多项式跳扩散模型

这就完成了定理5.6中性质（i）的证明，表明（5.9）成立。相反，假设（5.9）成立，那么定理5.6中的属性（ii）也成立。自G（yβ）∈ V |β|，标识y（yβ）=TreaY（x）yy（yβ+ bY（x）y（yβ）+ZRd+e（y+η）β- yβ- η（yβ）-η（yβ）ν（x，dξ×dη），应用β=EI产生bYi∈ 五、 其中给出了（5.5）。取β=ei+ejwe，同样得到AyIj∈ 五、 其中给出了（5.6）。考虑|β|≥ 3，对于α=0，我们得到（5.8）。D、 7推论的证明5.4过程Zt=（Xt，Yt）由DZT给出=dXtP（Xt）dtQ（Xt-) dXt公司= K（Xt-) dtXt文件, 其中K（x）=0 idP（x）00 Q（x）.然后可以计算其差异特征u singKallsen（2006年，命题2）。我们发现它们是Xt的确定函数a（x）、b（x）和ν（x，dζ），其中（x）=K（x）0 00 aX（x）K（x）=aX（x）0 aX（x）Q（x）0 0 0Q（x）aX（x）0 Q（x）aX（x）Q（x）, （D.6）b（x）=K（x）bX（x）,ν（x，A）=ZRdAK（x）ξνX（X，dξ）。特别地，我们假设ZRd+ekζknν（x，dζ）=ZRd（kξk+kQ（x）ξk）n/2νx（x，dξ）≤ （1+kQ（x）k）n/2ZRdkξknνx（x，dξ）<∞对于所有x∈ E和所有n≥ 其中kQ（x）k表示Q（x）的算子范数。因此（5.4）成立。其次，（5.5）成立，因为b（x）的分量是次数最多为n的多项式。为了验证（5.6）–（5.8），我们首先观察恒等式ZRdf（ξ）g（η′，η′）ν（x，dξ×dη′×dη′））=ZRdf（ξ）g（0，Q（x）ξ）νx（x，dξ），（d.7），其中我们将η=（η′，η′）写入Re′+e′中的通用向量。设f（ξ）=xα，g（η）=ηβ=η′β′η′β′，其中我们根据分解η=（η′，η′）分解β=（β′，β′）。Sinceg（0，Q（x）sξ）=任何s的s |β′′g（0，Q（x）ξ）∈ R、 对于一些多项式Rγ（x），它遵循th atg（0，Q（x）ξ）=xγ：|γ|=|β′′Rγ（x）ξγ。由于如果β′6=0，则左侧消失，因此在此例中取rγ（x）=0。此外，由于Q（x）的分量最多为n次-1，g（0，Q（x）ξ）的次数，被视为x中的多项式，在m ost（n-1） β′+··+（n-1） β′e′＝（n-1)|β′′|.

因此，这也是多项式rγ（x）度数的上界。这些观察结果很容易得出（5.8）。为了看到这一点，我们写下了ZRd+eξαηβν（x，dξ×dη）=xγ：|γ|=|β′’rγ（x）ZRdξα+γνx（x，dx）。（D.8）β′6=0，在这种情况下，（D.8）的右侧消失。或者，β′=0，因此|β′′′|=|β|，并且（D.8）的右侧最多是一个次多项式（n-1） |β|+|α+γ|=|α|+n |β|，提供|α+γ|=|α|+|β|≥ 因此，（5.8）成立。最后，（5.6）和（5.7）遵循类似的手册。对于i∈ {1，…，d}和j∈ {e′+1，…，e′+e′}，我们应用（D.6）和（D.7），其中f（ξ）=ξ，g（η）=ηjt，以获得axyij（x）+ZRd+eξiηjν（x，Dξ×Dη）=dXk=1qj- e′，k（x）aik（x）+ZRdξiξkνx（x，dξ）,这是一个不超过n次的多项式-1+2=1+n。如果改为j∈ {1，…，e′}，然后左手边消失。因此（5.7）成立。性质（5.6）也得到了类似的证明。这是推论的完整证明。D、 8引理5.5的证明与引理4.1的证明类似，p回缩m ap s^1*和ψ*被定义为操作员POL（H（E）×Re）→ Pol（E×Re）和Pol（E×Re）→ Pol（H（E）×Re）。使用这些域和范围空间查看，^1*和ψ*是彼此的反比。很明显*是线性贴图。我们证明了它将Polm（H（E）×Re）映射到Vm，并且对于这一点，它需要考虑经济变量f（x，y）=xαyβ，其中|α|+|β|≤ m、 然后一个有*f（x，y）=p（x）yβ，其中p（x）=NYi=1hi（x）αi≤ n表示所有i，并且自|α|≤ m级-|β|，它遵循deg p≤ n（米-|β|），显示μ处的th*f∈ Vmas声称。И的注入能力*从等式ψ开始*o φ*= Polm上的id（H（E）×Re）。要看到这一点*将Polm（H（E）×Re）满射映射到Vm，设p（x）yβ与deg p≤ n（米- |β|）和|β|≤ m是Vm的一个元素。

