多项式跳扩散模型

这种灵活性在资产定价应用中很有用，我们在第8.3节中使用了它。为了使G的多项式性质可操作，我们现在在Poln（E）上引入一个坐标系，用于一般的n∈ N、 我们将在整个论文中使用。We定义=dim Poln（E）- 1，注意1+N≤n+dn, 如果E有非空的内部，则等于。We fix多项式h（x），Rd上的hN（x），使得{1，h，…，hN}构成Poln（E）的基础，并定义向量值函数h:Rd→ RN，H（x）=（H（x），hN（x））. （2.5）对于每个p∈ Poln（E）我们用~p表示其坐标向量∈ R1+N，因此p（x）=（1，H（x）)~p在E.（2.6）上，G的（1+N）×（1+N）矩阵表示G仅限于Poln（E），由G（1，H）确定)（x） =（1，H（x）)G在E上，所以G p（x）=（1，H（x）)E.（2.7）上的G~p，我们现在证明E[p（XT）| Ft]是XT的多项式函数。定理2.5。假设G是E上的多项式，那么对于任何p∈ Poln（E）力矩公式成立，E【p（XT）| Ft】=（1，H（XT）)e（T-t） G~p、f或t≤ T定理2.5意味着所有订单都有有限的Ft条件矩。请注意，我们不假设XT有任何有限的无条件矩。下面的示例说明了这一点。示例2.6。dXt=κ（θ）上的GARCH差异- Xt）dt+√2κxtdwt对于某些参数κ，θ>0在（0，∞), 这是一个多项式微分。不变量分布是一种形状参数为2、比例参数为1/θ的逆伽马分布。因此，在平稳的情况下，当Xhas为不变分布时，我们有E[Xt]=θ和E[Xt]=+∞. SeeForman和Sorensen（2008年，案例4）。这是一大类扩展了GARCH微分的多项式跳跃函数。

设Wtbe为标准m维布朗运动，N（du，dt）为泊松随机测度，补偿器F（du）dt位于U×R+，对于一些标记空间U，参见Jacod和Shiryaev（2003，定义II.1.20）。我们考虑线性随机微分方程（SDE）dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZUδ（Xt-, u） （N（du，dt）- F（du）dt），（2.8）具有漂移、波动和跳跃大小fu nctionsb（x）=β+dXi=1xiβi，σ（x）=Γ+dXi=1xiΓi，δ（x，u）=δ（u）+dXi=1xiδi（u），（2.9）参数βi∈ Rd，Γi∈ Rd×m，函数δi:U→ RdwithRUkδi（u）knF（du）<∞ 对于alln≥ 2，对于i=0，d、 由于系数的全局Lipschitz连续性，对于每个F-可测初始随机变量X，线性SDE（2.8）具有唯一的强Rd值解Xt，见Jaco d和Shiryaev（2003，定理III.2.32）。接下来，在X处检查Rd上的多项式跳跃差，线性漂移为b∈ Pol（Rd），扩散函数a=σσ∈ Pol（Rd）和由rdf（ξ）ν（x，dξ）=RUf（δ（x，u））F（du）给出的跳跃度量ν（x，dξ），因此Zrdξαν（·dξ）∈ 所有|α|的Pol |α|（Rd）≥ 2、我们现在导出了在单变量情况下，d=1的线性SDE（2.8）–（2.9）的G的矩阵表示（2.7），当E R具有非空内部。简单的计算表明，对于任何j∈ {0，…，n}，G xj=nXi=0GijxiwhereGij=冀RUδ（u）j- i（1+δ（u））iF（du），i≤ j- 3j（j）-1） Γ+j（j-1） RUδ（u）（1+δ（u））j- 2F（du），i=j- 2jβ+j（j-1） ΓΓ+jRUδ（u）（1+δ（u））j- 1.- 1.F（du），i=j- 1jβ+j（j-1） Γ+RU（1+δ（u））j- 1.- jδ（u）F（du），i=j0，i>j。因此（1+n）×（1+n）上三角矩阵G=（Gij）0≤i、 j≤nrepresents G restricted toPoln（E）关于基{1，x，…，xn}。示例2.7。

