美式看跌期权的鲁棒界

特别是，则有多对（ˇf，ˇg）与ˇf∈ （f（ˇx+），f（ˇx-)) 和_g∈ （g（ˇx-), g（ˇx+），使得Υ（ˇf，ˇx，ˇg）=0，因此最优套期保值策略不是唯一的。3.5连续ν的一般情况在前面的章节中，我们展示了在u和ν都连续的假设下，如何使用左帘耦合来找到最佳模型、练习策略和超边缘，并进一步规则化和简化假设，我们将其标记为分散假设和单跳假设。在后一种假设下，解（22）的点的存在导致我们确定了在分散假设下不存在的另外两种类型的对冲策略，总共四种。如果我们进一步放宽假设，只要求u和ν都是连续的，那么我们预计存在多对（f′i，x′i），i=1，2，3。。。，解决方案（22）。注意，从g的单调性，我们可以把{x：g（x）>x}写为区间的可数并，并且在每一个这样的区间上，f是递减的。f跳过以上确定的区间（f′i，x′i）（至少是x′3.5的区间，当u在x的当前值左侧无原子时，连续ν3鲁棒边界的一般情况）。特别地，f只有可数目的向下跳跃。图1是一般左幕鞅耦合的程式化表示，尤其是因为图f中只有非常多的跳跃。使用图1，我们可以将（K，K<K）划分为四个区域，见图13。关键是这四个区域的特征与第3.3节中描述的情况完全相同。对于给定的（K，K），我们可以确定哪些类型的hedgingstrategy是候选最优超边，并确定候选最优停止规则。

（我们总是可以使用与左幕鞅耦合πlc相关的模型。）使用与第3.3节中使用的技术完全类似的技术，可以证明这些候选者确实是最佳的。图13：带区域阴影的f、g的总图。还有4种类型的阴影对应4种形式的最佳对冲。更具体地说，我们可以将{（k，k）：k<k}划分为{（k，k）：k≤ f（k）}∪ {（k，k）：f（k）<k<k}。我们可以将前者分为两个区域W={（k，k）：k<k，x个≤k使f（x）<k<g（x）}和B={（k，k）：k≤ f（k）}\\W。后者我们再次划分为两个区域G和R={（k，k）：f（k）<k<k}\\G。这里我们可以写G=∪x： f（x-)>f（x+）（x） 在哪里（x） 是具有顶点（x，f（x+），（x，f（x））的三角形-)) 和（g（x），g（x））。然后在每个区域W、B、G和R上，我们都有一个超边缘，正如第3.3节所述。此外，再次通过第3.3节的论证，我们可以证明与超级套期保值策略相关的套期保值成本正是鞅耦合πlc（和候选停止规则）下美国看跌期权基于模型的预期收益，从而证明套期保值和模型/行使规则的最优性。备注11。集合{x:g（x）>x}是区间的集合，我们让I+表示这些区间的右端点集。如上所述，图13是在“有限复杂性”的情况下绘制的，即集合I+包含有限数量的元素。如果I+不包含累积点，则结果很容易计算ableI+。一般来说，I+可能包含一个累积点，如Henry Labord\'ere和Touzi【16】所述，在这种情况下，在构建左幕映射（Td，Tu）时需要小心。然而，从我们的角度来看，这些微妙之处并不会造成问题。