LemmaD。5意味着对于某些多项式f，p（x）=f（H（x））∈ 波尔姆-|β|（H（E））。因此p（x）yβ=Д*g（x，y），w其中g（x，y）=f（x）yβ的度数最多为m- |β|+|β|=m和thuslies in Polm（H（E）×Re）。由于vm的任何元素都是多项式p（x）yβ的线性组合，这证明了它的有效性。D、 9定理的证明5.6我们现在证明定理5.6。由于引理D.6，Zt是H（E）×Reith extendedgeneratorG=ψ上的跳跃微分*G^1*, 这在Pol（H（E）×Re）上有很好的定义。因此，根据定义，属性（5.9）相当于将Polm（H（E）×Re）映射到每m的自身∈ N、 （D.9）等效性（D.9）<=> （i） 引理5.5和表达式G=ψ*G^1*, 图（5.11）中的每个水平箭头都表示，如果且只有另一个箭头表示。特别是，如果任何一种情况都成立，则该图将进行转换。有待证明（一）<=> （二）。通过定义carr'e-du-champ算子，我们得到了标识yg（xαyβ）=yβG（xα）+xαG（yβ）+Γ（xα，yβ）。此外，如果|α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m然后yβG（xα）=yβGX（xα）∈ Vmsince GxisPolymone。因此（i）等于toxαG（yβ）+Γ（xα，yβ）∈ vmwhere |α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m、 （D.10）有理由认为（D.10）等同于（ii）。为此，首先观察xαG（yβ）∈ vmwhere |α|≤ n（米- |β|), |β| ≤ m、 和G（yβ）∈ V |β|。（D.11）实际上，G（yβ）∈ V |β|是xγyδ形式的单项式与|γ|的线性组合≤ n（|β|-|δ|）和δ|≤ |β|. 因此，xαG（yβ）是xα+γyδ形式的单项式与|α+γ|=|α|+|γ|的线性组合≤ n（米- |β|）+n（|β|- |δ|）=n（m- |δ|），因此位于Vm中。这证明了（D.11）。假设（ii）成立。通过取α=0，我们可以看到G（yβ）∈ V |β|表示所有β，从（D.11）和（ii）来看，这意味着（D.10）成立。反过来，假设（D.10）成立。