线性SDE（2.8）–（2.9）的一个特例是L'evy驱动的SDEdXt=b（Xt）dt+σ（Xt-) dlt其中b（x）和σ（x）如（2.9）所示，而lti是一个m维L'evy过程，其中E【kLtkn】<∞适用于所有n≥ 2，seeSato（1999，定理25.3）。3 A ffine Jump Diffusion A ffine Jump Diffusion已被广泛研究并应用于金融领域，见e.g.Duffe et al.（2003）。我们提供了一种新的方法来处理跳跃差异，并表明它们构成了多项式跳跃差异的例子。设G是形式（2.1）Rdof上的跳跃扩散算子，设xte是具有扩展生成元G的E值跳跃扩散算子，对于某些状态空间E 研发定义3.1。如果存在复值函数F（u）和R（u）=（R（u），…，则称为E上的算子G，Rd（u））关于Irdso thatG eux个=F（u）+R（u）x个欧盟x（3.1）适用于所有x∈ E和u∈ 税务局。在这种情况下，我们称之为E上的X阶跃差。请注意，与Duffeeet al.（2003）中对a阶跃过程的定义相比，这是一个宽松的定义，因为它直接根据G对指数函数的逐点作用给出。事实上，下面的例子3.6中的跳跃差异并不是senseofDu ffe et al.（2003）中的一个跳跃过程。与引理2.2类似，E上G的a ffne性质在其系数a（x）、b（x）和ν（x，dξ）方面有一个简单的表征。引理3.2。对于某些矩阵ai，当且仅当a（x）、b（x）和ν（x，dξ）是E（3.2）上形式a（x）=a+dXi=1xiai，b（x）=b+dXi=1xibi，ν（x，dξ）=ν（dξ）+dXi=1xiνi（dξ）的一个E上的算子G∈ Sd，向量bi∈ Rd上的有符号测度νi（dξ），使得νi（{0}）=0和rrdkξk∧ kξk |νi |（dξ）<∞, i=0，d

在这种情况下，（3.1）中的函数F（u）和R（u）可以选择为F（u）=u的形式au+bu+ZRd欧盟ξ- 1.- uξν（dξ），Ri（u）=uaiu+biu+ZRd欧盟ξ- 1.- uξνi（dξ）。（3.3）从（3.2）可以看出，除非微分和跳变系数a（x）=aA和ν（x，dξ）=ν（dξ）不依赖于x，否则一般情况下，跳变微分不能作为线性方程组（2.8）–（2.9）的解来实现。从（3.2）d引理2.2中，我们立即得到跳变微分是多项式E，取决于Pol（E）。推论3.3。如果Xtis是E上的一个有效跳跃微分，使得G在Pol（E）上定义良好，那么Xtis是E上的多项式跳跃微分，在Pol（E）上定义良好，不仅满足定理2.5中的力矩公式。它们的特征函数也可以分析处理。定理3.4。假设XT是E上的一个有效跳跃差异。对于u∈ Ird和T>0，设φ（τ）和ψ（τ）=（ψ（τ），ψd（τ））求解广义Riccati方程φ′（τ）=F（ψ（τ）），φ（0）=0ψ′（τ）=R（ψ（τ）），ψ（0）=u（3.4）的函数≤ τ ≤ T，其中F（u）和R（u）是（3.3）中的函数。IfReφ（T- t） +Reψ（t- t）Xt公司≤ 0，对于t≤ T，（3.5）那么a ffene变换公式成立，E[euXT | Ft]=eφ（T-t） +ψ（t-t）Xt，用于t≤ T备注3.5。不等式（3.5）是a ffine变换公式成立的必要条件。实际上，a ffne变换公式和Jensen不等式产生f或u∈ iRd，expReφ（T- t） +Reψ（t- t）Xt公司=E[膨胀（uXT）|英尺]≤ E[| exp（uXT）| |英尺]=1。对于广义Riccati方程（3.4）不包含所有u∈ 税务局。下面的示例说明了这一点。示例3.6。考虑两点状态空间E={0，1} R、 过程Xt从1跳到0，强度为λ，一旦达到0就会被吸收。

