多项式跳扩散模型

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英文标题：
《Polynomial Jump-Diffusion Models》
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作者：
Damir Filipovi\\\'c and Martin Larsson
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We develop a comprehensive mathematical framework for polynomial jump-diffusions in a semimartingale context, which nest affine jump-diffusions and have broad applications in finance. We show that the polynomial property is preserved under polynomial transformations and L\\\'evy time change. We present a generic method for option pricing based on moment expansions. As an application, we introduce a large class of novel financial asset pricing models with excess log returns that are conditional L\\\'evy based on polynomial jump-diffusions.
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中文摘要：
我们建立了一个半鞅背景下多项式跳跃扩散的综合数学框架，它嵌套了仿射跳跃扩散，在金融领域有着广泛的应用。我们证明了多项式的性质在多项式变换和L′evy时间变化下保持不变。提出了一种基于矩展开的期权定价方法。作为一个应用，我们引入了一大类具有超额对数回报的新型金融资产定价模型，这些模型是基于多项式跳跃扩散的条件L拞evy。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Polynomial_Jump-Diffusion_Models.pdf (492.72 KB)

2022-6-1 18:11:01 上传

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关键词：扩散模型 多项式 Mathematical Quantitative Applications

多项式跳跃扩散模型*Damir Filipovi'c+Martin Larsson'2019年7月21日即将出版的《随机系统》（The Randomic Systems）战略我们为半鞅背景下的多项式跳跃差异开发了一个全面的数学框架，该框架嵌套了一个跳跃差异，并在金融领域有着广泛的应用。我们证明了多项式性质在多项式变换和L′evytime变换下保持不变。我们提出了一种基于矩表达式的期权定价方法。作为一个应用，我们引入了一大类具有超额对数回报的新型金融资产定价模型，这些模型是基于多项式跳跃差异的条件。关键词：多项式跳变差分、有效跳变差分、多项式变换、条件L'evy过程、L'evy时间变化、资产定价模型、随机波动性MSC2010分类：60H30、91G20JEL分类：G12、G131简介多项式跳变差分在金融领域有着广泛的应用。如果它的扩展生成器将任何多项式映射为等次或更低次的多项式，则jum p-diffusion就是多项式。因此，其条件矩可以以闭合形式计算。

这一特性使得多项式跳跃差异在计算上易于处理，并且非常适合金融资产定价模型。许多常见的环跳微分是多项式，例如Ornstein–Uhlenbeck过程、平方根微分、Jacobi或Wright–Fisher微分、L'evy过程和geometricL'evy过程，以及这些过程的多维类似物和组合。*我们感谢Agostino Capponi、Elise Gourier、Jan Kallsen、Sergio Pulido以及Lunteren第16届数学金融冬季学校、EPFL金融动态模型学校和研讨会、国际统计学会第61届世界统计大会和佐治亚州立大学CEAR/Huebner夏季风险研究所的与会者，副主编和两位匿名评论员的评论。根据欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE），导致这些结果的研究获得了欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所，Ex tranef 2181015 Lausanne，Switzerland，电子邮箱：damir。filipovic@epfl.瑞士苏黎世理工大学数学系，瑞士苏黎世拉米斯特拉斯101，8092，电子邮件：martin。larsson@math.ethz.chIn在本文中，我们为多项式跳变建立了一个全面的数学框架。我们用扩展生成器的系数的s项刻画了多项式的性质，并建立了矩公式。我们证明了在多项式变换和L'evy时间变化下，ajump扩散的多项式性质保持不变。

