其假设其中一个选项（例如，通过要求f的左连续性），不如允许f是多值的。

那么，对于x，g（x）>x让（x） ={f：（f，x，g（x））解（9）和（10）}。3.3当u为无原子时，f 3鲁棒边界中的单跳，然后在假设2的设置中，对于x>e-, |（x） |=1，x′和（x′）={f（x′）+，f（x′）-)} = {f′，x′}。备注9。如备注5所述，当构造与本节分析相符的示例时，我们可以从图7下半部分中的f、g开始。支持给定u(lu，ru）我们可以通过ν（dy）=ru（dx）χf（x），x，g（x）定义ν。然后这对（u，ν）满足假设2的假设。备注10。回想备注7和左帘联轴器中的数量是从左到右确定的原理。假设u和ν具有连续密度，且η>ρon(lu，e-) 我们可以在这个间隔上设置f=g=x。在e的右侧-我们有ρ>η，我们可以使用备注7中的微分方程定义和g。有两种情况，对于allx，g（x）>x∈ （e）-, ru）（在这种情况下，我们可以在（e）上定义（f，g-, ru）具有引理5）中所述的性质，或存在某个点，在该点处g首次再次击中对角线y=x。这一点正好是x′。如果x′存在，则必须满足x′∈ （e+，e-). 然后我们在（x′，e）上设置g（x）=x-) 让f=g求解与备注7中相同的耦合微分方程，但具有新的起点g（e-) = e-= f（e）-).ODE确定f和g，直到f首次达到x′。这发生在x′，在x′时，f跳到f′（g是连续的）。在x′的右侧，f和g在初始条件f（x′）=f′，g（x′）=g（x′）的情况下再次求解微分方程-).回想一下定义∧（x）=g（x）-千克（x）-x个-（K）-K） x个-f（x）。如果f是多值的，那么∧也将是多值的。

在第3.2节中，我们的主要步骤之一是找到x，使得∧（x）=0，我们的目标类似。引入定义为f的Υ=ΥK，K（f，x，g）≤ K、 x个≤ K≤ g乘以Υ（f，x，g）=（K- f）- （K）- x） x个- f-K- xg公司- x=克- 公斤- x个-（K）- K） x个- f、 我们的目标不是寻找∧（x）=0的根x，而是用g=g（x）和f来寻找（f，x，g）∈ （x） 使得Υ（f，x，g）=0。固定K时，K（f′=f（x′）+，x′，g（x′））=0的K值由K=f′+（K）给出- x′）g（x′）-f′g（x′）-x′。类似地，Ksuch的值为Υ（x′=f（x′）-), x′，g（x′）=0由K=x′+（K）给出- x′）g（x′）-x′g（x′）-x′。这促使引入线性递增函数Lu，Ld:[x′，g（x′）]→ 定义为u（x）=x′+（x- x′）g（x′）- x′g（x′）- x′，（24）Ld（x）=f′+（x- x′）g（x′）- f′g（x′）- x′。（25）从图形上看，Ld和Lu分别是图8中虚线三角形区域G的下边界和上边界。从图8中，我们确定了需要四种不同鞅耦合和对冲策略的四个区域（和不同的子区域），以便找到基于模型的美国看跌期权的最高预期收益。（将其与图3中色散假设下的两种状态进行比较。）定义符={（k，k）：e-< k<x′，f（k）<k<k}，我们更简洁地写为R={e-< k<x′，f（k）<k<k}。当u为无原子表示法定义值{e时，在f 3鲁棒边界中使用相同的compact3.3单跳-< k<x′，f（k）<k<k}；R={e-< k<x′，f（k）<k<k}∪ {k=x′，x′<k<k}；R={x′′<k<g（x′），Lu（k）≤ k<k}；R={x′′<k<g（x′），f（k）<k≤ Ld（k）}；R={g（x′\'））≤ k≤ ru，f（k）<k<k}；B={lu≤ k≤ e-, k<k}∪ {e-< k<x′，k≤ f（k）}∪ {x′′＜k≤ ru，k≤ f（k）}；B={x′≤ k≤ x′，k≤ f′}；B={x′≤ k≤ e-, x′≤ k<k}∪ {e-< k≤ x′，x′≤ k≤ f（k）}；G={x′′＜k＜G（x′），Ld（k）＜k＜Lu（k）}；W={x′≤ k≤ x′，f′<k<x′}；并设置R=∪i=1土地B=∪i=1Bi。

通常，在区域之间的边界上，边界可以分配给任一区域。然而，我们将边界上的点分配给对冲最简单的区域。请注意，R∪ B∪ G∪ W={（k，k）：lu≤ k≤ ru，k<k}。图8：双模情况下f和g的图片，现在有4个区域阴影（交叉阴影、对角线、虚线和空白）。3.3.1情况（K，K）∈ R、 引理7。假设（K，K）∈ R、 然后存在x*= x个*（u，ν；K，K）∈ （g）-1（K）、K）和f*∈ （十）*) 使得Υ（f*, x个*, g级*= g（x*)) = 0.证明。假设（K，K）∈ R∪ R∪ R、 考虑∧：[g-1（K），K]7→ 定义人（15）。注意，对于（K，K）的这种选择，f和g在[g]上都是连续的-1（K），K]，见图7。因此∧（x）=Υ（f（x），x，g（x））也是连续的。然后，与引理6的证明相同的论证表明，存在唯一的x*= x个*（u，ν；K，K）∈ （g）-1（K），K），使得∧（x*) = 现在假设（K，K）∈ R∪如前所述，考虑∧。回想一下∧在增加，∧（g-1（K））<0且∧（K）>0。另一方面，g-1（K）<x′，因此∧在x′处具有向上跳跃（因为fh在x′处具有向下跳跃）。有两种情况取决于（K，K）∈ Ror R.1。假设K>Lu（K）。然后∧（x′\'-) > 0.自∧（g-1（K））<0，通过∧on（g）的连续性-1（K），x′），存在唯一的x*= x个*（u，ν；K，K）∈ （g）-1（K），x′），使得∧（x*) = 如果K=Lu（K），那么Υ（x′，x′g（x′））=0，我们取x*= x′，g*= g（x′）和f*= f（x′）-) = x′。3.3当u为无原子2时，f 3鲁棒边界中的单跳。假设K<Ld（K）。然后∧（x′+）<0。此外，由于∧（K）>0，存在唯一性*= x个*（u，ν；K，K）∈ （x′，K）使得∧（x*) = 如果K=Ld（K），那么Υ（f′，x′，g（x′））=0，我们取x*= x′，g*= g（x′）和f*= f（x′）+=f′。引理7，for（K，K）∈ 存在{f*∈ （十）*), x个*, g级*= g（x*)} 使得Υ（f*, x个*, g级*) = 0、假设（K，K）∈ R∪R∪R