这是一个跳转差，扩展生成f（x）=λx（f（x- 1) - f（x）），其形式为（2.1），其中a（x）=0，b（x）=λx，ν（x，dξ）=λxδ-1（dξ）。因此，Xtis ana ffine jump diffusion，F（u）=0，R（u）=λ（e-u- 1). 关联的广义Riccati方程（3.4）为φ′（τ）=0，ψ′（τ）=λ（e-ψ(τ )- 1). （3.6）我们声称，对于初始条件u=iπ，该方程没有全局解。假设ψ（τ）是（3.6）的整体解。则ψ（τ）=eψ（τ）满足线性方程ψ′（τ）=-λΨ(τ) + λ, Ψ(0) = -1，其唯一解为ψ（τ）=1- 2e类-λτ，τ=λ时变为零-日志2，这很荒谬。这一事实背后的深层原因是，给定X=1，E[euXT]=1时，X的特征函数- e-λT+eu-λT，对于u=iπ和T=λ-1日志2变为零，因此不能像a ffne变换公式中那样写为指数。4多项式变换这类多项式跳变在扩展维数后，在多项式变换下是不变的。这允许我们从基本构建块构建一大类多项式跳跃，包括布朗运动、L'evy过程或更一般的过程。事实证明，这是一种在各种金融模型中引入非线性和跳跃的有用且灵活的方法。设Xt是E上的多项式跳差 RDG带扩展发电机G。修复n∈ N和Poln（E）的基{1，h，…，hN}，如（2.5）–（2.7）所示。注意，H:E→ H（E） RNisinjective。实际上，Poln（E）中任何线性单项式xilies对E的限制，因此是1，h（x），…，的线性组合，hN（x）。因此存在线性多项式l我∈ Pol（RN）等li（H（x））=对于所有x∈ E和所有i.定义向量值函数l:RN→ Rd，L（x）=(l（x） ，ld（x））.

（4.1）然后L（H（x））=x表示所有x∈ E、 对于所有x，H（L（x））=x∈ H（E）。我们确定了撤军H*和L*如（1.1）所示。引理4.1。每m∈ N、 拉回H*: Polm（H（E））→ Polmn（E）是具有逆L的线性同构*.以下是本节的主要结果。定理4.2。过程Xt=H（Xt）是H（E）上的一个多项式跳变差，其extendedgeneratorG=L*G高*而且，每m∈ N、 下图为：Polm（H（E））Polm（H（E））Polmn（E）Polmn（E）GH*德国劳埃德船级社*（4.2）作为定理4.2的直接应用，我们可以很容易地推断G对Polm（H（E））的作用。设1+N=dim Polm（H（E））=dim Polmn（E），并将Poln（E）的基推广到Polmn（E）的基{H=1，H，…，hN，hN+1，…，hN}（4.3），对于一些多项式hN+1（x），hN（x）在Rd上。从换位图（4.2）来看，这导致了基hi=L*H（E）），f或i=0，N、 设G为（2.5）–（2.7）中表示G在Polmn（E）上的（1+N）×（1+N）矩阵，可使用应用于G hi（x）的s y mbolic演算确定。G是表示G onPolm（H（E））的矩阵，可以很容易地应用定理2.5来计算xtup到m阶的所有Ft条件矩。下面的示例表明，a ffne属性在多项式变换下不是不变的。示例4.3。考虑平方根过程dXt=（b+βXt）dt+σ√XtdWt，这是一个非常有用的功能。扩充过程Xt=（Xt，Xt）满足dx1t=（b+βX1t）dt+σqX1tdWtdX2t=（（2b+σ）X1t+2βX2t）dt+2σqx1txtdwt。虽然XT的漂移函数是形式（3.2）中的一个函数，但扩散函数不是。从Emma3.2的角度来看，这表明对于H（x）=（x，x），x在H（R）上不是一个函数，而它是多项式,根据Theorem4.2.5多项式条件L'evy过程在实际应用中，我们经常会遇到以下情况。