这些转换使我们能够轻松地从简单的构建块构造多项式跳转差。它们还使我们能够有效地确定金融模型中的非线性，从而使它们能够灵活地捕捉金融时间序列的许多时间特征。我们还回顾了过去二十年来在金融资产定价模型中广泛使用的跳跃式差异。根据扩展生成器对指数函数的逐点作用，我们提供了一个关于跳变差的宽松定义，并建立了跳变公式。我们证明了，在j umps上的模可积条件下，跳变差是多项式的。该变换不成立，因此多项式跳跃差分确实扩展了一类有效的跳跃差分。我们发现，在多项式变换或一般的L'evy时间变化下，跳跃微分的精细特性不是不变的，这可以解释为什么这些变换没有在金融模型中得到广泛应用。与早期关于多项式和a ffne过程的工作相比，我们不需要Markovproperty。相反，我们在一个特殊的半鞅框架中工作，该框架更灵活，更易于实际应用。存在非马尔可夫多项式跳跃差异，可以使用Kallsen和Kr¨uhner（2016年，第3节）的反例来构造，我们的大多数结果都适用于它们。事实上，马尔可夫性仅被假定为多项式性质在L'evy时间变化下的不变性，所有其他参数都依赖于它的微积分，而不是函数分析。我们提出了多项式跳跃扩散模型中期权定价的一般方法。该方法建立在似然比函数在一些方便加权的最小二乘空间中关于多项式正交基的展开。

作为一个应用，我们引入了一大类基于多项式跳变的新型金融资产定价模型，这些模型超越了a ffine类。在这些模型中，多余的日志返回过程在s ense ofC,inlar（2003）中是有条件的L'evy。这扩展了几个著名的单变量波动率模型，如雅各比-莫德尔（Ackerer et al.，2018）、扩展的斯坦-斯坦模型（Stein and Stein，1991；Sch¨obel and Zhu，1999）和扩展的赫尔-怀特模型（Hull and White，1987；Lions and Musiela，2007）。由于其固有的易处理性，多项式跳变在金融领域的广泛应用中发挥了突出和日益增长的作用。例如，利率（Zhou，2003；Delbaen和Shirakawa，2002；Filipovi\'c等人，2017a）、随机波动性（Gourieroux和Jasiak，2006；Ackerer等人，2018）、汇率（Larsen和Sorensen，2007）、人寿保险负债（Biagini和Zhang，2016）、方差掉期（Filipovi\'c等人，2016a）、信用风险（Ackerer和Filipovi\'c，2016），d伊维登德期货（Filipovi\'c和Willems，2017）、商品和电力（Filipovi\'c等人，2017b）、随机投资组合理论（Cuchiero，2019）和经济均衡（Guasoni和Wong，2018）。多项式跳跃差异的性质也可以应用于计算和统计方法，如广义矩法和鞅估计函数（Forman和Sorensen，2008）、方差缩减（Cuchiero等人，2012）、立方法（Filipov i'c等人，2016b）和量化（Callegaro等人，2017）。最近的这一研究主体主要依赖于不一定有效的多项式跳变差。

专注于a fine案例，一个发现在金融文献中有着更丰富的历史，其中a fine跳跃差异长期以来被用来解决资产定价、最优投资、均衡分析等方面的大量问题。除了在应用中有用之外，多项式跳跃差异因其丰富的数学结构而具有理论上的吸引力。这方面的工作主要集中在扩散案上，可以追溯到toWong（1964年）。Mazet（1997）和Forman and Sorensen（2008）描述了一维多项式微分。Bakry等人（2014）描述了具有非空内部的紧凑状态空间，这些状态空间可以支持二维可逆多项式微分。Larsson和Pulido（2017）研究了紧致二次集上的多项式微分，并将其概率性质与某些正双二次型的平方和表示联系起来。Filipovi\'c和Larsson（2016）开发的半代数状态空间上一大类多项式微分的存在性和唯一性。Cuchiero等人（2019）研究了概率测度值多项式差异。跳跃扩散案例中的理论文献并不丰富。第一个系统账户是马尔可夫框架下的Cuchiero（2011）和Cuchiero等人（2012）。Gallardo和Yor（2006）研究了Dunkl过程，这是一种多项式跳跃差异；见alsoDunkl（1992）。Kr¨uhner和Larsson（2018）分析了紧凑型州步伐下的跳跃差异。Cuchiero等人（2018）开发了一大类s im-plex值多项式跳跃差分规范。我们的论文为这一应用和理论文献提供了一个统一的多项式和一阶跃差分框架，从而为财务建模提供了新的ap方法。在介绍的最后，我们将使用本文中用到的一些约定。