原因是，我们的目标不是在目标定律4讨论和扩展中推导3.6个原子左curt-ain耦合，而是将左帘耦合视为给定，并使用它来解决输出定价问题。我们构建的最佳模型和最便宜的对冲是局部的，因为在图13中，当我们查看点（K，K）位于哪个区域时，（K，K）空间其他部分的图片细节并不重要。因此，只有当Kis等于其中一个累积点时，累积点的存在才可能成为一个问题。让x∞是I+中的这样一个累积点，假设K=x∞. 取决于K的值，当存在（x′，f′）且f′<K<x′，则（22）成立或不成立。在前一种情况下，我们可以遵循第3.3.3节的分析，在后一种情况下，我们构建模型和对冲，使模型价格和对冲成本一致，从而证明两者都是最优的。3.6目标定律中的原子当ν有原子时，质量保持和平均条件分别变为（11）和（12）。特别是，ν的原子对应于f或g中的FL截面。见图14。在这种情况下，westill可以像以前一样找到所有最佳数量。特别是∧（x）：=g（x）-千克（x）-x个-（K）-K） x个-f（x）在x中严格增加，即使f和/或g是常数。因此，我们可以找到∧=0的解（更一般的解x，f∈ （x） 精确到Υ（f，x，g=g（x））=0）。SuperEdge保持不变。在构造最优模型时需要一些技巧，但质量为（f（x*), x个*) 映射到（f（x*), g（x*))与f（x）处的（潜在）原子一起*) 或g（x*). 具体而言，给定f*, x个*, g级*我们可以找到λ*fandλ*G使（11）和（12）保持不变。

然后，在任何优化模型中，质量in（f*, x个*) 映射到νx*定义为νx*= ν|（f*,g级*)+ λ*f*δf*+ λ*g级*δg*和外部质量（f*, x个*) 映射到ν- νx*.xx0<ν（{x}）0<ν（{x}）g（^x-)g（^x+）f（(R)x-)f（(R)x+）图14：ν的原子对应于f和g中的FL截面。无质量ν的区域对应于f和g的跳跃。4讨论和扩展4.1左幕耦合的作用对于任何一对打击（K，K），左幕模型达到了美国put的最高预期回报。然而，尽管它在所有对击中同时进行优化，但对于美式看跌期权的线性组合（一般而言）并非最优。例如，如果我们考虑一个广义美国期权，如果在时间1行使，则为a，如果在时间2行使，则为b，其中a（x）=PJj=1（Kj- x） +和b（y）=PJj=1（Kj- y） +（含Kj≤ kj对于每个j），则与左侧窗帘耦合相关联的模型参考通常不是最优的。原因是模型（S，M）只有在与最佳停止规则相结合时才是最优的，而最优停止规则依赖于（K，K）。相反，虽然与左帘耦合相关的模型是最优的（同时交叉所有对K，K），但在使用固定（K，K）时，我们不需要该耦合的全部功率。在色散假设的情况下，我们只需要一个耦合，其中（f（x*), x个*) 映射到（f（x*), g（x*)) 其中x*等于∧（x*) = 有许多鞅耦合具有这个性质。左帘耦合优化背后的直觉如下所示。在美国，期权支付促进早期行使的时间衰减与支付功能促进延迟之间存在紧张关系。如果目标是使期权的收益最大化，则最好在时间1时行使在货币中并将保留在货币中的任何路径。

然而，一旦采用了路径，任何进一步的波动都是无关紧要的。特别是，在设计候选优化模型时，我们应该尽可能保持在time1执行的路径为常数（或接近常数）。因此，概率空间应分为两个区域：一个区域在时间1时看跌期权在货币中并被执行，然后路径移动很少，另一个区域在时间1时看跌期权在货币中（有时是justin货币，但在时间1时未执行），然后路径在时间1和2之间移动很长一段距离。左侧幕墙连接具有此特性。4.1.1多次行使时间很自然地会问，是否有可能将分析扩展到可以在N>2的多个日期（T，T，…TN）行使的美式看跌期权，或等效于鞅M=（Mn）0≤n≤Nwithmarginals（un），其中u的平均值为M=(R)u和un≤cxun+1用于1≤ n≤ N- 很明显，这些想法中的许多都自然而然地延伸到了多边际的情况。然而，hedgingstrategy类型的数量可能会随着N的增加呈指数增长。这将留作将来的工作。参考文献【1】Aksamit A.，Deng S.，Ob l\'oj J.，Tan，X。；美式期权非特定时间市场的稳健定价对冲二元性。arXiv预印本arXiv:1604.05517v22017。[2] Az'ema J.，Yor M.：解决斯科罗霍德的简单问题。在S\'eminaire de probabilit\'esXIII中，第90-115页。斯普林格，1979年。[3] Bayraktar E.，Huang Y-J.，Zhou Z.：关于模型不确定性下的美式期权套期保值。《暹罗金融数学杂志》，6（1）：425–4472015。[4] Beiglb¨ock M.、Henry Labord\'ere P.、Penkner F.：期权价格大众运输方法的模型独立界限。《金融与随机》，17（3）：477–5012013。[5] Beiglb¨ock M.、Henry Labord\'ere P.、Touzi N.：单调鞅运输计划和Skorokhod嵌入。