设Xt为多项式跳跃微分Xton E 设Ytbe为重值s emimartin gale，对于某些e∈ N、 谁的特征是Xt的功能。该过程可以模拟资产的超额对数收益，其随机波动性和跳跃特征根据潜在因素过程给出。该结果是与Sergio Pulido合作得出的，并应用于Infipovi\'c等人（2016b）。Xt。在第4节的基础上，我们开发了一个多项式框架，可以容纳一大类这样的模型。下面的例子说明了我们所考虑的情况。我们在第9节中进一步阐述了这个示例，包括跳跃。示例5.1。对于γ>0、κθ>0、X>0和Y=0，我们在风险中性度量下考虑以下模型：dXt=κ（θ- Xt）dt+γXtdW1t，dYt=-Xtdt+XtdW2t，其中YT对资产的超额对数回报率和XT其波动性进行建模。根据引理2.2和示例2.6，x是E=（0，∞). 此外，yt的漂移和微分函数在Xt中都是二次函数。特别是，Lemma2.2表明联合过程zt=（Xt，Yt）在E×R上不是多项式。然而，增广过程zt=（H（Xt，Yt）和H（x）=（x，x）是H（E）×R上的多项式微分。

因此，仍然可以使用定理2.5中的力矩公式来计算YT的条件力矩。回到一般性讨论，我们假设联合半鞅Zt=（Xt，Yt）是一个E×Re值跳跃微分，其形式为扩展生成元f（z）=Tr（a（x）f（z））+b（x）f（z）+ZRd+ef（z+ζ）- f（z）- ζf（z）ν（x，dζ），（5.1），其中我们写z=（x，y），对于一些可测映射a:Rd→ Sd+e+和b：Rd→ Rd+e和Rdinto的反应核ν（x，dζ）满足ν（x，{0}）=0和Rrd+ekζk∧kζkν（x，dζ）<∞ 对于所有x∈ Rd.根据分解Zt=（Xt，Yt），相应地ζ=（ξ，η），我们wr itea（x）=aX（x）aXY（x）aY x（x）aY（x））, b（x）=bX（x）乘（x）, ν（x，dζ）=ν（x，dξ×dη），（5.2）并用νx（x，dξ）和νY（x，dη）表示ν（x，dξ×dη）的边际测度，由νx（x，A）=ν（x，A×Re），νY（x，A）=ν（x，Rd×A）给出。（5.3）那么aX（x）、bX（x）和νx（x，dξ）是扩展生成器GXof Xt的系数，根据假设，它是E的多项式。请注意，Ytis是C,inlar（2003）意义上的条件L'evy过程。也就是说，在过程Xt的条件下，半鞅yth是独立的增量。修复n∈ N和Poln（E）的基{1，h，…，hN}，如（2.5）–（2.7）中的GXin代替G。扩展（4.1），我们定义了地图Д：Rd+e→ RN+ean和ψ：RN+e→ Rd+ebyД（x，y）=（H（x，y），ψ（x，y）=（L（x，y），因此ψoД=E×Re上的id。回撤^1*和ψ*定义见（1.1）。这是本节的第一个主要结果，它扩展了示例5.1。定理5.2。假设ZrekηkkνY（x，dη）<∞ 对于所有x∈ E和所有k≥ 2.（5.4）那么，增广过程zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×Rewith extendedgeneratorG=ψ上的跳变差*G^1*, 算子G和G分别在Pol（E×Re）和Pol（H（E）×Re）上定义良好。