由于Γ（1，yβ）=0，因此G（yβ）∈ V |β|对于所有β，因此，鉴于（D.11），xαG（yβ）∈ vmwhere |α|≤ n（米- |β|）和|β|≤ m、 （D.10）的另一次应用则产生Γ（xα，yβ）∈ Vm，我们得出（ii）成立。D、 10推论5.8引理D.1的证明表明Z′t=（Xt，P Yt）是一个特殊的半鞅。我们推断Z′t=（Xt，P Yt）是一个E×Re′值跳跃微分，其形式为（5.1）的扩展生成元G′。事实上，这是对引理B.1的直接修改，引理B.1应用于线性映射Д（x，y）=（x，P y），观察到P不需要可逆才能从（x，P y）中恢复s状态x。通过检查，Z′t=（Xt，P Yt）满足（5.4），引理B.1与引理2.2一起应用于（H（Xt，P Yt），性质（5.9），e被e′取代，如所声称的。D、 11定理的证明6.1定理6.1的证明基于以下两个引理。引理D.7。设G是E上的多项式，则G f（x）对于每个f在E上是局部有界的∈ Ck（Rd）满足生长条件| f（x）|≤ 关于某些实c和整数k的c（1+kxkk）≥ 2.证明。写入f（x）=Tr（a（x）f（x））+b（x）f（x）+X2≤|α|≤k-1.αf（x）α！ZRdξαν（x，dξ）+ZRdg（x，ξ）ν（x，dξ），（d.12），其中g（x，ξ）=f（x+ξ）-X |α|≤k-1.αf（x）α！ξα. （D.13）通过引理2.2和f（x）的Cksmoothness，在（D.12）右侧的前三项在e上的x中局部边界。我们现在在（D.12）中边界剩余项。

当kξk>1时，假定多项式bou nd onf（x）以及粗不等式1+kx+ξkk≤ kξkkk（1+kxkk）和（D.13）产量| g（x，ξ）|≤ kξkkc2k（1+kxkk）+X |α|≤k-1|αf（x）|α！, kξk＞1。接下来，积分形式余数为yieldsg（x，ξ）=x |α|=kkα的泰勒定理！ξαZ（1- t） k级-1.αf（x+tξ）dt，因此| g（x，ξ）|≤ kξkkX |α|=kα！最大值ξk≤1|αf（x+ξ）|，kξk≤ 将这两个界限结合起来，得到| g（x，ξ）|≤ kξkkM（x），其中，由于f（x）的ck光滑性，M（x）是一个连续函数。因此，ZRd | g（x，ξ）|ν（x，dξ）≤ M（x）ZRdkξkkν（x，dξ），由引理2.2在E上的x上局部有界。引理D.8。设G是E上的多项式，则对于每个f∈ C∞b（Rd）存在一系列函数fn∈ C∞c（Rd）使fn→ f和G fn→ G f在E.Proof上局部一致。将fn（x）定义为f（x）乘以光滑截函数th，其等于1 onBn={x∈ Rd：kxk≤ n} 。然后fn→ f局部均匀ly。对于n>m和x∈ Bmwe有| G fn（x）- G f（x）|≤ZRd | fn（x+ξ）- f（x+ξ）|ν（x，dξ）=ZRd | fn（x+ξ）- f（x+ξ）| 1{kξk>n-m} ν（x，dξ）≤2kfk∞（n）- m） ZRdkξkν（x，dξ）。根据引理2.2，右侧在E上的x上局部有界。因此G fn→ G f均匀1∩ bm对于所有m，我们现在证明定理6.1。我们首先证明备注6.2中的陈述。由于Fellerproperty，对于任何f∈ C（Rd），我们知道ref（y）pt（x，dy）在（t，x）中是联合连续的∈[0, ∞) *E.A m on otone类参数现在生成pt（x，A）的声明。对于pt（x，x+A），我们观察到pt（x，x+A）=ZEA（y- x） pt（x，dy）。因为1A（y- x） 在（x，y）中是可联合测量的。下面的索赔也适用于pt（x，x+A）。对于Rd上的任何有界c函数f（x），HenceeG f（x）由（6.3）–（6.6）定义得很好。我们下一步声明，eg f（x）=bZG f（x）+Z∞ZE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）νZ（dζ）（d.14）对于所有f∈ Pol（E）。实际上，对于任何多项式f（x）=（1，H（x）)~f在Poln（E）中，定理2.5 yieldsZE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）=（1，H（x）)（eζG- id）~f。