《随机过程与应用》，127（9）：3005–30132017。[6] Beiglb¨ock M.，Juillet N.：边际鞅约束下的最优运输问题。《概率年鉴》，44（1）：42–1062016。[7] Breeden D.T.，Litzenberger R.H.：期权价格中隐含的国家未定权益价格。《商业杂志》，第621-6511978页。[8] Brown H.、Hobson D.G.、Rogers L.C.G.：障碍期权的稳健对冲。MathematicalFinance，11（3）：285–3142001。参考文献[9]Carr P.，Lee R.：连续半鞅上的对冲方差期权。《金融与随机》，14（2）：179–2072010。[10] 考克斯A.M.G。；扩展Chacon-Walsh：最小值和广义起始分布。Seminaire de Probabilites XLI 233-264，2008年。[11] Cox A.M.G.，Hoeggerl C.：美式看跌期权的模型独立无套利条件。《数学金融》，26（2）：431–4582016年。[12] Cox A.M.G.，Ob l'oj J.：双重无接触期权的稳健定价和对冲。《金融与随机》，15（3）：573–6052011。[13] Cox A.M.G.，Wang J.：根障碍：构造、最优性和方差选项的应用。《应用概率年鉴》，23（3）：859–8942013。[14] Dolinsky Y.，Soner M。；连续时间鞅最优运输与鲁棒套期保值。概率论及相关领域，160（1-2）：391-4272014。[15] Galcihon A.、Henry Labord\'ere P.、Touzi N。；无套利边界的随机控制方法在回溯期权中得到了边际收益。《应用概率年鉴》，24（1）：3133362014。[16] Henry Labord\'ere P.，Touzi N.：一维Brenier定理的显式鞅版本。《金融与随机》，20（3）：635–6682016。[17] 霍布森D.G.：回望期权的稳健对冲。《金融与随机》，2（4）：329–3471998。[18] 霍布森D.G.：鞅的最大值。

Seminaire de Probabilities，XXXII250–263，1998年。[19] Hobson D.G.：Skorokhod嵌入问题和期权价格的模型独立边界。巴黎普林斯顿数学金融讲座2010，第267-318页。Springer，2011年。[20] Hobson D.G.，Klimmek M.：前跨式起跑的强劲价格边界。《金融与随机》，19（1）：189–2142015。[21]Hobson D.G.，Neuberger A.：前向启动选项的鲁棒边界。《数学金融》，22（1）：31–562012年。[22]Hobson D.G.，Neuberger A.：关于成为美国人的价值。《金融与随机》，21（1）：285–3292017。[23]Hobson D.G.，Neuberger A.：更多关于在模型不确定性下对冲美式期权的信息。arXiv预印本arXiv:1604.022742016。[24]Hobson D.G.，Norgilas D.：原子存在时的左幕鞅耦合。arXiv预印本arXiv:1802.083372018。[25]Neuberger A.：美式期权的边界。预印SSRN:9663332007。【26】斯科罗霍德A.V.：随机过程理论研究。信使多佛出版社，1965年。[27]Stebegg F.：通过最优鞅运输的亚式期权的模型独立定价。arXiv预印本arXiv:1412.14292014。【28】头子N。；鞅不等式、最优鞅传输和鲁棒超边缘。国会SMAI 2013，45 EDP Sci。，Les Ulis，32–47，2014年。