此外∈ Poln（E），（5.5）aY+ZReηηνY（·，dη）∈ Pol2n（E），（5.6）aXY+ZRd+Eξην（·，dξ×dη）∈ Pol1+n（E），（5.7）ZRd+Eξαηβν（·，dξ×dη）∈ Pol |α|+n |β|（E），对于所有|α|+|β|≥ 3、（5.8）在H（E）×Re上共同嵌入多项式。（5.9）相反，（5.9）对于α=0，则为（5.5）、（5.6）和（5.8）。备注5.3。由于E上的GXis多项式，因此在Pol（E）上定义良好，条件（5.4）与zrd+ekζkkν（x，dζ）<∞ 对于所有x∈ E和所有k≥ 2、作为定理5.2的一个应用，我们展示了如何通过指定多项式跳变函数Xton E.推论5.4的Ytin项来构造大型多项式跳变函数类。设e=e′+e′，对于某些e′，e′≥ 0，并考虑映射P:E→ Re′和Q:E→ 带多项式分量的Re′′×dW，P∈ Poln（E）和Q∈ Poln公司-1（E）。然后fordYt=P（Xt）dtQ（Xt-) dXt公司满足定理5.2中的条件（5.4）–（5.8），因此Zt=（H（Xt），Yt）是H（E）×Re上的多项式跳跃微分。对于n≥ 2，这包括二次共变量，d[Xi，Xj]t=d（Xi，tXj，t）- Xi，t-dXj，t-Xj，t-dXi，t及其可预测补偿器，ΓX（xi，xj）（Xt）dt，其中ΓXdenotes与GX相关的carr'e-duchamp算子（见A节）。要使用定理2.5中的矩公式计算yt的条件矩，我们必须了解Polm（H（E）×Re）的结构及其作用方式。为此，我们引入了Subspace Vm 由vm定义的Polnm（E×Re）=span{p（x）yβ：p∈ Pol（E），摄氏度p≤ n（米- |β|), |β| ≤ m} 。（5.10）扩展引理4.1，我们得到以下结果。我们推测，（5.7）和（5.8）的性质对于（5.9）一般来说是不必要的。然而，我们还没有找到一个反例。引理5.5。对于EVERY m∈ N、 回撤Д*: Polm（H（E）×Re）→ Vmis是一个逆ψ的线性同构*.这是本节的第二个主要结果。定理5.6。假设（5.4）。

然后，以下任一语句等效于（5.9）：（i）操作符G将空间vm映射到每个m的自身∈ N（ii）G（yβ）和Γ（xα，yβ）位于vmwhere |α|≤ n（米-|β|）和|β|≤ m、 式中，Γ表示与G相关的carr'e-du-champ运算符（见A节）。无论哪种情况，对于每m∈ N、 下图换算：Polm（H（E）×Re）Polm（H（E）×Re）VmVmGД*Gψ*（5.11）备注5.7。注意，对于n=1和H（x）=x，我们有zt=zt和Vm=Polm（E×Re），在这种情况下，定理m5.6简单地恢复了zt是E×Re上多项式的定义。作为定理5.6的一个应用，我们可以推断G对Polm（H（E）×Re）的作用。这允许我们使用定理2.5中的力矩公式计算Yt的条件力矩。假设（5.4）和（5.9）。设1+N=dim Polmn（E），并将Poln（E）的基扩展到Polmn（E）的基asin（4.3）。这表明Vmof的形式vi（x，y）=hj（x）yβ，deg hj的基础≤ n（米- |β|), |β| ≤ m、 i=0，M其中1+M=尺寸Vm。根据换位图（5.11），这导出了基vi=ψ*vi，i=0，M、 Polm（H（E）×Re）的。设G为（1+M）×（1+M）矩阵，表示根据（2.5）–（2.7）的Gon Vm，用vi代替hi，可使用应用于G vi（x，y）的符号计算公式来确定vi（x，y）=hj（x）yβ。那么G是表示G在POLM（H（E）×Re上的矩阵，Theorem2.5可以很容易地用于计算Ztup到m阶的所有条件矩。以下推论对应用很有用，因为它有助于减少矩计算的维数。例如，如果我们只需要Y1T的条件矩，这不涉及i 6=1的剩余分量yit。推论5.8。Assu me（5.4）和（5.9）。让P：Re→ Re′是线性映射，对于某些e′∈ N