（D.15）因此，由于（6.1）对于所有x∈ E、 此外，通过（6.3）–（6.6），我们推断EG f（x）=bZG f（x）+Z∞ZE（y- x）f（x）pζ（x，dy）νZ（dζ）+Z∞ZE公司f（y）- f（x）- （y）- x）f（x）{y6=x}pζ（x，dy）νZ（dζ），（d.16），证明（d.14）。下一步，我们声称跳跃扩散算子reg是E.（D.17）上的多项式。首先，我们有ZRdkξkneν（x，Dξ）=ZRdkξknbZν（x，Dξ）+Z∞ZRdky公司- xknpζ（x，dy）νZ（dζ）<∞对于所有x∈ E和所有n≥ 事实上，右侧的第一个术语因（2.3）而不明确。第二学期也是有限的。对于f（y）=ky，这遵循（D.15）- 埃文的xknand（6.1）≥ 2.S秒，例如f（x）=E上任何f的0∈ E上f（x）=0的Pol（Rd）。这是从（2.4）和（D.14）得出的。HenceeG对Pol（E）有很好的定义。最后，G（D.14）和（D.15）的多项式性质再次暗示，对于每一个n，eg将Poln（E）映射到它自己∈ N、 这证明了（D.17）。现在，设G andeG是G andeG在Poln（E）上的矩阵表示。（6.7）中的第一个等式源自（D.14）和（D.15）。第二个方程的右侧为m（t）=E【eZtG】，这一点由Remark6.4很好地定义。由于Zt的L'evy性质，我们得到M（t+s）=M（t）M（s）。因此，M（t）=exp（t˙M（0）），其中˙M（0）=GZezG | z=0=例如。这证明了（6.7）。还有待验证ext是否是关于tofFt的跳跃差异，以及extendedgenerator是否为iseG。Jacod和Shiryaev（2003，定理II.2.42）证明了processMft=f（eXt）- f（eX）-ZteG f（eXs）dsis定义良好，并且每个f都有一个局部鞅∈ C∞b（Rd）。我们分三个步骤来完成。首先，Phillips定理（Sato，1999，定理32.1）表明，（6.2）中给出的ept（x，dy）是FellertTransition核，其生成器的域包含s C∞c（E）上与操作器f（x）=bZG f（x）+Z重合∞ZE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）νZ（dζ）。

（D.18）这里，关于νZ（Dζ）的积分被定义为C（e）值映射ζ7的Bochner积分→ uζ，其中uζ（x）=RE（f（y）- f（x））pζ（x，dy）；参见Sato（1999年，第32.1条之后的评论）。特别是，当在点x处求值时∈ E、 该积分与关于R值函数ζ7的νZ（dζ）的Lebesgue积分一致→RE（f（y）- f（x））pζ（x，dy），因此定义明确。鉴于Remark6.3（D.16）和（D.14），所有f∈ C∞c（E）。我们得出结论，对于所有f，E上的eg f（x）=G f（x）∈ C∞c（E）。（D.19）其次，基于Revuz和Yor（1999，命题III.1.4）的论证表明，Extisa Markov过程相对于其自然滤波fft=σ（eXs，s≤ t） 使用转换内核ept（x，dy）。由于Feller财产，这也适用于通常的权利连续增广FFTOFFT，见Revuz和Yor（1999年，提案III.2.10）。因此，byRevuz和Yor（1999年，命题VII.1.6）和（D.19），它遵循Mftis的一个鞅f∈ C∞c（Rd）。第三，让f∈ C∞b（Rd）。根据（D.17）和引理D.7，例如f（x）在E上局部有界，因此过程MFT得到了很好的定义。此外，LemmaD。8生成函数序列fn∈ C∞c（Rd）使fn→ f和fn→例如，f在E上局部均匀。因此，定义停止时间Tm=inf{t≥ 0：keXtk≥ m} ，我们有| Mft∧Tm公司- Mfnt∧Tm |≤ |f（外部∧Tm）- fn（外部∧Tm）- f（eX）+fn（eX）+t最大值∈E、 kxk公司≤m | eG f（x）-例如fn（x）|。右侧是有界的，并收敛到零，即n→ ∞, 这会产生Mfnt∧Tm公司→ Mft公司∧Tmin L.由于每个MFNTI都是一个鞅，因此根据需要，它在Mftis后面跟随一个局部马丁鞅。这完成了定理6.1的证明。参考D。Ackerer和D.Filipovi\'c.线性信用风险模型。即将出版的《金融与随机》，2016年。D、 Ackerer和D.Filipovi'c.《正交多项式展开的期权定价》。

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