We fixa随机基础(Ohm, F，Ft，P）。随机变量之间的等式被理解为几乎可以肯定。继Jaco d和Shiryaev（2003，（I.1.1））之后，我们使用了广义条件期望的概念，这是为任何σ-场F′定义的 F和所有随机变量X byE[X | F′）=（E[X+| F′）- E[X-| 在{E[| X | F′）<∞},+∞, 在别处对于多指数α=（α，…，αd）∈ Ndwe写|α|=α+···+α和xα=xα···xαddforx∈ Rdis A函数p:Rd上的一个多项式p→ 形式为p（x）=pαcαxα，其中sum覆盖所有α∈ n只有很多系数cα为零。这种代表性是独一无二的。p的阶数是deg p=max{|α|：cα6=0}。我们让Pol（Rd）表示Rd上所有多项式的长度，Poln（Rd）表示由n次多项式组成的子空间。让E是Rd的子集。E上的多项式是多项式q的限制p=q | Eto E∈ Pol（Rd）。其度数为deg p=min{deg q：p=q | E，q∈ Pol（Rd）}。我们让Pol（E）表示E上多项式的代数，Poln（E）表示E上多项式的子空间，次数最多为n。Poln（Rd）和Poln（E）都是有限维的真实向量空间，但如果有在E上消失的非平凡多项式，它们的维数将不同。如果E有一个非空的内部，则可以识别Poln（Rd）和Poln（E）。为了便于记法，我们写f∈ 任意函数f=（f，…，fk）的Poln（E）：Rd→ Rk，带k∈ N、 这样，限制fi | E∈ Poln（E）对于alli=1，k、 实对称d×d矩阵集表示为Sd，正半无限矩阵子集表示为Sd+。对于任何地图Д：E→ F，我们用φ表示p回拉运算符*, 将f上的函数f映射到函数Д*f on E byД*f（x）=f（Д（x））。（1.1）本文其余部分如下。

在第2节中，我们定义了多项式跳跃微分，给出了扩展发电机系数的特征，并建立了动量公式。在第3节中，我们重新讨论了有效的跳跃差异。在第四节中，我们研究了多项式性质在多项式变换下的不变性。在第5节中，我们介绍了多项式条件L'evy过程。在第6节中，我们证明了多项式的性质是随时间变化不变的。在第7节中，我们介绍了多项式跳跃扩散模型中期权定价的一般方法。在第8节中，我们介绍了一大类基于多项式条件L'evy过程的多项式资产定价模型。在第9节中，我们重点讨论线性波动率模型。第10节结束。附录包含其他结果和所有证据。2多项式跳变微分我们考虑一个跳变微分算子，其形式为Rdof f（x）=Tr（a（x）f（x））+b（x）f（x）+ZRdf（x+ξ）- f（x）- ξf（x）ν（x，dξ）（2.1）对于一些可测量的m ap s a:Rd→ Sd+和b：Rd→ Rd，以及Rdinto Rdinto满足ν（x，{0}）=0和Rrdkξk的转换核ν（x，dξ）∧ kξkν（x，dξ）<∞ 对于所有x∈ Rd.对于一些状态空间E，我们将Xt设为具有扩展生成元G的E值跳跃微分 也就是说，Xt是一个E值特殊半鞅和F（Xt）- f（X）-ZtG f（Xs）ds是Rd上任何有界c函数f（x）的局部鞅（2.2）。我们说G在Pol（E）ifZRdkξknν（x，dξ）<∞ 对于所有x∈ E和所有n≥ 2，且（2.3）G f（x）=0，在E f或任何f上∈ E.（2.4）上f（x）=0的Pol（Rd）该性质确保G被定义为从Pol（E）到E.2.1上可测函数空间的线性算子。如果G在Pol（E）上定义得很好，并且对于每个n，G在Pol（E）上映射到自身，则称其为E上的多项式∈ N

在这种情况下，我们称之为E上的Xta多项式跳差。XT的特殊半鞅性质意味着ZTka（Xs）k+kb（Xs）k+ZRdkξk∧ kξkν（Xs，dξ）ds<∞其与单位截断函数h（ξ）=ξ相关的半鞅特征（B，C，ν）由Bt=Rtb（Xs）ds、Ct=Rta（Xs）ds和ν（Xt）给出-, dξ）dt、seeJacod和Shiryaev（2003年，提案II.2.29）。特别是Xt- Bt是局部鞅。当E具有非空内部时，属性（2.4）始终成立。在Pol（E）中未明确定义的扩散算子示例见Inflipovi'c和Larsson（2016年，第2节）。因此，E上的多项式jum p-diffusion是一个E值跳跃diffusion，其跳跃测量所有阶的矩，具有一个扩展生成器，将E上的多项式映射为E上的低阶或等阶多项式。多项式跳变函数允许封闭形式的条件矩，在金融领域有着广泛的应用，我们将在下文中看到。G在E上的多项式性质有一个简单的特征，即其系数a（x）、b（x）和ν（x，dξ）。引理2.2。假设G在Pol（E）中定义良好。那么以下是等价的：（i）G是E上的多项式；（ii）（2.1）满足b中的a（x），b（x）和ν（x，dξ）∈ Pol（E），a+ZRdξξν（·，dξ）∈ Pol（E），ZRdξαν（·，dξ）∈ Pol |α|（E），对于所有|α|≥ 在这种情况下，属性（ii）中列出的E上的多项式由Gon Pol（E）的作用唯一确定。此外，a（x）、b（x）和rrdξαν（x，dξ）对于所有|α|在E上的x是局部有界的≥ 2.证明。含义（二）=> （i） 是即时的，其含义（i）=> （ii）然后将g应用于所有单项式。特别是，属性（ii）中列出的E上的多项式由G对Pol（E）的作用唯一确定。证明了a（x）和rrdkξkν（x，dξ）在E上的x上是局部有界的。

但这是因为a（x）∈ Sd+和aii+RRdξiν（·，dξ）∈ Pol（E），因此是aii（x）≥ 0和rrdξiν（x，dξ）≥ 0在x上E局部有界。虽然三阶及以上的ν（x，dξ）的矩由Gon Pol（E）的作用确定，但度量ν（x，dξ）本身不需要唯一确定。以下示例对此进行了说明。示例2.3。考虑具有单位强度和对数正态跳变分布的补偿复合泊松过程XT，其扩展生成器由G f（x）=RR（f（x+ξ）给出n- f（x）-ξf′（x））g（ξ）dξ，其中g（ξ）是标准对数正态密度。众所周知，对数正态分布在力矩问题的意义上是不确定的，因此存在密度h（ξ），与g（ξ）不同，但具有相同的力矩。扩展生成器eg f（x）=RR（f（x+ξ）- f（x）- ξf′（x））h（ξ）dξ则与Pol（E）上的G重合。备注2.4。存在非马尔可夫多项式跳跃差异，可以使用卡尔森和克鲁纳的CounterExamples（2016年，第3节）构建。这就是为什么我们采用半鞅方法来处理多项式跳跃差异，而不是像Inuchiero等人（2012）那样采用马尔可夫方法。半鞅方法有几个优点。首先，我们只需要假设局部鞅问题（2.2）的存在性，但不需要唯一性。的确，唯一性等同于Xt的马尔可夫性。此外，开发我们的框架的时间不均匀版本很简单，其中a（t，x），b（t，x），ν（t，x，dξ）明确且不一定是多项式依赖于t。最后，我们的框架立即适应了有限时间间隔上的多项式跳跃差异。实际上，我们没有指定上述随机基和半鞅的时间集，所以没有指定[0，∞), 我们可以简单地理解某个特定时间范围T的时间集为[0，T]。